Comparaison entre la Rétro-Projection Filtrée (RPF) et l'Approche Bayésienne (AB) dans la Reconstruction Tomographique 2D

Comparaison entre la Rétro-Projection

Filtrée (RPF) et l'Approche Bayésienne (AB) dans la Reconstruction Tomographique 2D

Nabil Chetih*

* Welding and NDT Research Center (CSC), BP64, Cheraga, Algiers, Algeria

n.chetih@csc.dz

Zoubeida Messali**, Amina Serir***

** Université El Bachir El Ibrahimi de Bordj Bou-Arréridj, Département d’Electronique, Bordj Bou-Arréridj, Algérie.

*** Laboratoire de Traitement d’Images et de Rayonnement (LTIR), Université des Sciences et de la Technologie Houari

Boumediene, Alger, Algérie

Résumé— La reconstruction tomographique est considérée comme un problème inverse dont la résolution exacte et directe est délicate. Les données initiales de ce problème inverse sont les projections de l’objet étudié. Le principal problème de la reconstruction tomographique est l’estimation de l’objet à partir de ses projections. Notre objectif dans cet article, est d’établir une étude comparative entre deux méthodes de reconstruction tomographique 2D : la Rétro-Projection Filtrée (RPF) qui s’inscrit dans le cadre des méthodes analytiques et l’approche Bayésienne dans le cadre des méthodes probabilistes itératives.

Ces méthodes consistent à exprimer le problème de reconstruction tomographique directement sous une forme continue et discrète successivement. Nous avons conçu une interface en langage Matlab qui permet d’effectuer la reconstruction tomographique 2D par les deux méthodes étudiées et permet le calcul des critères d’évaluation. Grâce aux résultats de simulation, nous avons montré que l’algorithme de l’approche bayésienne offre la meilleure qualité de reconstruction.

Mots clés — Reconstruction Tomographique, Projections, RétroProjection Filtrée, Approche Bayésienne.

I. INTRODUCTION

La tomographie, au sens étymologique du terme, est un mode de visualisation en coupe d’un objet quel qu’il soit. De nos jours, et par abus de langage, nous employons le terme « tomographie » pour désigner un système ou une procédure qui permet d’imager l’intérieur d’un objet et donc des coupes à partir de ses projections réparties tout autour de celui-ci. La tomographie assistée par ordinateur (CT) est une technique permettant l'acquisition d'informations et la reconstruction de sections planes d'objets ou d'organes. Principalement développée dans le domaine médical pour la visualisation de sections de l'anatomie humaine, la CT est applicable à de nombreux autres domaines tels que la radioastronomie, la sismologie, la microscopie électronique, le contrôle non destructif industriel dont pratiquement tous les secteurs peuvent bénéficier de cette technique, que ce soit en aéronautique, en automobile ou encore dans l’industrie pétrolière, etc.

Pendant la dernière décennie, il y a eu une avalanche de publications sur différents aspects de la tomographie [1-4]. La tomographie est toujours interprétée comme un problème inverse mal posé. Le manque d’informations (non infinité des projections), la perte d’informations inhérente au processus de projection ainsi que le bruit entraînent donc des difficultés non négligeables dans la résolution du problème inverse de tomographie. Cesdifficultés en font un problème naturellement mal posé en générant des instabilités et une non unicité de la solution. Ainsi, il s’avère souvent nécessaire d’ajouter des contraintes afin de réduire l’espace des solutions possibles de façon à aboutir à une solution unique au problème. Ce problème a été abordé de façons diverses, en utilisant les méthodologies générales des problèmes inverses, de la restauration d'image, ou la théorie de la Transformée de Radon qui est sous-jacente en tomographie. Le problème de l'inversion de la transformée de Radon a été résolu dans le cas général dès 1917[5]. La résolution du problème de reconstruction tomographique comme un problème inverse se fait à partir de deux types de méthodes : les méthodes analytiques et les méthodes itératives [6]. Dans cet article nous avons établi une étude comparative détaillée entre deux méthodes de reconstruction tomographique 2-D : la Rétro-Projection Filtrée [6] et l’Approche Bayésienne [7].

Nous présentons les techniques de reconstruction dans la section 2 et 3. Dans la quatrième section, nous expliquons les critères d’évaluation qui ont été utilisés dans ce travail. Les résultats obtenus et des comparaisons essai sont présentés dans la cinquième section. Nous concluons à la sixième section.

II. LARÉTRO-PROJECTIONFILTRÉE(RPF) Les méthodes analytiques consistent à inverser analytiquement la transformée de Radon [8]. Cela suppose que les données sont continues et que la valeur d’une projection est connue en chaque point du sinogramme. Les lignes de projections acquises peuvent être disposées les unes au- dessous des autres en fonction de l’angle ; cette représentation

est un sinogramme. Les sinogrammes et les projections contiennent les mêmes informations ; ils ne diffèrent que par l’organisation avec laquelle les informations sont représentées.

Un sinogramme contient toute l’information relative à une coupe, pour tous les angles de projection alors qu’une projection contient toute l’information relative à toutes les coupes mais pour une incidence angulaire donnée [9]. Chaque ligne de matrice de sinogramme correspond à la projection monodimensionnelle de la coupe pour un angle particulier.

La projection de l’objet sous l’angle  illustre dans la figure 1 donnée par :

∫ (1)

Figure 1. Projection tomographique de l’objet selon un angle

La fonction est connue comme la transformée de Radon de la fonction , où représente l'image en 2D qui doit être reconstruite, et les paramètres de chaque ligne intégrante. est aussi connu comme un sinogramme de l'image. Un sinogramme comme représenté sur la figure 2, est une image 2D, dans laquelle l'axe horizontal représente la position de comptage du détecteur, et l'axe vertical correspond à la position angulaire du détecteur. L’utilisation d'une fonction delta, peut-être réécrite comme:

∬ (2)

Figure 2. (Gauche) « Image de Test » de taille (128x128). (À droite) correspondant sinogramme, avec des angles de projection variant entre

avec un pas de (i.e. 180 projections).

A partir de la connaissance du sinogramme , on peut facilement reconstituer l'image par l’utilisation des algorithmes de reconstruction tomographique. L'algorithme qui est actuellement utilisé dans presque toutes les applications de reconstruction tomographique est la rétroprojection filtrée (RPF), mathématiquement est définie par :

∫ ̂ (3) Où ̂ est la version filtrée de avec le filtre de rampe qui donne un poids proportionnel à sa fréquence de chaque composant. Donc, la relation entre ̂ et est exprimé comme :

̂ ∫ | | (4) Où est la transformée de Fourier 1D de , multipliant par | | donne le filtrage de rampe, l'intégration de l'expression de à donne la transformée de Fourier 1D inverse. En substituant (4) dans (3), on obtient:

∫ (∫ | | ) (5) Par conséquent, l'algorithme complet de Rétroprojection Filtrée peut être considéré comme suit:

Figure 3. Algorithme de RétroProjection Filtrée Notez que l’algorithme de Rétroprojection Filtrée fonctionne bien quand nous avons un grand nombre de projections réparties uniformément autour de l'objet et ne fournit pas des résultats satisfaisants lorsque le nombre de projections est inférieur à sept, comme il sera montré dans nos résultats de simulation.

III. ALGORITHMEDEL'APPROCHEBAYESIENNE (AB)

Les méthodes itératives consistent à exprimer le problème directement sous une forme discrète. Dans ces méthodes, on veut résoudre , où est le vecteur des valeurs dans le sinogramme, est le vecteur inconnu de valeurs de pixel dans l'image à reconstruire, et la matrice des coefficients est appelée matrice de projection ( matrice opérateur de Radon) [10]. L’approche bayésienne, modifie le problème inverse de telle sorte qu’il ne soit plus mal-posé et qu’ainsi le processus itératif puisse aller jusqu’à la convergence. Cette modification se fait en introduisant de l’information a priori sur la solution.

Cette approche fait partie bien évidement des méthodes probabilistes. L’idée de base dans ces méthodes est d’utiliser plus directement les outils de la théorie des probabilités et de l’estimation en attribuant directement des lois de probabilité

𝒑_𝜽 𝒕 𝓕FT _𝟏

|𝒗|

Filtre

𝓕_𝟏 ^𝟏

IFT 𝒑_𝜽 𝒕 Rétroprojection 𝒇 𝒙 𝒚

𝒕

𝛉

aux différentes grandeurs (les erreurs de mesures ou de modélisation, les grandeurs inconnues recherchées et les paramètres du modèle). On peut alors utiliser le cadre de l’estimation au sens bayésien [11].

Le but de l’algorithme bayésienne est de trouver par rapport à deux conditions: (a) les projections estimées doivent être aussi proches que possible de projections mesurées et (b) les images reconstruites ne doivent être pas trop bruitées. Par conséquent, l'introduction d'une connaissance a priori comme une contrainte, peut considérablement favoriser la convergence des algorithmes itératifs. Ce processus est appelé régularisation. L’a priori, basé sur une hypothèse de ce que l'image est réelle, est généralement choisi afin de pénaliser les images bruitées. Nous considérons le modèle linéaire avec bruit blanc gaussien additif, c'est à dire,

Où , et sont des vecteurs de variables aléatoires. Dans la théorie de l'inversion de Bayes, la solution complète pour un problème inverse est représentée par la distribution a posteriori, donnée par la formule de Bayes :

⁄

Où est la densité de vraisemblance, est la densité a priori et est la constante de normalisation. Nous choisissons l’estimation de maximum a posteriori (MAP) qui est obtenu à partir :

̂

⁽⁸⁾

Cela signifie que pour la densité a priori donnée et les projections mesurées , on détermine la valeur inconnue qui est dans le meilleur accord avec le modèle (6). En supposant un bruit gaussien de variance , la fonction de vraisemblance est :

( ‖ ‖

)

La question suivante est de savoir comment choisir la fonction de densité a priori . Pour la clarté, nous choisissons le bruit blanc gaussien avec la contrainte de positivité, c.-à-d.

( ^{‖ ‖} ) (10) Où la fonction de l'étape est égale à un lorsque tous les éléments de est positif; sinon elle est égale à zéro. Le calcul du MAP implique la minimisation

̂ {‖ ‖ ‖ ‖ } Où le paramètre de régularisation . Plus le niveau du bruit est important, plus il faut choisir le paramètre de régularisation élevé pour obtenir un résultat satisfaisant.

Le problème de l'estimation statistique est donc converti en un problème d'optimisation.

A chaque itération k, une estimation actuelle de l'image est disponible. Les projections mesurées sont ensuite comparées aux projections simulées de l'estimation actuelle, et l'erreur entre ces projections simulées et mesurées est utilisée pour modifier l'estimation actuelle et produire mise à jour de l’estimation, qui devient l’itération . Ce processus est ensuite répété plusieurs fois.

IV. ÉVALUATION DE LA PERFORMANCE

Dans nos simulations, nous avons utilisé une image synthétique, 2D fonctionnelle, statique, en niveaux de gris.

Pour évaluer les résultats obtenus, trois critères proposés dans [12] sont calculés en plus l’erreur de norme relative et la qualité visuelle des images reconstruites résultantes. Les mesures de qualité sont énumérées ci-dessous:

1 L'erreur de norme relative des images [6] résultantes est définie comme suit:

‖ ̂‖

‖ ‖ Tel que est l’image de test, et ̂ l’image reconstruite.

2 Normalized Cross-Correlation ( ): est égale au rapport entre la double somme de la valeur Carré d’une différence entre l'image originale et l'image de reconstruite sur double somme de la valeur Carré de l'image originale est défini comme:

∑ ∑[ ̂ ]

∑ ∑[ ]

⁄

3 Mean Square Error (MSE): c'est la mesure entre l'image de test et l'image reconstruite et définie par:

∑ ∑[ ̂ ]

Où est la valeur du pixel dans l'image de test et ̂ est la valeur du pixel dans l'image reconstruite, N est le nombre total de pixels.

4 Peak Signal to Noise Ratio (PSNR) est défini comme:

(

√ ) Les petites erreurs df, NCC et MSE, signifient que l'image reconstruite résultante est plus proche de l'image de test. Un autre critère pour les techniques de reconstruction tomographique est le nombre d'itérations et le nombre de projections utilisées dans le processeur de reconstruction.

V. RESULTATS ET DISCUSSIONS

Dans cette section, nous présenterons les résultats de reconstruction des deux méthodes : la RPF et l’Approche Bayésienne par rapport à la qualité de l’image reconstruite.

La figure 4 illustre la fenêtre de l’interface de la RPF et l’application de cette méthode pour le nombre de projections égale à 16. La fenêtre de l’interface de l’approche bayésienne pour 16 projections et 100 itérations est montrée dans la figure 5.

Figure 4. Fenêtre de la Rétroprojection Filtrée. (au dessus) L’image de test et sa sinogramme. (en bas) L’image reconstruite.

Figure 5. Fenêtre de l’approche bayésienne . (au dessus de gauche à droite) l’image de test et et sa sinogramme. (en bas) l’image initiale et l’image

reconstruite.

Nous présentons dans les figures 6 l’influence du nombre de projections sur la qualité de l’image reconstruite par RPF.

Nous avons pris les nombres de projections suivants : 3, 7, 32 et 180.

(a) (b)

(c ) (d)

Figure 6. Influence du nombre de projections sur la qualité de l'image reconstruite par RPF :(a) 3, (b) 7, (c) 32 et (d)180 projections

D’après la figure 6 Nous observons l’influence de l’augmentation de nombres de projection sur l’image reconstruite, pour 3 projections, nous ne pouvons pas obtenir des résultats satisfaisants. Pour 32et 64 projections, l'image possède un artefact en forme d'étoile. Au-delà de 64 jusqu’à 180 projections, les artefacts diminuent et l'image reconstruite est bonne. Plus ce nombre est important, plus la qualité de l’image reconstruite est bonne.

Dans le Tableau 1 nous montrons la variation des valeurs des critères , , par la méthode de rétroprojection filtrée pour différents filtres (Rampe, Shepp- Logan, Hamming et Hanning).

TABLE 1. VARIATION DES CRITÈRES D’ÉVALUATION PAR LA MÉTHODE DE RÉTROPROJECTION FILTRÉE POUR DIVERS

FILTRES, EN UTILISANT 180 PROJECTIONS.

Rétro-Projection Filtrée

Image Synthétique

Filter

Rampe 0.33118 65.812 0.01719 0.09709

Hanning 0.29674 66.7658 0.0138007 0.077951 Hamming 0.298919 66.7022 0.0140041 0.0790998 Shepp-Logan 0.32125 66.0764 0.01617 0.09135

RétroProjection Filtrée

Approche Bayésienne

D’après le tableau 1 nous constatons que la qualité de l’image reconstruite par RPF en utilisant divers filtres est presque identique. Cela signifie que le choix du filtre n'a pas un effet significatif pour améliorer la qualité de l'image.

Les images reconstruites obtenues à partir de l’algorithme de l’approche bayésienne par variation le nombre de projections : 3, 7, 33, 180 et pour 100 itérations, sont montrés sur la figure 7. Dans la figure 8 nous illustrons le rôle du nombre d’itérations sur la qualité de reconstruction par l’algorithme de l’approche bayésienne. Nous avons pris les nombres d’itérations suivants : 5, 50, 100 et 500 avec un nombre de projection égale 64.

(a) (b)

(c ) (d)

Figure 7. Les Images reconstruites par l’approche bayesiènne : (a) 3 ,(b) 7, (c ) 33 et (d) 180 projections pour 100 itérations

(a) (b)

(c ) (d)

Figure 8. Les Images reconstruites par l’approche bayesiènne : (a) 5 ,(b) 50, (c ) 100 et (d) 500 itérations pour 180 projections.

Nous pouvons facilement remarquer, d’après les résultats présentés dans les figures 7 et 8 l’amélioration de la qualité de reconstruction avec l’augmentation du nombre d’itérations et projections. Quand ces nombres augmentent, la qualité de l’image reconstruite est plus proche de l’image originale. La variation des critères d’évaluation ( , , ,et ) en fonction du nombre de projections pour les deux méthodes sont indiquées dans la Figure 9, en utilisant l’algorithme de l’approche bayésienne pour 100 itérations.

20 40 60 80 100 120

10^-2 10

-1 10

0 10¹

FBP

AB

20 40 60 80 100 120

10

-3

10

-2

10

-1

10⁰ 10

1

FBP AB

20 40 60 80 100 120

10^-3 10

-2 10

-1 10

0

FBP AB

Normalized Cross Correlation NCC Mean Square Error MSERelative Norm Error df

Nombre de projections (a)

Nombre de projections (b)

Nombre de projections (c)

Figure 9: Variation des Critères d’évaluation en fonction du nombre de projections pour RPF et l’Approche Bayesienne. En utilisant 100 itérations.

D’après les graphes (Fig.9) le nombre de projections joue un rôle crucial dans la reconstruction pour les deux méthodes.

Quand le nombre de projections augmente, les paramètres dévaluation ( , et NC ) diminuent. Cette diminution est très rapide pour un nombre de projections entre 1 et 20 et lente au-delà de 20 projections, par contre une augmentation significative de PSNR. Logiquement, une valeur plus élevée de PSNR est bonne parce que cela signifie que le rapport de signal sur bruit est plus élevé. Ici, le «signal» est l'image de test, et le «bruit» est l'erreur dans la reconstruction.

Nous pouvons facilement remarquer, d’après les résultats présentés dans les figures 6, 7,8 et 9, l’algorithme bayésien fonctionne mieux, même si un nombre limité de projections.

En outre, L'expérience a montré que l'artefact en étoile apparaissant dans l'image reconstruite à partir de la rétroprojection filtrée a disparu avec la méthode Bayésienne. Il faut noter ici qu’un nombre d'itérations élevé est nécessaire dans le processus de cette méthode pour améliorer la qualité de l'image. L’erreur est importante pour un nombre d’itérations petit.

VI. CONCLUSION

Cet article présente une étude comparative détaillée entre deux méthodes de reconstruction tomographique 2-D : la méthode analytique Rétroprojection Filtrée (RPF) et la méthode itérative bayésienne (AB). Nous avons utilisé dans notre étude de simulation une image médicale de type IRM de cerveau humain. Nous avons montré que la rétroprojection filtrée et l’interpolation directe dans le domaine de Fourier, permettent une reconstruction rapide et bien meilleure dans le cas de données suffisantes et manquent d’adaptation dans le cas de données manquantes.Les résultats de simulation obtenus ont montré que, la RPF reste cependant inférieure par rapport à la méthode de l’approche bayésienne. Cette dernière nous a permis une amélioration considérable de la qualité de reconstruction surtout pour un nombre important d’itérations

même si on utilise un nombre limité de projections. L’intérêt majeur de l’approche bayésienne est d’intégrer une fonction de régularisation dans le processus de reconstruction et d’utiliser les connaissances a priori sur les inconnues. Pour conclure, l’approche bayésienne qui ramène le problème de reconstruction tomographique en un problème d’optimisation, nous a offert des résultats bien meilleurs par rapport la méthode de RPF en termes de qualité visuelle de reconstruction et en ce qui concerne les quatre paramètres de performance. Au futur, nous appliquerons les méthodes que nous avons étudiées dans cet article sur les images radiographiques.

REMERCIMENTS

Nous remercions M. A. Djafari pour les discussions et l'explication de la théorie bayésienne au cours de la durée du séjour de Z. Messali à Supelec, France 2011.

REFERENCES

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[12] S. D. Desai, L. Kulkami, “A Quantitative Comparative Study of Analytical and Iterative Reconstruction Techniques,” International Journal of Processing (IJIP), 4(4):pp. 307-319, October 2010.

20 40 60 80 100 120

10 1.7 10

1.8

FBP AB

Nombre de projections (d)

Peak Signal to Noise Ratio PSNR (db)