Tests d’ajustement et intervalles de confiance Proportion, moyenne (variance)
Exercice 1. Pour un certain type de graines, un semencier garantit une germination de 80%.
Dans un sac de 𝑛𝑛 = 300 graines, on note 𝑃𝑃𝑛𝑛 la proportion aléatoire de graines qui vont germer.
1. Quelle est la loi de 𝑃𝑃𝑛𝑛 ?
2. Calculer la probabilité : ℙ(75% ≤ 𝑃𝑃𝑛𝑛≤ 85%).
3. On suppose le taux germination d’un sac acheté au semencier est de 75%. Au niveau 5%, peut-on confirmer les dires du semencier?
Exercice 2. La fièvre catarrhale du mouton ou maladie de la langue bleue est une maladie virale non contagieuse qui touche les ovins et les bovins et qui se transmet par certains insectes piqueurs. Elle n’est pas transmissible à l’homme.
En Corse en 2010, la maladie de la langue bleue a touché 19% des moutons. Des tests effectués en 2015 sur un échantillon de 253 ovins a révélé que 35 d’entre eux sont malades.
Au niveau de risque de 5%, peut-on affirmer que la proportion de moutons malades a diminué ?
Exercice 3. 1. On a dosé le taux de cholestérol en 𝑐𝑐𝑐𝑐/𝑙𝑙 pour un groupe de 300 personnes bien portantes et on a obtenu la répartition suivante :
Classes [80;120[ [120;160[ [160;200[ [200;240[ [240;280[ [280;320[ [320;360[ Total
Effectifs 7 54 110 72 46 8 3 300
a. Calculer la moyenne et l’écart type de l’échantillon.
b. Donner une estimation de la moyenne globale 𝜇𝜇 de toute la population pour une confiance de 95%.
2. Un laboratoire a effectué des analyses du taux de cholestérol pour un groupe de 33 personnes de plus de 60 ans. La moyenne obtenue est de 217,5 𝑐𝑐𝑐𝑐/𝑙𝑙 et l’écart type de 49,5 𝑐𝑐𝑐𝑐/𝑙𝑙. Pour un risque d’erreur de 5%, tester si la moyenne de cet échantillon est significativement supérieure à la valeur théorique 𝜇𝜇0= 200 𝑐𝑐𝑐𝑐/𝑙𝑙.
Exercice 4. Sur une parcelle de soja, on a mesuré la hauteur H en cm de 100 plantes à l’âge de six semaines. Voici les résultats :
H en cm ]31; 33] ]33; 35] ]35; 37] ]37; 39] ]39; 41] ]41; 43]
Effectifs 6 11 26 32 14 11
1. Calculer la moyenne et l’écart type de l’échantillon.
2. Donner un intervalle de confiance de la hauteur moyenne 𝜇𝜇 d’un plan de soja à six semaines pour une confiance de 90%.
Exercice 5. On a observé la taille à 10 ans de 25 enfants nés très prématurément. On a obtenu une moyenne et un écart type :
𝑚𝑚 = 131 𝑐𝑐𝑚𝑚 𝑠𝑠 = 7, 3 𝑐𝑐𝑚𝑚.
1. Donner les intervalles de confiance à 95% de la taille moyenne (et de l’écart type des tailles) à 10 ans des enfants né très prématurément (on admet la normalité des tailles).
2. La taille moyenne d’un enfant de 10 ans est 𝜇𝜇0 = 134 𝑐𝑐𝑚𝑚. Au risque de 5%, peut-on affirmer qu’un enfant né très prématurément a une taille à 10 ans qui est plus faible que cette moyenne?
Exercice 6. On a mesuré le rendement du vignoble de 150 parcelles prises au hasard sur la côte bourguignonne. Voici les résultats donnant le nombre de parcelle par classe de volume de vin (en hl/ha) :
1. Calculer la moyenne et l’écart type de l’échantillon.
2. Donner un intervalle de confiance du volume moyen 𝜇𝜇 de vin à l’hectare pour une confiance de 95%.
3. (Donner un intervalle de confiance de l’écart type σ du volume de vin à l’hectare pour une confiance de 95%.)
Exercice 7. Voici les poids en mg de 20 cocons d’une race de bombyx, choisis au hasard : 59 65 70 61 64 75 80 66 68 72 85 83 69 74 63 59 67 58 71 78 1. Calculer le poids moyen 𝑚𝑚 et l’écart type 𝑠𝑠 de l’échantillon.
2. On admet la normalité de la répartition des poids. On désigne par 𝜇𝜇 et 𝜎𝜎 la moyenne et l’écart type théoriques de la population des cocons.
a. Avec un risque d’erreur de 5%, donner une estimation de 𝜇𝜇 par intervalle de confiance.
b. (Avec un risque d’erreur de 5%, donner une estimation de 𝜎𝜎 par intervalle de confiance.)
Volume en hl/ha effectifs [25 ; 35[ 2 [35 ; 45[ 7 [45 ; 55[ 17 [55 ; 65[ 34 [65 ; 75[ 41 [75 ; 85[ 38 [95 ; 95] 11
