Devoirs

Exercice 1 : des suites

Partie A Etude de l’évolution d’une population

Un pays possède, en 1 800, une population de 20 millions d’habitants soit 20 000 milliers.

Pour tout entier naturel n, on note u_n la population de ce pays, en milliers, l’année 1800n. On a donc u₀ 20 000.

Au regard des années précédentes, Malthus émet l’hypothèse qu’à partir de l’année 1 800 la population de ce pays va augmenter de 1% par an.

1. Justifier que u₁ 20 200.

2. Préciser la nature de la suite

 

un . En déduire l’expression de u_n en fonction de n.

3. Calculer la population obtenue en 1 900 selon ce modèle.

Arrondir le résultat au million d’habitants.

Partie B. Etude de l’évolution de la production de denrées alimentaires

Malthus constate qu’en 1 800 ce pays peut nourrir une population de 25 millions d’habitants.

Pour tout entier naturel n, on note v_n le nombre de personnes, en milliers, que peut nourrir ce pays en l’année 1800n. On a donc v₀ 25 000.

Malthus fait l’hypothèse que, grâce au progrès technique, chaque année le pays peut nourrir 10 000 personnes supplémentaires.

1. Justifier que v₁ 25 010.

2. Préciser la nature de la suite

 

vn . En déduire l’expression de v_n en fonction de n.

3. Combien de personnes peuvent être nourries en 1 900 selon ce modèle ? Que remarque-t-on ?

Partie C. Etude conjointe des deux suites

Dans le tableau ci-contre les termes de la suite

 

un sont arrondis au dixième.

1. Quelles formules placer dans les cellules C3 et D3 pour obtenir, par recopie vers le bas, les valeurs successives de u_n et v_n ?

2. Selon les modèles de Malthus, à partir de quelle année ce pays ne serait plus en capacité de nourrir l’ensemble de sa population ?

Exercice 2 : des taux d’évolution moyens

En 2008, les dirigeants du G8 se sont engagés à réduire les émissions de gaz à effet de serre de leur pays d’au moins 50% d’ici 2050.

On note t% le taux moyen annuel de réduction nécessaire pour atteindre cet objectif.

1. a. Justifier que

42

1 0,5

100

  t  

 

  .

TES2 AP : Suites Taux d’évolution moyen

b. Résoudre cette inéquation et interpréter le résultat obtenu.

2. En 2008, l’Union européenne s’est engagée à réduire globalement ses émissions de gaz à effet de serre de 20% d’ici 2020.

a. Calculer le taux moyen de baisse annuel nécessaire pour atteindre cet objectif.

b. Cet objectif intermédiaire est-il compatible avec l’objectif final pour 2050 ?

Exercice 1 : des suites

Partie A Etude de l’évolution d’une population

Un pays possède, en 1 800, une population de 20 millions d’habitants soit 20 000 milliers.

Pour tout entier naturel n, on note u_n la population de ce pays, en milliers, l’année 1800n. On a donc u₀ 20 000.

Au regard des années précédentes, Malthus émet l’hypothèse qu’à partir de l’année 1 800 la population de ce pays va augmenter de 1% par an.

1. Justifier que u₁ 20 200.

Augmenter une quantité de 1% revient à la multiplier par 1,01 donc u₁1, 01 20 000 20 200. 2. Préciser la nature de la suite

 

un . En déduire l’expression de u_n en fonction de n.

Chaque année l’augmentation est de 1% pour tout entier naturel n, u_n11, 01u_n donc la suite

 

un est une suite géométrique de raison 1,01 et de premier terme u₀ 20 000.

On a donc, pour tout entier naturel n, u_n 20 000 1, 01 ⁿ. 3. Calculer la population obtenue en 1 900 selon ce modèle.

Arrondir le résultat au million d’habitants.

Le rang de l’année 1 900 est 100, u₁₀₀ 20 000 1, 01 ¹⁰⁰ soit u₁₀₀ 54 096, 27659.

Donc on peut estimer avec ce modèle que la population de ce pays atteindra 54 millions d’habitants.

Partie B. Etude de l’évolution de la production de denrées alimentaires

Malthus constate qu’en 1 800 ce pays peut nourrir une population de 25 millions d’habitants.

Pour tout entier naturel n, on note v_n le nombre de personnes, en milliers, que peut nourrir ce pays en l’année 1800n. On a donc v₀ 25 000.

Malthus fait l’hypothèse que, grâce au progrès technique, chaque année le pays peut nourrir 10 000 personnes supplémentaires.

1. Justifier que v₁25 010.

Chaque année le pays peut nourrir 10 000 personnes supplémentaires donc v₁25 000 10 25 010. 2. Préciser la nature de la suite

 

vn . En déduire l’expression de v_n en fonction de n.

On a, pour tout n entier naturel, v_n1v_n10 donc la suite

 

vn est une suite arithmétique de raison 10 et de premier terme v₀ 25 000. Donc, pour tout entier naturel n, v_n 25 000 10 n.

3. Combien de personnes peuvent être nourries en 1 900 selon ce modèle ? Que remarque-t-on ? Le rang de l’année 1 900 est 100,

100 25 000 10 100 25 000 1 000 26 000

v       . Donc en 1900, le pays

pourra nourrir 26 millions de personnes.

Ce nombre est très inférieur à la population que ce pays aurait en 1900.

Depuis un certain nombre d’années ce pays ne serait plus en mesure de nourrir sa population.

Partie C. Etude conjointe des deux suites

Dans le tableau ci-contre les termes de la suite

 

un sont arrondis au dixième.

1. Quelles formules placer dans les cellules C3 et D3 pour obtenir, par recopie vers le bas, les valeurs successives de u_n et v_n ?

En C3 : =C2*1,01 En D3 : =D2+10

TES2 AP : Corrigé

2. Selon les modèles de Malthus, à partir de quelle année ce pays ne serait plus en capacité de nourrir l’ensemble de sa population ?

On constate qu’à partir du rang 24, v_n u_n. Donc, à partir de 1824, ce pays ne serait plus en mesure de nourrir l’ensemble de la population.

Exercice 2 : des taux d’évolution moyens

En 2008, les dirigeants du G8 se sont engagés à réduire les émissions de gaz à effet de serre de leur pays d’au moins 50% d’ici 2050.

On note t% le taux moyen annuel de réduction nécessaire pour atteindre cet objectif.

1. a. Justifier que

42

1 0,5

100

  t  

 

  .

Réduire une quantité de t% revient à la multiplier par 1 100

 t , donc si la baisse de t% a lieu chaque année de

2008 à 2050, la quantité sera multipliée 42 fois par 1 100

 t soit par

42

1 100

  t 

 

  . Si on veut que la réduction soit d’au moins 50%, il faut que les émissions de gaz à effet de serre en 2050 soit inférieures à la moitié de ces émissions en 2008. On a donc bien

42

1 0,5

100

  t  

 

  .

Avec la calculatrice, donc il faut une baisse moyenne d’au moins 1,64% par an pour que les émissions de gaz à effet de serre diminue d’au moins 50% d’ici 2050.

b. Résoudre cette inéquation et interpréter le résultat obtenu.

 

 

 

 ⁴²¹  100 1 0,5 1, 637

 

 

       

   

 

      

 

 

      

 

t t

t t

t t

1 0, 5 100 1 0, 5

100

1 0, 5 1 0, 5

100 100

1 0, 5 1 0, 5

100 100

1 42 42

1 42 42

1 42 42

2. En 2008, l’Union européenne s’est engagée à réduire globalement ses émissions de gaz à effet de serre de 20% d’ici 2020.

a. Calculer le taux moyen de baisse annuel nécessaire pour atteindre cet objectif.

Soit t% le taux moyen de baisse annuel, pour atteindre une baisse 20% d’ici 2020 c'est-à-dire en 12 ans, on doit avoir

12

1 0,8

100

  t  

 

  soit

1

1 0,8¹² 100

 t  c'est-à-dire

1

t 100 1 0,8 ¹²

   

 .

Le taux moyen annuel nécessaire pour atteindre une baisse de 20% d’ici 2020 est donc d’environ 1,84%.

b. Cet objectif intermédiaire est-il compatible avec l’objectif final pour 2050 ?

Cet objectif intermédiaire est compatible avec l’objectif final car le taux annuel moyen de baisse est supérieur à 1,64%.