Reconstruction tomographique

Reconstruction tomographique

Irène Buvat U678 INSERM

Paris

buvat@imed.jussieu.fr

http://www.guillemet.org/irene

Master d’Imagerie Médicale Paris 11

Plan du cours

• Introduction

- La tomographie

- Problème de reconstruction tomographique - Tomographie en transmission

- Tomographie en émission

- Spécificité du problème de reconstruction tomographique

• Notions de base

- Projection

- Transformée de Radon - Sinogramme

- Rétroprojection

• Méthodes de reconstruction analytique

- Principe

- Théorème de la coupe centrale - Rétroprojection filtrée

- Filtres

• Méthodes de reconstruction itérative

- Principe et et méthodes - Opérateur de projection R - Méthodes algébriques - Méthodes statistiques - Régularisation

Introduction : la tomographie

• Tomos : coupe, section (grec)

• Graphia : écrire

• Cartographie d’un paramètre interne à un objet, selon un ou plusieurs plans de coupes, à partir de mesures externes et de calculs

Introduction : la tomographie

• Un moyen de sonder la matière, qui a de multiples domaines d’applications, e.g. :

- contrôle non destructif,

- géophysique (sondage des océans, des couches géologiques)

- astrophysique, - imagerie médicale

La tomographie : principe

• Mesure de rayonnement émis, transmis ou réfléchi par la matière : mesure indirecte du paramètre relatif à

l’objet d’intérêt

• Traitement de l’information détectée

La tomographie médicale

• Traitement de l’information détectée

• Mesure de rayonnement émis ou transmis par des tomodensitomètres, gamma caméras ou tomographes à émission de positons

Le point clef

• Mesures sous différentes incidences angulaires

En imagerie médicale

Mesures intégrales sous différentes incidences angulaires

Traitement de l’information détectée projections

mesures = projection

Introduction : coupes tomographiques

sagittale transverse coronale

coupe transaxiale (ou transverse) axe du scanner

coupe coronale coupe sagittale

Deux types de mesure en imagerie médicale

• Tomographie de transmission

mesures

• Tomographie d’émission

mesures

Tomographie de transmission : dispositifs

• Source (X ou g) externe au patient

scanner X

(tomodensitométrie) X

N₀

N

PET b+

N₀

SPECT N N₀

N g

Tomographie de transmission : principe

• Intensité de la source externe connue

Intensité du signal émis par la source externe

x

Intensité du signal ayant traversé

Intensité du signal ayant travers

os

muscle

Tomographie de transmission : mesures

ln N

= m (l) dl

N

Ú

N = N

exp(- m (l) dl)

0

Ú

• Projection du rayonnement ayant traversé le patient fi intégrale des coefficients d’atténuation

• Objet à reconstruire : cartographie 3D des coefficients d’atténuation m du milieu traversé

• Source g ou b+ interne au patient

Tomographie d’émission : dispositifs

** *

détecteur

détecteur

détecteur détecteur

SPECT

*

*

Tomographie d’émission : principe

Donne des informations sur l’intensité et la position de la source (des sources) dans l’objet

x Intensité du signal ayant traversé

source

x Intensité du signal détecté

Tomographie d’émission : mesures

0

Ú

N = f(l) dl

• Idéalement (sans atténuation) : intégrale de l’activité le long des raies de projections

x y

z

• Objet à reconstruire : cartographie 3D de la distribution d’activité f dans l’organisme

Traitement de l’information détectée

Estimer la distribution 3D du paramètre d'intérêt à partir des projections 2D mesurées

Reconstruction tomographique

• Tomographie de transmission

Paramètres d’intérêt = coefficient d’atténuation m des tissus traversés

• Tomographie d’émission

Paramètres d’intérêt = cartographie de l’émission

Formulation du problème en 3D

• Un ensemble de « projections » 2D

détecteur en position q une projection q

volume 3D étudié x

z

y N(x,z)

reconstruction d’un objet 3D

Factorisation du problème de reconstruction

volume 3D à partir d’images 2D

projections 2D

cartographie 3D d’un paramètre

distribution 3D

volume 3D reconstruit à partir de la reconstruction d’un ensemble de coupes 2D

projections 1D

coupe transaxiale cartographie 2D d’un paramètre

Formulation du problème en 2D

• Un ensemble de projections 1D

détecteur en position q une ligne de projection

coupe axiale z_i x

z N(x)

x

reconstruction d’un objet 2D (coupe z_i)

ensemble de coupes z = volume d’intérêt

Pourquoi est-ce difficile ?

La leçon difficile, William Bouguereau (1825 - 1905)

Non unicité de la solution

• Pas de solution unique : toujours plusieurs objets compatibles avec un ensemble fini de projections

1 projection : plusieurs solutions possibles direction

projectionde

2 projections : plusieurs solutions possibles directions

projectionde

Bruit

• Pas de solution du fait du bruit entachant les données

source

projection idéale ^x

Intensité du signal détecté

Intensité du signal détecté

Problème inverse mal posé

• Problème inverse :

On connaît la solution (les mesures) et il faut trouver ce qui a produit cette solution

• Problème mal posé :

La solution est instable : une petite différence sur les projections peut conduire à des coupes reconstruites très différentes

Notions de base

!

Travaux princeps

1917 : Johann Radon : “De la détermination des fonctions à partir de leurs intégrales selon certaines directions”, Math. Phys. Klass

1887-1956

Formulation de l’opération de projection

p(u, q ) = f(x,y) dv +•

Ú

q

x y

u = x cos q + y sin q v = -x sin q + y cos q

v f(x,y)

u

projection q u

Exemple

projection q u

3 4 2 3 3 10 9 2 2 10 10 2 4 0 3 1 12 24 24 8

12

24

24

8

Transformée de Radon

p(u, q ) = f(x,y) dv

-•

Ú +•

ensemble des projections pour q = [0, p ] = transformée de Radon de f(x,y)

f(x,y)

domaine spatial espace de Radon

p(u,q)

Problème de reconstruction tomographique : inverser la transformée de Radon, i.e.,

estimer f(x,y) à partir de p(u,q)

Sinogramme

Sinogramme = signal issu d’une coupe z_i vue sous différentes incidences q

t

q

q₂ q₃

q₁ t

Sinogrammes et projections

Les sinogrammes et les projections contiennent les mêmes informations : ils ne diffèrent que par l’organisation avec laquelle les informations sont représentés.

sinogramme correspondant à la coupe zq _i

Un sinogramme : toute l’information relative à une coupe, obtenue pour tous les angles de projection.

Une projection : l’information relative à toutes les coupes, projection correspondant à l’angle q

z

Compris ?

On dispose de 64 projections de dimension 128 pixels (dans la direction axiale ) x 256 pixels

• Combien de coupes transaxiales peut-on reconstruire sans interpolation ?

• Combien de sinogrammes peut-on former à partir de ces projections ?

• Quelles sont les dimensions d’un sinogramme ? 128

128

64 lignes et 256 colonnes

Deux approches à la reconstruction tomographique

• Les méthodes analytiques

• Les méthodes discrètes (ou itératives)

R[f(x,y)] = p(u, Ú

q ) d q

p = R f

Méthodes de reconstruction analytique : introduction

• Inversion analytique de la transformée de Radon

• Expression continue du problème de reconstruction tomographique

• Méthode la plus courante : rétroprojection filtrée

FBP : Filtered BackProjection

• Méthodes rapides

Opération de rétroprojection

q

x y

v

u = x cos q + y sin q v = -x sin q + y cos q

f(x,y) u

projection q u

p(u,q)

f*(x,y) = p(u, q ) d q 0

Ú p

p

Exemple

3 6 6 2 3 6 6 2 3 6 6 2 3 6 6 2

projection q u

12 24 24 8

3 3 3 3 6 6 6 6 6 6 6 6 2 2 2 2

12 24 24 8

Image résultante Image originale

Limites de la rétroprojection simple

u

f*(x,y) = p(u, q ) d q 0

Ú p

rétroprojection simple

artefacts d’épandage en étoile

image originale

nombre de projections

1 3 4

Rétroprojection filtrée : principe

rétroprojection simple

u

f*(x,y) = p(u, q ) d q 0

Ú p

f*(x,y) = p(u, q ) d q 0

Ú p

Théorème de la coupe centrale (TCC) (1)

p(u,q) = f(x,y) dv -•

Ú

Fourier (TF) P(r,q) = p(u, q)e^-i2pru du -•

Ú

TF monodimensionnelle d’une projection par rapport à u

=

P(r,q) = f(x,y)e^-i2pru du dv = f(x,y)e^{-i2p(xrx + yry)} dx dy -•

Ú

-•

Ú

-•

Ú

-•

Ú

changement de variable : (u,v) (x,y)

r_x = r cos q r_y = r sin q du.dv = dx.dy q

x y

v

u = x cosq + y sinq v = -x sinq + y cosq

u

Théorème de la coupe centrale (TCC) *

q

u p(u,q)

TF 1D

q

r P(r,q)

y

projection

r_y z

P( r , q ) = F( r

, r

)

z=0

TF monodimensionnelle d’une projection par rapport à u TF bidimensionnelle de la distribution à reconstruire=

Rétroprojection filtrée : principe

Si on a P(r,q) pour tous les angles q entre 0 et p, on peut reconstruire la transformée de Fourier de l’objet, et donc l’objet

q₁

r P(r,q₁)

q₂ q₃

r_x q

r r_y

F( , )

Rétroprojection filtrée : démonstration P( r , q ) = F( r

, r

)

f(x,y) = F(r_x,r_y)e^{i2p (xrx + yry)} dr_x dr_y -•

Ú

-•

Ú

TF^-1

changement de variable : (r_x, r_y) (r, q)

r_x = r cos q r_y = r sin q

r = (r_x² + r_y²)^1/2 dr_x.dr_y = r.dr.dq u = x cosq + y sinq 0

Ú

Ú

= P(r,q) |r|e^i2pru dr dq -•

Ú

-•

Ú

TCC

= P(r,q)e^{i2p(xrx + yry)} dr_x dr_y

0

Ú

-•

Ú

projections filtrées filtre rampe

= p’(u,q) dq avec p’(u,q) = P(r,q) |r|e^i2pru dr

Algorithme de rétroprojection filtrée

f(x,y) = p’(u,q) dq avec p’(u,q) = P(r,q) |r|e^i2pru dr 0

Ú

-•

Ú

transformée de Fourier

P(r,q) filtrage

|r| P(r,q)

Transformée de Fourier

inverse

p’(u,q) f(x,y)

images reconstruites

rétroprojection p(u,q)

projections

Insuffisance du filtre rampe

filtre rampe f(x,y) = p’(u,q) dq avec p’(u,q) = P(r,q) |r|e^i2pru dr

0

Ú

-•

Ú

filtre rampe 0 0,8 1

0

|r|

amplification des hautes fréquences

r

|r|

hautes fréquences = détails dans les images (haute résolution spatiale)

mais aussi … bruit parasite

Insuffisance du filtre rampe

filtre rampe f(x,y) = p’(u,q) dq avec p’(u,q) = P(r,q) |r|e^i2pru dr

0

Ú

-•

Ú

| r | | r |w( r )

fenêtre d’apodisation

w(r) |r|w(r)

1

00 0,8

1

00 0,8 fenêtre

d’apodisation de Hann

filtre de résultantHann filtre rampe

0 0,8 1

0

|r|

w(r) = 0,5.(1+cospr/r ) si r < r domaine

Contrôle du bruit

Perte en résolution spatiale

Filtres classiques : filtre de Hann

• Filtre rampe

meilleure résolution spatiale mais forte amplification du bruit haute fréquence

• Filtre de Hann

modifie les moyennes fréquences

w(r) = 0,5.(1+cospr/r_c) si r < r_c = 0 si r ≥ r_c

0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

Filtres classiques : filtre de Hamming

• Filtre rampe

• Filtre de Hamming

0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

plus faible est la fréquence de coupure,

moins on préserve les détails “haute fréquence”, i.e., plus fort est le lissage

w(r) = 0,54+0,46(cospr/r_c) si r < r_c = 0 si r ≥ r_c

fréquence de coupure r_c (cm^-1 ou pixel^-1)

Filtres classiques : filtre gaussien

• Filtre rampe

• Filtre gaussien (domaine spatial)

FWHM = 2 2ln2 s (pixel)

0 1 2 3 4 c(x) = (1/s 2p).exp[-(x-x₀)²/2s²]

Filtres classiques : filtre de Butterworth

• Filtre rampe

• Filtre de Butterworth

ordre n, r_c=0,25

2 4 6 8 10

plus faible est l’ordre

moins on préserve les détails “haute fréquence”, i.e., w(r) = 1/[1+(r/r_c)²ⁿ] si r < r_c

= 0 si r ≥ r_c

2 paramètres : fréquence de coupure r_c et ordre n

Implémentation du filtre

Il existe plusieurs façons d’implémenter un même filtre : l’usage d’un même filtre peut conduire à des résultats légèrement différents d’une console à l’autre

Implantation du filtrage

• Multiplication du filtre rampe par une fenêtre d’apodisation

filtrage 1D (direction x)

• Filtrage des projections puis reconstruction avec un filtre rampe

filtrage 2D (directions x,z)

• Reconstruction avec un filtre rampe puis filtrage 2D des coupes reconstruites

filtrage 2D (directions x,y)

• Reconstruction avec un filtre rampe puis filtrage 3D du volume reconstruit

filtrage 3D (directions x,y,z)

|r| |r|w(r)

coupe z_i x z

y

Méthodes de reconstruction analytique : discussion

• Rapide

• Mais beaucoup d’approximations non vérifiées en pratique :

- modèle de lignes intégrales (résolution spatiale parfaite du détecteur)

projection q u

- pas de prise en compte des fluctuations statistiques

Méthodes de reconstruction itératives : introduction

• Expression discrète et matricielle du problème de reconstruction tomographique

• Problème de reconstruction : système d’équations de grande taille

128 projections 128 x 128

2 097 152 équations à autant d’inconnues

• Inversion itérative du système d’équations r₁₁ r₁₄

r41 r₄₄ p₁

p₂ p₃ p₄

f₁ f₂ f₃ f₄

=

Expression discrète du problème de reconstruction

p

projection

f

f

f

f

f

p

p

p

p

p₁ = r₁₁ f₁ + r₁₂f₂ + r₁₃f₃ + r₁₄ f₄ p₂ = r₂₁ f₁ + r₂₂f₂ + r₂₃f₃ + r₂₄ f₄ p₃ = r₃₁ f₁ + r₃₂f₂ + r₃₃f₃ + r₃₄ f₄ p₄ = r₄₁ f₁ + r₄₂f₂ + r₄₃f₃ + r₄₄ f ₄

r₁₁ r₁₄

r41 r₄₄ p₁

p₂ p₃ p₄

f₁ f₂ f₃ f₄

=

p = R f

Expression de l’opérateur de projection R

p

projection

f

p = R f

Modélisation du problème direct

paramètres d’intéret mesures = projections

Dimension du problème

p = R f

projections

acquises objet à

reconstruire opérateur

de projection p₁ = r₁₁ f₁ + r₁₂f₂ + …+ r_1F f_F

p₂ = r₂₁ f₁ + r₂₂f₂ + …+ r_2F f_F

…

p = r f + r f + …+ r f

r₁₁ r_1F

r r

p₁ p₂

… p

f₁ f₂

… f

=

Exemple

Ecrire le R correspondant au schéma

f₁ f₂ f₃ f₄

p₁ = 2f₁ + f₃ p₂ = 2 f₂ + f₄ p₃ = f₁ + 2 f₂ p₄ = f₃ + 2 f₄

2 0 1 0 0 2 0 1 1 2 0 0 0 0 1 2

R

p₁ p₂

contribution 2 contribution 1 p₃

p₄

Expression de l’opérateur de projection R

• Modélisation de la géométrie de détection Deux aspects

f

r

= r

= p

p

a ≠0 0

p₁ p₂

• Modélisation de la physique de détection

Modélisation géométrique de l’opérateur R (1)

• Modèle de distribution de l’intensité des pixels :

R indique quel pixel contribue à quel bin de projection, et avec quel poids

01 00

modèle de Dirac

modèle de longueur de raies

l

modèle exact

= modèle uniforme

bins de projection

Modélisation géométrique de l’opérateur R (2)

• Modèle de la géométrie de détection :

R indique quel pixel contribue à quel bin de projection

géométrie parallèle

f

r

=a r

=0 p

p

géométrie en éventail

Modélisation physique de l’opérateur R (1)

• Atténuation du signal (SPECT et PET)

f₁ f₂ f₃ f₄ p₁ p₂

p₁ = g₁₁ f₁ exp(-m₁d₁) + g₁₃f₃ exp(-m₃d₃-2 m₁d₁)

carte des m d₃

d₁

contribution géométrique

Modélisation physique de l’opérateur R (2)

sans modélisation de la diffusion : p₁ = r₁₁ f₁ + r₁₃ f₃

avec modélisation de la diffusion : p₁ = r₁₁ f₁ + r₁₂ f₂ + r₁₃ f₃ + r₁₄ f₄

f₁ f₂ f₃ f₄ p₁ p₂

• Diffusion (SPECT et PET)

Modélisation physique de l’opérateur R (3)

sans modélisation de la fonction de réponse du détecteur :

p₁ = r₁₁ f₁ + r₁₃ f₃ avec modélisation :

p₁ = r₁₁ f₁ + r₁₂ f₂ + r₁₃ f₃ + r₁₄ f₄ f₁ f₂

f₃ f₄ p₁ p₂

• Réponse du détecteur

Opérateurs de projection R et de rétroprojection

p

projection

f

f₁ f₂ f₃ f₄ p₁ p₂

p₁= f₁ + f₃ p₂= f₂ + f₄ p₃= f₁ + f₂ p = f + f

p

rétroprojection

f

f*₁= p₁ + p₃ f*₂= p₂ + p₃ f*₃= p₁ + p₄ f* = p + p p₃

p₄

Résolution du problème inverse

définit la méthode itérative : additive : fⁿ⁺¹ = fⁿ + cⁿ

p = R f

vs p

comparaison

p

^ f

facteur de correction cⁿ

f

estimée initiale de l’objet à reconstruire

p = R f

p

^

projection correspondant à l ’estimée fⁿ

Recherche d’une solution f minimisant une distance d(p,Rf), p et R étant connus

Deux classes de méthodes discrètes itératives

• Méthodes algébriques

- méthodes génériques résolvant un système d’équations linéaires

- minimisent ||p - R f||²

- ART, SIRT, ILST, Gradient conjugué, etc

• Méthodes statistiques

- estimation bayesienne

- prennent en compte le bruit dans les données - maximisent une fonction de vraisemblance - MLEM, OSEM

Exemple

• Deux pixels et deux raies de projection

système de deux équations à deux inconnues

f₁ f₂

p₁ p₂

f₁ = 10 f₂ = 15

7/8 1/8 1/8 7/8

R

Opérateur de projection (connu)

p₁ = 7/8 f₁ + 1/8f₂ = 85/8 p₂ = 1/8 f₁ + 7/8 f₂ = 115/8 Valeurs de projection mesurées

Approche ART (Algebraic Reconstruction Technique)

• Utilisation d’une seule équation de raie par itération, et mise à jour de chaque inconnue à partir de cette équation

• Modification à chaque itération proportionnelle à l’erreur par rapport à la projection vraie

• ART additive (erreur = p_k - p_kⁿ)

ou ART multiplicative (erreur = p_k / p_kⁿ)

p₁ = 7/8 f₁ + 1/8f₂ = 85/8 (équation 1) p₂ = 1/8 f₁ + 7/8 f₂ = 115/8 (équation 2)

ART additive

• Repose sur la méthode de Kaczmarz

f

= f

+ (p

- p

) r

/ S

r

• Exemple (initialisation f₁⁰ = f₂⁰ = 0 fi p₁⁰ = p₂⁰ = 0 ) : itération n=1, raie k=1, estimation de f₁ et f₂ :

f₁¹ = 0 + (85/8-0).(7/8)/(49/64+1/64) = 119/10 = 11,9 f₂¹ = 0 + (85/8-0).(1/8)/(49/64+1/64) = 17/10 = 1,7 fi p₂¹ = 119/40 = 3,0

itération n=2, raie k=2, estimation de f₁ et f₂ :

f₁² = 11,9 + (115/8-119/40).(1/8)/(49/64+1/64) = 13,7 f₂² = 1,7 + (115/8-119/40).(7/8)/(49/64+1/64) = 14,5 fi p₁¹ = 13,8

itération 1 2 3 4 5

f1 11,9 13,7 10,1 10,3 10,0 f2 1,7 14,5 13,9 14,9 14,9

• A chaque itération, mise à jour successive de toutes les p₁ = 7/8 f₁ + 1/8f₂ = 85/8 = 10,6

p₂ = 1/8 f₁ + 7/8 f₂ = 115/8 = 14,4

écart entre valeurs du bin de projection estimée et observée

contribution du pixel i à la raie de projection k

Approche SIRT

• SIRT : Simultaneous Iterative Reconstruction Technique

• Utilisation de toutes les équations à chaque itération et mise à jour de chaque inconnue

• Modification à chaque itération proportionnelle à l’erreur par rapport à la projection vraie

• Méthode de Jacobi

Méthode de Gauss-Seidel

• Nombre d’itérations réduit par rapport aux méthodes ART p₁ = 7/8 f₁ + 1/8f₂ = 85/8 (équation 1)

p₂ = 1/8 f₁ + 7/8 f₂ = 115/8 (équation 2)

Pourquoi ?

SIRT : méthode de Jacobi

f

= f

+ (p

- p

) / r

• Exemple (initialisation f₁⁰ = f₂⁰ = 0 fi p₁⁰ = p₂⁰ = 0 ) : itération n=1 :

estimation de f₁ en résolvant l’équation 1 f₁¹ = (85/8)/(7/8) = 85/7 = 12,1

estimation de f₂ en résolvant l’équation 2 f₂¹ = (115/8)/(7/8) = 115/7 = 16,4

itération n=2 :

estimation de f₁ en résolvant l’équation 1 f₁² = [85/8-(1/8)*(115/7)]/(7/8) = 9,8

estimation de f₂ en résolvant l’équation 2 f₂² = [115/8-(1/8)*(85/7)]/(7/8) = 14,7

itération 1 2 3

f 12,1 9,8 10,0 p₁ = 7/8 f₁ + 1/8f₂ = 85/8 = 10,6 p₂ = 1/8 f₁ + 7/8 f₂ = 115/8 = 14,4

écart entre valeurs du bin de projection estimée et observée

contribution du pixel i à la raie de projection i

SIRT : méthode de Gauss-Seidel

• Identique à la méthode de Jacobi mais en tirant immédiatement parti des estimations obtenues aux itérations précédentes

f

= f

+ (p

- p

) / r

• Exemple (initialisation f₁⁰ = f₂⁰ = 0 fi p₁⁰ = p₂⁰ = 0 ) : itération n=1 :

estimation de f₁ en résolvant l’équation 1 f₁¹ = (85/8-0)/(7/8) = 85/7 = 12,1

estimation de f₂ en résolvant l’équation 2 avec f₁¹=85/7 f₂¹ = [115/8-(1/8)*(85/7)]/(7/8) = 14,7

itération n=2 :

estimation de f₁ en résolvant l’équation 1 avec f₂¹=14,7 p₁ = 7/8 f₁ + 1/8f₂ = 85/8 = 10,6

p₂ = 1/8 f₁ + 7/8 f₂ = 115/8 = 14,4

estimé à partir de toutes les valeurs courantes des f_i

Méthodes de descente

• Méthodes ART et SIRT :

f

= f

+ a (erreur

)

• Méthodes de descente :

f

= f

+ a

(erreur

)

modification du coefficient de pondération à chaque itération

• Méthode du gradient : Iterative Least Squared Technique (ILST)

Méthode du gradient conjugué

e.g., p_k - p_kⁿ coefficient de

pondération constant

coefficient de pondération optimisé

• Formule de mise à jour :

f

= f

+ a

d

• Vitesse de descente optimisée à chaque itération :

aⁿ = ||R^t p - R^t R fⁿ||² / (R^t p - R^t R fⁿ)^t R (R^t p - R^t R fⁿ)

• Direction de descente optimisée à chaque itération : itération 1 : d¹ = R^t p - R^t R f⁰

itération n : dⁿ = (R^t p - R^t R fⁿ) + bⁿ d^n-1 optimisation de la convergence

convergence rapide méthode additive

Méthodes de descente : gradient conjugué

coefficient de pondération optimisé

à chaque itération (vitesse de descente)

direction de descente optimisée à chaque

itération

Deux classes de méthodes discrètes itératives

• Méthodes algébriques

- méthodes itératives conventionnelles résolvant un système d’équations linéaires

- minimisent ||p - R f||²

- ART, SIRT, ILST, Gradient conjugué, etc

• Méthodes statistiques

- prennent en compte le bruit dans les données - maximisent une fonction de vraisemblance - estimation bayesienne

- MLEM, OSEM

Méthode statistique : MLEM

• MLEM = Maximum Likelihood Expectation Maximization

• Utilise une formulation probabiliste du problème de reconstruction :

- modèle probabiliste :

Les p_k sont des variables aléatoires de Poisson de paramètres p_k, d’où l’expression de la vraisemblance de f :

prob(p|f) =

P

- détermine la solution f qui maximise la

vraisemblance (ou log-vraisemblance), i.e., prob(p|f) par rapport au modèle probabiliste choisi.

p_k k

• Formule de mise à jour :

f

= f

. R

[ p / p

] Algorithme MLEM

projection erreur

p/p

comparaison

^ f

rétroprojection

f

estimée initiale de l’objet à reconstruire

p = R f

p

^

projection correspondant à l ’estimée fⁿ

image erreur

f

= f

. f

multiplication de l’image courante par l’image erreur

* solution toujours positive ou nulle

* convergence lente

* méthode itérative la plus utilisée en SPECT (dans sa version accélérée OSEM)

• OSEM = Ordered Subset Expectation Maximisation

• Tri des P projections en sous-ensembles ordonnés

Version accélérée de MLEM : OSEM

8 projections

Former 2 sous-ensembles échantillonnant chacun à peu près tout l’objet

-

estimation de f² à partir de f’¹ et des projections p² correspondant au sous-ensemble 1

f² = f^’1 . R^t [ p/ p² ]

estimation de f^’2à partir de f² et des projections p^’2 correspondant au sous-ensemble 2

f^’2 = f² . R^t [ p/ p^’2 ] etc.

Utilisation des sous-ensembles

• Application de MLEM sur les sous-ensembles :

-

estimation de f¹à partir de l’initialisation f⁰ et

des projections p¹ correspondant au sous-ensemble 1

f¹ = f⁰ . R^t [ p/ p¹ ]

estimation de f’¹ à partir de f¹et des projections p^’1 correspondant au sous-ensemble 2

f^’1 = f¹ . R^t [ p/ p^’1 ]

• OSEM avec S sous-ensembles et I iterations

¤ SI itérations de MLEM

Caractéristiques de OSEM

MLEM 1 16 24 32 40 itér.

OSEM 4 ss-ens.

OSEM 8 ss-ens.

1 4 6 8 10 itér.

1 2 3 4 5

• RAMLA : Row-Action Maximum Likelihood Algorithm

• Cas particulier de OSEM où le nombre de sous- ensemble est égal au nombre de projections :

- mise à jour des images reconstruites f projection par projections

- paramètre supplémentaire (paramètre de relaxation) pour contrôler l’amplification du bruit

Autre méthode itérative rapide : RAMLA

OSEM

RAMLA

• Plus élevé est le nombre d’itérations, meilleure est la restitution des hautes fréquences

• Problème du choix du nombre d’itérations

- convergence vers la solution puis divergence de la procédure lors de la reconstruction des très hautes fréquences du fait de la présence de bruit

(haute fréquence)

nécessité de « régulariser »

Caractéristiques des méthodes itératives

OSEM 1 2 3 4 5 8 ss-ens.

Régularisation

Faire tendre la solution vers ce à quoi on s’attend

- solution non régularisée :

minimisation d’une distance (un écart) entre p et Rf - solution régularisée :

minimisation d’une distance entre p et Rf tout en imposant des contraintes sur f

• Régularisation implicite : arrêt précoce des itérations

• Régularisation explicite : introduction d’un a priori sur la solution :

- solution non régularisée :

minimisation de d(p,Rf) - solution régularisée :

minimisation de d₁(p,Rf) + ld₂(f,f_a)

solution compromis entre la fidélité aux mesures et l’a priori

Importance de la régularisation

a priori régularisant

• Exemples d’a priori régularisants :

- f suffisamment lisse (d mesure alors les écarts de

Reconstruction tomographique - Irène Buvat - novembre 2005 - 85

Effet de la régularisation

2150 2250 2350 2450

ROI 4

0,14 0,18 0,22

m |s/m|

900 1000 1100 1200

15 35 55 75 95

ROI 3

0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

15 35 55 75 95

m |s/m|

itération itération

-40 -20

0 15 35 55 75 95

ROI 2

0 20 40 60 80

15 35 55 75 95

m |s/m|

itération

itération 580

590 600 610

15 35 55 75 95

ROI 1

0,2 0,4 0,6

15 35 55 75 95

m |s/m|

itération itération

image idéale

Référence Algorithme MR n = 0n = 30 n = 80

Algorithme RMR n = 0 n = 30 n = 80

régularisationsans avec régularisation

itérations : 0 30 80

sans régularisation

régularisationavec

Reconstruction analytique ou itérative ? (1)

Tomographie d’émission PET

FBP

OSEM

• Algorithmes itératifs par rapport à rétroprojection filtrée (FBP)

* réduction des artefacts de raies

* possible compensation des phénomènes parasites via une modélisation adéquate dans le

projecteur R (diffusion, atténuation, fonction de réponse du détecteur)

* possible modélisation des caractéristiques statistiques des données

* temps de calculs accrus

Reconstruction analytique ou itérative ?

Au delà de la reconstruction 2D…

Trois approches de reconstruction 3D complète

• Méthode analytique

3D FBP : généralisation de la rétroprojection filtrée au 3D

• Méthodes de rebinning

réorganisation des données pour se ramener à la configuration de reconstruction 2D

• Méthodes discrètes itératives

estimation d’un projecteur 3D

Méthodes analytiques de reconstruction 3D

• 3D FBP : généralisation de la rétroprojection filtrée au 3D : - prend en compte la redondance des données

septa inter-plans

lignes de mesure

pas de septa inter-plans

Notion de redondance

x

y objet = f(x,y,z)

z

v u

projection = p(u,v,f,q) w

x

y

z w’

f q

Passage d’une fonction 3D à une fonction 4D : redondance

d’informations

Notion de données complètes

projection complète

projection incomplète La rétroprojection 3D FBP nécessite des données complètes

Reprojection 3D traitant des données incomplètes

• Reconstruction d’une première estimée de l’objet par FBP 2D

• Extraction des données 2D (non prise en compte des LOR obliques)

• Estimation des données tronquées en reprojetant l’objet estimé

• Fusion des données estimées et des données mesurées

Théorème de la coupe centrale en 3D

x

y z

Similaire à la version 2D

u v

projection = p(u,v,f,q) w

TF 2D

r_x

r_y r_z

P(r,z,f,q)

z y r

Méthodes de rebinning (réarrangement)

• Pour R couronnes de détection : réarrangement des R²

sinogrammes affectant ts les événements enregistrés dans ces

sinogrammes aux sinogrammes correspondant aux R-1 plans droits

... ...

Dr=0 Dr=-1

Dr=1 Dr=-(R-1)

Dr=(R-1)

rebinning

Single slice rebinning

r1 r2

Multi slice rebinning

Autre technique de rebinning : Fourier rebinning

r1 r2

Méthodes discrètes itératives

• Aucune différence conceptuelle avec l’approche 2D

• Challenges :

- taille du projecteur (ou matrice de transition) (plus de 10 millions de LOR en PET 3D)

- estimation du projecteur pour rendre compte correctement des phénomènes 3D affectant les données mesurées

(diffusion, réponse du détecteur, sensibilité variable du

p = R f

projections

acquises objet à

reconstruire opérateur

de projection

Historique

• 1917 : Johann Radon : “De la détermination des fonctions à partir de leurs intégrales selon certaines directions”

È travaux confinés au cercle des mathématiciens

• 1956 : Bracewell : démonstration des relations entre transformée de Fourier et transformée de Radon

• 1963 : premières applications de la tomographie médicale

- Kuhl, prof de radiologie : premières images tomographiques par rétroprojection simple

- Cormack, physicien : application des travaux de Radon aux acquisitions par rayons X

• 1970 : publication de la première image de tomodensitométrie X

• 1970-73 : mise au point du premier scanner X par Cormack et Hounsfield

Quelle méthode pour quelle application ?

• Scanner X

* rétroprojection filtrée car excellent rapport signal-sur- bruit

• Tomographie d’émission monophotonique

* routine clinique : longtemps rétroprojection filtrée seulement

* de plus en plus fréquemment : algorithmes itératifs, en particulier OSEM, du fait de :

- la réduction des artefacts de raies - les plus grandes possibilités en terme de quantification

- le traitement plus efficace de données présentant une faible statistique (10 000 moins

d’événements qu’en scanner X)

- l’augmentation de la puissance des calculateurs qui rend la mise en œuvre d’algorithmes itératifs compatible avec une utilisation clinique

Pour en savoir plus ...

• Analytic and iterative reconstruction algorithms in

SPECT. Journal of Nuclear Medicine 2002, 43:1343-1358

• Rétroprojection filtrée et reconstruction itérative : rappels théoriques et propriétés des deux approches sur :

http://www.guillemet.org/irene

• Articles didactiques téléchargeables sur:

http://www.guillemet.org/irene/equipe4/cours.html