Une solution analytique pour la rotation planaire en Analyse Factorielle des Correspondances Multiples

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Une solution analytique pour la rotation planaire en Analyse Factorielle des Correspondances Multiples

Marie Chavent, Vanessa Kuentz, Jérôme Saracco

To cite this version:

Marie Chavent, Vanessa Kuentz, Jérôme Saracco. Une solution analytique pour la rotation planaire en

Analyse Factorielle des Correspondances Multiples. 41èmes Journées de Statistique, SFdS, Bordeaux,

2009, Bordeaux, France, France. �inria-00386742�

Une solution analytique pour la rotation planaire en Analyse Factorielle des

Correspondances Multiples

Marie Chavent

& Vanessa Kuentz

& J´ erˆ ome Saracco

1

Universit´ e de Bordeaux, IMB, CNRS, UMR 5251, 351 Cours de la lib´ eration

33405 Talence

(e-mail : Marie.Chavent,Vanessa.Kuentz@math.u-bordeaux1.fr)

2

INRIA Bordeaux Sud-Ouest, CQFD team

3

Universit´ e Montesquieu - Bordeaux IV, GREThA, CNRS, UMR 5113, Avenue L´ eon Duguit

33608 Pessac Cedex

(e-mail : Jerome.Saracco@u-bordeaux4.fr)

R´ esum´ e

L’Analyse en Composantes Principales (ACP) et l’Analyse Factorielle des Corres- pondances Multiples (AFCM) sont respectivement deux m´ ethodes de description statistique multidimensionnelle de donn´ ees quantitatives et qualitatives. Une rota- tion peut ensuite ˆ etre appliqu´ ee ` a la matrice des scores des composantes principales.

La d´ efinition d’un crit` ere de rotation permet alors d’obtenir une structure simple, facilitant ainsi l’interpr´ etation des r´ esultats. Une solution analytique en deux dimen- sions a ´ et´ e propos´ ee pour le crit` ere varimax en ACP. Nous proposons ici une solution analytique en deux dimensions pour la rotation en AFCM utilisant un crit` ere inspir´ e de varimax et bas´ e sur la notion de rapport de corr´ elation.

Mots-cl´ es : Analyse Factorielle des Correspondances Multiples, rotation, rap- port de corr´ elation.

Abstract

Principal Component Analysis (PCA) and Multiple Correspondence Analysis (MCA) are well-known multivariate methods for statistical description of respectively quan- titative and qualitative data. A rotation may then be applied to the principal component scores matrix. The definition of a criterion enables to achieve simple structure, thereby simplifying the interpretation of the results. A two-dimensional analytic solution has been proposed for varimax rotation in PCA. We propose here a two-dimensional analytic solution for rotation in MCA using a varimax-based cri- terion relying on correlation ratio.

Keywords: Multiple Correspondence Analysis, rotation, correlation ratio.

1 Introduction

L’Analyse en Composantes Principales (ACP) (voir par exemple Jolliffe, 2002) pour des donn´ ees quantitatives et l’Analyse Factorielle des Correspondances Multiples pour des donn´ ees qualitatives (AFCM) (voir par exemple Greenacre et Blasius, 2006) sont deux m´ ethodes usuelles de r´ eduction de dimension. Elles utilisent une d´ ecomposition en valeurs singuli` eres pour ´ ecrire la matrice des donn´ ees comme le produit de deux matrices.

Cependant cette approximation n’est pas unique, ainsi les composantes principales sont d´ etermin´ ees ` a une rotation pr` es. Nous traiterons ici le cas de rotations orthogonales.

Concernant les variables quantitatives, l’ACP approxime la matrice standardis´ ee des donn´ ees par le produit de la matrice des composantes principales et la matrice des sa- turations (“loadings”). Cette derni` ere joue un rˆ ole fondamental dans l’interpr´ etation des r´ esultats car elle contient les corr´ elations entre les variables et les composantes. Appliquer la matrice de rotation T ` a la matrice des saturations A et ` a la matrice des compo- santes principales garantit que la matrice des saturations apr` es rotation B = AT contient toujours les corr´ elations entre les variables et les composantes apr` es rotation. L’id´ ee est d’appliquer une rotation ` a la matrice des saturations et ` a celle des composantes afin que les corr´ elations contenues dans la matrice B soient fortes ou faibles. Diff´ erents crit` eres ont

´ et´ e propos´ es dont le plus connu est varimax introduit par Kaiser (1958). D´ efinir la matrice de rotation optimale se r´ esume donc ` a un probl` eme d’optimisation sous contraintes du crit` ere varimax f(AT).

Pour les variables qualitatives, l’AFCM est pr´ esent´ ee ici comme une ACP appliqu´ ee ` a la matrice des profils lignes. La matrice des fr´ equences (divis´ ee par les poids des lignes et des colonnes) est approxim´ ee par le produit de deux matrices : la matrice des composantes principales des lignes (objets) et celle des composantes principales des colonnes (moda- lit´ es). Notons A cette derni` ere matrice et B = AT sa version apr` es rotation. Cependant B ne relie pas directement les variables aux composantes principales apr` es rotation et par cons´ equent ne joue pas le rˆ ole pr´ ec´ edent de la matrice des saturations. Pour cette raison, le crit` ere varimax f n’est pas appliqu´ e directement ` a la matrice B (comme en ACP) mais ` a la matrice C = g(B) dont les valeurs sont les rapports de corr´ elation entre les variables et les composantes principales des objets apr` es rotation. Notons que ce crit` ere est celui uti- lis´ e par Kiers (1991) dans sa m´ ethode PCAMIX pour la recherche d’une structure simple pour des donn´ ees quantitatives et/ou qualitatives. L’objectif est d’obtenir dans chaque colonne de C des valeurs ´ elev´ ees ou faibles. D´ efinir la meilleure matrice de rotation se r´ esume donc ` a un probl` eme d’optimisation du crit` ere f ◦ g(AT).

Dans le cas quantitatif et qualitatif, lorsqu’on retient deux composantes principales,

la rotation a lieu dans un plan. La matrice de rotation s’´ ecrit en fonction d’un angle de

rotation et on obtient un probl` eme d’optimisation r´ eel non contraint. En ACP, l’expression

analytique de l’angle θ optimisant le crit` ere varimax f est donn´ ee par Kaiser (1958). Nous

proposons ici une solution analytique en deux dimensions pour le crit` ere h = f ◦ g pour

la rotation en AFCM.

Dans la Section 2, nous pr´ esentons la rotation en AFCM puis nous donnons dans la Section 3 l’´ ecriture de la solution analytique en dimension deux.

2 Rotation en AFCM

Notations. Soit X une matrice de donn´ ees qualitatives, o` u x

∈ M

avec M

l’en- semble des modalit´ es de x

. Soit O = (o

)

la matrice X = (x

)

convertie en une matrice indicatrice ` a n lignes et q colonnes, o` u q =

p

X

j=1

q

avec q

le nombre de modalit´ es de x

. A chaque ligne i de O, un ´ el´ ement vaut 1 si l’objet poss` ede la modalit´ e s de la variable qualitative correspondante ; sinon l’´ el´ ement vaut 0. Ainsi la somme des ´ el´ ements d’une ligne vaut p. Comme la matrice O peut ˆ etre consid´ er´ ee comme une sorte de table de contingence, la matrice des fr´ equences F = (f

)

peut ˆ etre construite o` u f

=

car P

i,s

o

= np. Soit G

= {e

∈ E|o

= 1} et n

= card(G

). Les sommes marginales de la matrice des correspondances F sont utilis´ ees pour d´ efinir les poids des lignes et des co- lonnes : D

= diag{f

, pour i = 1, ..., n} avec f

=

, et D

= diag{f

, pour s = 1, ..., q}

avec f

=

. Notons m le rang de F et F e = D

FD

la matrice F dont les ´ el´ ements ont ´ et´ e divis´ es par √

f

f

.

AFCM. L’AFCM est pr´ esent´ ee ici comme une ACP sur la matrice des profils lignes R = D

F obtenue en divisant chaque ligne i de la matrice des fr´ equences F par la marge f

. D’un point de vue g´ eom´ etrique, l’AFCM de la matrice non centr´ ee des profils lignes ´ etudie les n lignes de R avec les m´ etriques D

sur R

et D

sur R

. Dans une premi` ere ´ etape, l’AFCM cherche un axe de vecteur directeur w (de D

-norme ´ egale ` a 1) tel que le vecteur y ∈ R

des D

-projections des n lignes de R sur cet axe, soit de D

-norme maximale. La premi` ere composante principale est y

= RD

v

o` u v

est le vecteur propre associ´ e ` a la premi` ere valeur propre non triviale λ

de F e

F. Les autres e composantes principales sont d´ efinies de fa¸con similaire par y

= RD

v

, α = 3 . . . m, o` u v

est le vecteur propre associ´ e ` a la α` eme plus grande valeur propre de F e

F. e

Formule de reconstruction en AFCM. Notons Y la matrice de dimension (n, m) dont les colonnes sont les m composantes principales (incluant celle associ´ ee ` a la premi` ere valeur propre triviale) et Λ = diag( √

λ

, . . . , √

λ

) la matrice diagonale de leurs ´ ecarts- types. Cette matrice de correspondance divis´ ee par les poids des lignes et des colonnes D

FD

peut s’´ ecrire comme le produit de deux matrices :

D

FD

= Y

A

, (1)

o` u Y

= YΛ

est la matrice dont les colonnes sont les composantes principales standar-

dis´ ees et A est la matrice dont le terme g´ en´ eral a

vaut ¯ y

la moyenne de la composante

principale standardis´ ee y

calcul´ ee sur les objets poss´ edant la modalit´ e s. Des d´ etails concernant cette formule sont disponibles dans Chavent, Kuentz, Saracco (2009).

Structure simple. Soit T une matrice de rotation orthonormale de dimension (r, r) o` u r ≤ m est le nombre de composantes principales retenues. Les matrices Y

et A sont d´ esormais de dimension respective (n, r) et (q, r). Comme Y

A

= Y

TT

A

, l’approxi- mation de la matrice D

FD

par le produit de deux matrices n’est pas unique. Notons Z = Y

T la matrice des composantes principales standardis´ ees apr` es rotation et B = AT la matrice A apr` es rotation dont le terme g´ en´ eral b

vaut maintenant ¯ z

la moyenne de la composante principale standardis´ ee apr` es rotation z

calcul´ ee sur les objets apparte- nant ` a la modalit´ e s. La matrice B ne donne pas directement une id´ ee de la liaison entre les variables et les composantes principales apr` es rotation. On transforme donc la matrice B = AT en C = g(AT) de dimension (p, r) dont le terme g´ en´ eral :

c

= p||b

||

D^(j)q

, (2)

o` u l’exposant (j ) signifie qu’on consid` ere seulement les ´ el´ ements de D

et b

correspondant aux modalit´ es de la variable x

. Ainsi D

(resp. b

) est une sous-matrice (resp. sous- vecteur) de D

(resp. b

) de dimension (q

, q

) (resp. longueur q

). On montre alors que c

= η

(x

, z

) =

2 j

s²(zα)

, o` u s

=

X

s∈Mj

n

(¯ z

−¯ z

)

est la variance inter-classe empirique de z

dans la partition de E d´ efinie par les modalit´ es de x

. Ainsi C est la matrice des rapports de corr´ elation empiriques entre les variables x

et les composantes principales standardis´ ees apr` es rotation z

. Elle va jouer le rˆ ole de la matrice des saturations dans le cadre de la rotation varimax en ACP. L’id´ ee est donc de choisir la matrice T pour que ces rapports de corr´ elation soient les plus proches possibles de 0 ou de 1.

Le crit` ere de rotation. Le crit` ere varimax f n’est pas appliqu´ e directement ` a B = AT, comme en ACP, mais ` a la matrice des rapports de corr´ elation C = g(AT). Le crit` ere h ainsi obtenu est d´ efini par :

h(AT) = f ◦ g(AT) = f (C) =

q

X

α=1





 P

j=1

c

p −

P

c

p

!







=

q

X

α=1





 P

j=1

(p P

s∈Mj

f

b

)

p −

P

j=1

(p P

s∈Mj

f

b

) p

!







=

q

X

α=1





 p

p

X

j=1



 X

s∈Mj

f

b





2

−





p

X

j=1

X

s∈Mj

f

b





2







(3)

Pour une matrice A donn´ ee, le probl` eme d’optimisation s’´ ecrit donc : ( max

T

h(AT),

s.c. TT

= I

. (4)

3 Une solution analytique pour la rotation en dimen- sion deux

En dimension r = 2, la matrice de rotation orthogonale T s’´ ecrit en fonction d’un angle de rotation θ :

T =

cos θ −sin θ sin θ cos θ

. (5)

Le probl` eme d’optimisation (4) s’´ ecrit alors comme un probl` eme non contraint : n max

θ∈R

h(θ). (6)

L’expression de h(θ) et les d´ etails du calcul dre la solution analytique sont disponibles dans Chavent, Kuentz, Saracco (2009). On ´ ecrit la d´ eriv´ ee de h par rapport ` a θ :

∂h

∂θ = 2(a + bcos(4θ) + csin(4θ)), (7)

o` u :

a = (p − 1)

p

X

j=1

X

s∈M_j

X

t∈M_j

f

f

α

β

−

p

X

j=1 p

X

l6=j

X

s∈M_j

X

t∈M_l

f

f

α

β

,

b = (p − 1)

p

X

j=1

X

s∈Mj

X

t∈Mj

f

f

δ

γ

−

p

X

j=1 p

X

l6=j

X

s∈Mj

X

t∈M_l

f

f

δ

γ

,

c = (p − 1)

p

X

j=1

X

s∈M_j

X

t∈M_j

f

f

1

2 (γ

− δ

) −

p

X

j=1 p

X

l6=j

X

s∈M_j

X

t∈M_l

f

f

1

2 (γ

− δ

), (8) et α

= a

a

+ a

a

, β

= a

a

− a

a

, γ

= a

a

+ a

a

et δ

= a

a

− a

a

.

Pour r´ esoudre a + bcos(4θ) + csin(4θ) = 0, on divise chaque terme par (b

+ c

)

et on introduit l’angle ϕ ∈] − π, +π]tel que cos(ϕ) =

et sin(ϕ) =

. On obtient :

a

(b

+ c

)

+ cos(ϕ)cos(4θ) + sin(ϕ)sin(4θ) = a

(b

+ c

)

+ cos(4θ − ϕ) = 0

Cette ´ equation poss` ede alors deux solutions : θ ˆ = 1

4 (± arcos(− a

√ b

+ c

) + ϕ), (9) correspondant respectivement au minimum et maximum de h (sous la condition que |a| ≤ (b

+ c

)

, ce qui est n´ ecessairement v´ erifi´ ee car h est p´ eriodique et d´ erivable).

4 Conclusion

Nous avons propos´ e une solution analytique en deux dimensions pour la rotation en AFCM. Nous illustrerons sur des donn´ ees simul´ ees la validit´ e de l’approche. Nous mon- trerons l’int´ erˆ et de la rotation pour l’interpr´ etation des r´ esultats d’une AFCM sur des donn´ ees r´ eelles issues d’une enquˆ ete de satisfaction des plaisanciers sur le Canal des Deux Mers (commandit´ ee par Voies Navigables de France en 2008). Des d´ etails sur ces ap- plications sont disponibles dans Chavent, Kuentz, Saracco (2009). En outre ce r´ esultat pourra ˆ etre utilis´ e pour ´ etendre une approche de type VARCLUS pour la classification de variables qualitatives.

Bibliographie

[1] Chavent, M., Kuentz, V., Saracco, J. (2009), A two-dimensional analytic solution for rotation in Multiple Correspondence Analysis, Submitted paper.

[2] Greenacre, M.J. et Blasius, J. (2006), Multiple Correspondence Analysis and Related Methods, Chapman & Hall/CRC Press, London.

[3] Jolliffe, I.T. (2002), Principal Component Analysis (Second Edition), Springer-Verlag, New York.

[4] Kaiser, H.F. (1958), The varimax criterion for analytic rotation in factor analysis, Psychometrika, 23(3), 187–200.

[5] Kiers, H.A.L. (1991), Simple structure in Component Analysis Techniques for mixtures

of qualitative and quantitative variables, Psychometrika, 56, 197–212.