S´eance 4: Analyse Factorielle des Correspondances Multiples

Correspondances Multiples

R ´evisions

S ´ebastien Gadat

Laboratoire de Statistique et Probabilit ´es UMR 5583 CNRS-UPS

www.lsp.ups-tlse.fr/gadat

Interpr ´etation

Quatri `eme partie IV

Analyse Factorielle des Correspondances Multiples

S ´ebastien Gadat S ´eance 4: Analyse Factorielle des Correspondances Multiples

Interpr ´etation

Tableau disjonctif complet

G ´en ´eralisation de l’AFC pourp>2observ ´ees surnindividus Parfois utilis ´ee pour la construction de ”scores” afin d’effectuer une m ´ethode de classification

Xvariable `acmodalit ´es, on d ´efinit lavariable indicatricecomme

∀k∈ {1. . .c} X_(k)(i) =1 si X(i) =Xk et 0 sinon

On notenkl’effectif deXk

La matrice des indicatrices deXest donn ´ee par son terme g ´en ´eral

x^k_i =X_(k)(i)

n

X

i=1

x^k_i =n_k

c

X

k=1

x^k_i =1

Interpr ´etation

Tableau disjonctif complet

On consid `erepvariables not ´eesX¹, . . .X^p cjest le nombre de modalit ´es deX^j

Le nombre de modalit ´es totalcest donn ´e par c=c1+· · ·+cp

Letableau disjonctif completXde taillen×cest obtenue par concat ´enation

X=|X1|. . .|Xp|

Chaque sous-matriceXjest obtenue comme pr ´ec ´edemment Xv ´erifie

n

X

i=1 p

X

k=1

x^k_i =np

p

X

k=1

x^k_i =p

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Interpr ´etation

Tableau de Burt

On construit `a partir deXletableau de Burt: B=X⁰X

Ba pour taillec×c

On peut ´ecrireB= (B_j,l),j,l=1. . .p La taille deBj,lestcj×cl

Bj,l=X⁰_jX_l

Sij6=l,Bj,lest latable de contingencecroisantX^javecX^l Sij=l,Bj,jestdiagonalev ´erifiant

Bj,j=diag(n^j₁, . . .n^j_cj)

Bestsym ´etrique, d’effectifs marginauxn^l_jpet d’effectif totalnp²

Interpr ´etation

D ´emarche

On s’int ´eresse aux r ´esultats fournis par l’AFC r ´ealis ´ee sur|X₁|X₂| (table de contingence relative `a 2 variables qualitatives)

On g ´en ´eralise les propri ´et ´es obtenues dans ce cas `a un nombre plus important de variables (p)

On d ´efinit ainsi l’AFCM

On noteraAetBles profils lignes et profils colonnes standards en AFC (croisement de 2 variables)

D1etD2d ´esignent les matrices de m ´etriques standards en AFC.

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Interpr ´etation

D ´emarche

T=X=|X1|X2| rvaleurs pourX1etcpourX2

Matrice despoidsP¯=1/nI_n(cas ´equipond ´er ´e) La matrice de lam ´etriqueD¯ est donn ´ee par

D¯ =1 2

D₁ 0

0 D2

=1 2∆

Le tableau des profils lignes est donn ´e par PL¯ =1/2nT⁰P¯⁻¹= 1

2X⁰ Le tableau des profils colonnes est donn ´e par

PC¯ =1/2nTD¯⁻¹=1 nX∆⁻¹

Interpr ´etation

ACP du Profil Ligne

L’ACP du profil ligne issue de l’AFC r ´ealis ´ee surTconduit `a l’analyse spectrale dePL¯ ×PC¯ avecPL¯ ×PC¯ =

Ir B A Ic

Lesr+cvaleurs propres sont

µ_k= 1+√

λ_k

2 o `u Sp(A×B) = (λ_k)_k≥0 M=diag(µ₁, . . . µ_r+c) Les vecteursD¯ norm ´es se mettent sous la forme

1 2

U V

o `uUetV vecteurs propres obtenus en diagonalisantABetBA.

Dans la pratique, on ne garde queinf(r−1,c−1)axes La matrice des composantes principales vaut

C¯r= 1

2(X1Cr+X2Cc)∆^−1/2 Cr etCccomposantes principales de l’AFC classique

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Interpr ´etation

ACP du Profil Colonne

On obtient des r ´esultats similaires en op ´erant une AFC sur les profils colonnes

On diagonalise la matricePC¯ ×PL¯

Lesr+cvaleurs propres non nulles sont lesµ_k

Les vecteurs propres associ ´es se mettent sous la forme

U= 1 n

C¯rM^−1/2

Les composantes principales s’ ´ecrit C¯c=1

2 Cr

Cc

∆^−1/2M^1/2

On obtient ainsi la repr ´esentation des modalit ´es des variables

Interpr ´etation

AFC du tableau de Burt

On effectue une AFC sur le tableau de BurtB=X⁰Xqui peut ˆetre ´egalement consid ´er ´e comme une table de contingence.

Best une matrice sym ´etrique.

B=

nD1 T

T⁰ nD2

L’ACP issue de l’AFC du tableau de Burt conduit `a l’analyse spectrale de

PL˜ ×PC˜ = [ ¯PL×PC]¯ ² Les valeurs propres associ ´ees v ´erifientνk=µ²_k Les composantes principales s’ ´ecrit

Cr

C_c

∆^−1/2M

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Interpr ´etation

AFC du tableau de Burt

X=|X1|. . .|Xp|tableau disjonctif complet B=X⁰XTableau de Burt

L’AFCM est l’AFC effectu ´ee sur le tableau de Burt On d ´efinitDj=diag(n^j₁, . . .n^j_cj)/net∆ =diag(D₁, . . .Dp) On reprend les notations

T=X P¯=In/n D= ∆/p PL¯ =X⁰/p PC¯ =X∆⁻¹/n On effectue l’ACP des Profils Lignes via l’analyse spectrale de

PL¯ ×PC¯ = 1 nB∆⁻¹

On effectue l’ACP des Profils Colonnes via l’analyse spectrale de PC¯ ×PL¯ = 1

npX∆⁻¹X⁰

On effectue l’ACP du tableau de Burt via l’analyse spectrale de [ ¯PL×PC]¯ ²

Interpr ´etation

Interpr ´etation

L’interpr ´etation se fait de fac¸on comparable aux AFC On interpr `eteles proximit ´es et les oppositionsentre les modalit ´es des diff ´erentes variables

On privil ´egie les interpr ´etations sur les modalit ´essuffisamment

´eloign ´ees du centre du graphique

Les rapports de valeurs propres ne sont pas interpr ´etables mais on regarde lad ´ecroissancedes valeurs propres pour choisir la dimension

Seules les contributions des modalit ´es `a l’inertie selon les axes sont interpr ´etables

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Interpr ´etation

Interpr ´etation

Donn ´ees : trois centres hospitaliers (Boston, Glamorgan, Tokyo) sur des patientes atteintes d’un cancer du sein. ´Etudier la survie de ces patientes, trois ans apr `es le diagnostic. En plus de cette information, quatre autres variables sont connues pour chacune des patientes :

le centre de diagnostic, la tranche d’ ˆage,

le degr ´e d’inflammation chronique, l’apparence relative (b ´enigne ou maligne).

L’objectif de cette ´etude est une analyse descriptive de cette table en recherchant `a mettre en ´evidence les facteurs de d ´ec `es.

Interpr ´etation

Donn ´ees

TAB.:Donn ´ees sous la forme d’une table de contingence compl `ete

Histologie

Inflammation minime Grande inflammation Centre Ageˆ Survie Maligne B ´enigne Maligne B ´enigne

Tokyo <50 non 9 7 4 3

oui 26 68 25 9

50−69 non 9 9 11 2

oui 20 46 18 5

>70 non 2 3 1 0

oui 1 6 5 1

Boston <50 non 6 7 6 0

oui 11 24 4 0

50−69 non 8 20 3 2

oui 18 58 10 3

>70 non 9 18 3 0

oui 15 26 1 1

Glamorgan <50 non 16 7 3 0

oui 16 20 8 1

50−69 non 14 12 3 0

oui 27 39 10 4

>70 non 3 7 3 0

oui 12 11 4 1

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Interpr ´etation

R ´esultats

C b o s

C g l a

C t o k A < 5 0 A > - <

A > 7 0 S n o n

S o u i

I g r a

I p e t

T b e n

T m a l

A x e 2

- 0 . 7 - 0 . 6 - 0 . 5 - 0 . 4 - 0 . 3 - 0 . 2 - 0 . 1 0 . 0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1 . 0

A x e 1

- 1 0 1 2

FIG.:Cancer du sein : analyse des donn ´ees brutes.

La variable survie, qui joue en quelques sortes le r ˆole de variable `a expliquer, est tr `es proche de l’axe 2 et semble li ´ee `a chacune des autres variables.

Interpr ´etation

R ´esultats

Les variables ”centre” et ” ˆage” sont crois ´ees, pour construire une variable ”c x ˆage”, `a 9 modalit ´es.

Les variables ”inflam” et ”appar” sont ´egalement crois ´ees pour d ´efinir la variable ”histol”, `a 4 modalit ´es.

Une nouvelle analyse est alors r ´ealis ´ee en consid ´erant comme actives les deux variables nouvellement cr ´e ´ees, ainsi que la variable

”survie”, et comme illustratives les variables initiales : ”centre, ˆage, inflam, appar”. Les r ´esultats sont donn ´es dans la figure suivante.

S ´ebastien Gadat S ´eance 4: Analyse Factorielle des Correspondances Multiples

Interpr ´etation

R ´esultats

S n o n S o u i

H g - b

H g - m

H p - b

H p - m X B < 5

X B > - X B > 7

X G < 5

X G > - X G > 7 X T < 5

X T > - X T > 7

C b o s C g l a C t o k

A < 5 0 A > - <

A > 7 0 I g r a

I p e t T b e n

T m a l

A x e 2

- 2 - 1 0 1 2

A x e 1

- 2 - 1 0 1 2

FIG.:Cancer du sein : analyse des interactions.