Vers l’infiniment grand et l’infiniment petit

Ce document accompagne la présentation réalisée dans le cadre du Congrès SBPMef Gembloux 2016.

Il peut être reproduit, en tout ou en partie,

uniquement à des fins pédagogiques et ce, pour autant que la source soit citée.

Merci, L’équipe

   

Vers l’infiniment grand et l’infiniment petit

… avec une calculatrice graphique

Bienvenue !

Equipe

Congrès SBPMef 2016

Vers l’infini & calculatrice graphique

Suites et séries

09:10

Fonctions et asymptotes

09:40

09:00 Introduction (calculatrice)

Fonctions et tangentes

10:00

et les conseils avisés de P. Bolly

Allumer la calculatrice

Appuyer sur

I

NTRODUCTION

Sélection du menu

I

NTRODUCTION

appuyer sur le numéro

correspondant

OU

•

se déplacer

avec

^B$N!

•

valider avec l

appuyer sur p

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I

NTRODUCTION

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S ^UITES

ET S ^ÉRIES

Comment affiner le concept

d’infini et de limite de suite

avec la calculatrice ?

S ^{UITES ET SÉRIES} & CALCULATRICE

•

encoder une suite?

•

étudier le comportement d’une suite?

•

trouver un rang à partir duquel …

•

calculer les limites de série?

n

lim

→+∞

2

ⁿ

= +∞

n

lim

→+∞

0,999999999

ⁿ

= 0

n→+∞

lim 1.000000001

ⁿ

= +∞

n→+∞

lim 0.5

ⁱ

i=1

∑

n

^{= 1}

si ε = 10

⁻³ n > 249

⇒ a_n − 0.5 <

ε

Comment affiner le concept d’infini et de limite de suite?

Comment …

1+1 2+1

4

On plie une feuille de 0,1 mm d’épaisseur en deux, en quatre, en huit et ainsi de suite…

Serait-il possible d’atteindre ainsi une épaisseur qui dépasse la distance Terre-Lune ?

Et Terre-Soleil ? Et au-delà?

384 403 km 149 597 910 km

E ^{XERCICE N} °1

E

^{NCODAGE D}

’

^{UNE SUITE}

E ^{XERCICE N} °1

1

¹⁺¹₂ ¹⁺¹₂⁺¹₄

E

^{NCODAGE D}

’

^{UNE SUITE}

n aⁿ

0 0.1 1 0.1*2 2 0.1*4 3 0.1*8

4 …

5 6

• explicite: a _n = 0.1* 2 ⁿ

• implicite: a _{n+ 1} = a _n * 2 a ₀ = 0.1

⎧ ⎨

⎩

En notant la suite des termes représentant l’épaisseur de la feuille après pliages, on définit le terme

général de la suite de manière

a

_n

( )

_n∈!

n

E

^{NCODAGE D}

’

^{UNE SUITE}

E ^{XERCICE N} °1

E

^{NCODAGE D}

’

^{UNE SUITE}

E ^{XERCICE N} °1

On atteint la Lune ^(3,84x10

¹¹

^mm)

après 42 pliages.

On atteint le Soleil ^(1,5x10

¹⁴

^mm)

après 51 pliages.

… peu importe la valeur

recherchée, il y a toujours un indice à partir duquel on est sûr

que les termes de la suite lui seront supérieurs.

E ^{XERCICE N} °1

Et après ?

V

^{ERS UNE DÉFINITION FORMELLE D}

’

^{UNE LIMITE INFINIE}

V

^{ERS UNE DÉFINITION FORMELLE D}

’

^{UNE LIMITE INFINIE}

E ^{XERCICE N} °1

A = 3,84.10

¹¹

: n ≥ 42 ⇒ ^a

_n

> 3,84.10

¹¹

A = 1, 49.10

¹⁴

: n ≥ 51 ⇒ ^a

_n

> 1, 49.10

¹⁴

A

(aussi grand soit-il)

∃ N : n ≥ N ⇒ a

_n

> A

∀ A > 0 ∃ N ∈ ! : n ≥ N ⇒ a

_n

> A

A = 3,84.10

¹¹

: n ≥ 42 ⇒ ^a

_n

> 3,84.10

¹¹

A = 1, 49.10

¹⁴

: n ≥ 51 ⇒ ^a

_n

> 1, 49.10

¹⁴

A

(aussi grand soit-il)

∃ N : n ≥ N ⇒ a

_n

> A

∀ A > 0 ∃ N ∈ ! : n ≥ N ⇒ a

_n

> A

A = 3,84.10

¹¹

: n ≥ 42 ⇒ ^a

_n

> 3,84.10

¹¹

A = 1, 49.10

¹⁴

: n ≥ 51 ⇒ ^a

_n

> 1, 49.10

¹⁴

A

(aussi grand soit-il)

∃ N : n ≥ N ⇒ a

_n

> A

∀ A > 0 ∃ N ∈ ! : n ≥ N ⇒ a

_n

> A

A = 3,84.10

¹¹

: n ≥ 42 ⇒ ^a

_n

> 3,84.10

¹¹

A = 1, 49.10

¹⁴

: n ≥ 51 ⇒ ^a

_n

> 1, 49.10

¹⁴

A

(aussi grand soit-il)

∃ N : n ≥ N ⇒ a

_n

> A

∀ A > 0 ∃ N ∈ ! : n ≥ N ⇒ a

_n

> A

Pour n’importe quelle valeur aussi grande que l’on veut, on peut toujours trouver un indice à partir duquel

on est sûr que tous les termes de la suite la dépasse.

On écrit alors n lim → +∞ a

( )

n

^{= +∞}

E ^{XERCICE N} °2

1

¹⁺¹₂ ¹⁺¹₂⁺¹₄

C

OMPORTEMENT D

’

^{UNE SUITE}

a

_n

= 0,999999999

ⁿ

b

_n

= 1,000000001

ⁿ

Soient deux suites géométriques dont le premier terme vaut 1, l’une est de raison 0.999999999 et l’autre de raison 1.000000001. Pour chacune

d’entre elles,

•

calculer les termes d’indice 1, 2, 3, 100 et

regarder l’allure de la suite. Que conjecturer?

•

calculer les termes d’indice 1, 100, 1000, 10000,

… 10

²⁰

. Que conjecturer?

• explicite

• implicite _a

_n+1

_{= a}

_n

_{⋅ (1 − 10}

⁻⁹

₎

a

₀

= 1

⎧ ⎨

⎩

b

_n+1

= b

_n

⋅ (1 + 10

⁻⁹

) b = 1

⎧ ⎨

⎩

n ∈ !

( )

1

¹⁺¹₂⁺¹₄

C

OMPORTEMENT D

’

^{UNE SUITE}

E ^{XERCICE N} °2

Question n°1: Calculer les termes d’indice 1, 2, 3, 100. Au vu du graphe, que

conjecturer? ^an+1 = a_n ⋅(1−10⁻⁹) et a₀ =1; b_n+1 = b_n ⋅(1+10⁻⁹) et b₀ =1

$

1

¹⁺¹₂⁺¹₄

C

OMPORTEMENT D

’

^{UNE SUITE}

E ^{XERCICE N} °2

Les termes des deux suites semblent rester très proches de 1.

1

¹⁺¹₂⁺¹₄

E ^{XERCICE N} °2

Question n°2:

V

^{ERS L}

’

^{INFINIMENT GRAND ET L}

’

^{INFINIMENT PETIT}

calculer les termes d’indice 1, 100, 1000, 10000, … 10²⁰.

Que conjecturer?

B B

1

¹⁺¹₂⁺¹₄

E ^{XERCICE N} °2

V

^{ERS L}

’

^{INFINIMENT GRAND ET L}

’

^{INFINIMENT PETIT}

p

i q 1 L + f L - l

Les termes de (1,000000001

ⁿ

) peuvent dépasser n’importe quel

nombre, aussi grand soit-il… au point que la calculatrice n’arrive

plus à les afficher.

1

lim ( 1.000000001

ⁿ

) ^{= +∞}

E ^{XERCICE N} °2

Les termes de (0.99999999

ⁿ

) deviennent de plus en plus

petits…au point que la calculatrice ne fait plus la

différence avec 0.

0 est donc une valeur plancher en deçà de laquelle la suite ne

peut descendre.

V

^{ERS L}

’

^{INFINIMENT GRAND ET L}

’

^{INFINIMENT PETIT}

n

2n + 1

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟

_n∈!

0

V

^{ERS UNE DÉFINITION FORMELLE D}

’

^{UNE LIMITE FINIE}

E ^{XERCICE N} °3

Soit la suite

Calculez les termes d’indice 1, 2, 3, 100 et 10 000.

Que peut-on conjecturer?

Pouvons-nous déterminer le plus petit rang à partir duquel …

•

chacun des termes est supérieur à 0,49 et inférieur à 0,51?

•

tous les termes de la suite sont compris dans une bande de demi-largeur 0.001 (ou 1/1000)?

•

l’écart entre chaque terme et 0.5 est inférieur à un millionième?

•

… et pour une valeur aussi petite que l’on veut?

Les termes de la suite

semblent se rapprocher de plus en plus de 0.5 lorsque

l’indice devient grand.

E ^{XERCICE N} °3

Question n°1: Calculez les termes d’indice 1, 2, 3, 100 et 10 000.

Quelle conjecture peut-on effectuer?

V

^{ERS UNE DÉFINITION FORMELLE D}

’

^{UNE LIMITE FINIE}

E ^{XERCICE N} °3

Question n°2: Existe-t-il un rang à partir duquel chacun des termes est supérieur à 0,49 et inférieur à 0,51?

V

^{ERS UNE DÉFINITION FORMELLE D}

’

^{UNE LIMITE FINIE}

E ^{XERCICE N} °3

V

^{ERS UNE DÉFINITION FORMELLE D}

’

^{UNE LIMITE FINIE}

$$$$$$

•

les termes de la suite ne dépassent jamais 0.51.

•

à partir de cet indice, tous les termes de suite restent supérieurs à cette

valeur;

E ^{XERCICE N} °3

•

le 25

^ième

terme est strictement supérieur à 0.49;

a

₂₅

> 0, 49

n ≥ 25 ⇒ a

_n

> 0, 49

∀ n ∈ !

₀

: n ≥ 25 ⇒ 0.49 < a

_n

< 0.51

∀ n ∈ !

₀

: a

_n

< 0,51

V

^{ERS UNE DÉFINITION FORMELLE D}

’

^{UNE LIMITE FINIE}

$$$$$

$$$$$

E ^{XERCICE N} °3

Question n°2: Existe-t-il un rang à partir duquel tous les termes sont compris dans une bande de demi-largeur 0.001 (ou 1/1000) autour de 0.5?

n ≥ 250 ⇒ a ∈ ] 0.499 ; 0.501 [

V

^{ERS UNE DÉFINITION FORMELLE D}

’

^{UNE LIMITE FINIE}

E ^{XERCICE N} °3

Question n°3: Existe-t-il un rang à partir duquel l’écart entre chaque terme et 0.5 est inférieur à un millionième?

n ≥ 250 000 ⇒ a

_n

− 0.5 < 10

⁻⁶

V

^{ERS UNE DÉFINITION FORMELLE D}

’

^{UNE LIMITE FINIE}

1

E ^{XERCICE N} °3

2n+1n

-

¹₂

< e

-1

2(2n+1)

< e

4n+21

< e

4n + 2

>

¹_e

n >

4¹e

-

¹₂

Question n°4: Et pour n’importe quelle valeur, aussi petite que l’on veut, existe-t-il un rang à partir duquel l’écart entre chaque terme et 0.5 est

inférieur à cette valeur?

Pour n’importe quel intervalle centré en 0.5, de longueur aussi petite que l’on veut, on peut trouver un rang au delà duquel

nous sommes sûrs que tous les termes sont dans cet intervalle.

ε = 10

⁻²

: n ≥ 25 ⇒ ^0.49 < a

_n

< 0.51

ε = 10

⁻³

: n ≥ 250 ⇒ a

_n

∈ ]

0.499 ; 0.501

[

ε = 10

⁻⁶

: n ≥ 250 000 ⇒

^a_n ^{− 0.5}

< 10

⁻⁶

ε ∃ ? n

_ε

: n ≥ n

_ε

⇒

^a_n ^{− 0.5}

< ε

n ≥ n

_ε

>

₄¹_ε

−

¹₂

V

^{ERS UNE DÉFINITION FORMELLE D}

’

^{UNE LIMITE FINIE}

ε = 10

⁻²

: n ≥ 25 ⇒ ^0.49 < a

_n

< 0.51

ε = 10

⁻³

: n ≥ 250 ⇒ a

_n

∈ ]

0.499 ; 0.501

[

ε = 10

⁻⁶

: n ≥ 250 000 ⇒

^a_n ^{− 0.5}

< 10

⁻⁶

ε ∃ ? n

_ε

: n ≥ n

_ε

⇒

^a_n ^{− 0.5}

< ε

ε = 10

⁻²

: n ≥ 25 ⇒ ^0.49 < a

_n

< 0.51

ε = 10

⁻³

: n ≥ 250 ⇒ a

_n

∈ ]

0.499 ; 0.501

[

ε = 10

⁻⁶

: n ≥ 250 000 ⇒

^a_n ^{− 0.5}

< 10

⁻⁶

ε ∃ ? n

_ε

: n ≥ n

_ε

⇒

^a_n ^{− 0.5}

< ε

ε = 10

⁻²

: n ≥ 25 ⇒ ^0.49 < a

_n

< 0.51

ε = 10

⁻³

: n ≥ 250 ⇒ a

_n

∈ ]

0.499 ; 0.501

[

ε = 10

⁻⁶

: n ≥ 250 000 ⇒

^a_n ^{− 0.5}

< 10

⁻⁶

ε > 0 ∃? n

_ε

: n ≥ n

_ε

⇒

^a_n ^{− 0.5}

< ε

D

^{ÉFINITION FORMELLE D}

’

^{UNE LIMITE FINIE}

E ^{XERCICE N} °3

A est limite d’une suite (a

n

) ^si

n→+∞

lim ( ) a

_n

^{= A ⇔}

^déf

∀ ε > 0, ∃ n

_ε

∈ ! tel que ∀ n ∈ ! :

n ≥ n

_ε

⇒ a

_n

− A ^< ε

A − ε < a

_n

< A + ε

a

_n

∈ _⎤⎦ A − ε ^; A + ε _⎡⎣

pour n’importe quel intervalle ouvert centré en A ^,

de (demi-)longueur aussi petite que l’on veut, on peut trouver un rang au delà duquel tous les

termes de la suite appartiennent à cet intervalle.

ou

ou

E

^{TUDE D}

’

^{UNE SÉRIE}

1

1 2+1

4+1

8+...=? 1

2

1 4

1 8

1+1

2 1+1

2+1 4

E ^{XERCICE N} °4

en terme de longueur

n→+∞

lim 2

⁻ⁿ

i=1

∑

n

^{= 1}

E

^{TUDE D}

’

^{UNE SÉRIE} Méthode n°1

E ^{XERCICE N} °4

p N l

1 2+ 1

4+ 1

8 +...=?

E

^{TUDE D}

’

^{UNE SÉRIE}

La somme des termes de la suite est tellement proche de

1 que la calculatrice ne voit plus la différence.

1

2 + 1

4 + 1

8 + ... = lim

n→+∞

2

⁻ⁱ

i=1

∑

n

^{= 1}

E ^{XERCICE N} °4

Méthode n°1

E

^{TUDE D}

’

^{UNE SÉRIE}

en terme d’aire

2 1

1 ¹⁺ ₂ ¹

E ^{XERCICE N} °4 ^BIS

1+ 1

2 + 1 4

n→+∞

lim 2

⁻ⁿ

i=0

∑

n

^{= 2}

E

^{TUDE D}

’

^{UNE SÉRIE}

E ^{XERCICE N} °4

1

La somme des termes de la suite est tellement proche de 2 que la calculatrice ne voit plus la différence.

Méthode n°2

1+ 1

2 + 1

4 + ... =?

B B B

F ^ONCTIONS

ET A ^SYMPTOTES

Comment affiner le concept d’asymptote avec la

calculatrice ?

F ^ONCTIONS , ^ASYMPTOTES & CALCULATRICE

•

voyager sur le graphe de la fonction?

•

étudier le comportement d’une fonction ?

•

conjecturer l’existence d’asymptotes ?

•

approcher une valeur par la gauche ou par la droite?

•

étudier une fonction rationnelle à paramètres ?

•

zoomer et dézoomer quelques graphes bien choisis ?

Comment affiner le concept d’asymptote?

Comment …

1+1 2+1

4

E ^{XERCICE N} °1

F

^ONCTIONS

,

^ASYMPTOTES

&

CALCULATRICE

Relation de conjugaison: _d¹

f

=

_d¹

o

+

_d¹

i

On avance et recule une bougie devant un « 50 mm » (appareil photo muni d’une lentille de 50 mm de focale).

1. Construisez une formule qui exprime où positionner la lentille pour que l’image soit nette.

2. Quand l’objet se situe à 30 cm de la lentille, à quelle distance se trouve la lentille par rapport au capteur? Et quand il s’éloigne de plus en plus?

3. Et quand l’objet se rapproche de plus en plus près de l’objectif?

La conception d’un appareil photo est basée sur les propriétés des lentilles:

• les rayons qui passent par le centre de la lentille ne sont pas déviés;

• les rayons qui viennent de l’infini (parallèles à l’axe de la lentille) se coupent au foyer.

La mise au point se fait en approchant ou en éloignant la lentille de la pellicule (ou du capteur).

L’image devient nette quand la « relation de conjugaison » de

Descartes est vérifiée.

1+1 2+1

4

E ^{XERCICE N} °1

Question n°1: Exprimez la distance de mise au point (plan focal) en fonction de la distance objet-lentille.

d 1

_f

= _d ¹

_o

+ _d ¹

_i

50 1 = ^{1 x} + ^{1 y}

1 y = ₅₀ ¹ - ¹ x 1 y = ^x-50 _50x

y = x-50 ^50x

Dans cet énoncé, la distance focale et le plan image sont fixes, seule la position de la lentille est variable. Notons y la distance de mise au point et x la distance de l’objet à la lentille.

F

^ONCTIONS

,

^ASYMPTOTES

&

CALCULATRICE

p N l

1+1 2+1

4

C

^{OMMENT VOYAGER SUR LE GRAPHE DE LA FONCTION}

? E ^{XERCICE N} °1

Question n°2: Quand un objet se situe à 30 cm (300 mm) de la lentille, à quelle distance de la pellicule se trouve la lentille? Et quand il s’éloigne de plus en plus?

1+1 2+1

4

C

^{OMMENT VOYAGER SUR LE GRAPHE DE LA FONCTION}

?

Le graphe de la fonction tend à se comporter comme une droite à partir

E ^{XERCICE N} °1

1+1 2+1

4

Quelle que soit la fenêtre, la droite y=50 et le graphe de la fonction tendent à se confondre à partir d’une certaine borne, et pour toutes les abscisses qui suivent.

Quand l’objet est à l’infini, l’image se forme à la

distance focale (50 mm).

C

^OMMENT CONJECTURER L

’

^{ÉQUATION D}

’

^{UNE ASYMPTOTE}

? E ^{XERCICE N} °1

1+1 2+1

4

C

^OMMENT CONJECTURER L

’

^{ÉQUATION D}

’

^{UNE ASYMPTOTE}

? E ^{XERCICE N} °1

1+1 2+1

4

C

^{OMMENT APPROCHER UNE VALEUR PAR LA DROITE}

?

Question n°3: Et quand l’objet se rapproche de plus en plus près de l’objectif?

E ^{XERCICE N} °1

1+1 2+1

4

C

^{OMMENT APPROCHER UNE VALEUR PAR LA DROITE}

?

Lp

d

E ^{XERCICE N} °1

p N l

Quand l’objet est à une distance de la lentille < 50 mm, l’image ne se forme pas du côté du capteur.

L’image virtuelle est située de l’autre côté.

Quand on rapproche l’objet de la lentille, l’image se forme de plus en plus loin.

C

OMMENT APPROCHER UNE VALEUR PAR LA DROITE

/

GAUCHE

?

Lpd d

E ^{XERCICE N} °1

C

^{OMMENT ÉTUDIER DES FAMILLES DE FONCTIONS}

Lp

E ^{XERCICE N} °2

p N l

une droite verticale

correspondant aux racines du dénominateur

Blabla … Blabla …

Une ligne droite qui

s'approche indéfiniment d'une courbe, sans pouvoir jamais la

toucher

une asymptote ne peut pas traverser le graphe une droite qui ne

traverse jamais le graphe de la fonction

Qu’est-ce qu’une asymptote?

C

^{OMMENT AFFINER LE CONCEPT D}

’

^ASYMPTOTE

?

Qu’est-ce qu’une asymptote?

E ^{XERCICE N} °3

1+1 2+1

4

C

^{OMMENT AFFINER LE CONCEPT D}

’

^ASYMPTOTE

?

f ( x ) = 1 x f ( x ) = 2

f ( x ) = sin x

f ( x ) = sin x

x f ( x ) = sin 1 x

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟

f ( x ) = tan 1 x

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟

f ( x ) = tan ( ) x

f ( x ) = x

²

− 1 x − 2

f ( x ) = 2 x + 1

f ( x ) = 2 x + 1 + 1 x − 1 f ( x ) = x − 2

x

²

− 4 f ( x ) = x − 2

x + 1

f ( x ) = x

²

− 5 x + 1 f ( x ) =

³

x

³

− x + 1

E ^{XERCICE N} °3

f ( x ) = x + sin x f ( x ) = x + sin x

x

C

^{OMMENT AFFINER LE CONCEPT D}

’

^ASYMPTOTE

?

En « dézoomant » suffisamment, la droite y=x et le graphe de la fonction tendent à se

confondre aux extrémités de la fenêtre.

En « dézoomant » suffisamment, la droite x=3 et le graphe de Y1 et Y2 tendent à

se confondre quand l’abscisse se rapproche de 3 par la gauche ou par la

droite.

L’asymptote peut traverser le graphe

x

³

− 3x + 2

x

²

− 9 = x + 6 x + 2 x

²

− 9

E ^{XERCICE N} °3

C

^{OMMENT AFFINER LE CONCEPT D}

’

^ASYMPTOTE

?

En « dézoomant » suffisamment, l’axe des abscisses et le graphe de la fonction

0 est racine du

dénominateur et pourtant il n’y pas d’asymptote en 0

E ^{XERCICE N} °3

C

^{OMMENT AFFINER LE CONCEPT D}

’

^ASYMPTOTE

?

^x

2

+ 5 x + 1

= ( x +

⁵₂

)

²

−

²¹₄

En « dézoomant » suffisamment, les deux graphes se confondent aux extrémités de

la fenêtre.

Il

peut y avoir deux asymptotes obliques

différentes

E ^{XERCICE N} °3

C

^{OMMENT AFFINER LE CONCEPT D}

’

^ASYMPTOTE

?

Un graphe peut avoir une infinité

d’asymptotes verticales et pourtant admettre une

asymptote horizontale

En « dézoomant » suffisamment, l’axe des

abscisses et le graphe se confondent aux

extrémités de la fenêtre.

En « zoomant » suffisamment, le graphe de la fonction

et la droite x=2/PI

E ^{XERCICE N} °3

CE : x ≠ 0 et 1

x ≠ (2 k + 1) π

2 ( k ∈! )

F ^ONCTIONS

ET T ^ANGENTES

Comment affiner le concept de tangente avec la

calculatrice ?

•

zoomer de plus en plus jusqu’à ne plus voir qu’une droite ?

•

approcher la valeur d’une

pente de tangente en modifiant le quadrillage?

•

créer une fonction qui calcule des pentes?

•

tracer la tangente à un graphe

Affiner la notion de tangente

à partir de la fonction

F ^ONCTIONS , ^TANGENTES & CALCULATRICE

f ( x ) = x

³

− x

Comment …

En « zoomant »sur l’origine suffisamment, la droite y=-x et le graphe de la fonction tendent à se confondre sur l’ensemble de

la fenêtre.

C

^{OMMENT AFFINER LA} COMPRÉHENSION DE LA NOTION DE TANGENTE

?

Approche n°1: Zoomez sur l’origine de plus en plus. Que constatez-vous?

C

^OMMENT CONJECTURER LA PENTE D

’

^{UNE TANGENTE}

?

Approche n°2: Conjecturez en zoomant avec un facteur 100 la pente de la

tangente au graphe en x=1

Lp

Le

C

^OMMENT CONJECTURER LA PENTE D

’

^{UNE TANGENTE}

?

a ! Δy

Δ x = y

₁

( x ) − y

₁

(1) x − 1

Puisque le graphe se comporte comme une droite localement, on peut calculer cette pente avec les valeurs des abscisses et ordonnées de deux points.

En « zoomant » suffisamment sur la portion du graphe où se trouve le

point, on peut approcher

raisonnablement la pente de la droite en prenant les valeurs de deux points

sur la fenêtre.

p 1

o

C

^OMMENT CONJECTURER LA PENTE D

’

^{UNE TANGENTE}

?

Approche n°3: Conjecturez la pente de la tangente de x= 1 pour des abscisses de plus en plus proches de 1.

p 2

p

Lp

C

^{OMMENT TRACER UNE TANGENTE ET AVOIR SON ÉQUATION}

?

Lp

d

Utile à savoir

Vers l’infiniment grand et l’infiniment petit

… avec une calculatrice graphique

Merci !

Equipe

Congrès SBPMef 2016