S´eance 2: Analyse Factorielle des Correspondances

(1)

Correspondances

R ´evisions

S ´ebastien Gadat

Laboratoire de Statistique et Probabilit ´es UMR 5583 CNRS-UPS

www.lsp.ups-tlse.fr/gadat

(2)

Repr ´esentations graphiques

Deuxi `eme partie II

Analyse Factorielle des Correspondances

(3)

Donn ´ees Qualitatives

Notations

On suppose donn ´es 2 variablesXetYqualitatives.

On suppose donn ´esnindividus d ´ecrits par ces chacune de ces 2 variables.

Les r éalisations desnindividus sont not éesx1, . . .xnety1, . . .yn. Xposs èdem1modalit és,Y en poss èdem2.

Les modalit ´es deXsont not ´eesi1, . . .im1

Les modalit ´es deYsont not ´eesj1, . . .jm₂

(4)

Donn ´ees Qualitatives

Objectifs

Recherche de lad épendanceentre les diff érentes modalit és de XetY.

Y a-t-il des modalit és corr él ées entreXetY?

Pourquoi comparer les modalit ´es deXpose probl `eme ? Idem pour Y ?

Comment r ´esumer les donn ´ees ?

(5)

Tableau de contingence, nuage associ ´es

D ´efinition

On construit une table de contingence associ ´ee `a ces observations

La dimension de la table estm1×m2

La table est souvent not ´eeTouN

Son él ément g én érique estn`h, effectif conjoint n`h=Card{i | xi=i` et yi=jh}

(6)

Tableau de contingence, nuage associ ´es

Elle se pr ´esente sous la forme suivante :

j1 · · · jh · · · jm₂ sommes

i1 n11 · · · n1h · · · n1c n1+

... ... ... ... ...

i` n`1 · · · n`h · · · n`c n`+

... ... ... ... ...

im₁ nr1 · · · nrh · · · nrc nm₁+

sommes n+1 · · · n+h · · · n+m₂ n

Les effectifsn`+etn+hsont d ´efinis par n`+=

m₂

X

h=1

n`h et n+h=

m₁

X

`=1

n`h

(7)

Effectifs Marginaux

On note parD1 etD2les matrices diagonales des effectifs marginaux des variablesXetY:

D1=







n1+ . . . 0 . . . 0

... . .. . . ...

0 . . . ni+ . .. 0

... . . .. ... ...

0 . . . 0 . . . nm1+







D2=







n+1 . . . 0 . . . 0

... . .. . . ...

0 . . . n+j . .. 0

... . . .. ... ...

0 . . . 0 . . . n+m2







La taille deD₁estm₁×m₁alors queD₂est de taillem₂×m₂.

(8)

Profils Lignes

On construit `a partir deT un tableau de fr ´equences marginales pour la variableX.

Tableau desProfils Lignesest compos é des él éments ni,j

ni+

C’est la fraction des individus ayant la modalit ´eX=iqui ont la

´egalement modalit ´eY =j

PropositionCe tableau des profils lignes est donn ´e par la multiplication matricielle

PL=D⁻¹₁ ×T

(9)

Profils Colonnes

On construit `a partir deT un tableau de fr ´equences marginales pour la variableY.

Tableau desProfils Colonnesest compos é des él éments ni,j

n+j

C’est la fraction des individus ayant la modalit ´eY =jqui ont la

´egalement modalit ´eX=i

PropositionCe tableau des profils colonnes est donn ´e par la multiplication matricielle

PC=D⁻¹₂ ×T⁰

(10)

Positionnement dimensionnel Profils Lignes

On consid `ere les Profils Lignes commem1 points dansR^m². On le note

PLi=







ni,1

n_i+

...

ni,m2

ni+







Chacun de ces points est affect é d’un poids proportionnel à sa fr équence marginale ⁿ_nⁱ⁺

Centre de gravit ´e du nuage de points :

gl=1

n(D⁻¹₁ T)⁰D11=





 n+1/n

... n+m₂/n







(11)

Positionnement dimensionnel Profils Colonnes

On consid `ere les Profils Colonnes commem1points dansR^m¹. On le note

PCj=







n_1j n+j

...

nm1j

n_+j







Chacun de ces points est affect é d’un poids proportionnel à sa fr équence marginale ⁿ_n^+j

Centre de gravit ´e du nuage de points :

gc=





 n1+/n

... n_m₁+/n







(12)

Positionnement dimensionnel

Lesm1 profils lignes appartiennent `a un sous-espace affineW2

deR^m².

W₂est de dimensionm₂−1d ´efini par :

∀i∈ {1, . . .m1}

m2

X

j=1

PLi(j) =1

Lesm2 profils colonnes appartiennent `a un sous-espace affine W1deR^m¹.

W₁est de dimensionm₁−1d ´efini par :

∀j∈ {1, . . .m2}

m1

X

i=1

PCj(i) =1

(13)

M ´etrique du χ

²

, Ind ´ependance

Dans le cas de l’ind épendance statistique entre la modalit éide Xet la modalit éjdeY, on a

P(X=i,Y=j) =P(X=i)P(Y=j) Proposition :Le pendant empirique de cette relation est :

nij=ni+n+j

n

Pourcalculer la distance entre deux profils lignesieti⁰, on utilise la formule :

d²_χ2(i,i⁰) =

m₂

X

j=1

n n+j

nij

ni+

− ni⁰j

ni⁰+

2

=DMl(PLi,PLi⁰)

PropositionLa m ´etriqueM_lest donn ´ee parM_l=nD⁻¹₂

Cette m étrique revient l à-encore à donner autant d’importance à

(14)

M ´etrique du χ

²

, Ind ´ependance

Pourcalculer la distance entre deux profils colonnesjetj⁰, on utilise la formule :

d²_χ2(j,j⁰) =

m1

X

i=1

n ni+

n_ij n+j

− n_ij⁰ n+j⁰

2

=DMc(PC_j,PCj⁰)

PropositionLa m ´etriqueMcest donn ´ee parMc=nD⁻¹₁

Cette m étrique revient l à-encore à donner autant d’importance à chacune des modalit és deX.

(15)

M ´etrique du χ

²

, Ind ´ependance

D éfinition :La quantit éϕ²mesure l’ écart à l’ind épendance :

ϕ²= 1 n

m₁

X

i=1 m₂

X

j=1

nij−ⁿⁱ⁺_nⁿ^+j2 ni+n+j

n

Proposition :L’inertie des Profils Lignes et l’inertie des Profils Colonnes co¨ıncident et valent leϕ².

(16)

Propri ´et ´es de la distance du χ

²

Proposition :Etant donn ées deux colonnes de´ T,jetj⁰ ayant le m ême profil, si l’on regroupe ces 2 colonnes en une seule d’effectifnij+nij⁰ pour chacune des lignesi, alors les distances entre profils lignes est inchang ée.

Proposition :Etant donn ées deux lignes de´ T,ieti⁰ayant le m ême profil, si l’on regroupe ces 2 lignes en une seule d’effectif ni⁰j+nijpour chacune des colonnesj, alors les distances entre profils colonnes est inchang ée.

Cette propri ét é est-elle vraie pour la m étrique euclidienne ?

(17)

Analyse en composantes principales des deux nuages de profils

ACP profils lignes Donn ´eesX=D⁻¹₁ T M ´etriqueM=nD⁻¹₂ PoidsD= ^D_n¹

ACP profils colonnes Donn ´eesX=D⁻¹₂ T⁰ M ´etriqueM=nD⁻¹₁ PoidsD= ^D_n²

Nous verrons que ces deux ACP am ènent à des r ésultats parfaitement duaux l’un de l’autre.

(18)

ACP non centr ´ees et facteur trivial

Proposition0glest orthogonal `aW1 pour la m ´etrique duχ². Propositionkg_lk_χ2=1

Proposition :g(glougc) est vecteur propre associ ´e `a la valeur propre1pour les deux ACPs.

Il est donc à chaque fois inutile de pr éciser ce r ésultat dans les AFC, ainsi que la valeur propre 1.

Quelle ACP choisir ?

(19)

ACP non centr ´ees et facteur trivial

Th ´eor `eme : ACP profils lignes Facteurs Principaux

VP de D⁻¹₂ T⁰D⁻¹₁ T

Composantes principales VP de D⁻¹₁ TD⁻¹₂ T⁰

Normalis ´es par

a⁰D1

n a=λ

ACP profils colonnes Facteurs Principaux

VP de D⁻¹₁ TD⁻¹₂ T⁰

Composantes principales VP de D⁻¹₂ T⁰D⁻¹₁ T

Normalis ´es par b⁰D2

n b=λ

(20)

ACP non centr ´ees et facteur trivial

Th ´eor `eme :

Les 2 analyses conduisent aux m ˆemes valeurs propres.

Les facteurs principaux de l’une sont les composantes principales de l’autre.

Les coordonn ´ees des points-lignes et points-colonnes

s’obtiennent en cherchant les vecteurs propres des produits des deux tableaux de profils

(21)

Contributions

Cercle de corr élation : aucun int ér êt dans le contexte de variables qualitatives

On a la relation entre les valeurs propresλet les vecteurs propres :

λ=1 n

m₁

X

i=1

ni+a²_i =1 n

m₂

X

j=1

n+jb²_j

On d ´efinit la contribution des profils lignes et colonnes par : CTR(i) =

n_i+

n a²_i

λ CTR(j) =

n+j

n b²_j λ

(22)

Formules de transition

Th ´eor `eme :

b= 1

√λD⁻¹₂ N⁰a a= 1

√λD⁻¹₁ Nb C’est- `a-dire :

b_j= 1

√λ

m1

X

i=1

nij

nj+

a_i a_i= 1

√λ

m2

X

i=1

nij

n+i

a_j

(23)

Reconstitution des donn ´ees

Sim1<m2, en ´eliminant la valeur propre 1, on a :

ϕ²=

m₁−1

X

k=1

λk

Les pourcentages de variance sont ´egaux `a :

%Var_k=λ_k ϕ² La formule de reconstitution est :

nij=ni+n+j

n 1+X

k

a^k_ib^k_j

√λk

!

(24)

Donn ées AGR concernent les exploitations agricoles de la r égion Midi-Pyr én ées.

Elles proviennent des ”Tableaux Economiques de Midi-Pyr én ées”, publi és par la Direction R égionale de Toulouse de l’INSEE, en 1996 (donn ées relatives à l’ann ée 1993 ; chiffres arrondis à la dizaine pr ès).

Les 73 000 exploitations ont ét é ventil ées dans une table de

contingence selon le d épartement (en lignes, 8 modalit és) et la SAU (Surface Agricole Utilis ée, en colonnes, 6 classes).

D ´epartements : ARIE = Ari `ege ; AVER = Aveyron ; H.G. =

Haute-Garonne ; GERS = Gers ; LOT = Lot ; H.P. = Hautes-Pyr ´en ´ees ; TARN = Tarn ; T.G. = Tarn-et-Garonne.

SAU : inf05 = moins de 5 hectares ; s0510 = entre 5 et 10 hectares... ; sup50 = plus de 50 hectares.

(25)

Repr ´esentations graphiques

arie

aver h.g.

gers

lot

h.p.

tarn t.g.

SINF1

S1_5

S5_10 S10_20

S20_50 S50_99S_100 A

x e 2

-0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

Axe 1

-0.5 -0.3 -0.1 0.1 0.3 0.5 0.7

FIG.:Biplot isom ´etrique des donn ´ees AGR.

(26)

Interpr ´etation

Quelles sont les variables qui sont crois ´ees entre elles ? Que met en ´evidence le premier axe ?

Que met en ´evidence le second axe ?