Polynômes scindés

MPSI-Éléments de cours Polynômes scindés 28 février 2020

Polynômes scindés

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1. Dénitions - Ensemble de racines . . . 1 2. Relations entre coecients et racines.. . . 1

Index

polynôme irréductible,1

polynôme scindé,1 polynômes symétriques élémentaires,1

relations entre coecients et racines,2

1. Dénitions - Ensemble de racines

Dénition. Un élément deK[X]est scindé dansK[X]lorsqu'il est produit de polynômes de degré 1 à coecients dansK.

Remarques. 1. Dans le cas oùKest un sous-corps d'un autre corpsK⁰. Il est possible qu'un polynômeP dont les coecients sont dansKsoit scindé dansK⁰ mais pas dansK. C'est le cas par exemple deX²+ 1qui est scindé dansC[X]mais pas dansR[X].

2. Tout polynôme de degré 1 est de la forme

aX+b=a(X− b

a)aveca6= 0K

donc−_a^b est une racine de ce polynôme ainsi que de tout polynome dont il est un diviseur.

3. Lorsqu'un polynômeP ∈K[X]de degrépest scindé, il s'écrit sous la forme

P =c(X−α₁)· · ·(X−α_p) (1)

oùα₁,· · ·α_psont des éléments deKqui ne sont pas forcément deux à deux distincts etc6= 0est le coecient dominant deP.

On peut exploiter l'expression précédente de deux manières : soit en regroupant les racines soit en développant le produit.

Le regroupement conduit à décomposition en facteurs irréductibles d'un polynôme scindé et à une caractérisation des polynômes scindés. Un polynôme est scindé si et seulement si la somme des multiplicitésde ses racines est égale à son degré.

Le développement du produit conduit aux relations entre coecients et racines qui sont traitées dans la sous- section suivante après la dénition des polynômes symétriques élémentaires.

Dénition (polynôme irreductible). Un polynôme de degrénest irréductible si et seulement si ses seuls diviseurs sont de degré0 oun.

Tout polynôme de degré1 est irréductible. Un polynôme de degré 2 ou3 est irréductible si et seulement si il est sans racine.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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1 Rémy Nicolai C2159

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2. Relations entre coecients et racines.

Dénition (polynômes symétriques élémentaires). Soita₁, a₂,· · ·, a_pdes éléments quelconques de K. On dénit σ1, σ2,· · · , σk par les relations suivantes ;

σ₁=a₁+a₂+· · ·+a_p=X

i

a_i

σ2=a1a2+a2a3+· · ·= X

i1<i2

ai₁ai₂

...

σk=a1a2· · ·ak+a2a3· · ·ak+· · ·= X

i1<i2<···<i_k

ai₁ai₂· · ·ai_k

...

σp=a1a2· · ·ap

Remarque. On peut noter que la somme dénissantσ_k contientp k

termes.

Proposition (relations entre coecients et racines). Lorsqu'un polynôme P ∈ K[X] de degré p est scindé, il s'écrit sous la forme

P =a0+a1X+· · ·+apX^p=X−α1)· · ·(X−αp) Alors, pouri∈ {0,· · ·p−1} :

ai= (−1)^p−icσ_n−i

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