Manga (Dans ‘les grands enseignements’) « Renvoyer à la conscience est souvent la réponse la plus sage quand la volonté est perverse »
EXERCICE 1: Probabilités: (7pts)
I) Un sac contient 8 jetons indiscernables au toucher dont 5 jetons de couleur noire. On tire simultanément 6 jetons du sac.
1) Calculer la probabilité d’avoir exactement trois jetons noirs.
2) On remet les jetons tirés dans le sac, puis on recommence le tirage simultané de 6jetons. En refaisant un tel tirage 10 fois de suite; calculer la probabilité d’avoir obtenu 6 fois «trois jetons noirs exactement».
3) On effectue maintenant cette épreuve
n
fois de suite. Calculer la probabilité Pn de l’événement E:«obtenir au moins une fois trois jetons de couleur noire»4) Déterminer le nombre minimum de fois de répéter ce tirage de 6 jetons pour que la probabilité de E soit au moins égale à 0,95.
5) On considère l’épreuve qui consiste à extraire au hasard, l’une après l’autre et sans remise deux jetons du sac.
a) Déterminer la loi de probabilité de l’événement F: «le premier jetons tiré est noir».
b) On répète cinq fois de suite l’épreuve précédente; après chaque épreuve, les deux jetons tirés sont remis dans le sac. Les cinq épreuves élémentaires sont donc indépendantes. On désigne par X la variable aléatoire qui à chaque partie de cinq épreuves associe le nombre de fois que se produit l’événement F.
i) Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale; préciser les paramètres de cette loi.
ii) Calculer la probabilité de l’événement G:«F se produit exactement deux fois» EXERCICE 2 : Nombres complexes et géométrie: (5pts)
Le plan est rapporté à un repère orthonormé (𝑂; 𝑢⃗ , 𝑣 ). On prendra pour unité graphique 1cm. On considère la transformation
𝑠
du plan qui à tout point 𝑀 d’affixe 𝑧, associe le point 𝑀′ daffixe 𝑧′ tel que: 𝑧′= −(√3 + 𝑖)𝑧 − 1 + 𝑖 (1 + √3).1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de
𝑠
. (On notera A le centre de cette transformation) 0,75pt2. Soit 𝑀0 le point d’affixe 𝑧0 = √34 +34𝑖. Calculer 𝐴𝑀0. En déduire une mesure en radian de l’angle (𝑢⃗ , 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )0 . 0,75pt
3. On considère la suite de points (𝑀𝑛) 𝑛 ≥ 0 définie pour tout entier naturel 𝑛; 𝑓(𝑀𝑛) = 𝑀𝑛+1.On note par 𝑧𝑛 l’affixe du point 𝑀𝑛.
a. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel 𝑛, l’égalité 𝑧𝑛 = 2𝑛𝑒𝑖𝑛7𝜋6(𝑧0− 𝑖).0,75pt b. Pour tout entier naturel, calculer 𝐴𝑀𝑛, puis déterminer le plus petit entier naturel 𝑛 tel que 𝐴𝑀𝑛 ≥
102. 0,75pt
4a. Soit (∆) l’ensemble des points 𝑀 du plan d’affixe 𝑧 tel que 𝐼𝑚(𝑧) = 1 𝑒𝑡 𝑅𝑒(𝑧) ≥ 0.
Caractériser géométriquement (∆) 𝑒𝑡 le représenter. Déterminer l’ensemble dentiers naturels 𝑛 tel que 𝑀𝑛 appartenant à la demi-droite d’origine A dirigé par le vecteur 𝑢⃗⃗⃗ . Préciser son plus petit élément. 1pt
LYCEE DE NYAMBAKA
Département de Mathématiques
Examen: Séquence N°5 Session: 2018/2019 Épreuve: Mathématiques
Classe:
TleD
Durée: 4h Coefficient: 42 PROBLEME: [𝟗 𝒑𝒐𝒊𝒏𝒕𝒔]
On considère les fonctions f et g de IR vers IR définies respectivement par: 1 2
)
(x ex
f ; g(x)1ex2.
On désigne respectivement par
Cf et
Cg les représentations graphiques de f et celle de g dans le plan muni d’un repère orthonormé (O, I , J).1) a) étudier les variations des fonctions f et g.
b) Démontrer que
Cf et
Cg possèdent en commun un unique point A. Préciser les tangentes à
Cfet à
Cg au point A.c) Démontrer que
Cf et
Cg sont symétriques par rapport à la droite (D) d’équation x = 2.d) Etudier la position de
Cf par rapport à la droite
d’équations y = x.e) Construire
Cf et
Cg .2) Calculer l’aire de l’ensemble des points M(x,y) du plan tels que:
)) ( );
( min(
1
3 1
x g x f y
x
min(a; b) désigne le plus petit des deux nombres n réels a et b.
3)a) Démontrer que f est une bijection de IR sur un ensemble que l’on précisera.
b) Donner les caractéristiques de sa bijection réciproque f 1. c) Donner une formule explicite de f1.
d) Représenter graphiquement f1.
4) Résoudre dans IR l’équation: ln(x-1) = -1 +𝑒𝑥−2
Examinateur: Alex Manga
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