ExercicesEx. 1:Soit le modèle AR(1) suivant:

Prof. Mohamed El Merouani Département de Statistique et Informatique

Faculté Polydisciplinaire de Tétouan Université Abdelmalek Essaâdi e-mail: [email protected]

Chapitre 2: Modèles linéaires (de Box-Jenkins)

1

Exercices

Ex. 1:

Soit le modèle AR(1) suivant:

Y_t=0,8Y_t-1+ε_t σ_ε²=2

On demande:

1) Est-il stationnaire?

2) Est-il inversible?

3) Calculer la suite γ₀,γ₁,…,γ₅. 4) Calculer la suite R₁, R₂,…, R₅.

5) Calculer les coefficients ψ₁,ψ₂,…,ψ₅du modèle MA(∞) en lequel, c’est si possible, peut se transformer le modèle AR(1) donné.

Ex. 2:

Soit le modèle MA(1) suivant:

Y_t= ε_t-0,9ε_t-1 σ_ε²=4

On demande:

1) Est-il stationnaire?

2) Est-il inversible?

3) Calculer la suite γ₁,γ₂,…,γ₅. 4) Calculer la suite R₁, R₂,…, R₅. 5) Calculer les coefficients π₁,π₂,…,π₅

correspondants au modèle inverti AR(∞).

Prof. Mohamed El Merouani 3

Ex. 3:

Soit le modèle AR(2) suivant:

Y_t=0,6Y_t-1+0,3Y_t-2+ε_t σ_ε²=3

On demande:

1) Est-il stationnaire?

2) Est-il inversible?

3) Calculer la suite γ₁,γ₂,…,γ₅. 4) Calculer la suite R₁, R₂,…, R₅.

Ex. 4:

Soit le modèle MA(2) suivant:

Y_t=ε_t-0,4ε_t-1+1,2ε_t-2 σ_ε²=2

On demande:

1) Est-il stationnaire?

2) Est-il inversible?

3) Calculer la suite γ₁,γ₂,…,γ₅. 4) Calculer la suite R₁, R₂,…, R₅.

Prof. Mohamed El Merouani 5

Ex. 5:

Soit le modèle ARMA(1,1) suivant:

Y_t=0,9Y_t-1+ε_t−0,8 ε_t-1 σ_ε²=5

On demande:

1) Est-il stationnaire?

2) Est-il inversible?

3) Calculer la suite γ₁,γ₂,…,γ₅. 4) Calculer la suite R₁, R₂,…, R₅.

Ex. 6:

Soit le modèle ARIMA (0,1,1) suivant:

Y_t=Y_t-1+ε_t−0,09 ε_t-1 On demande de:

1) Exprimer l’équation antérieure comme un modèle AR(∞).

2) On notant π_i les coefficients du modèle AR(∞), démontrer que

Cette démonstration est-elle valable pour tous les modèles ARIMA(0,1,1)?

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1

1

∑

^∞ =

= j

πj

Corrigés de l’exercice 1

1. Il est stationnaire puisque |Ф₁|=|0,8|<1 2. Par définition, tout AR d’ordre fini est

inversible.

3. Calcul de γ₀,γ₁,…,γ₅. Comme |Ф₁|<1 , on a

5 , 1 ₁² 5

2

0 =

Φ

= −

σ

^ε

γ

Prof. Mohamed El Merouani 9

4 ,

0

4

1

1

= Φ γ =

γ

52 ,

2

= 3

γ

₃

= 2 , 82 γ

25 ,

4

= 2 γ

80 ,

5

= 1 γ

Les autres auto-covariances s’obtiennent de forme récursive par l’équation

1

1 −

Φ

=

_τ

τ

γ

γ

Et en prenant

γ

₀ comme valeur initiale

4. Les coefficients d’auto-corrélation

s’obtiennent directement de forme récursive de la formule

ou de en prenant R₀=1 comme valeur initiale

8 , 5 0 , 5

4 , 4

0 1

1 = = =

γ

R

γ

8 ,

0

0

1

1

= Φ R = R

γ

0

γ

_τ

τ

= R

1

1 −

Φ

=

_τ

τ

R

R

Pour les autres valeurs, on trouve:

R₂=0,640 R₃=0,512 R₄=0,410 R₅=0,328

4. Par la formule on a

ψ

₁

=Ф

₁

=0,800

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j t j

j

Yt ₋

∞

=

∑

^Φ

= ε

0 1

640 ,

2

0

1

2

= Φ =

ψ

512 ,

3

0

1

3

= Φ =

ψ

410 ,

4

0

1

4

= Φ =

ψ

^et

^ψ

⁵

^{= Φ}

¹⁵

^{= 0 , 328}

Corrigés de l’exercice 2

1. Il est stationnaire puisque tous les modèles MA d’ordre fini le sont.

2. Il est inversible puisque |θ₁|=|0,9|<1 3. Calcul de γ₀,γ₁,…,γ₅.

On a

[ ] [ ¹

^{12 2}

^{1 ( 0 , 9 )}

²

] ^{4 7 , 24}

0

= + θ σ

_ε

= + × =

γ

6 , 3 4

9 ,

2

0

1

1

= − θ σ

_ε

= − × = −

γ

...

, 5 , 4 , 3 , 2

;

0 =

= τ

γ

_τ

4.

5. Comme |θ₁|<1 , on a:

d’où

Prof. Mohamed El Merouani 13

497 , 1

₁²

0

1

1

= −

+

= −

θ R θ

et

^R

_τ

= 0 ; τ = 2 , 3 , 4 , 5 ,....

2

...

2 1 1

1

+ +

+

=

_{t t− t−}

t

Y θ Y θ Y

ε

900 ,

1 0

1 = θ =

π

810 ,

2 0

1

2 = θ =

π

729 ,

3 0

1

3 = θ =

π

656 ,

4 0

1

4 = θ =

π ^et π 5 = θ1⁵ = ^0,590

Corrigés de l’exercice 3

1. Pour qu’un modèle AR(2) soit stationnaire, les racines de l’équation caractéristique doivent être inférieures à 1 en valeur absolue.

Ou, alternativement, si on utilise le polynôme caractéristique, les racines doivent être, en valeur absolue, supérieures à 1, c’est-à-dire elles doivent être situées en dehors du cercle unité.

• En utilisant l’équation caractéristique:

λ²−0,6λ−0,3=0

le discriminant de cette équation de second degré est Δ=(−0,6)²+4x0,3=1,56>0

elle admet, donc, deux racines réelles distinctes, qui sont

Prof. Mohamed El Merouani 15

92 , 2 0

56 , 1 6 , 0

1 = + =

λ

325 , 2 0

56 , 1 6 , 0

2 = − =−

λ

• Comme |λ₁|=|0,92|<1 et |λ₂|=|−0,32|<1, le processus, en question, est stationnaire.

• Alternativement, en utilisant le polynôme caractéristique 1−0,6L−0,3L²=0

le discriminant de cette équation de second degré est Δ=(0,6)²+4x0,3=1,56>0

elle admet, donc, deux racines réelles distinctes, qui sont

08 , 3 1 , 0 2

25 , 1 6 , 0

1

=

×

−

= − L

08 , 3 3

, 0 2

25 , 1 6 , 0

2 = −

×

−

= + L

• Comme |L₁|>1 et |L₂|>1 (situées en dehors du cercle unité), le processus est stationnaire.

• On peut vérifier facilement que

et

2. Par définition, tout processus AR fini est inversible.

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92 , 08 0

, 1

1 1

1

1

= = =

λ L

32 , 08 0

, 3

1 1

2

2

= −

= −

= L λ

3. Pour calculer γ₀, on tient compte de la relation γ₀₌ Ф₁γ₁₊ Ф₂γ₂₊σ_ε²

D’autre part, en donnant à τles valeurs 1 et 2, dans la formule γ_τ= Ф₁γ_τ-1+ Ф₂γ_{τ-2 ;} τ>0 on obtient

En résolvant, ce système, pour γ₁ et γ_2, on obtient

 



Φ + Φ

=

Φ + Φ

=

0 2 1

1 2

1 2 0

1 1

γ γ

γ

γ γ

γ

0 1

1 1 γ

γ −Φ

= Φ ₂ ^{12 2 22} ₀

1 γ

γ −Φ

Φ

− Φ +

= Φ et

• Si on substitue ces valeurs dans la relation γ₀₌ Ф₁γ₁₊ Ф₂γ₂₊σ_ε²

On obtient

où Ф₁=0,6_et Ф₂=0,3. Par conséquent,

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( ¹ ) ( ^{[ 1 1} )

1

^]

²

^{12 , 42}

2

2 2

2

0

=

Φ

− Φ

− Φ

+

Φ

= − σ

_ε

γ

64 , 1 ₂ ⁰ 10

1

1 =

Φ

−

= Φ γ γ

• Une fois que l’on a déterminé γ₀ etγ_1, les

valeurs restantes peuvent être obtenues d’une forme récursive de la formule γ_τ= Ф₁γ_τ-1+ Ф₂γ_τ-2 On trouve

11 ,

0

10

2 1

1

2

= Φ γ + Φ γ =

γ

26 ,

1

9

2 2

1

3

= Φ γ + Φ γ =

γ

59 ,

2

8

2 3

1

4

= Φ γ + Φ γ =

γ

93 ,

3

7

2 4

1

5

= Φ γ + Φ γ =

γ

4. Comme, on a déjà trouvé γ_τ, pour calculer R_τ, on utilise la relation

et on obtient les résultats suivants:

R₁=0,86; R₂=0,81; R₃=0,75; R₄=0,69 et R₅=0,64.

• Alternativement, on peut faire

En prenant R₀=1 et R₁=0,86 comme valeurs initiales, les autres valeurs peuvent être trouvées de forme récursives à partir de la formule R_τ= Ф₁R_τ-1+ Ф₂R_τ-2 ; τ=2, 3, 4, 5, …

Prof. Mohamed El Merouani 21

γ

0

γ

_τ

τ

= R

86 , 1 ₂ 0

1

1 =

Φ

−

= Φ R

Corrigés de l’exercice 4

• Y_t=ε_t-0,4ε_t-1+1,2ε_t-2

• σ_ε²=2

1) Par définition, tout processus MA d’ordre fini est stationnaire.

2) Pour vérifier si les conditions d’inversibilité sont satisfaites, on calcule les racines de l’équation caractéristiques λ²−0,4λ−0,5=0

• Son discriminant est Δ=(−0,4)²−4x(−0,5)=2,16>0

−0,5 Y_t= ε_t−0,4ε_t-1−0,5ε_t-2

• Elle admet, donc, deux racines réelles distinctes

Comme |λ₁|<1 et |λ₂|<1, alors le processus MA(2) considéré est inversible.

• Une autre alternative est d’utiliser le polynôme caractéristique 1−0,4L-0,5L²=0

Prof. Mohamed El Merouani 23

935 , 2 0

47 , 1 4 , 0

1 = + =

λ

535 , 2 0

47 , 1 4 , 0

2 = − = −

λ

• Son discriminant est Δ=(−0,4)²−4x(−0,5)=2,16>0

• Il admet, donc, deux racines réelles distinctes

• Comme |L₁|>1 et |L₂|>1, alors le processus MA(2) considéré est inversible.

07 , ) 1 5 , 0 ( 2

16 , 2 4 , 0

1 =

−

×

= − L

87 , ) 1

5 , 0 ( 2

16 , 2 4 , 0

2 =−

−

×

= + L

• On peut voir facilement que

3. Pour calculer γ₀,γ₁,…,γ₅ , on utilise les relations

Prof. Mohamed El Merouani 25

93 , 07 0 , 1

1 1

1

1 = = =

λ L ^0,535

87 , 1

1 1

2

2 = −

= −

= L λ et

( )

( )

( )

 



 





=

=

−

= +

−

=

+ +

=

,...

5 , 4 , 3

; 0

1

2 1

2

2 2

1 1

1

2 2

2 2

1 0

τ γ

σ θ γ

σ θ θ θ

γ

σ θ

θ γ

τ

ε ε

ε

On trouve: γ₀=2,82 γ₁=−0,4 et γ₂=−0,8.

4) A partir de la variance et des auto-

covariances, le calcul des auto-corrélations est immédiat

14 , 0

0 1

1

= = −

γ R γ

28 , 0

0 2

2

= = −

γ R γ

...

, 5 , 4 , 3

;

0 =

= τ

R

τ

Corrigés de l’exercice 5

1. Ce processus est stationnaire puisque

|Ф₁|=|0,9|<1 .

2. Par analogie, puisque |θ₁|=|0,8|<1, le processus est inversible.

3. En utilisant la relation

Prof. Mohamed El Merouani 27

26 , 1 5

2

1 ₂

2 1

2 1 1 1

0 =

Φ

− + Φ

= − θ θ σ_ε γ

• En utilisant les relations et

on trouve γ₁=0,73 ; γ₂=0,66 ; γ₃=0,59 ; γ₄=0,53 ; γ₅=0,48

4. La suite des coefficients des auto-corrélations s’obtient immédiatement

R₁=0,14 ; R₂=0,13 ; R₃=0,11 R₄=0,10 ; R₅=0,09

2 1 0

1

1

γ θ σ

ε

γ

= Φ −

...

, 5 , 4 , 3 , 2

1

;

1

=

Φ

= γ

₋

τ

γ

_{τ τ}

Corrigés de l’exercice 6

1. Un modèle ARIMA(0,1,1) peut être exprimé ainsi: Y_t−Y_t-1=ε_t−θ₁ε_t-1

En tenant compte que θ

1=0,09 le modèle s’exprime alors,

Prof. Mohamed El Merouani 29

( )( )

(

^{1 ...}

) (

^...

)

1

3 2 1 2 1 1 2

2 1 1 1

1 1

+ +

+

− + +

+

=

=

− −

=

−

−

−

−

−

−

t t

t t

t t

t t t

Y Y

Y Y

Y Y

Y L Y

θ θ

θ θ

ε θ

(

¹

) (

¹

) (

¹

)

3 ^...

2 1 1 2

1 1 1

1 − − − − −

−

−

=Yt

θ

Yt₋

θ θ

Yt₋

θ θ

Yt₋

En identifiant chaque

π

_iavec son correspondant obtenu dans la question précédente, on obtient,

t t

t t

t Y Y Y

Y =0,91 ₋₁ +0,082 ₋₂ +0,007 ₋₃ +...+

ε

4. L’expression théorique d’un AR(∞) serait comme suit:

t t

t t

t Y Y Y

Y =

π

_{1 −1} +

π

_{2 −2} +

π

_{3 −3} +...+

ε

(

1

)

1

1 θ

π = −

(

1

)

1

2

1 θ θ

π = −

(

1

)

1²

3

1 θ θ

π = −

……

• Par conséquent,

• Donc, la somme est vraie, quelque soit la valeur de θ₁ et chaque fois que le modèle est inversible. (|θ₁|<1)

Prof. Mohamed El Merouani 31

( ) ( )

¹

1 1 1

1

1 1

1 1 1

1 =

− −

=

−

=

∑

∑

^∞

=

∞

=

π θ θ θ θ

i i i

i

=1

∑

πi

Références:

• Ezequiel URIEL JIMÉNEZ:«Análisis de series temporales. Modelos ARIMA», Collection ábaco, editorial PARANINFO, Madrid, 1995.

• Régis BOURBONNAIS, Michel

TERRAZA: «Analyse des séries temporelles:

Applications à l’économie et à la gestion», DUNOD, 2004.

• Sandrine LARDIC, Valérie MIGNON:

«Économétrie des Séries Temporelles Macroéconomiques et Financières», Economica, 2002.