II. É TUDE D ’ UN CRASH TEST

Conseils :

• Ce devoir comporte deux exercices.

• Le correcteur tiendra compte de la présentation (soin apporté aux schémas) et de la ré- daction de votre copie : justifiez rapidement vos affirmations, donnez la valeur littérale simplifiée des résultats en fonction des données de l’énoncé,vérifiez l’homogénéité et la cohérence(tout résultat non homogène sera sanctionné).

Les résultats NON ENCADRÉS ne seront pas notés. Laissez une marge à gauche pour le correcteur.

• Numérotez les questions et ajoutez le label de la marge Q1, etc.

• L’usage descalculatrices est autorisé.

I. C AVITATION

Sous l’effet d’une baisse de pression brutale, des bulles de gaz peuvent se former dans l’eau : ce phénomène appelé cavitation est particulièrement important au voisinage des hélices de navires ou dans les centrales hydrauliques et provoque une forte érosion.

Àt = 0, une bulle de gaz sphérique se forme dans un volume d’eau supposé infini. On noteµ la masse volumique de l’eau,p∞la pression loin de la bulle eta₀le rayon initial de la bulle.

1. Une pressionpexercée sur une surfaceS entraine une forceF = pS. En déduire la dimen- Q1

sion d’une pression.

2. Montrer que la dimension d’une pression est la même que celle d’une énergie volumique Q2

(énergie par unité de volume).

3. On admet que le temps d’implosion T de la bulle (temps pour que la bulle disparaisse) Q3

s’exprime sous la forme :

T =ka^α₀µ^βp^γ∞

oùkest une constante sans dimension etα, β, γ des réels.

Trouver leur valeur par analyse dimensionnelle.

Lycée Poincaré – Nancy Page 1/3 9 septembre 2020, durée 1 h

II. É TUDE D ’ UN CRASH TEST

On s’intéresse dans ce problème à un crash-test de voiture, et l’on cherche à évaluer les forces et les accélérations mises en jeu sur le corps humain lors d’un accident.

Il existe différents types de crash-tests (frontal, latéral etc...). Pour notre étude mécanique, nous considérerons que la voiture entre en collision avec un mur infiniment rigide (ce qui permet aussi de modéliser un choc frontal entre deux voitures de gabarits comparables). On notera~v0le vecteur vitesse juste avant la collision etv0 = 64km/h sa norme.

FIGURE 1 – Un véhicule avant et après un crash-test.

Le système étudié, supposé indéformable, sera le conducteur de massem = 80kg. La réaction de la voiture sera modélisée par deux forces : une force verticale, notéeR, s’opposant au poids et~ une force horizontale, notéeF~, qui résulte essentiellement de l’action de la ceinture de sécurité sur le conducteur lors du choc. On supposera que le mouvement du système est purement horizontal.

La force F~ est de norme inconnue, supposée constante, et on souhaite estimer la valeur de F =kF~kà l’aide des photographies ci-dessus.

Le référentiel terrestre choisi pour cette étude a pour origineO le centre de gravité du conduc- teur au début de la collision. On choisira l’axeOxhorizontal dirigé et orienté comme le vecteur vitesse initial~v0, l’axeOz vertical vers le haut, et l’axe Oy perpendiculaire aux deux précédents.

L’instant initialt = 0correpond au début du choc : la voiture entre en contact avec le mur. On prendra pour l’intensité de la pesanteur la valeurg = 9,8m/s².

➢ Faire un schéma sur lequel vous représenterez le système, les forces qu’il subit, ainsi que sa Q4

vitesse initiale.

➢ Montrer (en détaillant le raisonnement) que le vecteur accélération~apeut s’exprimer sous Q5

la forme :~a= −F m ~ex.

➢ En déduire l’expression devx(t), la projection de la vitesse selonxen fonction du temps.

Q6

➢ Déterminer l’expression dex(t).

Q7

➢ Déduire des questions précédentes le tempsτ nécessaire au système pour s’arrêter complè- Q8

tement, en fonction des données du problèmev0, F, m, . . ..

➢ Exprimer alors la distance d’arrêtdque le système parcourt lors du choc.

Q9

➢ La voiture représentée sur la photographie figure 1 page 2 a pour dimensions, d’après son constructeur :3,58m de long,1,63m de large et1,49m de haut. Estimer la valeur numérique Q10

dedà l’aide des photographies. Expliquer en détail la démarche suivie.

Lycée Poincaré – Nancy Page 2/3 9 septembre 2020, durée 1 h

➢ Déduire des questions précédentes l’expression de F en fonction dem, v0 et d. Faire l’ap- Q11

plication numérique. Quelle serait la masse¹ dont le poids aurait la même intensité que F~?

➢ Déterminer l’accélération subie par le conducteur lors du choc. Comparer avec le record Q12

d’accélération auquel s’est volontairement soumis le médecin John Stapp²:453m/s².

➢ On souhaite retrouver les résultats précédents via une méthode énergétique. Exprimer le Q13

travail de la force F~ sur le conducteur lors de la collision en fonction de d et de F. On précisera d’après son signe s’il s’agit d’un travail moteur ou résistant lors du choc.

➢ On rappelle le théorème de l’énergie cinétique : la variation d’énergie du système entre deux pointsAetB de sa trajectoire est égale à la somme des travaux des forces qu’il subit, évalués entre ces deux points. En utilisant le théorème de l’énergie cinétique, en déduire Q14

l’expression deF en fonction dev0, metd.

Question d’interprétation

➢ Dans l’intérêt des passagers, a-t-on intérêt à rendre les voitures plus solides (moins défor- mables)? Justifier votre réponse à l’aide des résultats précédents.

Q15

➢ Si vous avez fini en avance, question bonus : avez vous des suggestions pour limiter l’in- tensité des forces subies par les occupants de la voiture lors d’un choc?

Q16

1. Les intensités de forces sont parfois données en "kg", ce qui n’est bien entendu pas une unité de force, mais représente la masse qui, posée sur l’objet, exercerait une force de même intensité.

2. Ce médecin s’intéressait aux conséquences pour le corps humain d’une violente accélération lors de l’éjection d’un pilote de chasse depuis un avion supersonique. Il s’est volontairement infligé de violentes accélérations dans différentes positions afin de déterminer comment protéger au mieux les pilotes. Ces expériences n’ont pas été sans conséquences puisque son corps a subi un certain nombre de lésions.

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Remarques générales

A. Note et barème

Mes abréviations : A.N. = application numérique ; C.S. = chiffre significatif; C.I. = conditions initiales ; pq = pourquoi.

La distribution des notes est la suivante :

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 notes

nom bre de cop ies

Pour votre note, il faut bien comprendre que l’échelle de notation n’est plus la même qu’au lycée et il ne faut pas s’en formaliser. Avoir « 10 » ou n’importe qu’elle autre note n’a plus du tout le même sens. Ce n’est qu’une note qui représente cette copie ce jour précis. Si vous avez eu une mauvaise note, rien ne dit que vous en au- rez toute l’année et réciproquement.

Au même titre, le classement n’est pas indiqué pour vous stigmatiser, mais pour vous aider à vous repérer dans la classe.

B. Comment progresser ?

Un des moyens de progresser le plus important est d’apprendre de ses erreurs. En tant qu’étudiant, il estnormalde faire des erreurs et de ne pas avoir tout compris. Les devoirs servent entre autre à vous faire prendre conscience de ce que vous savez et de ce que vous ne savez pas. Il est doncextrêmementimportant de retravailler les devoirs en se posant par exemple les questions suivantes sur les points que vous avez mal traités ou que vous n’avez pas réussi :

1. Pourquoi n’ai je pas su faire cette question ? (En particulier, est-ce que j’ai mal lu l’énoncé, est-ce que j’ai mal compris l’énoncé, est-ce que je ne connaissais pas/pas assez bien mon cours, ai-je voulu aller trop vite, me suis-je trop creusé la tête pour pas grand chose ?)

2. Quel schéma aurai-je pu faire et comment représenter les grandeurs dessus (cela ne fonctionne pas pour toutes les questions, mais ça reste quelque chose de très important)?

3. Quelles connaissances de cours étaient nécessaires pour cette question et est-ce que je les maitrisais ? 4. À quelle exercice ou exemple de cours ou TP cette question aurait dû me faire penser ?

5. Est-ce j’ai compris le corrigé ? Est-ce que je saurais refaire la question si on me la redonnait demain ?

C. Les erreurs fréquentes

• Gardez l’énoncé. Si quelque chose doit être complété, l’énoncé fournira une feuille à part où vous pourrez inscrire votre nom.

• Attention à la gestion du temps. Il ne faut "ni trainer, ni se précipiter". Il faut justifier avec tous les arguments, mais ne rajoutez pas d’arguments inutiles et ne faites pas de grandes phrases si quelque chose de plus court convient.

• La question Q14 a été mal traitée en moyenne : à retravailler. Attention à la notation ∆, je vous conseille de l’éviter dans un premier temps. Lorsque l’on parle de "variation", c’est toujours "après - avant" (Ec(f inal)−Ec(initial)par exemple).

• Pour Q2 - Q5, la réponse étant dans l’énoncé, il est indispensable d’êtreirréprochableau niveau de ses justifications.

Lycée Poincaré – Nancy Page 1/4 Correction

I. C AVITATION

Q1

1. [p] = ^[F_[S]^] = ^MLT_L²⁻². [p] = ML⁻¹T⁻²

2. À partir deEc = ¹₂mv² par exemple, on retrouve la dimension d’une énergie[E] =ML²T⁻². Q2

Pour une énergie volumique, on divise par une longueur au cube soit

[énergie volumique] =ML⁻¹T⁻²ce qui est bien la même dimension que la pression.

Attention, justifier brièvement la dimension d’une énergie puisque compte tenu de la ques- tion d’avant et de l’énoncé, on SAIT ce que l’on doit trouver. Si vous ne justifiez pas, on pourra soupçonner que vous êtes parti du résultat.

Q3 3. [a^α₀µ^βp^γ∞] =L^α(ML⁻³)^β(ML⁻¹T⁻²)^γ =M^β+γL^{α−3β−γ}T^−2γ Par identification avec la dimension d’un temps, on obtient :







0 = β+γ 0 = α−3β−γ 1 = −2γ ⇒γ =−¹₂

⇒







β = −γ = ¹₂ α = 3β+γ = 1 γ = −¹₂

D’où α= 1, β = 1/2, γ =−1/2

II. É TUDE D ’ UN CRASH - TEST

Un des buts de ce problème était de répondre à la question suivante : "pourquoi les crash test ne sont-ils pas fait à 110 km/h ? 130 ? 90 ?". Une partie de la réponse est simplement parce qu’à ces vitesses là l’accélérations sur le corps humain serait trop élevée, et ce quelques soient les systèmes de sécurités type airbag/ceinture.

➢ La forceF~ doit être de sens opposée à la vitesse initiale.

Q4

O x

z

F~

P~ R~

~v₀ àt= 0

O x

z

F~

P~ R~

~v(t) àt >0

➢ Système :{le conducteur}. D’après le principe fondamental de la dynamique, le référentiel étant galiléen,F~ +P~ +R~ =m~a. D’après l’énoncé, le mouvement est purement horizontal, on en déduit que~a =ax~ex.

On en déduit par projection selon l’axeOzqueP~ etR~ se compensent.

Finalement, on a ~a= _m¹F~ = ⁻_m^F~ex . Q5

Encore une fois, le résultat étant donné, il faut justifier précisément queP~ etR~ se compensent.

➢ ax = ⁻_m^F donc par intégration :vx = ⁻_m^Ft+cte. Or d’après les conditions initialesvx(t= 0) = v0, d’où ⁻_m^F0 +cte=v0, soit vx =v0− _m^Ft .

Q6

Lycée Poincaré – Nancy Page 2/4 Correction

Il ne faut surtout pas remplacerv0 par une valeur numérique !

➢ De même x(t) = v0t − _2m^F t² + cte^′ et en utilisant le fait que x(t = 0) = 0, on trouve x(t) =v0t− _2m^F t² .

Q7

➢ Le tempsτ nécessaire pour s’arrêter est solution de l’équationvx(τ) = 0, soitv0−_m^Fτ = 0et donc τ = ^mv_F⁰ .

Q8

Remarque : avec cette formule, il est facile de vérifier à la fois la cohérence du résultat et l’homogénéité de l’expression obtenue, d’où l’intérêt de ne pas avoir remplacé v0 par une valeur numérique..

➢ d =x(t=τ)−x(t= 0) =v₀τ −_2m^F τ² = mv²₀ 2F . Q9

➢ On observe que, lors du crash-test, l’avant de la voiture est complètement déformé jusqu’au rétroviseur environ, tandis que l’arrière de la voiture est peu déformé. On en déduit qu’au cours du choc, le conducteur a avancé d’une distance égale à la longueur du capot (c’est-à- dire de l’avant de la voiture jusqu’au rétroviseur environ).

Pour estimer cette longueur, il faut mesurer la distance correspondante sur la figure (en cm), puis trouver le facteur d’échelle entre la photo et la réalité.

On mesure la longueur de la voiture sur la photo de gauche (environ 10 cm, dépend de l’imprimante) et la longueur du capot (environ 3 cm, dépend de l’imprimante), ce qui donne une longueur pour le capot de3×3.58/10 = 1,1m avec ces valeurs. D’où d= 1,1m . Q10

Attention, vous avez été nombreux à mesurer la longueur de la voiture sur la 2e photo pour comparer.

Cela pose deux problèmes : (1) il manque l’arrière de la voiture (2) l’échelle n’est pas la même a priori. Cela n’était pas un piège, mais les photos ne sont pas prises du même endroit et donc il n’y a pas de raison pour que l’échelle soit la même.

Remarque : ne donnez pas d avec 3 chiffres significatifs alors que vous avez mesuré ap- proximativement à la règle !

➢ F = ^mv_2d²⁰ = 11kN . La masse donnant la même force serait de 1,2tonnes . Q11

➢ a=|ax|= _m^F = ^v_2d⁰² = 1,4×10²m/s² . Cette valeur est environ trois fois en-dessous du re- Q12

cord de John Stapp. Toutefois, il faut bien avoir conscience que nous avons calculé une accélération moyenne lors du choc. Dans les faits, l’évolution temporelle de l’accélération a plutôt l’allure d’une courbe en cloche, et aprend temporairement des valeurs bien plus élevées que l’accélération moyenne calculée ici.

Un tel choc ne devrait tout de même pas engendrer de lésions irréversibles, mais est proche de la limite ; cela d’autant plus que la vitesse intervenant au carré dans la formule établie ici, des vitesses légèrement plus élevées feront subir au conducteur des forces nettement plus importantes.

➢ W =−F d <0résistant puisque la force est orientée vers la gauche alors que le mouve- Q13

ment se fait vers la droite (sur le schéma du corrigé).

➢ Entre le début de la collision (i) et la fin de la collision (f) : Ec(f)−Ec(i) =Wi→f ⇒0−¹₂mv₀² =−F d⇒ F = mv²₀

2d . Q14

Lycée Poincaré – Nancy Page 3/4 Correction

➢ Il ne faut surtout pas rendre les voitures rigides/indéformables, bien au contraire : il est préférable d’augmenter au maximum la distance parcourue lors du choc. Si la voiture était très rigide, d serait très faible et F augmenterait fortement, ce qui ne serait pas favorable pour les passagers.

Q15

A l’inverse, il ne faut pas non plus que la voiture soit trop déformable sinon un problème se posera lorsque l’habitacle (qui, lui, doit être indéformable de manière à protéger les pas- sagers) entrera en collision avec le mur/l’autre véhicule.

➢ En terme de déformation, on ne peut pas tellement augmenter d sans que le conducteur entre en collision avec le mur. Pour amoindrir les forces subies par les passagers, il faudrait alors ralentir la voitureavantla collision. Il existe à l’heure actuelle un système qui permet de freiner automatiquement si un risque de collision à venir est établi. Ce système permet ainsi de diminuerv0au moment du choc, et par conséquent l’intensité de la force subie.

Q16

Une autre solution pourrait être de déclencher un airbag extérieur afin d’augmenter la dis- tance de "freinage" d, dispositif qui impose également une détection préalable au choc. Ce système existe déjà, mais son but est plutôt, dans le cas d’une collision voiture-piéton, de protéger le piéton.

Bien entendu, si le conducteur roulait moins vite avant le choc et/ou a eu le temps de freiner, on a aussi réduit v0 et donc l’intensité du choc. Certains d’entre vous ont suggéré de jouer surm(ce qui revient à maigrir ou prendre du poids ...), mais cela ne change pas en fait a. D’autres ont suggéré de mettre des airbags, mais ce qu’évite un airbag, c’est le choc de la personne contre l’intérieur de la voiture (ce qui est bien sûr une bonne chose), mais cela ne change pas le fait que pour des chocs à des vitesses trop élevées, airbag ou non, l’accélération sera trop forte pour le corps humain.

Une solution est d’augmenterd, mais on peut voir qu’à 64 km/h on est à la limite pour cette voiture puisque le mur arrive jusque devant le passager. Sinon il faudrait augmenter la taille du capot de la voiture (mais ça fait aussi une voiture plus longue et/ou plus lourde). C’est d’ailleurs potentiellemnet une question difficile pour le constructeur : pour quelle vitesse optimiserdpour la sécurité de mes passagers (car si je fais en sorte quedsoit à la limite pour 64 km/h, il risque d’y avoir un problème à plus haute vitesse etdne sera probablement pas optimisé à plus basse vitesse).

Bien entendu, comme cela a été dit précédemment, le modèle est simpliste car l’accélération n’est pas constante et le corps humain se déforme lors du choc.

Lycée Poincaré – Nancy Page 4/4 Correction