Excision en homologie de Hochschild

Excision en homologie de Hochschild

Notes d’expos´ e du groupe de travail Topologie Alg´ ebrique

(Nantes) Salim RIVIERE

F´ evrier 2012

On se donne un anneau de base K , commutatif et unitaire

K − Alg := cat´ egorie des K -alg` ebres (non n´ ec´ essairement unitaires) K − uAlg := cat´ egorie des K -alg` ebres unitaires

K − Mod _∗ := cat´ egorie des K -modules gradu´ es

1 Le probl` eme d’excision

L’homologie de Hochschild est un foncteur

HH _∗ : K − Alg → K − Mod _∗ I 7→ HH _∗ (I)

Etant donn´ ´ es une K -alg` ebre A et un id´ eal bilat` ere I de A, il est possible de d´ efinir les K -modules gradu´ es d’homologie de Hochschild relatifs HH _∗ (A, I) qui s’ins` erent dans une suite exacte longue

· · · → HH n (A, I) → HH n (A) → HH n (A/I) → HH _n−1 (A, I ) → · · · Afin de d´ ecrire le probl` eme d’excision, rappelons les d´ efinitions de HH _∗ (I) et HH _∗ (A, I ).

Le foncteur HH _∗ est obtenu en prolongeant le foncteur HH _∗ bien connu sur les alg` ebres unitaires : D´ efinition 1.0.1. L’homologie de Hochschild d’une alg` ebre unitaire A est donn´ ee par

HH _∗ ^u (A) := H ∗ (CH ∗ (A), d ^H ) o` u

CH _n (A; M ) := M ⊗ A ^⊗n et

d ^H (m ⊗a 1 ⊗ · · · ⊗ a n ) := ma 1 ⊗a 2 ⊗ · · · a n +

n−1

X

i=1

(−1) ⁱ m ⊗a 1 ⊗ · · · ⊗a i a i+ ⊗ · · · ⊗ a n + (−1) ⁿ a n m ⊗a 1 ⊗ · · · ⊗ a n−1

L’homologie de Hochschild d’une alg` ebre non unitaire I est donn´ ee par HH _∗ (I) := coker HH _∗ ^u ( K ) → HH _∗ ^u (I ₊ )

o` u I <sub>+</sub> est l’alg` ebre unitaire dont le K -module sous-jacent est K ⊕ I et la multiplication est donn´ ee par (k, i)(k ⁰ , i ⁰ ) := (kk ⁰ , ki ⁰ + k ⁰ i + ii ⁰ )

Remarque 1.0.2. Le complexe de Hochschild CH _∗ (I) est bien d´ efini mˆ eme quand I n’est pas unitaire. Il permet

donc de d´ efinir une th´ eorie d’homologie na¨ıve de source K − uAlg not´ ee HH _∗ ^naive .

Lorsque l’alg` ebre I est unitaire d’unit´ e 1 I , l’application K × I → I +

(k, i) 7→ (k, k 1 I + i)

est un isomorphisme d’alg` ebres unitaires. Comme l’homologie de Hochschild unitaire commute au produits HH _∗ (I) = coker HH _∗ ^u ( K ) → HH _∗ ^u ( K ) ⊕ HH _∗ ^u (I) ∼ = HH _∗ ^u (I)

On voit que HH _∗ est bien un prolongement de HH _∗ ^u i.e.

K − uAlg ^HH

u

∗

//

K − Mod _∗

K − Alg

HH

77 p

p p p p p p p p p p

commute.

Afin de d´ efinir l’homologie de Hochschild relative d’une paire (A, I ), il est utile de faire apparaˆıtre celle-ci comme provenant d’un complexe de chaˆınes :

Proposition 1.0.3. Soit I une K -alg` ebre (non n´ ecessairement unitaire). L’homologie de Hochschild de I est isomorphe ` a l’homologie du complexe normalis´ e r´ eduit C _∗ ^red (I + ) d´ efini par

C _∗ ^red (I) := coker(( K , 0) → (I ₊ ⊗ I ^⊗∗ , d ^H ))

o` u K est vu comme complexe concentr´ e en degr´ e 0 et (I + ⊗ I ^⊗∗ , d ^H ) est le complexe de Hochschild normalis´ e de I + .

D´ emonstration. Il suffit de v´ erifier que l’homologie de C _∗ ^red (I ₊ ) co¨ıncide avec HH _∗ (I) en degr´ es 0 et 1.

D´ efinition 1.0.4. Soit I un id´ eal bilat` ere d’une K -alg` ebre A (non n´ ec´ essairement unitaire). L’homologie de Hochschild relative de la paire (A, I ) est donn´ ee par

HH ∗ (A, I) := H ∗ (ker C _∗ ^red (A + ) → C _∗ ^red ((A/I ) + ) ) Elle s’ins` ere donc dans une suite exacte longue

· · · → HH n (A, I) → HH n (A) → HH n (A/I) → HH n−1 (A, I ) → · · ·

D´ efinition 1.0.5. Une K -alg` ebre I est dite excisive en homologie de Hochschild lorsque le morphisme canon- ique

HH _∗ (I) → HH _∗ (A, I)

est un isomorphisme pour toute alg` ebre (non n´ ecessairement unitaire) A contenant I comme id´ eal bilat` ere et telle que la projection A → A/I soit scind´ ee.

2 Le th´ eor` eme de Wodzicki

D´ efinition 2.0.6.

– Le complexe bar d’une alg` ebre I est le K -module gradu´ e C _∗ ^bar (I) d´ efini par C _n ^bar (I) := I ^⊗n+1 ∀n ∈ N

muni de la diff´ erentielle d ^bar d´ efinie par

d ^bar (x 0 ⊗ · · · ⊗ x n ) :=

n−1

X

i=0

(−1) ⁱ x 0 ⊗ · · · ⊗ x i x i+1 ⊗ x i+2 ⊗ · · · ⊗ x n

pour tous x 0 , ..., x n dans I. Son homologie est not´ ee H _∗ ^bar (I).

– Une alg` ebre I est dite H -unitaire lorsque pour tout K -module V , le complexe bar C _∗ ^bar (I; V ) := (V ⊗ C _∗ ^bar (I), Id V ⊗ d ^bar ) est exact.

Le but de cet expos´ e est de d´ emontrer une implication th´ eor` eme suivant, qui donne une condition n´ ecessaire et suffisante pour qu’une alg` ebre soit excisive en homologie de Hochschild et en homologie cyclique :

Th´ eor` eme 2.0.7. [ Wodzicki, [Wod89], voir aussi [Lod97] ] Soit I une K -alg` ebre non n´ ecessairement unitaire.

Les conditions suivantes sont ´ equivalentes i) I est excisive en homologie de Hochschild, ii) I est H -unitaire,

iii) I est excisive en homologie cyclique.

Avant de d´ emontrer que ii) implique i), rappelons les d´ efinitions des homologies relatives na¨ıves et bar associ´ ees ` a une paire :

D´ efinition 2.0.8. Soit A une K -alg` ebre non n´ ecessairement unitaire et I un id´ eal bilat` ere de A.

– L’homologie de Hochschild na¨ıve relative HH _∗ ^naive (A, I ) est l’homologie du complexe CH ∗ (A, I) := ker CH ∗ (A) → CH ∗ (A/I)

– L’homologie bar relative H _∗ ^bar (A, I ) est l’homologie du complexe

C _∗ ^bar (A, I) := ker C _∗ ^bar (A) → C _∗ ^bar (A/I )

De mˆ eme que pr´ ec´ edemment, ces deux homologies s’ins` erent chacune dans une suite exacte longue d’homologie bar et d’homologie na¨ıve. Il existe ´ egalement des morphismes canoniques

HH _∗ ^naive (I) → HH _∗ ^naive (A, I ) et

H _∗ ^bar (I) → H _∗ ^bar (A, I )

et I sera dite excisive en homologie na¨ıve/bar lorsque le morphisme canonique correspondant est bijectif pour toute alg` ebre A contenant I comme id´ eal bilat` ere telle que la projection A → A/I est K -scind´ ee.

Nous aurons besoin de deux lemmes concernant l’excision en homologies bar et de Hochschild na¨ıve.

Lemme 2.0.9. Soit I une K -alg` ebre H -unitaire. Alors I est excisive en homologie bar

D´ emonstration. Consid´ erons une alg` ebre A telle que A → A/I est K -scind´ ee. Il s’agit de montrer que H _∗ ^bar (A, I) est nulle. Introduisons la filtration (F _p C _∗ ^bar (A, I )) _{p > 0} de C _∗ ^bar (A, I) d´ efinie par

F p C _∗ ^bar (A, I) n := K − submod < a 0 ⊗ · · · ⊗ a n / au moins n − p a i sont dans I >

=C _n ^bar (A, I ) ∩ X

n

+···+n

=p

l>1 q1 +···+ql=n−p

A ^⊗n

⊗ I ^⊗q

⊗ A ^⊗n

⊗ I ^⊗q

⊗ · · · ⊗ A ^⊗n

⊗ I ^⊗q

⊗ A ^⊗n

o` u la somme parcourt tous les l + 1-uplets d’entiers de somme p tels que n ₁ > 0, n _l+1 > 0, et les autres n _i sont strictement positifs (ces l + 1-uplets correspondent aux choix possibles des ´ el´ ements qui sont dans I ⊂ A) et tous les l-uplets .

Cette filtration donne lieu ` a une suite spectrale dont la premi` ere page est E _{p q} ⁰ = F p C _∗ ^bar (A, I ) p+q / F _p−1 C _∗ ^bar (A, I ) p+q

Comme A → A/I est K -scind´ ee, A se d´ ecompose comme K -module sous la forme A ∼ = A ⊕ A/I . Soit n = (n ₁ , · · · , n _l+1 ) un l + 1-uplet tel que pr´ ec´ edemment. Notons Y _∗ (n) le complexe

Y _∗ (n) := (A/I ) ^⊗p [n l+1 − p] ⊗ C _∗ ^bar (I)[n 1 ] ⊗ · · · ⊗ C _∗ ^bar (I)[n l ] On dispose d’un isomorphisme (au moins en degr´ e ∗ > 1) canonique de K -modules gradu´ es

φ : E _p ⁰ _∗ ∼ = M n

Y _∗ (n)

qui envoie la classe [X ] de

X := a ₁ ⊗ · · · ⊗ a _n

⊗i 1 ⊗ · · · ⊗ i _q

⊗a n

+1 ⊗ · · · ⊗ a _n

_+n

⊗ · · · ⊗ · · · ⊗ i _q

_+q

_+···+q

₊₁ ⊗ · · · ⊗ i _q

⊗ a _n

₊₁ ⊗ · · · a _n

modulo F p−1 C _∗ ^bar (A, I) p+q

+···+q

sur

( ¯ a 1 ⊗ · · · ⊗ a ¯ p ) ⊗ (i 1 ⊗ · · · ⊗ i q

) ⊗ · · · ⊗ (i q

+q

+···+q

+1 ⊗ · · · ⊗ i q

) ∈ Y _∗ (n 1 , · · · , n l+1 )

o` u ¯ a <sub>j</sub> d´ esigne la classe de a <sub>j</sub> modulo I. L’isomorphisme r´ eciproque φ <sup>−1</sup> est construit grˆ ace ` a la section A/I → A de A → A/I . Montrons que φ commute aux diff´ erentielles : Dans d ^bar (X), tous les termes qui impliquent le produit d’un a _j par un a _j+1 donnent un tenseur de longueur p+ q ₁ + · · · + q _l − 1 contenant q ₁ + · · · + q _l facteurs dans I donc sont nuls modulo F _p−1 C _∗ ^bar (A, I ) _p+q

_+···+q

₋₁ . Il en est de mˆ eme pour les termes impliquant le produit d’un a _j par un i _s . Ainsi, l’image par φ de la classe de d ^bar (X) est la somme de tous les termes de la forme

±( ¯ a ₁ ⊗ · · · ⊗ a ¯ _p ) ⊗ (i ₁ ⊗ · · · ⊗ i _s i _s+1 ⊗ i _q

) ⊗ · · · ⊗ (i _q

_+q

_+···+q

₊₁ ⊗ · · · ⊗ i _q

) ∈ Y _∗ (n ₁ , · · · , n _l+1 ) o` u s prend toutes les valeurs possibles entre 1 et q 1 − 1, entre q 1 + 1 et q 1 + q 2 − 1 etc ... C’est exactement l’image de φ([X]) par la diff´ erentielle de Y (n 1 , · · · , n l+1 ).

φ est donc un isomorphisme de complexes de chaˆınes (au moins en degr´ e strictement positif). Or, I est H -unitaire donc chaque Y ∗ (n) est acyclique ce qui prouve que E _pq ¹ = 0 (au moins en degr´ e q > 0) et donc que l’aboutissement de la suite spectrale est nul, i.e. H _∗ ^bar (A, I) = 0.

Le mˆ eme type d’arguments permet de d´ emontrer l’analogue du lemme 2.0.9 pour l’homologie na¨ıve : Lemme 2.0.10. Si I est H-unitaire, alors I est excisive pour l’homologie de Hochschild na¨ıve.

D´ emonstration. Admise.

La proposition suivante permet de r´ einterpr´ eter l’homologie de Hochschild en terme de complexe total associ´ e au bicomplexe cyclique tronqu´ e en la liant aux homologies bar et na¨ıve :

Proposition 2.0.11. Soit I une K -alg` ebre non n´ ecessairement unitaire. Le complexe r´ eduit C ^red (I + ) s’identifie au complexe total du bicomplexe cyclique tronqu´ e CC ∗∗ ^{2} (I) suivant

.. .

.. .

CC ∗∗ ^{2} (I) := I ^⊗3

d

I ^⊗3

oo Id−t

d

I ^⊗2

d

I ^⊗2

oo Id−t

d

I I

oo Id−t

o` u t est l’op´ erateur cyclique qui envoie i 1 ⊗ · · · i n sur (−1) ⁿ⁻¹ i n ⊗ i 1 ⊗ · · · i _n−1

D´ emonstration. Pour n > 0, d´ ecomposons C _n ^red (I + ) en utilisant l’isomorphisme de K -modules I + ∼ = I ⊕ K : C _n ^red (I ₊ ) := I ₊ ⊗ I ^⊗n = I ^⊗n+1 ⊕ I ^⊗n

o` u le terme I <sup>⊗n</sup> est ` a comprendre comme K ⊗ I ^⊗n . Si l’on suit l’image par la diff´ erentielle (normalis´ ee) d ^H d’un tenseur (1i 0 ) ⊗ i 1 ⊗ · · · ⊗ i n dans cette d´ ecomposition, il vient ( 1 est l’unit´ e de K ) :

d ^H ((i 0 + 1) ⊗ i 1 ⊗ · · · ⊗ i n ) =d ^H (i 0 ⊗ · · · ⊗ i n ) + i 1 ⊗ i 2 ⊗ · · · ⊗ i n

−

n−1

X

k=1

(−1) ^k+1 1 ⊗ i ₁ ⊗ · · · ⊗ i _k i _k+1 ⊗ · · · ⊗ i _n + (−1) ⁿ i _n ⊗ i ₁ ⊗ · · · ⊗ i _n−1

=d ^H (i ₀ ⊗ · · · ⊗ i n ) − 1 ⊗ d ^bar (i ₁ ⊗ · · · ⊗ i n ) + 1 ⊗ (Id − t)(i ₁ ⊗ · · · ⊗ i n )

Ainsi, la matrice de d ^H relativement ` a la d´ ecomposition est d ^H (1 − t)

0 −d ^bar

Le complexe r´ eduit C _∗ ^red (I) apparaˆıt donc comme complexe total du bicomplexe CC _∗∗ ^{2} (I).

Remarque 2.0.12. La premi` ere colonne de CC ∗∗ ^{2} (I) est CH ∗ (I) et la seconde est C _∗ ^bar (I), ce qui donne lieu

`

a une suite exacte courte de complexes

0 → CH _∗ (I) → Tot _∗ CC _∗∗ ^{2} (I) → C _∗ ^bar (I)[−1] → 0 induisant une suite exacte longue en homologie

· · · → HH _n ^naive (I) → HH n (I) → H _n−1 ^bar (I) → HH _n−1 ^naive (I) → · · · (1) D´ emonstration du th´ eor` eme 2.0.7. Nous ne montrons que l’implication ii) ⇒ i).

Soit I une K -alg` ebre (non n´ ecessairement unitaire) et A une alg` ebre contenant I comme id´ eal bilat` ere, telle que A → A/I soit scind´ ee. Commen¸ cons par ´ etablir l’analogue relatif de la suite exacte longue (1). La proposition 2.0.11 montre que le sous-bicomplexe

CC ∗∗ ^{2} (A, I ) := ker(CC ∗∗ ^{2} (A) → CC ∗∗ ^{2} (A/I ))

a pour homologie totale HH _∗ (A, I ) et s’ins` ere dans le diagramme commutatif ` a lignes et colonnes exactes 0

0

0 // CH _∗ (A, I ) // CH _∗ (A) //

CH _∗ (A/I ) //

0

0 // Tot _∗ CC _∗∗ ^{2} (A, I ) // Tot _∗ CC _∗∗ ^{2} (A) //

Tot _∗ CC _∗∗ ^{2} (A/I) //

0

0 // C _∗ ^bar (A, I ) // C _∗ ^bar (A) //

C _∗ ^bar (A/I ) //

0

0 0

dont on d´ eduit (lemme des cinq pour les suites exactes courtes) la suite exacte courte relative recherch´ ee 0 → CH _∗ (A, I) → C _∗ ^red (A, I ) → C _∗ ^bar (A, I ) → 0

Nous disposons donc d’un morphisme de suites exactes courtes

0 // CH _∗ (I) //

Tot ∗ CC ∗∗ ^{2} (I) //

C _∗ ^bar (I) //

0

0 // CH ∗ (A, I ) // Tot ∗ CC ∗∗ ^{2} (A, I ) // C _∗ ^bar (A, I ) // 0 induisant un morphisme de suite exactes longues

· · · // HH _n ^naive (I) //

HH n (I) //

H _n−1 ^bar (I) //

HH _n−1 ^naive (I) //

· · ·

· · · // HH _n ^naive (A, I ) // HH _n (A, I ) // H _n−1 ^bar (A, I) // HH _n−1 ^naive (A, I) // · · ·

Si I est H -unitaire, les lemmes 2.0.9 et 2.0.10 impliquent que HH ∗ (I) ∼ = HH ∗ (A, I ).

Remarque 2.0.13. L’excisivit´ e en l’homologie cyclique d’une alg` ebre H -unitaire I, c’est ` a dire ii) ⇒ iii) dans le th´ eor` eme 2.0.7, se d´ eduit de ii) ⇒ i) via la suite exacte longue de Connes

· · · → HH _n (I) → HC _n (I) → HC _n−2 (I) → HH _n−1 (I) → · · · et sa version relative.

3 Un r´ esultat sur l’homologie des alg` ebres de matrices

D´ efinition 3.0.14. Soit A une K -alg` ebre. Un A-module ` a gauche M est dit H -unitaire lorsque A-est H - unitaire et lorsque pour tout K -module V , le complexe bar tordu (C _∗ ^bar (A, M ; V ), d ^bar ⊗ Id V ) d´ efini par

C _n ^bar (A, M ; V ) := ⊗A ^⊗n−1 ⊗ M ⊗ V et

d ^bar (m ⊗ a ₁ ⊗ a _n−1 ) := (−1) ⁿ a ₁ ⊗ a ₂ ⊗ · · · ⊗ a _n−1 m +

n−2

X

j=1

(−1) ^j+1 a ₁ ⊗ · · · ⊗ a j a j+1 ⊗ · · · ⊗ a _n−1 ⊗ m est exact.

Il est bien sˆ ur possible de d´ efinir de mani` ere analogue la notion de H -unitarit´ e pour un module ` a droite. Les modules H -unitaires se comportent bien lors de la prise d’extension :

Lemme 3.0.15. Si A est une alg` ebre H -unitaire et M est un A-bimodule H -unitaire ` a gauche ou ` a droite.

Alors le produit semi-direct A n M , dont K -module sous-jacent est A ⊕ M et le produit est donn´ e par (a, m)(a ⁰ , m ⁰ ) := (aa ⁰ , am ⁰ + ma ⁰ )

est une alg` ebre H -unitaire.

D´ emonstration. Soit V un K -module et supposons que M est H -unitaire comme A-module ` a gauche. Il s’agit de d´ emontrer que le complexe bar C _∗ ^bar (A n M ; V ) est exact. L’argument allant ˆ etre d´ etaill´ e dans la d´ emonstration de 3.0.16, nous ne d´ etaillons pas les identifications : le complexe C _∗ ^bar (A n M ; V ) se d´ ecompose en

C _∗ ^bar (A n M ; V ) ∼ = M

l > 0

B _∗ (l)

o` u B <sub>∗</sub> (l) est engendr´ e par les tenseurs ayant exactement l composantes dans M (et les autres dans A). B <sub>∗</sub> (l) peut-ˆ etre muni d’une filtration (F <sub>p</sub> B <sub>∗</sub> (l)) <sub>p</sub> en d´ eclarant que F <sub>p</sub> B <sub>∗</sub> (l) est engendr´ e par les tenseurs de B <sub>∗</sub> (l) dont les l composantes appartenant ` a M se situent dans les l + p derni` eres positions possibles. La page E ⁰ (l) de la suite spectrale associ´ ee est donn´ ee par

E _p ⁰ _∗ (l) ∼ = C _∗ ^bar (A, M ; K ) ⊗ B p+l−1 (l − 1)[l − 1]

ce qui montre que chacune de ses lignes est exacte et, par cons´ equent, que l’aboutissement de la suite spectrale est nul.

Le r´ esutat suivant, dˆ u ` a Wodzicki, sera utile dans l’´ etude de l’excision en K-th´ eorie alg´ ebrique :

Th´ eor` eme 3.0.16. [ Wodzicki, [Wod89] ] Soient A et B deux alg` ebres, M un A-B-bimodule, et notons T l’alg` ebre des matrices triangulaires de la forme

a m 0 b

avec a dans A, b dans B et m dans M .

i) Si M est H -unitaire comme A-module ` a gauche ou comme B-module ` a droite, alors le morphsime canon- ique scind´ e T → A ⊕ B induit des isomorphismes

HH ∗ (T) ∼ = HH ∗ (A) ⊕ HH ∗ (B) et

HC _∗ (T ) ∼ = HC _∗ (A) ⊕ HC _∗ (B)

ii) Si de plus A et B sont H-unitaires, alors T est H -unitaire.

D´ emonstration. Montrons le point i) pour l’homologie de Hochschild dans le cas o` u M est H -unitaire comme A-module ` a gauche. La projection (scind´ ee comme morphisme d’alg` ebres) T → B a pour noyau l’id´ eal R de T constitu´ e des matrices de la forme

a m

0 0

avec a dans A, et m dans M . Ainsi, la suite exacte courte scind´ ee d’alg` ebres 0 → R → T → B → 0

induit une suite exacte longue en homologie de Hochschild

· · · → HH n (T, R) → HH n (T ) → HH n (B) → HH n−1 (T, R) → · · · dont les connectants sont nuls, et donc une suite exacte courte scind´ ee de K -modules gradu´ es

0 → HH _∗ (T, R) → HH _∗ (T) → HH _∗ (B) → 0

Il est clair que R s’identifie au produit semi-direct A n M (o` u la structure de A-module ` a droite sur M est triviale i.e. ma = 0) qui est H -unitaire par le lemme 3.0.15. donc par le th´ eor` eme 2.0.7 HH ∗ (R, T ) ∼ = HH ∗ (R), ce qui montre que HH ∗ (T ) se d´ ecompose sous la forme

HH _∗ (T ) ∼ = HH _∗ (R) ⊕ HH _∗ (B)

Montrons que l’inclusion canonique de A dans R ∼ = A n M induit un isomorphisme en homologie de Hochschild.

Les deux alg` ebres ´ etant H -unitaires, leur homologie de Hochschild est ´ egale ` a leur homologie de Hochschild na¨ıve et peut donc se calculer ` a l’aide du complexe usuel CH _∗ (−). Le complexe de Hochschild de R se d´ ecompose en la somme directe

CH _∗ (R) ∼ = CH _∗ (A) ⊕

∞

M

l=1

C _∗ (l)

o` u chaque C _∗ (l) est le sous-complexe de CH _∗ (R) engendr´ e en degr´ e n par les tenseurs de la forme r 0 ⊗r 1 ⊗· · ·⊗r n

tels qu’exactement l des r j soient dans M ⊂ A n M et les autres dans A. Comme l’inclusion canonique A → R correspond ` a l’inclusion dans le facteur CH _∗ (A) de cette d´ ecomposition, il suffit de montrer que pour tout l > 1, C ∗ (l) est exact.

Fixons un l > 1 et munissons C ∗ (l) de la filtration (F p C ∗ (l)) p > 0 d´ efinie par

F _p C _∗ (l) _p+q := K − submod < r ₀ ⊗ · · · ⊗ r _p+q / r _j ∈ A, j 6 q − l >

Explication : p = 0 correspond aux tenseurs dont les l facteurs r j qui sont dans M sont exactement les l derniers, p = 1 correspond ` a ceux o` u ces mˆ emes r j apparaissent dans les l + 1 derni` eres positions, etc...

Clairement, F _n−l C _∗ (l) n = C n (l) ce qui montre que la filtration est exhaustive.

La suite spectrale associ´ ee ` a cette filtration a pour 0-i` eme page E _{∗ ∗} ⁰ dont la p-i` eme ligne E _p ⁰ _∗ se d´ ecompose sous la forme

E _p,∗ ⁰ := F _p C _∗ (l) _∗+p /F _p−1 C _∗ (l) _∗+p

∼ ψ

= C _∗ ^bar (A, M ; K ) ⊗ T (p, l − 1)[l − 2]

o` u T(i, j) est la composante homog` ene de bilongueur (i, j) dans (A ⊕M ) ^⊗(i+j) (i facteurs dans A et j dans M ).

L’isomorphisme ψ envoie la classe du tenseur

a ₀ ⊗ · · · a _q−l ⊗ r _q−l+1 ⊗ r _q−l+2 ⊗ · · · ⊗ r _p+q dans E _{p q} ⁰ sur

(a 0 ⊗ · · · ⊗ a _q−l ⊗ r _q−l+1 ) ⊗ (r _q−l+2 ) ⊗ · · · ⊗ r p+q

o` u (a, m) = m d´ esigne la classe de (a, m) ∈ A n M ∼ = R modulo le sous- K -module A.

Dans la diff´ erentielle de E _p ⁰ _∗ , les termes faisant intervenir un produit r j r j+1 sont nuls car la position des l

´

el´ ements de M se trouve dans le p−1 + l derniers facteurs. Le terme “cyclique” qui commence par r p+q a 0 est nul

car soit r p+q est dans M et r p+q a 0 = 0, soit il ne l’est pas ce qui signifie que les l ´ el´ ements se trouvant dans M

se trouvaient entre les positions q− l + 1 et p+q −1 donc dans les l +p −1 derniers facteurs de ce terme cyclique.

Ceci d´ emontre que l’isomorphisme ψ est bien un isomorphisme de complexes de chaˆınes. Or M est suppos´ e H -unitaire comme A-module ` a gauche donc C _∗ ^bar (A, M ; K ) ⊗ T (p, l − 1)[l − 2] ∼ = C _∗ ^bar (A, M ; T(p, l − 1))[l − 2]

est exact, ce qui montre que chaque ligne de la premi` ere page E <sup>0</sup> <sub>p ∗</sub> est exacte. Ainsi, la premi` ere page E _{∗ ∗} ¹ de la suite spectrale est nulle et par suite, l’aboutissement est ´ egalement nul donc chaque C _∗ (l) est exact.

Le cas de l’homologie cyclique se d´ eduit de la suite exacte longue de Connes, puisque cette derni` ere est fonctorielle.

Le point ii) est admis.

Donnons pour terminer quelques pr´ ecisions sur l’utilisation du th´ eor` eme pr´ ec´ edent faite par A. Suslin et M.

Wodzicki dans [SW92] afin de d´ emontrer le th´ eor` eme suivant :

Th´ eor` eme 3.0.17. [ Suslin Wodzicki, [SW92] ] Soit I une Q -alg` ebre non n´ ecessairement unitaire. Les condi- tions suivantes sont ´ equivalentes

i) I est excisive en K-th´ eorie alg´ ebrique ii) I est H -unitaire.

L’implication ii) ⇒ i) est d´ emontr´ ee dans [Wod89]. C’est l’autre implication qui est ´ etudi´ ee dans [SW92].

Comme nous l’a expliqu´ e Aur´ elien dans son second expos´ e, les auteurs commencent par reformuler la condition d’excisivit´ e i) en termes d’homolgie de groupes : la Q -alg` ebre I est excisive en K-th´ eorie alg´ ebrique si et seulement si le morphisme d’inclusion

GL(I) , → g GL(I) (2)

induit un isomorphime en homologie de groupes. Rappelons que la notation g GL(I) d´ esigne le produi semi-direct de GL(I) par le module des matrices colonnes infinies presques nulles M _{∞ 1} (I).

Ensuite, la th´ eorie de Malcev et les constructions de Volodin pour les groupes et les alg` ebres de Lie permettent de montrer que (2) induit un isomorphisme en homologie si et seulement si l’inclusion analogue pour les alg` ebres de Lie de matrices

gl(I) → gl(I) e (3)

induit un isomorphisme en homologie, avec gl(I) := e gl(I) n M _∞ 1 .

La derni` ere ´ etape consiste ` a montrer que si I est H -unitaire, alors (3) induit bien un isomorphisme en homologie. Pour ce faire, les auteurs introduisent une Q -alg` ebre interm´ ediaire I 1 form´ ee des matrices de la forme

a b 0 0

avec a et b dans I. Grˆ ace au th´ eor` eme 3.0.16 appliqu´ e au cas o` u B = 0, A = M = I, I 1 est H -unitaire et a mˆ eme homologie cyclique que I 1 (a priori, il suffit d’utiliser la proposition 3.0.15 pour en d´ eduire que I 1 est H -unitaire). La version H -unitaire du th´ eor` eme de Loday-Quillen-Tsygan d´ emontr´ ee par Hanlon dans [Han88]

permet d’´ ecrire

H ∗ (gl(I)) ∼ = ΛHC ∗ (I)[1] ∼ = ΛHC ∗ (I 1 )[1] ∼ = H ∗ (gl(I 1 ))

L’isomorphisme entre les termes extr´ emaux est bien sˆ ur induit par l’inclusion canonique I → I ₁ donn´ ee par a 7→

a 0 0 0

Or l’alg` ebre gl(I <sub>1</sub> ) s’identifie au produit semi-direct gl(I) n M (I), o` u M (I) := ⊕ _{j > 1} M _{∞ 1} est la somme directe d´ enombrable de copies de M _{∞ 1} (I), et l’inclusion de gl(I) dans gl(I ₁ ) s’´ ecrit comme compos´ ee d’inclusions d’alg` ebres de Lie dont la seconde (inclusion dans le premier facteur) est scind´ ee :

gl(I) , → gl(I) e , → gl(I 1 ) D’o` u

H _∗ (gl(I)) ∼ = H _∗ ( gl(I)) e

R´ ef´ erences

[Han88] Phil Hanlon. On the complete GL(n,c)-decomposition of the stable cohomology of gl(n,a). Transactions of the American Mathematical Society, pages 209–225, 1988.

[Lod97] Jean-Louis Loday. Cyclic homology, volume 301. Springer, 1997.

[SW92] Andrei A Suslin and Mariusz Wodzicki. Excision in algebraic k-theory. Annals of mathematics, pages 51–122, 1992.

[Wod89] Mariusz Wodzicki. Excision in cyclic homology and in rational algebraic k-theory. Ann. of Math,

129(591-640) :296, 1989.