Les familles de graphes d’expansion peuvent être définies de différentes manières, toutes ces définitions sont équivalentes par l’inégalité de Cheeger donnée par le théorème3.5.6. Dans
cette partie, nous traitons principalement de nouvelles approches pour calculer les spectres des graphes de Cayley.
À partir de la Section3.2, nous obtenons la définition algébrique restreinte suivante des graphes d’expansion pour le cas du graphe régulier.
• Une famille de graphe d-régulier {Γi, i ∈ N+} est une famille d’expansion si λ1(Γi) − λ2(Γi) de n’importe quel graphe Γiest supérieur ou égal à certains ε ∈ R+.
Comme nous l’avons vu précédemment, plusieurs nouvelles familles d’expansion sont construites sur le groupe linéaire spécial SL(2,Z/pZ)„ et sur le groupe projectif spécial linéaire PSL(2,Z/pZ). Dans le résultat suivant, nous montrons que la condition suffisante dans le Théorème4.3.3est également satisfaite pour le cas régulier de G-graphes.
• Soit G un groupe et S ⊂ G où o(s) = o(s′) pour tous s, s′∈ S. Alors la famille des graphes de Cayley {Cay(G,S∗), i ∈ N+} est une famille d’expansion si et seulement si la famille de G-graphes { ˜Φ(G,S),i ∈ N+} est une famille d’expansion.
Le graphe de Ramanujan
Un graphe de Ramanujan est un graphe régulier dont le trou spectral (ou spectral gap) est aussi grand que possible. Plus spécifiquement, un graphe d-régulier Γ avec n vertices est un Ramanujansi
max{λ2, |λn|} ≤ 2√d− 1.
Une famille de degrés bornés de ces graphes est forme clairement grâce au Theorem3.5.6des excellents graphe d’expansion. Des exemples simples de graphes de Ramanujan incluent le graphe complet Kn, le graphe bipartite complet Kn,net le graphe de Petersen. Quelques con-ditions suffisantes pour que certains graphes de Cayley Ramanujan et G-graphes Ramanujan sont données.
• Soit G un groupe et S ⊂ G où o(s) = |S| pour tous s ∈ S. Alors le graphe de Cayley Cay(G, S∗) est un graphe de Ramanujan si et seulement si ˜Φ(G, S) est aussi un graphe de Ramanujan.
• Soit ˜Φ(G,S) un d-régulier G-graphe, où |G| = n et |S| = k. Si ˜Φ(G,S) est un graphe de Ramanujan alors
O≤ 4(k − 1) − 4
• Soit Cay(G,S∗) un graphe de Cayley, où |S| = k et o(s) = o(s′) pour tous s, s′∈ S. Si Cay(G, S∗) est un graphe de Ramanujan alors
k≤ 4(O − 1) −4
k < 4(O − 1).
Conclusion
Comme nous l’avons vu, il existe des problèmes considérables à la construction d’une famille d’expansion. La façon la plus courante est d’utiliser les graphes de Cayley et la constante de Kazhdan correspondante, les raisons/avantages qui se cachent derrière un tel choix sont expliqués dans le chapitre3et en section1.5. Néanmoins, les techniques les plus évidentes dans cette direction ne fonctionnent pas, par exemple, le graphe de Cayley sur un groupe abélien et le groupe de dièdral. Le problème de trouver une séquence de groupes qui correspond à une famille d’expansion de graphes de Cayley a été considéré par de nombreux auteurs. Une grande quantité de recherches avec des résultats essentiellement négatifs a été publiée au cours des dernières décennies [42,71].
Cette thèse donne différentes techniques algébriques et combinatoires pour aborder ce problème particulier ainsi que d’autres problèmes liés. Dans le deuxième chapitre, nous continuons les études précédentes concernant les propriétés structurelles des G-graphes, ceci nous donne un point de départ pour étudier leurs propriétés/qualités d’expansion. Le qua-trième chapitre est consacré à l’étude du problème de la construction de familles d’expansion de Cayley et de G-graphes d’un point de vue combinatoire. De là, plusieurs nouvelles familles de tels graphes sont présentées.
Dans le cinquième chapitre, nous montrons des aspects clés de la théorie des hypergraphe spectraux. Dans le dernier chapitre, les principales contributions aux différents problèmes posés dans chaque chapitre sont présentées. En outre, nous discutons des recherches futures, à partir de ce qui a déjà été réalisé, et soulignons les résultats prévisibles possibles. Tout cela démontre le fait que ces nouveaux graphes définis à partir de groupes, que sont G-graphes, continueront à jouer un rôle clé dans les constructions futures de nouvelles familles d’expansion.
Preliminaries
Graphs are among the most ubiquitous forms of both natural and man-made structures. Graph theory has witnessed a huge growth starting from the thirties of the last century. The main reason for this growth is that these objects serve as models to analyze many difficult real-life problems. Another reason is their applicability to many other domains, such as computer science, physics, chemistry, sociology, and psychology. In the natural, life, and social sciences they model relations between species, societies, countries, companies and so on. In computer science, they may represent networks of communication, computational devices, data organization, and so on. On the other hand, we see graph theory has also close connections with many branches of pure and applied mathematics, such as group theory, probability, geometry, and topology.
The study of these models leads to the realization of the significant structural character-istics of the relevant graphs. But are there certain nontrivial structural aspects which are dramatically more important? Is it possible to put a certain condition on the expansion of a graph? Or equivalently, is it possible that the graph itself be at the same time sparse and highly connected? Expanders existence was first proved by Pinsker [64] without giving an actual construction. These graphs play a key role in many of the above subjects. For instance, since expanders serve as basic building bricks for various types of communication networks, an explicit construction is very desirable.
As the reader can anticipate from their name "expander graphs", the relative high con-nectivity, or equivalently the consistent degree of expansion1, is one of the main principles for their existence. So what we exactly mean by expansion? If we take a look at Cam-bridge dictionary we find expansion [noun], is the increase of something in size, number, or
1As we will see in Chapter3, the degree of expansion goes by at least 8 different names (see the remark after Example10). In this study, we often refer to this concept by expansion ratio. The different names that it possess indicates its importance and ubiquitously.
importance. The formal mathematical definition is completely another story (see e.g. the following two books [50,70] two surveys [42,52]). It can be given using at least languages: combinatorial, random walks, algebraic. Combinatorially, this definition can be summarized in one statement, it is a sparse graph that has strong connectivity properties. Literally, this means, it combines the preferable properties of a graph or communication network, which are in some sense contradictory, its sparsity or price, and its connectivity or reliability and speed.
This chapter has been designed to give a general introduction to some of the basic facts needed from the theory of groups, graphs, and hypergraph, in addition to algebraic graph theory. This introduction is given to provide a convenient repository for all readers. We discuss briefly the material we shall require from these theories and in each section we point the reader to the suitable reference(s).