G-graphs and Expander graphs

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Submitted on 18 Jul 2018

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Mohamad Badaoui

To cite this version:

Mohamad Badaoui. G-graphs and Expander graphs. Discrete Mathematics [cs.DM]. Normandie Université; Université libanaise, 2018. English. �NNT : 2018NORMC207�. �tel-01842265�

THESE

Pour obtenir le diplôme de doctorat

Spécialité Informatique

Préparée au sein de l’Université de Caen Normandie

En partenariat international avec l'Université Libanaise, Liban

G-graphs and Expander graphs

Présentée et soutenue par

Mohamad BADAOUI

Thèse dirigée par Alain BRETTO, Laboratoire GREYC

Thèse soutenue publiquement le 30 Mars 2018 devant le jury composé de

M. Marc DEMANGE Maître de conférences, HDR / Institut royal de

technologie de Melbourne Rapporteur

M. Faisal N. ABU-KHZAM Maître de conférences, HDR / Université Libano

Américaine Rapporteur

M. Jean Paul ALLOUCHE Professeur des Universités / Université Pierre et Marie

Curie Président - Examinateur

Mme. Isabelle BLOCH Professeur des Universités / Université Paris-Saclay Examinateur M. Alain BRETTO Professeur des Universités / Université de Caen

Normandie Directeur de thèse

M. Bassam MOURAD Professeur / Université Libanaise Directeur de thèse

M. Etienne GRANDJEAN Professeur des Universités / Université de Caen

Normandie Examinateur

loyal fan and motivational source, to my mom, rest in peace,

to the most honorable man I ever knew, to my best life teacher,

to my dad,

I am deeply grateful to the people without whom this work would not have

been possible. First of all, to my PhD thesis supervisors Alain Bretto and

Bassam Mourad for their valuable support, advice and continuous guidance

throughout my PhD study as well as for their patience, motivation and

im-mense knowledge.

I would like to thank Marc Demange and Faisal N. Abu-Khzam for their

insightful comments and for kindly accepting to be the referees of my work.

I thank Jean Paul Allouche, Isabelle Bloch, Etienne Grandjean and Amine

El-Sahili for accepting to be members in the jury.

I would like to thank Madam Arielle Perrette and Madam Abir

Moukad-dem for their valuable help as a part of the administrative body in GREYC

and EDST.

I would like to thank my fellow doctoral students for their feedback,

coop-eration and of course friendship. Special thanks to Abdelkader Ouali, Rafic

Nader, and Kaoutar Ghazi for helping me organize my PhD defense.

I would like to thank my two beloved sisters Zaina and Aminah, and my

two dear brothers Ayad and Mahdi, for their tenderness and care.

Last but not least, I send my deep appreciations to my loving parents mam

and dad, for their endless encouragement and support.

List of figures xi

List of tables xiii

1 Preliminaries 1

1.1 Useful definitions from group theory . . . 2

1.1.1 Some general definitions . . . 2

1.1.2 Generating set of a group . . . 3

1.1.3 Action of a group . . . 4

1.1.4 Isomorphism of groups . . . 5

1.1.5 Group presentation . . . 5

1.2 Useful definitions from graph theory . . . 6

1.2.1 Some general definitions . . . 6

1.2.2 Some useful graph invariants . . . 7

1.2.3 Symmetric and semi-symmetric graphs . . . 8

1.2.4 Remarkable classes of graphs/operations . . . 9

1.3 Useful definitions from hypergraph theory . . . 11

1.3.1 Some general definitions . . . 12

1.3.2 Remarkable classes of graphs . . . 12

1.4 Useful definitions from algebraic graph theory . . . 13

1.4.1 Some general definitions . . . 14

1.4.2 Few useful results . . . 16

1.5 Cayley graphs: properties and limitations . . . 16

2 G-graphs: A new representation of groups 21 2.1 Definitions, some notations and more . . . 21

2.2 Particular examples and some applications . . . 24

2.2.2 Some applications . . . 26

2.3 G-graphs: Some structural properties and more . . . 27

2.4 G-graphs: Some key features that can be extracted from the principal cliques 30 3 Survey on expanders 33 3.1 Introduction . . . 33

3.2 Definitions . . . 34

3.2.1 Expansion ratio and expander family . . . 35

3.3 Construction . . . 38

3.4 Applications . . . 41

3.4.1 Computer science . . . 42

3.4.2 Random walks . . . 42

3.5 The magnificent three invariants . . . 43

3.5.1 Diameter of expander family . . . 43

3.5.2 Cheeger inequalities . . . 44

3.5.3 Alternative definitions : Vertex expansion and spectral gap . . . 46

3.5.4 Kazhdan constant . . . 47

3.5.5 Summary . . . 47

4 Expander G-graphs 49 4.1 Introduction . . . 49

4.2 Cay-expanders and G-expanders . . . 49

4.3 Construction of G-graph expanders: The technique and more . . . 51

4.3.1 Abelian groups are never G-expanders: A simple proof . . . 51

4.3.2 Cayley and G-graph expanders: Construction and comparison . . . 52

4.4 Direct applications 1: Some expander families of G-graphs on the group SL(2, Z/pZ) . . . 55

4.5 Some more expander families . . . 57

4.5.1 Construction of new families of Cayley graphs from the old ones by edge rearrangement . . . 57

4.5.2 Direct applications 2: Some expander families of G-graphs on the group PSL(2,Z/pZ) . . . 59

4.6 Some observations . . . 62

5 Spectra of Cayley graphs and G-graphs 65 5.1 A connection between Cayley graphs and G-graphs . . . 65

5.2 Relation between the spectra of G-graphs and Cayley graphs . . . 68

5.3 Applications 1: On the spectra of some Cayley and G-graphs families . . . 70

5.3.1 Spectrum of an infinite Cayley family . . . 71

5.3.2 Spectrum of an infinite G-graph family . . . 72

5.4 Applications 2 and more: New classes of integral Cayley graphs . . . 73

5.4.1 Constructing new classes of integral graphs using G-graphs . . . . 74

5.4.2 Constructing new classes of integral graphs using the generalized replacement product of graphs . . . 76

5.5 Spectral properties of certain Cayley graphs and G-graphs . . . 81

5.6 Applications 3: New classes of strongly regular Cayley graphs . . . 83

5.7 Yet another applications: On expander and Ramanujan graphs . . . 84

5.7.1 Expander graphs . . . 85

5.7.2 Ramanujan graphs . . . 85

5.8 Final thoughts and notes . . . 86

6 Conclusion and future research directions 87 6.1 Main contributions . . . 88

6.2 Open problems and future research . . . 89

1 Les G-graphs ˜Φ(Z/16Z,{1,4}) et ˜Φ(Z/16Z,{1,8}). . . xxii

2 Le graphe de Cayley Cay(Dic16; {s,s2, s2, s3, sr, s3r_}). . . . xxxi

3 Le G-graphe ˜Φ(D6; {s,sr,rs}). . . xxxii

4 Le graphe intégral de Cayley Cay(Z3× Z3, S∗). . . xxxii

5 Le graphe intégral K2,2△ K2avec spectre (5,1,1,−1,−1,−1,−1,−3). . . xxxiii

1.1 The graph Γ1is a cover subgraph of Γ2. . . 7

1.2 The Cayley graphs Cay(Z/4Z,{1,2,3}) and Cay(Z/8Z,{1,4,7}). . . 10

1.3 The Cartesian product of the cycle C3and P2. . . 11

1.4 The dual and the 2-section graphs of a hypergraph H. . . 13

1.5 The graph Γ. . . 15

1.6 The Petersen graph is vertex transitive and not a Cayley graph. . . 17

1.7 The Cayley graph Cay(Z/7Z,{±2,±1}) is not edge-transitive. . . 18

2.1 The G-graph bΦ(Z/16Z, {1,4,8}). . . 24

2.2 The G-graphs ˜Φ(Z/16Z,{1,4}) and ˜Φ(Z/16Z,{1,8}). . . 25

2.4 The Ljubljana and the Gray graphs. . . 27

3.1 The edge boundary ∂V′_{.. . . . 35}

5.1 The G-graph ˜Φ(Dic8m, {s,sr}). . . 71

5.2 The Cayley graphs Cay(Dic8; {s,s2, s2, s3, sr, s3r}). . . 72

5.3 The Cayley graphs Cay(Dic16; {s,s2, s2, s3, sr, s3r}). . . 72

5.4 The Cayley graph Cay(D2n, {s,sr,rs}). . . 73

5.5 The G-graph ˜Φ(D6; {s,sr,rs}). . . 73

5.6 The Cayley graph Cay(Z3× Z3, S∗). . . 75

5.7 The Cayley graph Cay(Z3× Z3, S∗). . . 76

5.8 The generalized replacement product of two graphs. . . 78

1 Les trois invariants d’un graphe. . . xxi

2 Les différentes relations entre les trois invariants. . . xxi

3 Certains invariants de graphe de Cay(G,S∗_{) et ˜Φ(G, S). . . . xxvi}

4 Quelques invariants de graphes de Cay(G,L∗_{) et ˜Φ(G, L). . . . . xxvii}

5 Quelques invariants de graphes de Cay(G,W∗_{) et ˜Φ(G,W ). . . . . xxviii}

1.1 Some groups with their presentations ⟨S|R⟩. . . 6

3.1 The three graph invariants. . . 48

3.2 The different relations between the three invariants. . . 48

4.1 Some graph invariants of Cay(G,S∗_{) and ˜Φ(G, S). . . . 54}

4.2 Some graph invariants of Cay(G,L∗_{) and ˜Φ(G, L). . . . . 61}

Applying algebraic and combinatorics techniques to solve graph problems leads to the birth of algebraic and combinatorial graph theory. This thesis deals mainly with a crossroads quest between the two theories, that is, the problem of constructing infinite families of expander graphs.

From a combinatorial point of view, expander graphs are sparse graphs that have strong connectivity properties. Expanders constructions have found extensive applications in both pure and applied mathematics. Although expanders exist in great abundance, yet their explicit constructions, which are very desirable for applications, are in general a hard task. Most constructions use deep algebraic and combinatorial approaches. Following the huge amount of research published in this direction, mainly through Cayley graphs and the Zig-Zag product, we choose to investigate this problem from a new perspective; namely by using G-graphs theory and spectral hypergraph theory as well as some other techniques. G-graphs are like Cayley graphs defined from groups, but they correspond to an alternative construction. The reason that stands behind our choice is first a notable identifiable link between these two classes of graphs that we prove. This relation is employed significantly to get many new results. Another reason is the general form of G-graphs, that gives us the intuition that they must have in many cases such as the relatively high connectivity property.

The adopted methodology in this thesis leads to the identification of various approaches for constructing an infinite family of expander graphs. The effectiveness of our techniques is illustrated by presenting new infinite expander families of Cayley and G-graphs on certain groups. Also, since expanders stand in no single stem of graph theory, this brings us to investigate several closely related threads from a new angle. For instance, we obtain new results concerning the computation of spectra of certain Cayley and G-graphs, and the construction of several new infinite classes of integral and strongly regular Cayley graphs.

Chapters Description

This thesis contains seven chapters and they are organized as follows:

1. In Chapter 1, we recall some standard terminologies and results from the theory of groups, graphs, and hypergraphs as well as algebraic graph theory.

2. In Chapter 2, we present the different definitions and results from the theory of G-graphs. Many new results regarding principal cliques, the regularity, and the simplicity of G-graphs are revealed. This paves the way to approach certain problems in this theory from a new perspective.

3. In Chapters 3 and 4, we collect and generalize some results from the theory of ex-panders. A method for constructing expander families of G-graphs is presented and is used to construct new expander families of regular and irregular graphs. Also, we show that G-graphs on abelian groups, like the case for Cayley graphs, can never yield a family of expander graphs.

4. In Chapter 5, several results concerning spectral hypergraph theory are revealed. These results can be considered as simple generalizations to their corresponding ones for the case of graphs. Also, several isomorphic relations between the Cayley graphs and G-graphs are presented. This leads to certain results regarding some extensively studied problems in the theory of Cayley and G-graphs.

5. Finally, in Chapter 6, we discuss the possible horizons for future researches, the road-maps starting from what already achieved, and point out some of the possible expected results.

L’application des techniques algébriques pour résoudre des problèmes de graphes a conduit à la naissance de la théorie algébrique des graphes. Cette thèse s’inscrit dans cette stratégie, elle traite principalement d’un sujet intensivement étudié qui est le problème de la construction de familles infinies de graphes d’expansion.

Les graphes d’expansion (expander graphs) sont des graphes avec « peu » d’arêtes (sparse graph) qui ont de bonnes propriétés de connectivité. Les graphes d’expansion sont aux centre des préoccupations de nombreux mathématiciens et informaticiens et cela depuis plus de quatre décennies. Un nombre considérable de recherches ont été menées sur ce sujet (voir par exemple [42,50,52]). En effet les graphes d’expansion possèdent de nombreuses applications en informatique, notamment dans la construction de certains algorithmes, en théorie de la complexité, sur les marches aléatoires (random walk), en réseau de tri (sorting network), etc (voir [42,52]).

Bien que des familles de graphes d’expansion ont été exhibées, leurs construction ex-plicite, qui est importante pour les applications, est en général une tâche très difficile. La plupart des constructions utilise des approches algébriques et combinatoires profondes. On retrouve dans ces constructions. Suite à l’énorme quantité de recherches publiées dans ce domaine, principalement les graphes de Cayley et le produit Zig-Zag (voir [50,70]), nous avons choisi, pour étudier ce problème une nouvelle approche, c’est la théorie des G-graphes et la théorie des hypergraphes.

Les G-graphes sont comme les graphes de Cayley définis par des groupes, mais ils correspondent à une construction alternative. La raison de notre stratégie est d’abord le lien étroit entre ces deux classes de graphes. Cette relation est utilisée d’une manière significative pour obtenir de nombreux nouveaux résultats sur les familles d’expansion.

Une autre raison est la forme générale de G-graphs, l’intuition nous donne l’idée qu’ils doivent avoir dans de nombreux cas une connectivité relativement élevée. Notre but principal dans cette thèse est d’identifier les différentes approches pour construire une famille infinie

d’expansion. L’efficacité de nos techniques est illustrée en présentant de nouvelles familles infinies de Cayley d’expansion et grâce aux G-graphes nous mettons en lumière de nouvelles familles infinies d’expansion et notamment, a notre connaissance la première famille infinie d’expansion non réguliers. Nous avons également, dans ce travail calculé les spectres de certains graphes de Cayley et de G-graphes. Cela nous a donné de nouveaux résultats sur les intégral graphes de Cayley et sur leF forte régularité de certains graphes.

Le concept général et quelques applications

D’une manière générale, la qualité d’un réseau de communication représenté par un graphe est mesurée par trois paramètres. Le premier est son coût ou la densité (en nombre d’arêtes) du graphe. Le deuxième est la fiabilité et le dernier est la rapidité représentée en théorie des graphes par la connectivité et le diamètre. En d’autres termes, plus la connectivité est élevée et plus le diamètre d’un graphe est petit, plus le réseau sera fiable et rapide c’est à dire que l’information se propagera rapidement. Les deux derniers invariants de graphes peuvent être combinés en une seule quantité, le taux d’expansion, qui mesure littéralement le degré d’expansion ou la «qualité d’expansion», et indirectement la connectivité du graphe. En quelques mots, un graphe d’expansion est un graphe qui combine tous ces trois aspects que l’on demande à un réseau de communication pour être « acceptable ».

Une autre raison importante qui rend les graphes expansion si populaires est qu’ils peuvent être étudiés sous angles différents. Les approches peuvent être considérées, par exemple par le biais de la combinatoire, des marches aléatoires, de l’algébrique (voir par exemple [49,70]). Cela conduit à des liens extrêmement profonds et fascinants entre la théorie des graphes d’une part, l’informatique et les mathématiques pures, comme la théorie des nombres d’autre part.

En théorie des nombres, ils sont utilisés pour donner une généralisation de la méthode du affine sieve. De nombreuses applications à la géométrie et aux 3-variétés hyperboliques sont présentées dans [52]. De plus, le fait que de nombreuses familles d’expansion construites soient des graphes de Cayley montre le lien étroit existant entre les graphes d’expansion et la théorie des groupes. Dans l’autre sens et de façon surprenante, les graphes d’expansion apparaissent également dans la preuve de nombreux résultats dans la théorie des groupes [42].

Familles d’expansion

Soit Γ = (V,E,ξΓ) un graphe avec |V | ≥ 2 et V′un sous-ensemble de V . La frontière de V′

dans Γ notée ∂V′(Γ) est définie comme suit:

∂V′_{(Γ) = {α ∈ E; ξ}Γ(α)∈ V

′

×V′}.

En d’autres termes, c’est l’ensemble des arêtes émanant de l’ensemble V′ à son complément. Le taux d’expansion de Γ est défini comme suit :

h(Γ) = minn|∂V′| |V′_| ; V′⊂ V et |V′| ≤ |V | |2| o . Pour ε ∈ R∗

+, le graphe Γ est ε-expander si

ε ≤ h(Γ). Notons que

1. Pour un graphe Γ et V′_{⊂ V (Γ) où |V}′_{| ≤} V(Γ)

2 , nous avons h(Γ)|V′| ≤ |∂V′|. Alors,

quand h(Γ) augmente, la connectivité du graphe Γ augmentera aussi, puisque chaque ensemble de sommets avec une cardinalité inférieure à la moitié de V (Γ) aura plus de voisins par rapport à sa cardinalité. En d’autres termes, nous évitons autant que possible la situation de goulot d’étranglement (bottleneck situation), où un ensemble de sommets a relativement -à sa cardinalité- une petite quantité d’arêtes à son complément. 2. Si V′_{un sous-ensemble de l’ensemble de sommets V (Γ), alors l’ensemble des arêtes de}

V′à son complément est le même dans le sens opposé, c’est-à-dire ∂V′_{= ∂ (Γ\V}′). Par conséquent, il ne sert à rien d’inclure les ensembles de sommets V′_{lorsque |V}′_{| ≥} |V (Γ)|

2 .

Si une famille de graphes Γ = (V,E,ξΓ) a les trois conditions suivantes:

i. |Vi| → ∞ quand i → ∞.

ii. Il existe r ∈ N+ _{où ∆(Γ}

i) ≤ r pour tous i ∈ N+. C’est-à-dire {Γi, i ∈ N+} est une

séquence de graphes à degré borné. iii. Il existe ε ∈ R∗

alors cette famille est une famille d’expansion et un élément de cette famille est un graphe d’expansion.

Quelques approches précédentes pour la construction de graphes d’expansion

L’existence des graphes d’expansion et reliée à des notions aléatoires. En fait, si nous choisis-sons au hasard une suite de graphes d-régulaires, elle est presque certaine d’être une famille d’expansion (voir [52]). Néanmoins, la construction explicite de graphes d’expansion, qui est pour plusieurs raisons très favorable et importante pour de nombreuses applications, est une tâche beaucoup plus difficile. La situation est comme celle des nombres transcendantaux. Si l’on choisit un nombre réel au hasard, il est presque certain d’être transcendantal. Cependant, il n’est nullement facile de prouver qu’un nombre particulier est transcendantal.

Jusqu’à présent, le graphe de Cayley et le produit Zig-Zag sont les deux principaux outils pour construire une famille d’expansion. Le principal avantage d’utiliser le graphe de Cayley est nous permettre, en fixant la taille de la partie génératrice d’un groupe, de construire une grande famille de graphes creux d’une manière efficace et concise. De plus, les propriétés sous-jacentes d’un groupe G et de sa partie génératrice S peuvent nous donner de l’information sur les propriétés d’expansion de son graphe de Cayley Cay(G,S) (voir [42,52]). À cet égard, un nombre considérable de recherches ont été consacrées à la question suivante au cours des dernières décennies:

Quelle séquence de groupes correspond à une famille d’expansion de Cayley ? La raison de cette approche est qu’il n’est pas pratique de calculer le taux d’expansion h(Γ) d’un graphe Γ, car cela nécessite de compter E(V′,V′) sur tous les ensembles de sommets V′ _{où |V}′_{| ≤} |V (Γ)|

2 . Noter que |E(V′,V′)| est le nombre d’arêtes entre V′ et le

reste du graphe. Clairement, le nombre de tels ensembles de sommets augmente de façon exponentielle lorsque |V(Γ)| tend à l’infini. Ainsi, pour prouver que certaines familles {Γi, i ∈ N} est une famille d’expansion, des méthodes indirectes sont nécessaires pour montrer

que h(Γi) ≥ ε > 0 pour tout i ∈ N. Pour atteindre cet objectif, les mathématiciens ont utilisé

des invariants de graphes qui sont généralement plus faciles à gérer que le taux d’expansion h(Γ) [50, 70]. Typiquement en utilisant la constante de Kazhdan de certains graphes de Cayley ou la deuxième plus grande valeur propre, ou non en montrant généralement que la limite du diamètre des graphes tend à zéro. C’est-à-dire que chacun des trois invariants de graphe ci-dessus mesure d’une manière ou d’une autre la qualité d’expansion d’un graphe de

Cayley. Dans les tableaux suivants, nous listons ces trois invariants, leur notation, l’endroit où ils sont définis, et la relation entre eux.

Invariant Notation Définition Taux d’expansion h(Γ) Définition3.2.2 Deuxième plus grande

valeur propre

λ2(Γ) Section1.4

Diamètre diam(Γ) Définition1.2.3

Table 1 Les trois invariants d’un graphe.

λ2(Γ) or µn−1 diam(Γ) h(Γ) ou υΓ d−λ2 2 ≤ h(Γ) ≤ p (d + λ2)(d − λ2) 1 2µn−1≤ υΓ≤√2µn−1 diam(Γ) _≤ 2 log  1 +h(Γ)_d  log(|Γ|) λ2(Γ) — diam(Γ) ≤ ⌈log(|Γ| − 1)\log(d\|λ2(Γ)|)⌉

Table 2 Les différentes relations entre les trois invariants.

En utilisant ces invariants de graphes et certaines techniques algébriques, de nombreux résultats partiels ont été obtenus. En fait, la plupart de ces résultats ont donné des réponses négatives à cette question posée ci-dessus pour certains groupes. Par exemple, il a été prouvé qu’aucune famille de graphes de Cayley sur les groupes abéliens ou le groupe diédral n’est pas un graphe d’expansion (voir [42,52]).

En 1973, Margulis [54] a donné la première construction explicite d’une famille d’expansion de graphes de Cayley les graphes de Cayley restent pendant environ trois décennies et malgré les efforts énormes la seule méthode principale pour construire des graphes d’expansion. En 2002, Reingold et al (voir [68]) présentent une méthode combinatoire directe pour construire une famille d’expansion le "produit zig-zag". Le produit zig-zag de deux graphes Γ et Γ′

produit un graphe plus grand dont la deuxième plus grande valeur propre λ2 dépend des

spectres de Γ et Γ′_{, le taux d’expansion du graphe produit est légèrement plus petit que celui}

G-graphes

Soit G un groupe fini et Soit S = {s1, . . . , sk} un multiset non vide de G. Nous définissons le

G-graphe Φ(G,S) de la façon suivante :

1. L’ensemble des sommets de Φ(G,S) est V =F_s∈SVsoù Vs= {(s)x, x ∈ T_⟨s⟩} est une

transversale à droite pour le sous-groupe ⟨s⟩.

2. Pour chaque (s)x,(t)y ∈V, si card(⟨s⟩x∩⟨t⟩y) = p, p ≥ 1, alors il existe un multi-arête d’ordre p entre (s)x et (t)y.

Notons que

1. Puisque S est un multiset, la répétition d’un élément s ∈ S est autorisée. Si le multiset Scontient p occurrences de s, alors le G-graphe Φ(G,S) a p copies du même niveau Vs. Les sommets de ces niveaux sont des sommets jumeaux puisqu’ils ont le même

nombre d’arêtes entre eux et n’importe quel autre sommet de leurs voisins.

2. Les cosets de ⟨s⟩ forment une partition de G, alors (Vs)s∈Sest une |S|-representation de

˜Φ(G,S). Notons aussi que si card(⟨s⟩x∩⟨s⟩x) = o(s), alors chaque sommet (s)x de Φ(G, S) a o(s) boucles. Dans la définition suivante, G-graphes sont présentés comme des graphe sans boucles.

Fig. 1Les G-graphs ˜Φ(Z/16Z,{1,4}) et ˜Φ(Z/16Z,{1,8}).

On note ˜Φ(G,S) le graphe Φ(G,S) mais sans boucles. Le graphe bΦ(G, S) est le graphe simple de Φ(G,S), c’est-à-dire deux sommets distincts (s)x et (t)y dans V (bΦ(G, S)) sont connectés par un seul arête si ⟨s⟩x ∩ ⟨t⟩y est non vide.

G-graphes : Nouvelles propriétés structurelles

Dans notre travail, nous présentons de nouveaux résultats concernant certaines propriétés structurelles de G-graphes. En particulier, nous établissons des relations entre la simplicité du G-graphe et le nombre d’arêtes émanant de toute clique.

• Soit ˜Φ(G,S) un G-graph et S = {s1, . . . , sk}. Alors, les éléments suivants sont

équiva-lents:

i. ˜Φ(G,S) est d-régulière graphe, ii. o(si) = _{k− 1}d pour tout i ∈ {1,...,k},

iii. |Vsi| = |Vsj| pour tout i, j ∈ {1,...,k}.

De plus, le nombre d’arêtes à l’intérieur de chaque clique principale est 1 2

∑

∑

• Soit V1,V2deux sous-ensembles de V ( ˜Φ(G,S)). Nous dénotons par E(V1,V2) l’ensemble

de tous les arêtes entre V1et V2. Pour x ∈ G, Exest le nombre de tous les arêtes entre

la clique principale Cxet le reste du graphe, c’est Ex= |E



V(Cx),V (Cx)

 |.

1. Soit ˜Φ(G,S) un G-graph et S = {s1, . . . , sk}. Alors pour tous x ∈ G, nous avons

Ex= k

∑

∑

∑

2. Si ˜Φ(G,S) est simple, alors

Ex= (k − 1)( k

∑

o(si) − k).

De plus, si ˜Φ(G,S) est un graphe simple régulier, alors Ex= k(k − 1)(O − 1).

3. Le G-graph ˜Φ(G,S) est simple si et seulement si Ex= (k − 1)( k

∑

G-graphes : Une nouvelle méthode pour construire des graphes d’expansion

Comme nous l’avons vu, la construction de familles d’expansion n’est pas une tâche facile. Cette thèse fournit différentes techniques algébriques et combinatoires pour aborder ce problème particulier. Nous étudions également d’autres problèmes qui sont étroitement liés aux graphes d’expansion en utilisant les G-graphes.

La raison de notre choix est d’abord un lien notable entre la classe des graphes de Cayley et les G-graphes. Cette relation est utilisée de manière significative pour obtenir de nombreux nouveaux résultats. Une autre raison est la forme générale des G-graphes, qui subodore que les G-graphes, doivent avoir dans de nombreux cas des propriétés de connectivité relativement élevées. Plus précisément, chaque ensemble maximum indépendant ou stable des G-graphes (qui est un niveau du graphe ) et chaque plus grand sous-graphe induit complet (qui est une clique principale du graphe G) ont un et un seul sommet en commun.

G-graphes sur les groupes abéliens, sont comme Cayley, ne peuvent jamais conduire à une famille d’expansion

Si nous considérons une famille de groupes finis, les graphes de Cayley et les G-graphes nous permettre de construire de manière efficace et concise de grandes classes de graphes réguliers et creux (en limitant la taille de la partie génératrice du groupe). Ces deux "qualités", en plus de sa "quantité d’expansion", sont les caractéristiques les plus importantes dans la définition de graphe d’expansion. Quand on veut construire des graphes d’expansion via les graphes de Cayley, on regarde d’abord le cas le plus simple, les groupes cycliques, ou un peu plus général, les groupes abéliens, qui sont, par le théorème fondamental un produit direct des groupes cycliques.

Malheureusement, il a été prouvé [53] qu’aucune famille de graphes de Cayley sur ces groupes ne donne une famille de graphes d’expansion. Cela est également le cas, comme nous le verrons pour les G-graphes

Cayley et G-graphe expansion : Construction et comparaison Dans notre travail nous avons montrer que :

Soit G un groupe fini et S ⊆ G. Notons S∗₌S

alors

S∗_{= {s}1, . . . , so(s₁ 1)−1, . . . , sk, . . . , s o(sk)−1

k }.

Si {Cay(Gn, S∗n), n ∈ N+} est une famille d’expansion, alors

{ ˜Φ(Gn, Sn), n ∈ N+},

et

{bΦ(Gn, Sn), n ∈ N+},

sont les deux familles d’expansion.

En utilisant ce résultat, nous présentons une nouvelle méthode pour construire des G-graphes familles infinies d’expansion à partir des graphes de Cayley. De plus, contrairement à la plupart des familles d’expansion construits qui sont d-régulières, notre construction produit des familles d’expansion qui peuvent être d-régulières, régulières, ou irrégulières. À notre connaissance aucune famille d’expansion non régulière existait avant notre méthode. Notons que

1. Sisj₁∩sj₂= {e} pour tous sj₁ ∈ Si, sj₂ ∈ Si\ sj₁, et pour tous i ∈ N+, la famille

d’expansion { ˜Φ(Gi, Si), i ∈ N+} construite est formée des graphes simples. Notons

aussi que {bΦ(Gi, Si), i ∈ N+} est toujours une famille d’expansion de graphes simples.

2. Dans la table 4.1,nous comparons quelques invariants pour les graphes de Cayley, Cay(G, S∗) et les G-graphes, ˜Φ(G, S).

Cay(G, S∗) ˜Φ(G,S) Nombre de sommets |G|

∑

degré _{graphe |S}∗_{|-régulier d(u) = o(s)(|S| − 1)}

pour tous u ∈ Vs et s_{∈ S} Nombre d’arêtes 1 2|G||S∗| = 1 2|G|(∑s∈So(s) − |S|) 1 2|G||S|(|S| − 1)

Table 3 Certains invariants de graphe de Cay(G,S∗_{) et ˜Φ(G, S).}

Nous avons |S∗_{| =}

_∑

o_{(s) −|S|, donc tout sommet du niveau V}sde ˜Φ(G,S) a un degrés

o_{(s)(|S| − 1) avec |V}s| = |G|

o(s). Ainsi, le degré de la plupart des sommets de ˜Φ(G,S) est inférieur à |S∗_{|. En d’autres termes, cela signifie que les G-graphes nous permettent}

de construire des graphes plus "clairsemés" que les graphes de Cayley Cay(G,S∗_),

et dans certains cas plus "clairsemés" que Cay(G,S), avec éventuellement des taux d’expansion plus petits.

Premier résultat : famille infinie de G-graphes expansion sur le groupe

linéaire spécial SL

(2, Z/pZ) et sur le groupe projectif spécial linéaire

PSL

(2, Z/ pZ)

En utilisant les résultats ci-dessus, une nouvelle famille infinie d’expansion G-graphes sur le groupe linéaire spécial SL(2,Z/pZ) et le groupe projectif spécial linéaire PSL(2,Z/pZ) sont construits. Ces familles sont pour la plupart formées des graphes irréguliers, en particulier semi-réguliers, qui sont à notre connaissance les premiers construits.

Soit S1= 0 −1 1 0 ! , S2= 0 1 −1 0 ! et S3= 1 1 0 1 !

, et soit P l’ensemble des nom-bres premiers. Alors, les familles suivantes sont d’expansion :

2.  ˜_{Φ(PSL(2, Z/pZ); {S}2, S2₂, S2S3}), p ∈ P .

3. {Cay(PSL(2,Z/pZ);{S±1

2 , S2S3, S−13 S−12 }), p ∈ P}.

4. bΦ(PSL(2,Z/pZ);{S2, S2S3}), p ∈ P .

5. bΦ(PSL(2,Z/pZ);{S2, S2₂, S2S3}), p ∈ P .

Soit G le groupe projectif spécial linéaire, c’est G = PSL(2,Z/pZ). Dans les tableaux

4.2et4.3, nous comparons le nombre de sommets, le degré et le nombre d’arêtes des deux familles infinies des graphes de Cayley {Cay(G,L∗_{), i ∈ P} et {Cay(G,W}∗_{), i ∈ P} avec}

leurs G-graphes correspondants { ˜Φ(G;L),i ∈ P} et { ˜Φ(G;W),i ∈ N+

}. Cay(G, L∗) ˜Φ(G;L) Nombre de sommets |G|

∑

degré graphe 5-régulier d(u) = 4 pour tous u_{∈ V}S2 d(v) = 3 pour tous v_{∈ V}S2S3 Nombre d’arêtes 5 2|G| |G|

Cay(G,W∗) ˜Φ(G;W) Nombre

de sommets

|G| 13_12|G_|

degré 6-regular graph d(u) = 8 pour tous u_{∈ V}S2 d(v) = 6 pour tous v_{∈ V}S₂S₃ d(w) = 4 pour tous w_{∈ VS}2 2 Nombre d’arêtes 3|G| 3|G|

Table 5 Quelques invariants de graphes de Cay(G,W∗_{) et ˜Φ(G,W ).}

Nous avons le même résultat pour les familles suivantes,

1. { ˜Φ(SL(2,Z/pZ); Bi), p ∈ Pbi} pour tous 1 ≤ i ≤ 4, où Pbi est un ensemble de nombres

premiers et B1= {S1, S1S3}, B2= {S1, S3S1}, B3= {S2, S2S3}, et B4= {S2, S3S2},

2. { ˜Φ(SL(2,Z/pZ); Ci), p ∈ Pc_i} pour tous 1 ≤ i ≤ 6, où Pc_i est un ensemble de

nom-bres premiers et C1 = {S1, S−1₃ S−1₁ }, C2= {S−1₁ , S1S3}, C3= {S−1₁ , S−1₃ S−1₁ }, C4 =

{S1, S−1₁ S−1₃ }, C5= {S−11 , S3S1}, et C6= {S−11 , S−11 S−13 },

3. { ˜Φ(SL(2,Z/pZ); Di), p ∈ Pd_i} pour tous 1 ≤ i ≤ 6, où Pd_i est un ensemble de

nombres premiers et D1 = {S2, S−1₃ S−1₂ }, D2 = {S−1₂ , S2S3}, D3 = {S−1₂ , S−1₃ S−1₂ },

D_{4= {S2}, S−1₂ S−1_{3 }, D5= {S}−1₂ , S3S2}, et D6= {S−12 , S−12 S−13 },

4. { ˜Φ(SL(2,Z/pZ);Fi), p ∈ Pif} pour tous 1 ≤ i ≤ 5, où P f

i est un ensemble de nombres

premiers et F1= {S1, S2₁, S1S3, (S1S3)2}, F2= {S1, S2₁, S1S3, (S1S3)3}, F3= {S1, S2₁,

(S1S3)2, (S1S3)3}, F4= {S2, S22, S2S3, (S2S3)2}, et F5= {S1, S22, (S2S3)2, (S2S3)3}.

De plus, une nouvelle méthode pour générer une famille régulière infinie de graphe de Cayley à partir d’un autre en commutant des arêtes spécifiques est présentée. Cela conduit à

une nouvelle famille infinie d’expansion de graphes de Cayley sur le groupe projectif spécial linéaire PSL(2,Z/pZ).

Grâce à ce processus beaucoup de nouveaux résultats sont prouvés, principalement à propos des propriétés structurelles des G-graphes Φ(G,S) et ˜Φ(G,S). Les plus importants sont ceux concernant les cliques principales, la régularité de G-graphes, et certains de leurs invariants de graphique comme le diamètre (voir Proposition 2.4.1, Théorème 2.4.5, et Lemme4.3.1). Par exemple, dans le Chapitre2, le nombre d’arêtes émises de chaque clique principale de ˜Φ(G,S) est montré constant. Cela conduit à une nouvelle méthode pour vérifier si le G-graphe ˜Φ(G,S) est simple. Plus précisément, il suffit de compter le nombre d’arêtes émises de n’importe quel clique principale Cxoù x ∈ G au lieu de calculer⟨s⟩ ∩ ⟨s′⟩ pour tous

s_{̸= s}′_{∈ S.}

Une connexion entre les graphes de Cayley et les G-graphes

Initialement, les graphes de Cayley ont été étudiés pour plusieurs raisons. En particulier, ces graphes sont considérés soit comme un outil efficace pour aborder des problèmes spécifiques dans la théorie des graphes comme la construction de graphes intégrale, expandeur et Ra-manujan, ou pour leur propre intérêt, comme le calcul du spectre, le diamètre, l’Hamiltonicité des graphes de Cayley est également beaucoup étudiée (voir par exemple [50,77]).

Dans le chapitre 5, nous établissons une relation entre les graphes de Cayley et les G-graphes qui généralise celle présentée dans [18]. Cela nous donne la possibilité d’aborder certains problèmes ouverts dans la théorie des graphes de Cayley [4,5]. Par exemple, dans de nombreux cas, et contrairement à de nombreuses familles de graphes de Cayley, l’évaluation des spectres des G-graphes correspondants est une tâche triviale, et vice-versa.

En utilisant ce fait et certains résultats dans la théorie spectrale des l’hypergraphes, nous présentons une nouvelle méthode pour calculer les valeurs propres de certains graphes de Cayley et des G-graphes. Une relation est prouvée entre certaines classes de graphes Cayley et les G-graphes. Soit ˜Φ(G,S) un G-graphe, l’hypergraphe des cliques principales H(G,S) de ˜Φ(G,S) est l’hypergraphe qui a le même ensemble de sommets que celui de ˜Φ(G,S), t son ensemble d’hyper-arêtes est l’ensemble des cliques principales. Soit G un groupe, S un sous-ensemble non vide de G, et H = H(G,S) son hypergraphe des cliques principales, alors,

2. Cay(G,S∗_{) ≃ [H} ∗]2.

3. Cay(G,S∗_{) ≃ H}l_.

4. ˜Φ(G,S) ≃ (H∗)l.

Relation entre les spectres des graphes de Cayley et les G-graphes

Soit H un t-uniforme r-régulier hypergraphe avec a sommet. a. Si t ≤ r, alors

P(Hl, λ ) = (λ + t)a(rt−1)_P(H, λ + t − r). b. Si r ≤ t, alors

P(H, λ ) = (λ + r)a(1−rt)P(Hl, λ + r −t).

En utilisant les résultats ci-dessus, un lien est présenté dans le chapitre5entre le spectre des G-graphes d-réguliers ˜Φ(G,S) et celui de Cay(G,S∗_{). Plus spécifiquement si |G| = n,}

|S| = k, et o(s) = O pour tout s ∈ S. a. Si O ≤ k, alors

P( ˜Φ(G, S), λ ) = (λ + O)n(Ok−1)P(Cay(G, S∗), λ + O− k). b. Si k ≤ O, alors

P(Cay(G, S∗), λ ) = (λ + k)n(1−Ok)P( ˜Φ(G, S), λ + k − O).

Ces relations conduisent à une grande variété de résultats concernant plusieurs problèmes largement étudiés dans la théorie des graphes de Cayley et des G-graphes. Par exemple, de nouvelles classes infinies de graphes Cayley fortement réguliers, de graphes Cayley intégral etc.. (voir Sections5.4et5.6).

Application 1 : Une nouvelle méthode pour calculer le spectre des graphes de Cayley et des G-graphes

Dans le chapitre 5, les G-graphes sont utilisés pour calculer le spectre d’une famille infinie de graphes Cayley 6-regulier sur le groupe dicyclique {Dic8i, i ∈ N+} :

1. Soit G = Dic8m et S = {s,sr}. Alors les valeurs propres de Cay(G,S∗) = Cay(Dic8m,

{s,s2, s2, s3, sr, s3r_{}) sont :}

{4cos2πi_4m + 2/i = 1, . . . , 4m}[{−2[4m]}.

2. Soit G = Z/nZ × Z/nZ et S = {(1,0),(0,1)} où n ≥ 2. Alors les valeurs propres du graphe de Cayley Cay(G,S∗_{) sont :}

{2n − 2}[{n − 2[2n − 2]}[{−2[n2− 2n + 1]}.

3. Soit G = Z/nZ×Z/nZ et S = {(1,0),(0,1),(1,1)} où n ≥ 3. Alors les valeurs propres du graphe de Cayley Cay(G,S∗_{) sont}

{3n − 3}[{n − 3[3n − 3]}[{−3[n2− 3n + 2]}. e s2 s s3 s3r sr r _s2_r sr2 s3r2 r2 s2r2 s2r3 r3 sr3 s3r3

Fig. 2Le graphe de Cayley Cay(Dic16; {s,s2, s2, s3, sr, s3r}).

Vice versa, les graphes de Cayley sont utilisés pour calculer les spectres d’une famille infinie de G-graphes 4-réguliers sur le groupe diédral {D2i, i ∈ N+} : si G = D2n et S = {s,sr,rs}

où n est un entier pair. Alors les valeurs propres de ˜Φ(G,S) sont : {2cos2πi_n + 1, 2 cos2πi

n − 1/i = 1,...,n} [ {−2[3n_{2 −}n_]}. (e, s) (r, sr) (r2, sr2) (e, sr) (r, sr2) (r 2_{, s)} (e, rs) (r, s) (r2, sr) Fig. 3Le G-graphe ˜Φ(D6; {s,sr,rs}).

Application 2 : Nouvelles classes infinies de graphes Cayley intégraux

Un graphe intégral est un graphe dont le spectre est entièrement constitué d’entiers. Pour de nombreuses raisons, la construction de graphes intégraux n’est pas une tâche facile, par exemple sur 164,059,830,476 graphes connexes sur 12 sommets, il existe exactement 325 graphes intégraux [6]. Le problème de la construction de classes infinies de graphes intégraux est intensivement étudié (voir par exemple [43,75,76]).

Fig. 4Le graphe intégral de Cayley Cay(Z3× Z3, S∗).

Récemment, les graphes de Cayley ont été efficacement utilisés pour construire une famille infinie de graphes intégraux (voir par exemple [1] et [59]).

graphes, soit en utilisant le graphe complet Knou le graphe bipartite complet Kn,n (voir par

exemple [43,60]).

Fig. 5Le graphe intégral K2,2△ K2avec spectre (5,1,1,−1,−1,−1,−1,−3).

Dans la sous-section5.4.2, nous présentons un nouveau produit de graphes similaire à celui du produit cartésien, que nous appelons le produit de remplacement généralisé. Les différentes propriétés de ce produit sont étudiées. Plusieurs nouvelles classes infinies de graphes Cayley intégraux et d’autres sont construites en utilisant les G-graphes ou le produit de remplacement généralisé de deux graphes intégraux Γ △ Γ′_{. Par exemple les familles des}

graphes de Cayley

{Cay(G,S∗1), n ∈ N+}

et

{Cay(G,S∗2), n ∈ N+}

sont des intégraux, où G = Z/nZ ×Z/nZ, S1= {(1,0),(0,1)}, et S2= {(1,0),(0,1),(1,1)}.

Le même résultat est prouvé pour les familles suivantes. 1. {Cay(G,S∗ 1) △ Cay(G, S∗2)/n, m ∈ N+}, 2. {Cay(G,S∗ 2) △ Cay(G, S∗1)/n, m ∈ N+}, 3. {Cay(G,S∗ 1) △ Cay(G, S∗1)/n, m ∈ N+}, 4. {Cay(G,S∗ 2) △ Cay(G, S∗2)/n, m ∈ N+}.

Rappelons que Kn, Kn,n sont respectivement le graphe complet et le graphe bipartite complet.

Nous avons le même résultat pour les familles suivantes, 1. {Cay(Z/nZ × Z/nZ,S∗

2. {Cay(Z/nZ × Z/nZ,S∗ 1) △ Km,m/n, m ∈ N+}, 3. {Cay(Z/nZ × Z/nZ,S∗ 2) △ Km/n, m ∈ N+}, 4. {Cay(Z/nZ × Z/nZ,S∗ 2) △ Km,m/n, m ∈ N+}, 5. {Kn△ Km,m/n, m ∈ N+}, 6. {Kn,n,n△ Kn/n, m ∈ N+}, 7. {Kn,n,n△ Km,m,m/n, m ∈ N+}, 8. {Kn1,n1 △ Kn2,n2 △. . . △ Knl,nl/ni∈ N + _{for all 1 ≤ i ≤ l},} 9. {Km,m△ Kn△ Kl,l,l/n, m, l ∈ N+}.

Soit R1et R2être un ensemble de racines de S1et S2, respectivement. Nous avons les mêmes

résultats pour les familles suivantes 1. {Cay(Z/nZ × Z/nZ,S∗ 1) △ ˜Φ(G, R1)/n, m ∈ N+}, 2. {Cay(Z/nZ × Z/nZ,S∗ 1) △ ˜Φ(G, R2)/n, m ∈ N+}, 3. { ˜Φ(Z/nZ × Z/nZ,R1) △ ˜Φ(Z/nZ × Z/nZ,R2)/n, m ∈ N+}, 4. { ˜Φ(Z/nZ × Z/nZ,R2) △ ˜Φ(Z/nZ × Z/nZ,R1)/n, m ∈ N+}, 5. { ˜Φ(Z/nZ × Z/nZ,R1) △ ˜Φ(G, R1)/n, m ∈ N+}, 6. { ˜Φ(Z/nZ × Z/nZ,R2) △ ˜Φ(G, R2)/n, m ∈ N+}, 7. {Cay(Z/nZ × Z/nZ,S∗ 1) △ Km/n, m ∈ N+}, 8. {Cay(Z/nZ × Z/nZ,S∗ 1) △ Km,m/n, m ∈ N+}, 9. {Cay(Z/nZ × Z/nZ,S∗ 2) △ Km/n, m ∈ N+}.

Application 3 : Une partie du spectre de certains graphes Cayley et G-graphes

Les propriétés structurelles des G-graphes présentés dans le Chapitre2 sont utilisées pour évaluer certaines valeurs propres des G-graphes d-réguliers ˜Φ(G,S). Cela nous conduit à l’évaluation des valeurs propres de toutes les classes infinies des graphes de Cayley Cay(G, S∗). Plus spécifiquement, nous prouvons que si Φ(G, S) et ˜Φ(G, S) sont d-réguliers G-graphes, où |G| = n et |S| = k. Alors,

1. (k+1)O etk+1

1−kOsont des valeurs propres de Φ(G,S) avec des multiplicités supérieures

ou égales à 1 et k − 1, respectivement.

2. (k − 1)O et −O sont des valeurs propres de ˜Φ(G,S) avec des multiplicités supérieures ou égales à 1 et k − 1, respectivement.

De plus, si G est un groupe et S ⊂ G où o(s) = o(s′_{) pour tout s, s}′_{∈ S, alors k(O − 1) et −k}

sont des valeurs propres du graphe de Cayley Cay(G,S∗_{) avec des multiplicités supérieures}

ou égales à 1 et k − 1, respectivement.

Une autre application : Nouvelles classes de graphes Cayley fortement réguliers Une condition nécessaire et suffisante pour la forte régularité de certains graphes de Cayley et de certains G-graphes est présentée :

1. Le G-graphe ˜Φ(G,S) est fortement régulier si et seulement si n = O2 _{soit o(s) = O}

pour tout s ∈ S.

2. Le graphe de Cayley Cay(G,S∗_{) est fortement régulier si et seulement si n = O}2_{, où}

o(s) = o(s′) pour tous s, s′_{∈ S.}

Ces résultats nous amènent à introduire de nouvelles classes de graphes fortement réguliers. Par exemple, les familles de graphes de Cayley suivantes sont fortement régulières,

1. {Cay(Z/nZ × Z/nZ,S∗_{), n ∈ N}+_{}, où S = {(a}

1, b1), . . . , (ak, bk)} et min{gcd (ai, n),

gcd(bi, n)} = 1, pour tous 1 ≤ i ≤ k.

2. {Cay(G,S∗_{), n ∈ N}+_{}, où G = Z/nZ × ...Z/nZ (a-fois) et S = {e}

1, ..., ea}.

Sur certaines familles d’expansion

Les familles de graphes d’expansion peuvent être définies de différentes manières, toutes ces définitions sont équivalentes par l’inégalité de Cheeger donnée par le théorème3.5.6. Dans

cette partie, nous traitons principalement de nouvelles approches pour calculer les spectres des graphes de Cayley.

À partir de la Section3.2, nous obtenons la définition algébrique restreinte suivante des graphes d’expansion pour le cas du graphe régulier.

• Une famille de graphe d-régulier {Γi, i ∈ N+} est une famille d’expansion si λ1(Γi) −

λ2(Γi) de n’importe quel graphe Γiest supérieur ou égal à certains ε ∈ R+.

Comme nous l’avons vu précédemment, plusieurs nouvelles familles d’expansion sont construites sur le groupe linéaire spécial SL(2,Z/pZ)„ et sur le groupe projectif spécial linéaire PSL(2,Z/pZ). Dans le résultat suivant, nous montrons que la condition suffisante dans le Théorème4.3.3est également satisfaite pour le cas régulier de G-graphes.

• Soit G un groupe et S ⊂ G où o(s) = o(s′_{) pour tous s, s}′_{∈ S. Alors la famille des}

graphes de Cayley {Cay(G,S∗_{), i ∈ N}+

} est une famille d’expansion si et seulement si la famille de G-graphes { ˜Φ(G,S),i ∈ N+_{} est une famille d’expansion.}

Le graphe de Ramanujan

Un graphe de Ramanujan est un graphe régulier dont le trou spectral (ou spectral gap) est aussi grand que possible. Plus spécifiquement, un graphe d-régulier Γ avec n vertices est un Ramanujansi

max{λ2, |λn|} ≤ 2

√ d_{− 1.}

Une famille de degrés bornés de ces graphes est forme clairement grâce au Theorem3.5.6des excellents graphe d’expansion. Des exemples simples de graphes de Ramanujan incluent le graphe complet Kn, le graphe bipartite complet Kn,net le graphe de Petersen. Quelques

con-ditions suffisantes pour que certains graphes de Cayley Ramanujan et G-graphes Ramanujan sont données.

• Soit G un groupe et S ⊂ G où o(s) = |S| pour tous s ∈ S. Alors le graphe de Cayley Cay(G, S∗) est un graphe de Ramanujan si et seulement si ˜Φ(G, S) est aussi un graphe de Ramanujan.

• Soit ˜Φ(G,S) un d-régulier G-graphe, où |G| = n et |S| = k. Si ˜Φ(G,S) est un graphe de Ramanujan alors

O_{≤ 4(k − 1) −} 4

• Soit Cay(G,S∗_{) un graphe de Cayley, où |S| = k et o(s) = o(s}′_{) pour tous s, s}′_{∈ S. Si}

Cay(G, S∗) est un graphe de Ramanujan alors k_{≤ 4(O − 1) −}4

k < 4(O − 1).

Conclusion

Comme nous l’avons vu, il existe des problèmes considérables à la construction d’une famille d’expansion. La façon la plus courante est d’utiliser les graphes de Cayley et la constante de Kazhdan correspondante, les raisons/avantages qui se cachent derrière un tel choix sont expliqués dans le chapitre3et en section1.5. Néanmoins, les techniques les plus évidentes dans cette direction ne fonctionnent pas, par exemple, le graphe de Cayley sur un groupe abélien et le groupe de dièdral. Le problème de trouver une séquence de groupes qui correspond à une famille d’expansion de graphes de Cayley a été considéré par de nombreux auteurs. Une grande quantité de recherches avec des résultats essentiellement négatifs a été publiée au cours des dernières décennies [42,71].

Cette thèse donne différentes techniques algébriques et combinatoires pour aborder ce problème particulier ainsi que d’autres problèmes liés. Dans le deuxième chapitre, nous continuons les études précédentes concernant les propriétés structurelles des G-graphes, ceci nous donne un point de départ pour étudier leurs propriétés/qualités d’expansion. Le qua-trième chapitre est consacré à l’étude du problème de la construction de familles d’expansion de Cayley et de G-graphes d’un point de vue combinatoire. De là, plusieurs nouvelles familles de tels graphes sont présentées.

Dans le cinquième chapitre, nous montrons des aspects clés de la théorie des hypergraphe spectraux. Dans le dernier chapitre, les principales contributions aux différents problèmes posés dans chaque chapitre sont présentées. En outre, nous discutons des recherches futures, à partir de ce qui a déjà été réalisé, et soulignons les résultats prévisibles possibles. Tout cela démontre le fait que ces nouveaux graphes définis à partir de groupes, que sont G-graphes, continueront à jouer un rôle clé dans les constructions futures de nouvelles familles d’expansion.

Preliminaries

Graphs are among the most ubiquitous forms of both natural and man-made structures. Graph theory has witnessed a huge growth starting from the thirties of the last century. The main reason for this growth is that these objects serve as models to analyze many difficult real-life problems. Another reason is their applicability to many other domains, such as computer science, physics, chemistry, sociology, and psychology. In the natural, life, and social sciences they model relations between species, societies, countries, companies and so on. In computer science, they may represent networks of communication, computational devices, data organization, and so on. On the other hand, we see graph theory has also close connections with many branches of pure and applied mathematics, such as group theory, probability, geometry, and topology.

The study of these models leads to the realization of the significant structural character-istics of the relevant graphs. But are there certain nontrivial structural aspects which are dramatically more important? Is it possible to put a certain condition on the expansion of a graph? Or equivalently, is it possible that the graph itself be at the same time sparse and highly connected? Expanders existence was first proved by Pinsker [64] without giving an actual construction. These graphs play a key role in many of the above subjects. For instance, since expanders serve as basic building bricks for various types of communication networks, an explicit construction is very desirable.

As the reader can anticipate from their name "expander graphs", the relative high con-nectivity, or equivalently the consistent degree of expansion1, is one of the main principles for their existence. So what we exactly mean by expansion? If we take a look at Cam-bridge dictionary we find expansion [noun], is the increase of something in size, number, or

1_{As we will see in Chapter3, the degree of expansion goes by at least 8 different names (see the remark}

after Example10). In this study, we often refer to this concept by expansion ratio. The different names that it possess indicates its importance and ubiquitously.

importance. The formal mathematical definition is completely another story (see e.g. the following two books [50,70] two surveys [42,52]). It can be given using at least languages: combinatorial, random walks, algebraic. Combinatorially, this definition can be summarized in one statement, it is a sparse graph that has strong connectivity properties. Literally, this means, it combines the preferable properties of a graph or communication network, which are in some sense contradictory, its sparsity or price, and its connectivity or reliability and speed.

This chapter has been designed to give a general introduction to some of the basic facts needed from the theory of groups, graphs, and hypergraph, in addition to algebraic graph theory. This introduction is given to provide a convenient repository for all readers. We discuss briefly the material we shall require from these theories and in each section we point the reader to the suitable reference(s).

Useful definitions from group theory

In this section, we exhibit standard terminology from the theory of groups. For further prerequisites from this subject, see e.g. [69].

Some general definitions

Group

A group is a set of elements, G, together with the group operation "." that combines any two elements g and g′_{to form another element of G, denoted by g.g}′_{or simply gg}′_{. Both the}

set and the and group operation must satisfy the four group axioms: • Closure: For all g,g′_{in G, then g.g}′_{is also in G.}

• Associativity: For all g, g′_{and g}′′ _{in G, g.(g}′_.g′′_{) = (g.g}′_).g′′

• Identity element: There exists an element in G denoted by e, sometimes denoted by 1, such that every g in G, we have g.e = e.g = g.

• Inverse element: For each element g in G, there exists an element g−1_{in G, such that}

g.g−1= g−1.g = e.

A group is generally denoted by (G,.) where "." denotes the group operation. In this thesis, we very often use the underlying set G as a short notation for the group (G,.)

Abelian group

The result of combining elements g and g′_{may be different to that of g}′_{with element g.}

That is, the following statement is not always true.

• Commutativity: For all g,g′_{in G, we have g.g}′_{= g}′_.g

An abelian group is a group that satisfies the commutativity axiom. For instance, the group (Z/nZ, +) is an abelian group, while the groups defined in Table1.1are all non-abelian. Order of an element

Throughout this thesis, we are mainly concerned with finite groups, that is, a group with a finite number of elements. The order of the group G, or |G|, is the number of elements in group. For every g in G we define the order of g, denoted by o(g), as the smallest integer l such that gl_{= e, where g}l _{represents the application of the group operation "." to l copies of g.}

Let S = {s1, ..., sk} be a non-empty subset of G, and let Omax(S) and Omin(S) be respectively

the maximum and the minimum o(si) for all i ∈ {1,...,k}.

Subgroup

Let (G,.) be a group, a subset H is called a subgroup of G if it also satisfies the four group axioms under the same group operation ".". It must therefore include the identity element of G. The order of any subgroup H of G, or |H|, must be a divisor of |G|.

Generating set of a group

Generating set and cyclic group

A subset S of G is said to be symmetric if every element in S has its inverse in S. We define ⟨S⟩ to be the smallest subgroup of G which contains S. If ⟨S⟩ = G, then set S is said to be a generating set of G, or G is generated by S. The elements of the generating set S are called generators of the group G. A cyclic group is a group that is generated by a single generator.

Rank of a group

The rank of group G, denoted by rank(G), is the cardinality of the smallest generating set, that is,

rank_{(G) = min{|S|;S ⊂ G and ⟨S⟩ = G}.}

A generating set S is minimal if its cardinality |S| is equal to the rank of G. Some operations on sets

Let A and B be subsets of the universal set U. The difference of B in A, denoted by A \ B, is the set of elements in A but not in B. That is, A\B = {x/x ∈ A and x /∈ B}. The complement of set Ais the set of all elements that are not in A, that is, A = U \ A. Let S∗=S_{s∈S⟨s⟩ \ {e},} that is if S = {s1, . . . , sk}, then S∗= {s1, . . . , s

o(s1)−1

1 , . . . , sk, . . . , s o(sk)−1

Action of a group

Group action

The left group action of G on a set X is the function ϕ from G × X to X: (g,x) 7→ g · x, satisfying the following two conditions for all elements x in X:

• Identity: e · x = x,

• Compatibility: (g · g′_{) · x = g · (g}′_{· x) for all g,g}′_{∈ G.}

In this case, we say that the group G acts on the left of the set X. The right action of a group is defined in a similar way.

The orbit (with respect to the left action) of x ∈ X, denoted by Ox, is the set of all

elements in X to which x can be moved (to them) by the elements of G. That is, Ox =

{g · x/g ∈ G}. Note that since y = g · x if and only if x = g−1· y, then y ∈ Ox if and only

if x ∈ Oy. Consequently, the orbits of action form a partition of X. For every x ∈ X, the

stabilizer subgroupof x, denoted by Gx, is the set of all elements of G that fix x. That is,

Gx= {g ∈ G/g · x = x}.

The action is transitive if X is non-empty set if for each pair of elements x,y ∈ X, there exists an element g ∈ G such that g · x = y. Note that the action is transitive if and only if it has exactly one orbit, that is if there exists an element x ∈ X such that G · x = X. The action is said to be regular, if for all x,y ∈ X, there exists a unique g ∈ G such that g · x = y. Clearly, a regular action is also transitive.

Left and right cosets

Let H be a subgroup of a group G and let g be an element of G. A subset of G of the form Hg = {hg/h in H} is said to be a right coset of H in G. A subset TH of G is said to be

a right transversal of H if TH contains exactly one element from each right coset of H in G.

In a similar way, we can define left cosets of a group and the left transversal set. Two right cosets of H in G are either identical or disjoint. That is to say, every element of the group G belongs to exactly one right coset, and so the set of right cosets form a partition of the group G,

G= G

t∈TH Ht. The same statement stands for the set of left cosets.

Isomorphism of groups

Isomorphism of groups

Given two groups G and H, a morphism from G to H, is a function ϕ : G → H such that ϕ(gh) = ϕ(g)ϕ(h), for every g,h ∈ G. A bijective morphism from G to H, is called an isomorphism. Two groups G and H are said to be isomorphic, if there exists an isomorphism between them. In this case, we write G ≃ H. An isomorphism from G onto itself is called automorphism. The automorphism group, denoted by Aut(G), is the set of all automorphisms of G

The fundamental theorem of finite abelian groups

The fundamental theorem of finite abelian groups [69] states that every finite abelian group of rank k is isomorphic to a direct product of k cyclic groups of prime-power order, that is G ≃ Z/m1Z× ... × Z/mkZwhere m1, . . . , mkare are powers of prime numbers uniquely

determined by the group G.

Group presentation

A common way to define certain groups G is by using group presentation. Let S be a set of generators of the group G, and R a set of relations between these generators. Formally, we say that G has the group presentation ⟨S|R⟩ if it is isomorphic to the group generated by S, subjected to the relations of R. For example, the well-known non-abelian group D2n,

the dihedral group of order 2n, generated by r rotations of 2π/n and reflection s, has the following group presentation,

D_2n=s_{, r|s}2= rn= 1, (sr)2= 1.

One of the group presentations of the cyclic group of order n is ⟨a|an_{= 1}

⟩.

If a group G is finite then it has a finite presentation ⟨S|R⟩ (that is both S and R are both finite). Every group (infinite or finite) has a presentation, and indeed many different presentations. A presentation is usually the most compact way to describe the structure of its corresponding group. That is, group presentation is in general the simplest and most concrete method to define a group. For this reason, we mainly refer to this notation throughout this thesis. Below we present some groups with their corresponding presentations/definitions. These groups are frequently used in Chapters4and5to construct new infinite families of regular and irregular expander graphs, integral Cayley graphs, and strongly regular Cayley graphs, etc.

Group name/notation Group presentation/definition The dihedral group D2n s, r|s2= rn= 1, sr = r−1s

The dicyclic group Dicn s, r|r2n= 1, rn= s2, sr = r−1s

The group V8n s, r|r2n= s4= 1, sr = r−1s−1, s−1r= r−1s

The Coxeter group Cox(mi, j, 1 ≤ i, j ≤ n)

r1, . . . , rn| (rirj)mi, j = 1, mi,i= 1, mi, j≥ 2 if i ̸= j

The special linear group SLm(Z/qZ)

n

(A)m×m = (ai, j) where ai, j ∈ Z/qZ for all 1 ≤

i_{, j ≤ m and |A}m×m| = 1

o The projective special

lin-ear group PSLm(Z/qZ)

SLm(Z/qZ)/{±Im}, where Imis the m ×m identity

matrix

Table 1.1 Some groups with their presentations ⟨S|R⟩.

Useful definitions from graph theory

This section has been designed to give a general introduction to some of the basic facts of graph theory, for more details on this subject, see e.g. [51,12]. In this thesis, we consider only non-directed and finite graphs.

Some general definitions

Non-directed and simple graphs

An undirected graph Γ is the triple (V (Γ),E(Γ),ξΓ), or (V, E, ξ ) when no ambiguous

occurs, where V (Γ) is the set of vertices, E(Γ) is the set of edges, and ξΓ is an incidence

function that associates to each edge e ∈ E(Γ) an unordered pair of vertices u,v ∈ V(Γ). If ξΓ(e) = {u,v} then we say that the edge e is incident to the vertices u and v and that u and

v are adjacent. A loop is an edge with identical endpoints, that is an edge that joins the same vertex. Two or more edges with the same pair of end-points, or vertices, are said to be parallel edges.The multiplicity of an edge between vertices u and v is the number of parallel edges that are incident to both u and v. A graph with neither parallel edges nor loops is called simple graph. That it is to say, if it has neither loops nor edges of multiplicity greater than or equal to 2.

Induced, spanning, and cover sub-graphs

Definition 1.2.1. A subgraph Γ′ of Γ is a graph such that its vertices and edges sets are subsets of those of Γ. A subgraph Γ′ _{is spanning if V (Γ}′_{) = V (Γ). Likewise, a subgraph}

Γ′ _{is said to be induced if the following condition is satisfied, {u,v} ∈ E(Γ}′) if and only if {u,v} ∈ E(Γ) for all u,v ∈ V(Γ′_{). A subgraph Γ}′ _{is said to be a cover subgraph of Γ if}

V(Γ′) = V (Γ) and any two vertices u and v of Γ′are adjacent if and only if they are also adjacent in Γ.

Γ1 Γ2

Fig. 1.1The graph Γ1is a cover subgraph of Γ2.

Remark. It is easy to see that every cover subgraph Γ′of Γ is necessarily a spanning subgraph, yet the converse is not true (see graph Γ1and Γ2in Figure1.1).

Walk, trail, and path

A walk in a graph is a sequence v0, e1, v1, ..., vl of graph vertices and graph edges (not

necessarily distinct), such that vi₋₁and viare the ends of eifor 1 ≤ i ≤ l. A trail is a walk in

which all its edges are distinct. A path is a trail in which all its vertices are distinct (except possibly the first and last). A graph is connected if there exists is a path between any two of its vertices.

k-representation of a graph

A graph Γ = (V,E,ξΓ) is k-partite if there is a partition of V into k parts such that each

part is a independent set. We will write Γ = (F_i∈IVi; E) where I = {1,...,k}. A graph is

minimum k-partite(k ≥ 1) if it is k-partite and not (k − 1)-partite. It is easy to verify that for any graph Γ, there exists k such that Γ is minimum k-partite. If a graph Γ is k-partite, then we will say that (Vi)i_{∈{1,2,...,k}} is a k-representation of Γ and we will call (Γ,(Vi)i_{∈{1,2,...,k}}) a

k-graph.

Some useful graph invariants

Vertex degree, diameter of a graph

Definition 1.2.2. Let Γ be a graph with vertex set V. The neighborhood of a vertex u ∈ V denoted by NΓ(u), or N(u) when no ambiguous occurs, is the set of all vertices that are

adjacent to u. The degree of a vertex v in a graph Γ, denoted by dΓ(v), or d(u) when no

edges. The maximum and the minimum degree of a graph Γ is denoted by ∆(Γ) and δ (Γ), respectively. A graph Γ is d-regular if d(u) = d for all u ∈ V(Γ). Two vertices u,v ∈ V(Γ) are twinsif they have the same neighbors N(u) = N(v) and the same number of edges between them and any fixed neighbor.

Remark. In Chapter4and5, we deal with infinite families of d-regular and regular graphs. The difference between these families is that the first one contains regular graphs of degree d each, while the second is formed of regular graphs but possibly with different degrees. Definition 1.2.3. The distance d(u,v) between two vertices u and v is the number of edges in a shortest path that connects u and v. The diameter diam(Γ) of a graph Γ is defined by:

diam_{(Γ) = max{d(u,v);u,v ∈ V (Γ)}.} Clique and independent set

An independent set of a graph Γ, sometimes called the stable set, is an induced subgraph of Γ such that no pair of its vertices are adjacent. A maximum independent set of a graph Γ is an independent set with the largest possible size. The independence number of graph Γ, denote by α(Γ), is a cardinal of a maximum independent set in Γ. Literally, this means,

α(Γ) = max{|U|;U is an independent set of Γ}.

A clique of graph Γ is an induced subgraph of Γ such any pair of its vertices are adjacent. Note any clique of graph Γ has a spanning complete subgraph. A maximum clique of a graph Γis a clique with the largest possible size. The clique number of a graph Γ, denoted by ω(Γ), is the size of the maximum clique of Γ. Literally, this means,

ω(Γ) = max{|U|;U is a clique of Γ}.

The chromatic number of a graph Γ denoted by χ(Γ), is equal to the smallest integer k such that Γ is k-partite and not k − 1-partite. It is easy to see that ω(Γ) ≤ χ(Γ) and that χ(Γ) ≤ ∆(Γ) + 1. In 1941, Brooks [25] gives a sharper upper bound, where he proves that the chromatic number χ(Γ) ≤ ∆(Γ), unless the graph Γ is complete or an odd cycle.

Symmetric and semi-symmetric graphs

Definition 1.2.4. Let Γ₁= (V1, E1, ξ1) and Γ2= (V2, E2, ξ2) be two graphs, a graph

homo-morphismfrom Γ₁to Γ₂is a couple ( f , f#) where f : V1→ V2and f#: E1→ E2such that

where f and f#are bijective. A graph Γ1is isomorphic to Γ2if there exists an isomorphism

between Γ1and Γ2. In this case, we write Γ ≃ Γ′. An automorphism of a graph is a graph

isomorphism with itself.

Definition 1.2.5. A graph Γ = (V,E,ξ ) is vertex-transitive if for any v1, v2∈ V there exists

a graph automorphism (h,h#) such that h(v1) = v2. Similarly, graph Γ is edge-transitive

if for any e1, e2∈ E there exists a graph automorphism (h,h#) such that h#(e1) = e2. A

symmetric graphis a graph that is both vertex-transitive and edge-transitive. Note that every vertex-transitive graph is also regular, but this is not true for the edge-transitive case. A regular graph that is edge-transitive but not vertex-transitive is semi-symmetric.

Remarkable classes of graphs/operations

Hamiltonian and Eulerian graphs

A Hamiltonian path is a path that visits each vertex exactly once. A Hamiltonian cycle is a Hamiltonian path that is a cycle, that is it starts and ends in the same vertex. A graph is Hamiltonianif it contains a Hamiltonian cycle. Similarly an Eulerian trail is a trail that visits every edge exactly once. An Eulerian tour is a trail that is a cycle, that is it passes through every edge exactly once. A graph is Eulerian if it contains an Eulerian tour.

Eulerian graphs were first introduced and discussed in 1736 by the famous Swiss mathe-matician Leonhard Euler, in an attempt to solve the Seven Bridges Königsberg problem. In the process, a necessary condition is given for the existence of Eulerian graphs, that is the degree of all vertices must be even integers. He conjectured the opposite, that is to say, if the vertex degree set of a connected graph is formed of even integers then the graph is Eulerian. This claim was later proved in 1873 by Carl Hierholzer [11].

Theorem 1.2.6. [Euler and [11]] Let Γ be a nontrivial connected graph. Then Γ has an Euler tour if and only if every vertex is of even degree.

Line graph of graph

The line graph of a simple graph Γ is the graph Γl _{such that the vertices are the edges of}

Γand e,e′_{∈ V (Γ}l_{) are adjacent Γ}l _{if they have a common vertex.}

A simple graph Γ is edge-transitive if and only if its line graph Γl _{is vertex-transitive.}

This property is used to generate families of graphs that are vertex-transitive graphs that are not Cayley graphs. More particularly, it was proved [51] that if Γ is a non-bipartite and edge-transitive graph with least five vertices, and with odd vertex degrees, then Γl _is