• Effectuer l’analyse des composantes d’ une TG (

3

• Présenter les types de rendements utilisés dans le TG

• Effectuer l’analyse des composantes d’ une TG ( 𝑐𝑐

= 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 )

• Présenter le concept de consommation spécifique

• Effectuer le calcul dans une TG lorsque 𝑐𝑐

≠ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐.

• Regarder le cas d’une turbosoufflante

= −

∑ ^{F m u }

^{m u }

j j a

p

( p p ) A

F

F = + −

∑

( )

= − +  − 

p j a j j j a a

F p p A m u m u

j j j j a a a a

m  = m  = ρ u A = ρ u A = m 

=  _f / _a

f m m

( ) ( )

= − +  −

p j a j j a

F p p A m u u

(

) ( )

p a j a j a j

F m f u u p p A

•  

=  + −  + −

mf

f a

m +m

ma

ua

uj

Dans un turboréacteur, la poussée résulte de la variation de la quantité de mouvement par unité de temps entre l'air à l’entrée et les gaz à la sortie et, de la différence des forces de pression entre l’entrée et la sortie.

( ¹ )

2 2

j a

m a

f u u

W m

•

 + 

=  − 

 

La puissance fournie par le moteur au fluide est

p p a

W = F u

tandis que la puissance propulsive utile est

( ¹ ) ( )

 

=   + −  + −

p a j a j a j

F m f u u p p A

p p

m

W

η = W

Forme adimensionnelle Sous forme adimensionnelle, l’expression précédente peut s’écrire

Dans nos hypothèses p_j = p_a et f<<1, et avec l’introduction du nombre de Mach de l’aéronef, M_a= u_a/a_a, on peut écrire:

( ¹ ) ^{1 1}

   

=  + −  +  − 

   

 

p j a j j

a a a a a a

F u p A p

m u f u m u p

 1 

=  − 

 



p j

a

a a a

F u

m a M u

Remarque: L’indice inférieura est utilisé pour les conditions ambiantes

( )

( )

1 1

2 2

2 2

1

a j a a

p p

m j a

a

a j a j

a

m f u u u

W

W f u u

m

u u u u

u η

•

•

 + − 

 

= =

 + 

 − 

 

≈ =

+ +

et le rendement

= 2

+

p

j a

u

u u

η

On note que le rendement décroit lorsque la vitesse du jet augmente

Lorsque le débit de carburant est négligé, le rendement de propulsion peut être encore exprimé par

Alors, pour un force propulsive F

fixe, le rendement de propulsion augmente lorsque u

croît

2 2

2 2

a a p

a a p p

a a

m u m u F F

m u

η = =

+ +

= 2

+

a p

j a

u

u u

η

(

) ( )

 

=   + −  + −

p a j a j a j

F m f u u p p A

Le rendement thermique d’une turbine à gaz peut être définie comme

Si le débit de carburant est négligé par rapport au débit d’air

(

)

2 2

•

 + 

 − 

 

= =

 



j a

a m

th

f f

f u u m

W

W m LHV

η

2 2

2 2

1 1

2 2

 − 

   

= =  − 





a j a

th j a

f

m u u

u u

m LHV f LHV

η

Considérant la puissance propulsive

et la puissance fournie par le carburant

 =

p p a

W F u



= 

W m LHV

pouvoir calorifique

Le rendement global du moteur pour un aéronef est alors donné

par =



p a g

f

F u

m LHV

η

Lorsque l’objectif est la production de puissance ̇𝑾𝑾 , le rendement global s’écrit simplement

η = ^

g



f

W

m LHV

• de Propulsion

• Thermique

• Global

2 2

2 _{p a}

p

a j a

F u

m u u

η = _•

 − 

 

2 2

1 2

a j a

th

f

m u u

m LHV

η

•

•

 − 

 

=

p a

g

f

F u m LHV

η

On note que η_g = η_p x η_th

Th G P

=  _f / _a

f m m

(

) ( )

p a j a j a j

F m f u u p p A

•  

=  + −  + −

mf

f a

m +m

ma

ua

uj



 



 + −

= ²

02 2

1 1M

T

T _a γ ₀₂ ¹

02 a

a

p p T

T

γ γ−

 

=  

 

2

02 2

a a

p

T T u

c

 

= +

 

 

 

03 02 p

p = p r r

1 03

02

02

1 1

ec p

c

W c T p

p

γ γ

η

  



 

=       −  

Travail spécifique consommé par le compresseur

c

= cte

03 02 03 02

03 02 03 02

s s

c

h h T T

h h T T

− −

= →

− −

η

03 02

(

/ 1) T T T

T T

= −

−

1 03 02

p p

γ⁻ γ

 

 

 

c

= cte

1

03 02

1 1 (

1)

c

T T r





=    + −   

γ γ

η

ec p

T T W

= + c

03 02

03 02 03 02

03 02 03 02

s s

c

h h T T

h h T T

− −

= →

− −

η

03 02

(

/ 1) T T T

T T

= −

−

r

1 03 02

p p

γ⁻ γ

 

 

 

c

= cte

04 03

( m 

+ m h 

) = m h 

+ m 

× LHV

04 03

(1 + f h ) = h + × f LHV

m 

f a

m  + m  m 

f a

f m

= m 



04 03

03 04 03

/ 1

/

/

T T

f LHV c T T T

= −

−

04

=

p p

En réalité il y a une légère perte de pression dans la chambre de combustion. On peut cependant, dans un premier temps, négliger ces pertes pour effectuer l’analyse.

p

=

c cte

et ec

W = W

Le travail (puissance) W

produit (e) par la turbine est entièrement consommé(e) par le compresseur W

04 05 03 02

( ) ( )

T C

m h  − h = m h  − h

Si on considère que 𝑓𝑓 ≪ 1 , l’équation dévient

( )

05 04 03 02

h = h − h − h

Température et presssion

( )

et t p s s

t p

W c T T T T W

η c

=

−

⇒

=

+ η

Température totale isentropique

Température totale _{et p}

( )

p

W c T T T T W

=

−

⇒

=

+ c

Pression totale

γ γ

p T s

p T

1

05 05

04 04

    −

  = 

    ⁰⁵

p

07 06

h = h

pa

Cas isentropique

06 05

h = h

07 06

h = h

Sans postcombustion

2

2 7 7

07

h u h = +

2 7

06 07 7

s

2

p

T T T u

= = + c p

= p

2 7

06 7

( )

2

u = c T − T

p 1 c γR

= γ

−

1

7 06

06

2 1

1

pa

u RT

p

γ

γ γ

γ

 − 

   

= −  −  

 

Rendement de la tuyère, η_Ty=100%

07 06

h = h

pa

L’énergie fournie est

04 03

( )

q = c T

− T

de sorte que le rendement thermique devient

2 2

7

04 03

2 2

( )

a th

p

u u

c T T

η = ⁻

−

= Débit de Carburant = m 

SFC Puissance W

( / )

( )

m kg href kg

SFC W kW kW hre

 

= →  

 



 

 



→ 

= ×_•

•

hre BTU

lb )

Hp ( W

) hre /

lb ( SFC 2545 m^f

f a

f m

= m 



m

SFC = W 



s

SFC f

W

=

La SFC représente la consommation de carburant par unité de puissance (ou de poussée) . Elle est utilisée pour évaluer l'efficacité du moteur

/

•

 

=   

kW

s kg s

a

W W

m

Plus

𝑾𝑾

Puissance Spécifique W

= Puissance/ Débit massique d’air

Puissance Spécifique W

= Puissance/ Débit massique d’air

) lb / BTU (

LHV )

HP ( SFC

= 2545 η

) kg / kJ ( LHV )

hre kW

/ kg ( SFC

= 3600 η

kg / kJ lb

/ BTU

LHV = 18400 = 42798



   

lb / hre BTU

/ lb

f

hre / BTU

LHV m

W

•

•

η =

a

j

u

u ) f (

TSFC f

−

= + 1

TSFC = lb/hr/lbf, kg/hr/N SFC = lb/hr/HP, kg/hr/kW

/ /

f f a

p p a ps

m m m f

TSFC = F  = F  m  = F



F_ps = Poussée /Débit massique (N/kg/s)

TSFC = Débit de carburant/Poussée (kg/N-hr)

SFC = Débit de carburant ^/ Puissance produite (kg/kW-hr)

(

)

•  

= ^a  + − 

p j a

F m f u u

Puissance spécifique - SHP / lb/sec

SFC -lb/hr/ SHP

0.26 0.34 0.42 0.58 0.66

60 140 220 300 380 440

1600

3000

T₄ - ⁰ F

0.50

40 4

6

8 10

1214 20 30 4

6 8

1800

SHP: Shaft Horse Power

SFC -lb/hr/ SHP

0.26 0.34 0.42 0.58 0.66

60 140 220 300 380 440

1600

2000 1800

2800 3000 2400 2600

2200

T₄ - ⁰ F

4

6

Compacité du moteur

8 10

1214 20 40 30

0.50

Économiede carburant

Puissance spécifique - SHP / lb/sec

La carte paramétrique du moteur est calculée pour différentes températures T

et différents rapports de compression

Cette représentation fournit une relation entre la consommation

de carburant et la compacité du moteur. Pari par exemple, si l’on

veut un moteur compact, avec une puissance spécifique

élevée, il faut se limiter à une consommation spécifique petite.

1)

2) Augmenter le rapport de compression pour augmenter le rendement

Rendements isentropiques (c_p=cte)

  −

  −

 

=

−

γ γ

η_C

p p

T T

1 03

02 03 02

1 1

−

−

=

 

  −

 

γ γ

η

T T P P

05 04

1 05 04

1

1

HORREUR 2014

Un turboréacteur opère au repos (u_a=0) avec de l’air à capacité calorifique constante. Les conditions d’opération sont:

La température et la pression à l’entrée du compresseur T₀₂=288K, p₀₂₌0.1MP Le rendement du compresseur et le rendement de la turbine η_C=85% et η_T=90%, respectivement

Les rendements mécaniques du compresseur et de la turbine η_M=98%. Celui de la tuyère η_Ty =95%

Le rapport de compression r_p=p₀₃/p₀₂=10 et la température maximale T_max=1200K

Le pouvoir calorifique du combustible LHV=44 000 kJ/kg Hypothèse: Considérez p₀₂ = p_atm

Problème

Les sommets (p,T) du cycle thermodynamique

Le rapport 1/f : débit massique d’air/ débit massique de carburant Le rendement thermique du turboréacteur

La consommation spécifique TSFC

Calculez

03 _p 02 03

10 0.1 1

p = × r p → p = × MPa = MPa

03 02

  10

=   =

 

p

r p

p

r

T₀₂= 288 K p₀₂= 0.1MPa

T_03s =556.4 K

p₀₃= 1MPa

03 02

03 02

s c

T T

T T

η

= −

T

= 603.8 K

1

03 03

02 02

T

p

T p

γ γ

 

=  

 

p 10 r =

p₀₂=0.1 MPa T₀₂= 288 K T_{0 4}= 1200 K ηC= 85%

η_T= 85%

c_p=cnste

p

=

c cte

04 03

04

1 ,

1200

p p MPa

T K

= =

=

m 

f a

m  + m  m 

03 3

1

a a

f hv

f f

m m

h h L h

m m

 

+ + = +  

 

 

 

04 3

04 03 04 03

68.95

−

− −

=

=

−

=

f

m L h h

m h h h h

α

Dans ce calcul c_p=1.04 kJ/kg K et la valeur de h_3f a été négligée

LHV=44 000 kJ/kg

p₀₂=0.1 MPa T₀₂= 288 K T₀₄= 1200 K ηC= 85%

η_T= 85%

c_p=cnste

04 05

04 05

T 0.9

s

T T

T T

−

= − =

η

(

)

(

)

p m p

m

c T T

c T T

−

= + −

α η α

η

W_C = W_T

05 =873

T K

05^s =836.7

T K

1

04 04

05s 05

T p

T p

γ γ

  −

=  

  p⁰⁵ = 0.283MPa

p

=

c cte

p₀₂= 0.1 MPa T₀₂= 288 K T₀₃ =603.8 K T₀₄= 1200 K

α = 68.95 η_m=98%

η_T=90%

p

=

c cte

06 05

T = T

Sans postcombustion

1

05 05

7s 7

T p

T p

γ γ

  −

=  

 

T

= 648 3 . K

= = .

7 _a

0 1

p p MPa

05 =873

T K p⁰⁵ =0.283MPa

p

=

c cte

Correction due au rendement de la tuyère η_Ty^=0.95

05 7

05 7

Ty

0.95

s

T T T T

η

=

= ^T

^{= 652.8 K}

( )

2

7 05 7

2

u = c T

T ^u

^{= 665 m s /}

p

=

c cte

ma

m f

f a

m +m u7

ua

2 2

( )

2 2

a

a f a

th

u u

m m m

η =  ⁺  q ⁻ 



/ 1 /

a f

m m f

α = =

2

( 1)

2

th

0.35

u LHV

η = α ^{+ ×} =

= 0

=

 

a

f

u

q m LHV

2

(

)

/ 2

th

f

m m u m LHV η =  ⁺ 



p

=

c cte

ma

m f

f a

m +m u7

ua

( ¹ ) ( )

•

 

=

 + −  + −

p j a j a j

F m f u u p p A

/ /

f f a

p p a ps

m m m f

TSFC = F  = F  m  = F

 (1 )

TSFC f

f u u

= + −

1 /

0.0774 ( 1)

cb j

kg heure

TSFC α u N

 

= + =    

[ ] [

]

P R P

s s

s s

K) kJ/(kg

P R P

s s

s s

1 2 u

1 2

1 2

1 2 1

2 1

2

⋅

−

−

=

−

⋅

−

−

=

−

ln ln

ο ο

ο ο

1 2 T

T p 1

2 P

ln P T R

)dT T ( C s

s

2

1

−

=

−

∫

Pour un processus isentropique s₂ – s₁ = 0

1 2 1

o 2

o

P ln P R )

(T s ) (T

s = +

] / ) ( [

] / ) ( [ )

( )

(

R T

s exp

R T

s p ex R

T s T

exp s P

P

1 o

2 o 1

o 2

o

1

2  =



 



 −

=

o

p (T)=exp s (T) / Rr  

Remarque La variable p_rest seulement fonction de la température. Elle n’a pas des unités et, elle n’est pas la pression!

Processus isentropique à c_p variable!

2 2

1 . 1

r s cte r

p p

p ₌ p

 

  =

 

Processus isentropique lorsque c_p , c_v, γ= constantes!

1

2 2

1 1

p T

p T

γ γ

  −

  =

 

2 2

1 . 1

r s cte r

p p

p

p

 

  =

 

o

p (T)=exp s (T) / Rr  

❶

❷

Problème

Un turboréacteur au repos (u_a=0) avec deux turbines opère avec de l’air standard (capacité calorifique variable). Les données sont:

•La température et la pression à l’entrée du compresseur T₀₂=288K (519 R), p₀₂=101.3 kPa (14.7 psia)

•Le rendement du compresseur η_C=87%, les rendements des turbines de génération et de puissance, respectivement, η_TG=89%, et η_TP=89%,

•Le rapport de compression r_p=p₀₃/p₀₂=12 et la température maximale T_max=1400K (2520R)

•Le pouvoir calorifique du combustible LHV=44 000 kJ/kg,. Au besoin, utiliser

̇𝐦𝐦=1 kg/s ou ̇𝐦𝐦= 1lb/s

Calculer les coordonnées thermodynamiques, du cycle(p, T h )et

par la suite le rendement thermique.

02 2

288 / 1.2095

r

h kJ kg

p

=

=

Entrée du compresseur:

À partir de la table, on trouve pour T =288 K

T =288 K

Remarque: Indépendamment des unités dans les tables, la valeur du paramètre p_r(adimensionnel) demeure la même.

Remarque: Les coordonnées h, T, P, etc., sont des quantités totales (d’arrêt), mais l’indice “0” a été éliminé de p_r afin d’alléger la notation

p₀₂= 101.3 kPa T₀₂= 288 K T₀₄= 1400 K

r_p = 12 η_C= 87%

η_T= 89%

03 =1215.6

p kPa

Processusιsentropique

03

02 2

12

= = =

p

r

p

r p p

p

Travail idéal

Travail spécifique du compresseur

03 02 298.4 /

cs s

w = h −h = kJ kg

Travail réel 298.4

342.99 / 0.87

cs cr

c

w w kJ kg

= η = =

2 =1.2095 pr

p 12 r =

p₀₂= 101.3 kPa T₀₂= 288 K h₀₂= 288 kJ/kg T₀₄= 1400 K

r_p = 12 η_C= 87%

η_T= 89%

= .

3 14 51 pr

03 03

03 02

586.4 / 581.1

1215.6

=

=

= × =

s s

p

h kJ kg

T K

p r p kPa

03 = 02 + _cr = 630.99 / →

h h w kJ kg

rp

Valeur réelle connue

04 1400

T = K

04 4

1515.42 / 450.5

r

h kJ kg

p

→ =

=

03 = 623.3

T K

342.99 /

cr =

w kJ kg h02 =288kJ kg/

03 =1215.6

p kPa

04 =1215.6

p kPa

342.99 /

tr cr

w = w = kJ kg

Conditions à la sortie ❺

05 04 _tr

(1515.42 342.99) 1172.49 /

h = h − w = − = kJ kg

5( ) 05

173.3 1113.2

r r

p

T K

=

=

Remarque: la valeur de p_r5(r) correspond à un niveau d’enthalpie réel. Elle a été obtenue d’après une lecture. Aucun processus isentropique n’a été impliqué.

04 =1515.42

h k

Afin de trouver le niveau de pression à la station 5, il faut considérer un processus isentropique entre 4 et 5. Notamment au moyen de la relation

5

p

←

p

→

05 5

04 4

r r

p p

p = p

Puisque p_r4et p₀₄ = p₀₃ sont connues, on doit d’abord trouver le niveau de p_r5 correspondant à ce processus isentropique. Ceci est fait avec l’enthalpie h_05s

342.99

385.38 / 0.89

tr ts

w w kJ kg

= η = =

04 =1215.6

p kPa

4

450.5

p

=

05 04 (1515.42 385.28) / 1129.62 /

s ts

h h w kJ kg

kJ kg

= − = −

=

5( ) 151.3

r s

→ p =

5( ) 5( )

05

05 04

04 4 4

151.3 1215.6

450.5

r s r s

r r

p p

p p p

p p p

 

= → = =    

05

408.26

p = kPa

Processus ιsentropique

Pour trouver le travail produit par la turbine de puissance entre les stations 5 et 6, on cherchera la variation d’enthalpie totale

04 =1515.42

h k w_ts = 385.38kJ kg/

04 4

1215.6 450.5

=

r =

p kPa

p

6 6

05 5( )

r r r

p

p p p =

6_s

800 /

h = kJ kg

5( ) 173.3

r r

p =

6

6 5( )

05

101.3

173.3 43.0

408.26

r r r

p p p

p

   

=     =     =

05

408.26 ,

101.3

p = kPa p = kPa

La pression atmosphérique est une quantité statique, de sorte que l’enthalpie en ce point est aussi statique

Niveau réel à la sortie de la turbine de puissance

05 6

( ) 0.89(1172.43 800) 331.46 /

TPr s TP

w h h

kJ kg

= − = −

=

η

6 ( 05 ) 1172.43 331.46 840.97 /

h h wTPr

kJ kg

= − = −

=

6 817.8

T = K

05 =1172.49 /

h kJ kg ^h_6s = ^{800 kJ kg/ , η}_TP = ^0.89

.

(

) 1515.42 630.99 884.43 / q

= h − h = − = kJ kg

. .

331.46

0.374 884.43

=

= =

th

ch c

w η q

Finalement, le rendement global est

03 = 630.99 /

h kJ kg h₀₄ =1515.42kJ kg/ _{wTPr =331.46 kJ kg/}

La turbine de puissance est remplacée par une tuyère convergente-divergente et les gaz atteignent les conditions atmosphériques à la sortie. Calculez:

•

•

06 05

1172.49 / h = h = kJ kg

7

06 6( )

7

7 6( )

0 7

6

101.3

173.3 43.0

408.26

r r

r r r

p

p p

p p

p p

p

=

   

=     =     =

7_s

800 /

h = kJ kg

7

=

p p

06 05

408.26 p = p = kPa

6( ) 5( )

173.3

r r r r

p = p =

7

101.3

p = kPa