MODÉLISATION PARABOLIQUE TRI-DIMENSIONNELLE DE LA PROPAGATION ACOUSTIQUE EN MILIEU EXTÉRIEUR, EN PRÉSENCE D'UN CHAMP CONVECTEUR, D'UNE TOPOGRAPHIE AU SOL ET D'OBSTACLES ÉVENTUELS

(1)

HAL Id: jpa-00230617

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00230617

Submitted on 1 Jan 1990

HAL

is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire

HAL, est

destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

MODÉLISATION PARABOLIQUE

TRI-DIMENSIONNELLE DE LA PROPAGATION ACOUSTIQUE EN MILIEU EXTÉRIEUR, EN PRÉSENCE D’UN CHAMP CONVECTEUR, D’UNE

TOPOGRAPHIE AU SOL ET D’OBSTACLES ÉVENTUELS

S. Courtier-Arnoux

To cite this version:

S. Courtier-Arnoux. MODÉLISATION PARABOLIQUE TRI-DIMENSIONNELLE DE LA PROP-

AGATION ACOUSTIQUE EN MILIEU EXTÉRIEUR, EN PRÉSENCE D’UN CHAMP CON-

VECTEUR, D’UNE TOPOGRAPHIE AU SOL ET D’OBSTACLES ÉVENTUELS. Journal de

Physique Colloques, 1990, 51 (C2), pp.C2-1209-C2-1212. �10.1051/jphyscol:19902284�. �jpa-00230617�

(2)

1er Congrès Français d'Acoustique 1990

MODÉLISATION PARABOLIQUE TRI-DIMENSIONNELLE DE LA PROPAGATION ACOUSTIQUE EN MILIEU EXTÉRIEUR, EN PRÉSENCE D'UN CHAMP CONVECTEUR, D'UNE TOPOGRAPHIE AU SOL ET D'OBSTACLES ÉVENTUELS

S. COURTIER-ARNOUX

Acoustique et Mécanique Vibratoire, EDF/DER/EP, 1 Avenue du Général de Gaulle, F-92141 Clamart Cedex, France

Résumé - La modélisation tri-dimensionnelle de l'équation de propagation acoustique en milieu extérieur présentée résout en coordonnées cylindriques une approximation parabolique de l'équation complète, la direction de parabolisation étant la direction radiale définie par la deuxième coordonnée 0. Une méthode de factorisation approchée d'opérateurs est utilisée, ce qui permet de découpler les problèmes suivant 0 et z, direction verticale, et donc de résoudre le problème complet par inversion successive de deux matrices tri-diagonales. Une originalité de ce développement réside dans le fait qu'il prend en compte un champ convecteur et la diffraction en présence d'obstacles de type écran acoustique ou topographie au sol.

Abstract - The tri-dimensional model of acoustic wave outdoor propagation proposed hereafter uses a parabolic approximation of the exact set of equations in cylindrical coordinates, the principal direction of propagation being the radial one. The numerical method splits die problems following angular and vertical coordinates and solves the entire set by inverting two finite difference approximation matrices being each tri-diagonal. What is new in this work is to take into account in a 3D computation, the wind effects and the diffraction due to wedges or acoustic barriers.

1-INTROPUCnON

La modélisation tri-dimensionnelle présentée repose sur l'approximation parabolique de l'équation de Helmholtz, introduite dans le milieu de l'acoustique sous-marine par Tappert /l/. La résolution numérique utilise une méthode de factorisation approchée d'opérateurs (Yanenko 121), introduite en acoustique par DingLee fil. L'originalité de notre développement est de résoudre numériquement la propagation acoustique extérieure dans un espace de dimension 3 (secteur angulaire de 360deg, hauteur et longueur du domaine de propagation au choix), en situation météorologique réaliste (vent, gradient de vent, température, gradient de température) et avec des configurations de sol réalistes (topographie, obstacles de type écrans acoustiques, impédance de sol).

2-EQUATIONS

Les équations considérées sont celles de l'acoustique linéaire en milieu déterministe. Le milieu est supposé irrotationnel, l'atmosphère est quasi-stationnaire et stratifiée horizontalement, et le vent n'a pas de composante verticale. Mr et Me sont les nombres de Mach dans (respectivement orthogonalement à) la direction radiale. Ce développement se place dans un cadre d'hypothèses où le module du champ de vent reste faible devant la vitesse du son. \|f est le potentiel de vitesse défini par p u ' = grad y où u ' désigne la vitesse vibratoire acoustique et p la masse volumique du milieu, p = ^ t + v . grady est alors le champ de pression acoustique convecté par le vent

ot

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:19902284

(3)

C2-1210 COLLOQUE DE PHYSIQUE

?.

L'équation de propagation acoustique 3D en présence d'un champ convecteur s'écrit alors en coordonnées cylindriques:

&+:A

^+L ⁺^p ^~ ⁽^{- -}^~^(M.*⁾ ⁺

^{% f i}

⁾

^- AG

⁼ ^O

h2 r ae2 r ^a2 p

a= c

^{s a t} r aeat c ^at ⁽¹⁾

Soit la transformation de type Fourier spatio-temporelle suivante: = p e - i @ t e'ikrMr. En effectuant le

1 - i k o r

changement de fonction: p(r,e,z) = u (r,e,z)

.

^v(r)^avec^v(r)⁼

-

^e ^où^{k o = =} et CO célérité moyenne du

fi c ^O

milieu, on obtient l'équation suivante, qui décrit l'évolution de la projection u de p sur la solution particulière approchée v et qui est de même ordre différentiel que l'équation sur p :

(2) dans laquelle al ,a2 ,b2 sont fonction des inhomogénéités verticales du vent et de la célérité (k = k(z) = w / C(z)).

'

^2ik09+^{k o}2 ^{L = O} qui se factorise en:

L' équation (2) peut s'écrire sous la forme: -- ar2

-

^O ^-^O ⁾

( ^-

^O ^O ^=O

^.

Le facteur de b i t e résout la propagation de l'onde sonore suivant

\&

1

r > 0: c'est l'approximation parabolique que nous étudions. En négligeant les variations des gradients de vent,

1 a2 1

a2

l'opérateur continu se réduit à: Lr= ( n2- 1) + -z- + ^-2

- .

Nous supposons alors que les variations de

k b r kas

l'indice n en fonction de la coordonnée cylindrique 0 sont suffisamment faibles et que les deux opérateurs :

i a2 ² ¹ a2

La= 2-, et L,= ( n -1 ) + -z-2 sont donc quasi-commutatifs. Les inhomogénéités dues au gradient de vent

k o r ae ko a2

suivant la verticale sont assimilées à une variation d'indice suivant la loi : N =

5 _

^où désigne le vecteur

- ^...

C + V . r n unitaire de la direction principale de propagation ⁽i.e. m = u, ).

3

-

MODELISATION NUMERIOUE

Nous utilisons une méthode numérique de résolution par factorisation approchée d'opérateurs qui repose sur l'approximation de Padé B l'ordre 2 en Lb et 1 en La de

m.

Elle permet de résoudre le problème successivement en z puis 0 par inversion de deux systèmes tridiagonaux ( d'où rapidité d'exécution ). Ii faut noter que cette méthode est d'ordre 1 en dr d'après la théorie de Yanenko 121, où dr est le pas de discrétisation dans la direction radiale de propagation. La discrétisation se fait suivant une grille de maillage à pas constants, en coordonnées cylindriques. Soit n l'indice en r du point du maillage (pas de discrétisation dr). Le système discrétisé résolu s'écrit :

( 1

-

e t

.

Êêtêtsont les coefficients de semi-impiicitahn

4

du schéma global. Les discrétisations des dt?rivées paaieksd'ordre 1 ( en z ) et d ' d e 2 (en z et 0 ) s'écrivent à l'aide des sch6mas centrés d'ordre 2.

(4)

(suivant 8) est une résolution cyclique et ne nécessite donc aucune relation supplémentaire. En altitude, nous avons introduit la condition limite d'ordre 2 qui généralise la condition de Sommerfeld dans la mesure où cette dernière en est un cas particulier lorsque l'onde incidente arrive exactement sous l'angle défini par la direction "n":

2 2

+ * ^- ^l ^G

⁼⁰où n désigne la direction joignant le point source et le point de calcul de la condition limite at a n a t 2

et nl désigne la direction orthogonale à n dans le même plan vertical. Le terme supplémentaire que nous avons introduit s'apparente à une diffusion suivant la direction n ~ , d'où suppression des ondes parasites numériques générées dans cette direction. La condition limite au sol utilise un modèle d'impédance de sol à réaction localisée.

Elle s'écrit:

-

i

.

^k.<

.

^p

- *

⁼^O^où

⁵

désigne l'admittance réduite du sol qui est donnée par le modèle de Delany-

az

Bazley, à un seul paramètre, o , imperméabilité du sol.

4

-

RESULTATS

Dans le cas homogène les tests effectués conduisent à des isophones circulaires dans tout plan horizontal. La comparaison avec la solution analytique, au-dessus d'un sol réfléchissant ou absorbant, prouve que la précision de nos calculs est meilleure que 0.5dB en tout point. Nous avons considéré divers types d'inhomogénéités. Pour un vent dont le module suit une loi exponentielle, nos résultats coïncident à 0.5dB près en chaque point avec ceux du calcul 2D dans les directions du vent (portant ou contraire) de Bart de Jong 141, quand le sol est totalement réfléchissant. Quand la surface du sol est absorbante (d'imperméabilité o = 2. 105~s/m4) les résultats coïncident pour vent nul. Par contre, en présence de vent, l'écart atteint lOdB à une distance de la source d'environ cent longueurs d'onde. L'effet du vent est alors prépondérant pour Bart de Jong 141, alors que dans nos simulations, c'est l'effet de sol qui domine. Il faut noter que les méthodes numériques de résolution diffèrent totalement et en particulier pour la en compte de l'effet de sol.

Les conditions aux limites imposées sur un obstacle de type écran acoustique sont de type imperméable à la fois dans les directions verticale et ortho-radiale (Le. gradient normai de pression acoustique, égal à dro: ap / an = 0).

La pression acoustique ⁱ³l'intérieur de l'obstacle est nulle: p = O. Nous avons simulé numériquement l'effet de deux écrans acoustiques similaires, de hauteur 2 longueurs d'onde environ, situés de façon symétrique par rapport à la source. Le caractère tri-dimensionnel des resultats, et donc l'importance de la prise en compte des termes de dérivées secondes par rapport à 8, apparaît clairement sur les coupes dans des plans horizontaux.

Quand le plan horizontal coupe l'écran (Fig.1) les isophones s'incurvent vers la zone sans écran: c'est le phénomène de diffraction. L'atténuation demère l'écran est comparée à l'altitude de 1.4m & celle obtenue avec un calcul analytique qui simule la présence d'un écran de type plaque mince. Le profil obtenu en fonction de la distance à la source est similaire; les valeurs numériques co'hcident à 1dB près en champ lointain. La comparaison des résultats d'un calcul 2D et de ce calcul 3D dans un cas de simulation couplée vent / écran permet de quantifier le phénomène de diffraction. La Fig.2 schématise le domaine d'étude. La Fig.3 représente les profils dans différentes directions des deux simulations à une hauteur de 2m. Dans le plan tangent à l'écran, sous le vent, le niveau sonore est plus fort en 3D, de 8dB en moyenne à longue distance. Dans le plan coupant l'écran, faisant un angle de 15deg avec le plan tangent, sous le vent, le niveau sonore est plus fort en 3D, de 2dB en moyenne à longue distance. Dans le plan tangent à l'&cran et celui coupant l'écran faisant un angle de 15deg avec le plan tangent, situés au vent, le niveau sonore est plus fort en 3D, de 4dB en moyenne à longue distance.

L'introduction d'une topographie au sol se fait en coordonnées non orthogonales, la direction de propagation suivant alors la pente du sol. La condition limite au sol ne peut pas être seulement une condition d'imperméabilité 13p / an = O car elle introduit des ondes réfléchies qui ne sont pas modélisées par l'approximation parabolique.

Nous proposons la condition d'ordre 2, compatible, a2p / an az = O qui conduit à des résultats d'atténuation derrière une butte, dans un plan médian, comparables à la formule analytique de Pierce (Fig.4).

(5)

C2-1212 COLLOQUE DE PHYSIQUE

5

-

ÇONCLUSION

Nous avons présenté une modélisation parabolique tri-dimensionnelle de la propagation acoustique en milieu extérieur, en présence d'un champ convecteur et d'obstacles éventuels. Les limitations du CO& résultent de I'approxirnation parabolique: les réflexions des ondes acoustiques dans le sens inverse la direction de parabolisation (ondes rétrogrades) ne sont pas prises en compte, et i'écart à la solution du probièrne exact d'ordre 2 s'accroît au-delà d'un secteur angulaire de 15O environ autour de la direction de parabolisation. Cette dernière Limitation n'est sensible que dans un plan v d c a l , puisque dans la pratique le pas de discrétisation angulaire dans un plan horizontal est de beaucoup inférieur

B

cette valeur.

L'écart entre solution anditique et simulation numérique dans les cas homoghes, sur des sols de différentes impédances, est inférieur à 0.5dB en tout point. Dans les cas où la physique du problème a de forts gradients suivant la direction angulaire o a h d a i e , cornnie en particulier en présence d'écrans, les dsultats obtenus avec la version tri-dimensionnelle sont compatibles avec les théories classiques de diffraction. Afin & chiffrer la précision des résultats dans les cas les plus complexes de diffraction couplée 2 la convection par un champ & vent quelconque, des mesures sur m&le d u i t semblent nécessaires.

VENT

Fig. 1

-

Diffraction par 2 écrans. Plan horizontal, au sol. Fig. 2

-

Simulation couplée vent / écran.

Fig. 3

-

Profils &mère l'écran dans les plans indiqués Propagation sur 120 longueurs d'onde (200m).

en gras. Récepteur à une hauteur de 2m.

+-CC calcul avec diffraction (3D)

Fig. 4

-

Diffraction par une butte (pente 25%).

Ill Tappert, F.D., Lecture Notes in Physics ⁽¹⁹⁷⁷⁾224.

/2l Yanenko, éd. Colin (1968) Ml Ding Lee, Comput. Acoust (1988)

141 Bart de Jong, éd. Delft university press (1983)