PHY402-Acoustique Travaux Pratiques v21

PHY402-Thème Acoustique

Travaux Pratiques d'acoustique

Les TP comportent 7 séances de 4H, regroupées par deux pour les 6 premières et comportant une partie de TD pour la première séance avec la résolution d'exercices d’illustration base.

Séances 1 et 2

Analyse de Fourier : par simulation puis analyse d'instruments divers.

Séances 3 et 4

Caractérisation des sons et de leur propagation (célérité, intensité...).

Étude d'un système d'onde stationnaire à la base d'émission du son (corde ou tuyau sonore) (peut être initié dans cette séance et complété dans les séances 5 et 6 pour le phénomène de résonance).

Séances 5 et 6

Caractérisation des transducteurs sonores et ultrasonores Sources multiples (interférences), étude de battements.

Systèmes résonnants à la base d'émission du son (tuyau, cordes, percussion).

Séances 7

La dernière séance est une étude libre, approfondissement d'une manipulation faite précédemment ou étude originale.

Chaque série fait l'objet d'un compte-rendu à rendre en binôme.

L'examen final porte à la fois sur des exercices théoriques et des applications pratiques.

Il est nécessaire de sauvegarder (sur l'espace personnel ou une clé usb) tout ce qui est graphes et acquisitions (format image jpg ou png, format tableur pour réexploitation, etc.) pour être réutiliser lors de la rédaction d'un compte-rendu.

Comptes rendus de TP

A rendre avec un délai d'une semaine maximum.

La notation tiendra compte des points suivants :

• La présentation générale : clarté, soin, orthographe, syntaxe, plan adopté pour le compte-rendu, introduction, numérotation des graphes, des schémas ou photos.

• La présentation des expériences et mesures (= méthodologie) : montages utilisées, instrumentation, mode opératoire

→ préférer un schéma annoté (ou une copie d'écran, photo) à une longue explication

→ ne présenter que les aspects importants et/ou spécifiques à la manipulation

• Les résultats : mesures (unité, incertitudes) ; tableaux et graphes (choix des échelles, titre, etc.) → mettre en évidence toute mesure importante ou finale

• L'analyse : analyser et commenter les résultats, en particulier le lien avec la théorie/modélisation, comparaison des mesures entre elles, avec des données tabulées/constructeurs…

• Les conclusions (= synthèse) : par expérience, par chapitre, ou générale.

La longueur du compte-rendu doit être limitée.

Il est en particulier inutile de faire des rappels de cours (supposé connu par le lecteur).

A propos des mesures réalisées en TP

Chaque mesure doit être accompagnée de son incertitude. Lorsque le temps le permet, il est préférable de privilégier une série de mesure à représenter sur un graphe plutôt qu'une mesure unique.

TP n°1 (séances 1 et 2)

Première partie : étude de la transformée de Fourier (simulation)

A – Synthèse de série de Fourier

Ouvrir le logiciel « Synthèse de Fourier ».

I- Observation des composantes sinusoïdales d’un signal périodique

Définir le nombre d’harmoniques calculées à nb=100 (Npp=1000).

• Quels sont les différents sons purs qui composent un signal en dents de scie de fréquence f = 250 Hz.

Sélectionner séparément les harmoniques successives d’ordre 1 à 8, visualiser leur courbe et écouter les sons purs.

• A partir d’une unique composante, faire varier l’amplitude, puis la phase. Observer les modifications à l’écoute.

II- Observation de la synthèse d’un signal « dents de scie »

• Synthèse de sons purs :

Additionner un par un les différents sons purs qui composent le signal en dents de scie de fréquence f = 250 Hz (jusqu’à l’ordre 10). (A partir de quel ordre entendez-vous une dissonance ?).

• Sélectionner toutes les composantes d’ordre 1 à 100 (N° harm max = 100). Visualiser et écouter la sélection.

Jouer sur le déphasage des premières harmoniques. Visualiser et écouter les sons de la sélection. Qu’en concluez-vous ?

• Convergence des séries de Fourier :

Définir le nombre d’harmoniques calculées à nb=4999 (Npp=10 000). Sélectionner tout

Observer la convergence de la série de Fourier incrémentant la sélection des harmoniques N° harm max = 10 à 4999.

Visualiser le signal sélectionné et le complément de signal non sélectionné. Dans quelle région temporelle la synthèse finie reste elle imparfaite ?

Visualiser le signal total (synthèse de nb harmoniques) et zoomer sur la discontinuité pour observer l’écart avec la dent de scie parfaite (attention à libérer les échelles d’axes).

Notez les rapports d’amplitudes des harmoniques d’ordre 2 à 10 avec le fondamental.

• Fréquence fondamentale :

Revenir à à N° harm max = 10). Sélectionner tout.

Supprimer successivement la somme des composantes d’ordre 1 à 8. Ecouter et comparer les sons des sélections successives. Comment définir la hauteur du son entendu et donc la fréquence fondamentale f0 ?

• Décalage temporel et déphasage des harmoniques :

Définir le nombre d’harmoniques calculées à nb=499 (Npp=1000) et N° harm max = 100. Sélectionner tout.

Observer l’effet d’un incrément de phase (90° et 180° par exemple) de chaque harmonique sur le signal total.

III- Observation de la synthèse d’un signal « triangle »

• Composition de la série de sons purs :

Définir nb=499 (Npp=1000) et N° harm max = 10

Observer les amplitudes des sons purs (TF) qui composent ce son. Quelles harmoniques ont disparues ? Comment expliquer la réduction du nombre d’harmoniques ?

• Convergence de la série de Fourier :

Définir nb=4999 (Npp=10 000). Sélectionner tout.

Observer la convergence de la série de Fourier incrémentant la sélection des harmoniques N° harm max = 10 à 4999.

Visualiser le signal sélectionné et le complément de signal non sélectionné. Dans quelle région temporelle la synthèse finie reste elle imparfaite ? Comparer avec le signal dent de scie.

Visualiser le signal total (synthèse de nb harmoniques) et zoomer sur la discontinuité pour observer l’écart avec le triangle parfait (attention à libérer les échelles d’axes).

Notez les rapports d’amplitudes des harmoniques d’ordre 2 à 10 avec le fondamental. Comparer avec la décroissance des amplitudes pour une dent de scie.

• Richesse en harmoniques et symétrie:

Choisir "triangle asymétrique" et faire varier par pas de 0,05 le paramètre d'asymétrie en partant de 0,5 (triangle symétrique) à 0 (dents de scie). Observer la disparition d'harmonique pour certaines valeur de ce paramètre.

Conclure.

B - Influence des paramètres d'échantillonnage sur la TF

Ouvrir le logiciel « Simulation-Acquisition Signal & TF ».

Prendre pour le style de tracé de la TF une ligne avec points si l'on veut visualiser l'échantillonnage ! Penser à normaliser la TF sur le maximum quand on veut comparer des spectres.

I- Observation d'une fréquence réelle échantillonnée

• Observer la TF d'une sinusoïde de fréquence f = 1000 Hz (N = 2000 ; dt = 25 µs)

Faire varier la fréquence jusqu'à 1020 Hz par pas de 2 Hz et observer la TF en zoomant le fondamental entre

~990 et 1100 Hz.

Commenter les déformations observées.

• Faire de même avec un signal triangulaire sur l'harmonique 3 et vérifier un comportement identique.

• On pourrait vérifier que l'intégrale du carré des spectres reste toujours constante. Pourquoi ?

II- Influence des paramètres d'échantillonnage.

Observer une sinusoïde de fréquence f = 1 kHz.

a) Relations entre Ta, N et dt

Dans la suite, mesurer la fréquence maximale du spectre fmax et la résolution fréquentielle df (en zoomant ou dans le tableau de mesure)

• Fixer la durée d'échantillonnage dt = 25 µs.

Comparer les spectres pour des durées du signal Ta = 50 ms, 100 ms, 200 ms....

• Fixer la durée d'acquisition à Ta = 50 ms.

Inversement, faire varier dt = 25 µs, 50 µs, 100 µs.

En déduire les relations fondamentales reliant (T et dt) à (fmax et ∆f).

Vérifier sur d'autres signaux quelconques les relations trouvées.

b) Harmonique de fréquence supérieure à la fréquence maximale.

Prendre N = 2000 points dt = 100 µs.

• Observer la position du pic d'une sinusoïde en partant d'une fréquence initiale f = 990 Hz lorsque l'on augmente celle-ci par incrément successif de 1000 Hz jusqu'à 16990 Hz environ ("val. auto" sur ON) Que devient le pic lorsqu'on dépasse la fréquence maximale ?

Et ensuite en continuant d'augmenter le fréquence ?

• Observez maintenant un signal périodique en dents de scie f = 990 Hz (dt = 100 µs ; N = 4000).

Commenter ? Numéroter sur une copie du graphe les 15 premiers harmoniques.

Conclure sur le phénomène de repliement et l'importance du "théorème de Shannon".

Comment peut-on en pratique éliminer les signaux de fréquence supérieure à fmax ?

C - Propriétés des séries de Fourier

Remarque : toujours indiquer pour chaque harmonique d'un spectre, le n° d'harmonique correspondant ! De manière à ne pas gêner par les problèmes liés à l'échantillonnage étudié précédemment, choisir comme paramètres pour les fonctions périodiques : f = 1 kHz ; N = 2000 ; dt = 25 µs

a) Observer la TF d'une fonction sinusoïdale, puis comparer avec la même fonction avec un déphasage quelconque.

Faire de même si on rajoute une composante continue ("offset"). Conclure.

b) • Observer la TF d'une fonction périodique "triangle" et la comparer à la même fonction avec un redressement

"mono-alternance".

Faire de même avec un créneau symétrique ou non (asym 50% puis 20%).

• Conclure sur les fonctions périodiques présentant un même motif d'alternance positive et négative.

c) Comparer la décroissance des harmoniques pour les motifs triangle et créneau (symétrique).

Comment varie (fonction) l'amplitude en fonction de l'ordre n de l'harmonique ?

Faire de même avec un signal dents de scies et un triangle asymétrique dont on fait varier l'asymétrie de 0 à 50%.

Conclure sur quels sont les motifs qui entraînent une décroissance lente des harmoniques avec n.

D- Signaux non périodiques

1) Influence d'un signal temporel amorti

Observer une sinusoïde amortie de plus en plus fortement en zoomant sur la raie obtenue. Commenter.

2) TF d'une fonction impulsion

Générer une impulsion (= fonction "porte") avec un créneau.

Prendre : Amplitude = offset = 1 ; f = 1 Hz ; N = 10000 ; dt = 100 µs (Ta = 1s)

• Faire varier l'asymétrie de 10% à 1% et conclure précisément sur la TF observée (forme, zéros).

• Mettre 0,01% (l'impulsion se réduit 1 point) ; commenter la TF.

3) Saturation et numérisation des signaux

Générer un sinusoïde à 1 kHz ; N = 10000 ; dte = 20 µs (Ta = 200 ms),d 'une amplitude 0,99 sans offset.

Valider "numérisation" qui numérique le signal comme le ferait une interface d'acquisition.

1) Fixer la résolution à 12 bits (celle de Sysam)

A combien de niveaux de numérisation correspond cette valeur ?

Choisir un calibre de 1 comme référence en tracé 1, puis de 0,1 sur le tracé 2; commenter et conclure.

Faire de même avec un calibre de 1000 ; commenter et conclure.

2) Fixer le calibre à 1,024

Comparer de même une résolution de 12 bits avec une résolution 3 bits.

Quelles conclusions générales peut-on faire sur le réglage d'une interface d'acquisition, en particulier si on effectue une transformée de Fourier du signal enregistré ?

Seconde partie : Analyse harmonique d'instruments

Utiliser le matériel d'acquisition disponible (interface SysamÔ et logiciel Latis-ProÔ).

Vu l'influence sur le spectre, il faut systématiquement indiquer les paramètres d'échantillonnage (en lien avec la première partie). Pour les spectres d'harmoniques, il systématiquement indiquer le numéro n de l'harmonique et sa fréquence avec son incertitude f ± ∆f.

• Où placer le microphone pour enregistrer le son ?

• Important : il faut toujours régler l'interface d'acquisition de manière optimale (paramètres d'acquisition, calibre, à indiquer systématiquement sur chaque tracé) et faire attention à ce que l'ampli du micro ne sature pas.

• Du fait de la forte influence sur le spectre émis, préciser si besoin la manière dont on excite la corde.

• Préliminaire

• Taper sur la caisse et faire la transformée de Fourier. Repérer les fréquences de résonances.

• Choisir une corde et déterminer la fréquence du fondamental du son émis et son incertitude :

• à partir d'une acquisition temporelle

• à partir du spectre

Position sur la corde

Dans la suite, le spectre obtenu lorsque l'on pince la corde à son extrémité sert de référence de comparaison.

• Étudier le son émis par une corde lorsque l'on pince la corde en son centre et près de l'une de ses extrémités.

Signal temporel : comparer les enveloppes temporelles (en enregistrant le signal sur un temps long).

Spectre : identifier les différentes harmoniques et qualifier les sons (hauteur, timbre...) émis dans les deux cas (doux ou brillant, métallique etc.). Expliquer la différence.

• Exciter la corde au 1/3, 1/5 etc. de sa longueur, en utilisant l'échelle graduée.

Comparer dans chaque cas l'amplitude des différents harmoniques avec le spectre de référence.

• Effet d'un médiator

De même, étudier la différence entre une corde pince avec le gras du doigt et avec un médiator (plectre).

Pour cela, pincer la corde à son extrémité.

• Longueur de la corde

Modifier la longueur de la corde à l'aide d'une cale, en particulier en mettant celle-ci au milieu.

Comparer la hauteur du son (fréquence du fondamental) et son timbre (richesse en harmoniques). Conclure.

B- Autres instruments

Si le temps le permet, il est possible...

- d'étudier d'autres instruments (flûte, guitare, percussion...) dont faire l'étude harmonique.

- de faire des mesures dans les domaines de l'acoustique physiologique et de la psycho-acoustique

® Discrimination en fréquence : un auditeur attentif ne peut déceler un intervalle en fréquence inférieur à 1 savart (voir Wikipedia par exemple pour la définition du savart)

® Discrimination en amplitude : quelle est la différence de niveau (dB) minimale pour différencier deux sons d'amplitudes différentes.

® Discrimination avec la phase : si l'on varier la phase d'un seul des harmoniques d'un son périodique, ce dernier peut être fortement déformé, mais perçoit-on une différence de timbre ?

(à discuter avec l'enseignant)

doigt médiator

TP n°2 (séances 3 et 4)

Caractérisation du son

Préliminaire : découverte du matériel disponible et de ses possibilités :

• instrumentation (GBF, oscilloscopes, multimètres, alimentations, amplificateurs...)

• transducteurs et instruments (HP, micros, US, instruments de musique, diapasons...)

• informatique et logiciels (en particulier le grapheur KaleidagraphÔ)

Attention : les montages en salle C220 sont utilisés par d'autres filières et ne doivent être laissés fonctionnels.

Mesure de la célérité du son

Deux types de mesures de vitesse de propagation en ondes sonores ou en ondes ultrasonores, sont possibles : - via la mesure de la durée de parcours d'un "paquet d'onde" aboutissant à la mesure d'une "vitesse de groupe".

- via des ondes sinusoïdales et la mesure de la "vitesse de phase".

Dans ce dernier cas, on peut faire la mesure sur des ondes progressives ou sur des ondes stationnaires.

Structure des ondes

Pour une onde progressive, on peut étudier la structure de l'onde (onde plane, sphérique ?) (Banc US).

Pour une onde stationnaire, on peut tracer le profil de l'onde (tuyau sonore).

Résonances

Les modes de vibrations stationnaires ("résonance") et la mesure des fréquences de résonance peuvent se faire par deux méthodes :

- par balayage en fréquence (corde vibrante, tuyau fermé)

- via les transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle du système résonnant (tuyau fermé).

Mesures d'amplitude et d'intensité

Utilisation d'un sonomètre pour la mesure de l'intensité du son (à discuter).

MANIPULATIONS

1) Mesure de la célérité d'une onde sonore progressive (C219 ; 1H30)

Monitorer la tension du GBF sur la voie 1 de l’oscilloscope qui servira à synchroniser le temps.

a) Onde progressive sinusoïdale

Alimenter le Haut-parleur avec une tension sinusoïdale d’amplitude nettement détectable (~1𝑉).

La mesure du 𝑝(𝑡) au micro en fonction de la distance au haut-parleur permet de mesurer le déphasage de l’onde dans l’espace.

CH1 CH2

Oscilloscope

EXT

Ampli

E S

OUT

GBF

SYNC

HP micro + préampli

Interface d’acquisition

• Choisir une fréquence audible et mesurer la longueur d’onde ainsi que son incertitude de mesure (liée au protocole). Choisir une fréquence pour laquelle le déphasage est notable sur les distances expérimentales. A quelles conditions peut-on mesurer la longueur d’onde avec une précision meilleure que 2% ? Dans quelle gamme de fréquences ces conditions peuvent être réalisées ?

• Mesurer la longueur d'onde l ± ∆l d'onde pour 5-6 fréquences f.

• Tracer l en fonction de 1/f. Commenter. En déduire c ± ∆c.

b) Propagation d'un paquet d'onde

La mesure de la vitesse de propagation d’un paquet d’onde (son bref), est obtenue par mesure du retard temporel à la détection. Vous avez deux méthodes possibles.

Mesure à l’oscilloscope et avec l’interface du décalage entre l’émission (Haut-parleur) et la détection (micro) : Alimenter le GBF par une impulsion. Choisir sa durée (largeur) ainsi que la fréquence des impulsions. Observer à l’oscilloscope ou avec Latis-pro le décalage temporel entre le signal GBF (qui alimente le haut-parleur) et le signal du micro. Pour cela synchroniser la base de temps de l’oscilloscope sur le signal du GBF et déclencher l’acquisition Latis-pro sur le signal GBF. A quelles conditions peut-on bien séparer les détections successives des impulsions au micro ?

Justifiez le choix de durée et de fréquence des impulsions (𝑤𝑖𝑑𝑡ℎ= 100 𝜇𝑠,𝑇₃₄₅₆₇₈ = 100 𝑚𝑠).

• Mesurer la durée de parcours Tp ±∆Tp pour 5-6 distance D "HP-micro" différentes.

• Tracer le graphe Tp fonction de D. En déduire c ± ∆c . Commenter.

Mesure avec Latis pro du décalage temporel à la détection d‘un claquement de main par 2 micros :

Générer un claquement de mains dans l’alignement de deux micros espacés d’une distance D. Alimenter deux entrées de l’interface Latis-pro avec les deux micros. Déclencher l’enregistrement sur le micro le plus proche de la main. Mesurer le décalage temporel du signal enregistré par le deuxième micro. Ajuster les positions des micros et de la main pour obtenir des mesures reproductibles. Estimez l’incertitude sur la mesure de ce temps.

Paramétrer l’acquisition de façon à optimiser la lecture de ce temps.

Mesurer la durée de parcours Tp ±∆Tp pour 5-6 distance D "micro 1-micro 2" différentes.

• Tracer le graphe Tp fonction de D. En déduire c ± ∆c . Commenter.

2) Mesure de la célérité d'une onde ultrasonore progressive (C220 ; 1H20)

Alimenter l'émetteur US à une fréquence de 40kHz avec une amplitude ~qqs V (sans saturation de la tension amplifiée du récepteur !).

• Mesurer la longueur d'onde l ± ∆l via le banc de translation avec une précision meilleure que 2% !

• En déduire c ± ∆c.

• Enregistrer avec l’interface « Latis-pro » ou « Contrôle Agilent 3440x » l'amplitude A de l'onde ultrasonore lors du déplacement de l’émetteur sur le banc de translation.

GBF

OUT SYN C

Ampli

S E

Récepteur US Émetteur US

Oscilloscope

CH1 CH2 EX

interface d'acquisition Latis-pro

Banc de translation

• Tracer 1/A en fonction du temps.

• Qu’en déduisez-vous sur la variation de l’amplitude en fonction de la distance à l’émetteur ? Commenter.

3) Mesure de la célérité d'une impulsion ultrasonore dans l'eau/air (C220-cuve ; 40 min)

Choisir une durée d'impulsion de 10 µs (l'étude spectrale sera faite lors des TP 5-6). Choisir la période des impulsions de façon à bien séparer les détections directes du récepteur. Observer à l’oscilloscope les deux signaux de l’émetteur et du récepteur ; synchroniser la base de temps sur la montée de l’impulsion du GBF et visualiser simultanément les deux signaux émis et reçu à l’écran. Choisir une amplitude d’impulsion (« highlevel » et

« lowlevel ») et un gain de l’amplificateur qui optimise la mesure du décalage temporel sans saturation du signal en sortie de l’amplificateur.

• Mesurer dans l'air et dans l'eau la durée de parcours de l'impulsion avec la meilleure précision possible (® utiliser le zoom de l’oscilloscope, l’inspecteur d’onde et les curseurs). Effectuer la mesure pour plusieurs distances D émetteur-récepteur.

• Tracer D en fonction du temps. En déduire c ± ∆c dans l'air et dans l'eau. Commenter.

4) Observation des résonances sur une corde vibrante (C220 ; 50 min)

Choisir une masse pesante de 100 ou 200g pour une longueur de 80 à 100 cm.

• Observer l’amplitude de vibration de la corde en fonction de la fréquence du vibreur.

• Expliquer pourquoi la corde ne vibre t’elle qu’à certaines fréquences (« fréquences propres de résonance »).

• Décrire la forme de la corde dans ces différents « modes propres » de vibrations de la corde.

• Mesurer ≥10 fréquences de résonance fn ± ∆ fn avec la meilleure précision possible.

• Tracer fn en fonction du numéro du mode n.

Commenter, en particulier l'harmonicité de ces résonances. En déduire c ± ∆c la vitesse de propagation de la vibration transversale le long de la corde.

GBF

OUT SYN

Ampli

S E

Vibreur

Poulie

Masse Point d'attache de

la corde au vibreur

GBF

OUT SYN

Ampli

E S

Récepteur US Émetteur US

Oscilloscope

CH1 CH2 EX

Cuve air/eau

5) Ondes stationnaires dans un tuyau sonore (C220 ; 1H30 min)

a) Onde stationnaire (tuyau semi fermé)

Ouvrir le tuyau sur le haut-parleur en ôtant la plaque côté haut-parleur ; quel est le rôle du pavillon ? Alimenter le haut-parleur par un signal sinusoïdal.

Observer à l'oscilloscope le signal issu du générateur (® synchroniser la base de temps de l’oscilloscope sur le front montant du signal GBF) ainsi que celui issu du micro. Choisir une gamme de fréquence pour laquelle le son au haut-parleur est clairement « audible » et le signal au micro n’est pas bruité.

• Que se passe-t-il quand on déplace le micro dans le tube ? Détecter les nœuds et ventres de l’amplitude du son.

Justifier précisément pourquoi cette onde est dite « stationnaire ».

• Observer l’amplitude du micro à l’extrémité fermée du tuyau pour plusieurs fréquences. A quelle grandeur le micro est-il sensible ?

• Mesurer l’amplitude du micro en dehors du tuyau.

Profil de l'onde stationnaire Choisir une fréquence 𝑓~700 𝐻𝑧.

L’interface « DMM Agilent 3440x » permet d’acquérir des mesures au multimètre et d’en tracer un graphe automatiquement. Ici il s’agit de tracer l’amplitude de l’onde en fonction de la position du micro. Brancher le multimètre en sortie de l’amplificateur (du micro). Allumer le multimètre puis le connecter à l’ordinateur (port USB). Lancer l’application « DMM Agilent 34440x » (voir fiche d’aide spécifique pour le paramétrer).

Il est également possible de tracer le profil d’onde à partir d’une acquisition Latis-pro. L’interface doit être connectée à l’amplificateur. Pour chaque acquisition, le micro balaie toutes les positions le long du tube.

•Tracer le profil de l'onde stationnaire : enregistrer les mesures de l’amplitude du micro (multimètre) en fonction de la distance x à l’extrémité fermée.

• Comment déduire la longueur d’onde l du son à partir des mesures de l’amplitude au micro ? Mesure de la célérité

• Mesurer la longueur d'onde l ± ∆l d'onde pour 5-6 fréquences f.

• Tracer l en fonction de 1/f. Commenter. En déduire c ± ∆c.

b) Résonances d'un tuyau fermé aux deux bouts Fermer le tuyau côté pavillon.

i) Par balayage

Rappeler la condition de résonance dans un tuyau fermé de longueur L. Mesurer 𝐿 ±∆𝐿 et estimer un ordre de grandeur de la fréquence propre fondamentale du son.

CH1 CH2

Oscilloscope

EXT

Multimètre

V

Ampli

E OUT S

GBF

SYN C

HP Pavillon

Plaque amovible

micro

• Mesurer 5-6 fréquences de résonance fn ± ∆ fn avec la meilleure précision possible.

• Tracer fn en fonction du numéro du mode n.

Commenter. En déduire une nouvelle mesure c ± ∆c.

ii) Par méthode impulsionnelle

La TF d’une impulsion brève permet de retrouver les composantes spectrales du son jusqu’à un ordre élevé.

Choisir les paramètres d'acquisition pour l'enregistrement avec Latis-pro du signal amplifié du micro.

Il faudra être attentif à ne pas saturer ce signal (réglage du gain).

Définir le temps d’acquisition et le temps d’échantillonnage en fonction de la fréquence maximale à mesurer et de la résolution souhaitée.

• Exciter le tuyau sonore par un court choc sur la plaque côté HP (voir avec l'enseignant).

Commenter. En déduire une mesure de la vitesse de propagation de "l'impulsion".

• Faire la transformée de Fourier de l'acquisition. Commenter.

• Comparer les deux méthodes.

• Faire le lien avec l'excitation d'un instrument de musique à vent.

TP n°3 (séances 5 et 6)

Caractérisation des transducteurs en acoustique

La caractérisation des transducteurs sonores (micro, haut-parleur) et ultrasonores (émetteur/récepteur) porte sur deux points essentiels :

- leur réponse en fréquence, c'est-à-dire leur bande passante.

- leur réponse spatiale, c'est-à-dire leur diagramme angulaire de rayonnement.

En complément, il est possible d'étudier :

- les problèmes d'interférences à plusieurs ondes

- les problèmes de battements entre sons de fréquences proches.

En ondes sonores, le principal problème est qu'en l'absence d'isolation et de dispositif anéchoïde, les micros utilisés enregistrent le bruit ambiant et les échos sur les parois !

D'autres études sont possibles comme l'acoustique des salles (étude des échos et des résonances de salles).

MANIPULATIONS I) Battements

a)- Écoute de battements simulés

• Vérifier les relations de bases sur les battements (fréquence d’oscillation de l’enveloppe du signal, minima et maxima de l’amplitude associée )(voir cours) en visualisant et écoutant les battements pour différents écarts en fréquence et différentes amplitudes.

• Sensibilité à l'amplitude

Prendre un écart fixe d'un Hz pour une fréquence de 440Hz.

A partir de quel rapport d'amplitude n'entendez-vous plus les battements ?

• Sensibilité à l'écart en fréquence

Augmenter progressivement l'écart en fréquence. A partir de quel écart le son n'est plus perçu comme un battement mais comme un intervalle entre deux notes ?

En musique, on définit les intervalles de base dans le tableau ci-dessous.

Gamme naturelle

nom de l'intervalle rapport de fréquence

Petit intervalle de référence "Savart" 10^1/1000 » 1,0023

do-ré b seconde mineure (demi-ton diatonique) 16/15 = 1,06667

do-ré seconde majeure (ton) 9/8 = 1,125

do-mi tierce majeure 5/4 = 1,25

do-sol quinte majeur 3/2 = 1,5

b)- Battements entre deux diapasons

• Mettre en évidence (à l'oreille) l'existence de battements pour le son provenant de deux diapasons identiques dont l'un porte une masselotte (conseil : frapper en premier le diapason sans masselotte, qui s'amortit plus faiblement)

• Mesurer l'écart de fréquence sur une acquisition temporelle avec Latis-pro puis sur son spectre. Préciser les paramètres d’acquisition permettant de mettre en évidence la fréquence de battement.

On pourra faire varier la position de la masselotte pour avoir des battements de période différente.

II)- Étude des transducteurs ultrasonores

Vérifiez que l’émetteur et le récepteur ont le même numéro d’identification.

1) Réponse en fréquence d'un transducteur ultrasonore

On admettra que la réponse observée est celle d’un couple émetteur-récepteur (indissociables), de même fonction de transfert (même filtre en fréquence).

i) Largeur fréquentielle

• Alimenter l'émetteur avec un signal sinusoïdal et observer à l'oscilloscope les signaux de l'émetteur et du récepteur.

• Vérifier que ce signal reçu varie rapidement avec la fréquence de l'émetteur. Pour quelle fréquence (avec 3 chiffres significatifs) est-il maximum ? Déterminer la largeur fréquentielle à -3dB pour l’émetteur ou le récepteur.

Commenter.

Tracer la réponse spectrale complète avec le multimètre Agilent 34405 disponible piloté par un logiciel

« Contrôle DMM Agilent 3440x » sous LabView, entre 30 et 55 kHz (en concentrant les points dans les zones à fortes variations). Une aide à l’utilisation de l’interface de contrôle est en fin d’énoncé.

• Alimenter l'émetteur par un signal périodique en créneau de fréquence 40,2 kHz, puis 13,4 kHz.

Décrire et interpréter les signaux observés à l'oscilloscope (amplitude, période...).

ii) Réponse à une impulsion

Alimenter le GBF par une impulsion de largeur 10 µs ( de période 𝑇_A> 1𝑠). Synchroniser l’oscilloscope sur le GBF.

• Observer à l’oscilloscope le signal GBF et le signal délivré par le récepteur. Commenter.

Augmenter la largeur. Que constate-t-on, en particulier pour des impulsion de largeur 25 µs, 50 µs...? Conclure.

• Acquérir avec Latis-pro les signaux du récepteur et du GBF. Choisir les paramètres d’acquisition pour l’analyse spectrale de la réponse à une unique impulsion de largeur 10 µs. Faire leurs transformées de Fourier. Comparer à la réponse spectral de la question i) et commenter.

iii) Conclure

2) Diagramme de rayonnement ; étude des interférences Installer l’émetteur US sur banc tournant.

i) Largeur angulaire

• Observer la variation d’amplitude reçue avec l’angle de déviation du récepteur par rapport à l’axe de l’émetteur.

Mesurer l’ amplitude maximale et déterminer la valeur à -6dB de l’émetteur ultrasonore.

• Mesurer la largeur (en °) en -6dB du diagramme de rayonnement d'un émetteur ultrasonore. On pourra choisir de mesurer l'amplitude avec l'oscilloscope ou plus (précisément) avec le multimètre disponible.

GBF

OUT SYN C

Ampli

E S

Émetteur US Oscilloscope

CH1 CH2 EXT

Voltmètre ou interface d'acquisition

Récepteur US Multimètre

V

ii) Interférences à deux ondes

Placer le boîtier contenant deux émetteurs ultrasonores au niveau de l'axe de rotation du rail mobile, de manière à placer ces derniers de part et d'autre du centre de rotation.

Alimenter les deux émetteurs en parallèle (sources synchrones).

• Observer le signal récepteur à l'oscilloscope en synchronisant sur le signal de l'émetteur. Expliquer pourquoi ?

• Observer que l'on obtient bien une série de maxima et minima lorsque q varie.

Enregistrer la figure d'interférence en tournant manuellement à vitesse angulaire régulière. Commenter.

• Placer le détecteur dans une position correspondant à un maximum. Cacher un émetteur puis l'autre. Mesurer la réponse et expliquer le résultat observé. Faire de même pour une position correspondant à un minimum.

• Mesurer les positions de 7 maxima (p = -3 à +3). Corriger d'un éventuel décalage de zéro.

Tracer (sin q ± ∆sinq) en fonction de p. Rappeler la condition d’interférence constructive et la relation entre les entre q, 𝜆 et 𝑎 la distance entre les émetteurs. En déduire la distance a ± ∆a entre émetteurs.

III- Étude de transducteurs sonores

Pour éliminer le bruit au microphone on mettra un filtre passe-bas à 20 MHz dans les paramètres d’acquisition de l’oscilloscope.

1) Réponse spatiale (Microphone)

Utiliser le montage du microphone sur banc tournant (haut-parleur fixe) en salle C219.

• Observer à l’oscilloscope la réponse spatiale de plusieurs microphone cardioïde et super cardioïde et pour plusieurs fréquences 𝑓_E =500 𝐻𝑧 et 𝑓_G =4000 𝐻𝑧.

• Tracer les diagrammes de rayonnement pour chaque fréquence : (cf. paragraphe diagramme de rayonnement).

• Superposer les courbes théoriques des diagrammes cardioïde et super-cardioïde :

𝐿_IJ58(𝜃) = 10 𝑙𝑜𝑔_EA(O^{EPQRS T}_G U^G) et 𝐿_{VW345 IJ58}(𝜃) = 10 𝑙𝑜𝑔_EA(O^{EPGQRS T}_X U^G) Conclusions.

émetteur

double récepteur

D

θ

CH1 CH2

Oscilloscope HP

EX

Ampli HP

E

S OUT

GBF

SYNC

HP micro

Interface d’acquisition

CH1 CH2

Oscilloscope micro

EX

Ampli ^{E S}

2) Réponse spatiale (haut-parleur)

Utiliser le montage du haut-parleur sur banc tournant (haut-parleur fixe) en salle C221.

• Observer à l’oscilloscope la réponse spatiale du haut-parleur pour plusieurs fréquences 𝑓_E=500 𝐻𝑧 et 𝑓_G=4000 𝐻𝑧.

• Tracer les diagrammes de rayonnement : (cf. paragraphe Diagramme de rayonnement) Conclusions.

Diagramme de rayonnement (microphone ou haut-parleur) :

Le diagramme de rayonnement est la puissance en décibels en fonction de l’angle 𝜃 de réception.

• Définir la puissance en décibels en fonction de l’amplitude de pression mesurée.

• Comment filtrer la réponse du micro pour obtenir l’enregistrement du son émis uniquement par le haut-parleur ?

• Acquérir avec Latis-pro, avec une résolution de quelques Hz, la réponse en amplitude du microphone pour des angles allant de 0° à 360°. Justifier le choix de paramètres d’acquisition (𝑇_J = 1𝑠, 𝛿𝑡₄ = 100 𝜇𝑠 𝑜𝑢 500 𝜇𝑠 ).

Pour chaque acquisition calculer la puissance à la fréquence émise par le haut-parleur :

a. Calculer la TF S_Amplitude (en prenant soin de supprimer le calibrage automatique) b. Calculer le spectre en puissance 𝑇𝐹2 =𝑆_𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 ∗ 𝑆_𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒.

c. Intégrer la puissance sur la bande spectrale d’émission :

𝑃 =𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔(𝑇𝐹2,𝑓₆− ∆𝑓,𝑓₆+ ∇𝑓) avec ∆𝑓 ~ 5 𝐻𝑧 𝑜𝑢 50 𝐻𝑧 d. Reporter dans Kaleïdagraph les mesures d’angle et de puissance.

• Tracer les diagrammes polaires de rayonnement : puissance en décibels en fonction de l’angle 𝜃 de réception 3) Haut-parleur (réponse en fréquence) sonore (cette étude sera proposée dans l’étude complète du haut-parleur en TP7).

Réponse en fréquence d'un transducteur sonore

Bande passante :

• Observer à l'oscilloscope le comportement en fréquence d'un HP (tension, intensité, déphasage).

• Tracer plus précisément ses caractéristiques (impédance, rendement) en fréquence (à discuter avec l'enseignant).

Comparer aux données constructeurs.

Etude du rendement :

• Calculer la puissance moyenne électrique dépensée par le haut-parleur à chaque fréquence étudiée.

• Comment estimer la puissance reçue par le micro ?

• Tracer le rendement : rapport des puissances en fonction de la fréquence.

GBF«ampli«Haut-parleur ⇶ Micro référence-préampli«(oscillo/interface d'acquisition)

CH1 CH2

Oscilloscope

EXT OUT

GBF

SYNC I L V

Multimètre Ampli

E S

HP

Interface d’acquisition

Aide à l’utilisation de l’interface de mesure Contrôle Agilent 3440x

• Attention à allumer le multimètre avant de le connecter à l’ordinateur (port USB). Si le multimètre ne semble pas reconnu par l’interface, vérifier dans le panneau de configuration que le multimètre est dans les périphériques.

• Lancer « contrôle Agilent 3440x ».

• Définir le port DMM : « USB0 » de connexion. Si il n’apparait pas dans le menu, « rafraichir » le menu.

• Effacer l’erreur « RAZ erreur » carré rouge en bas à gauche. Parfois cette étape plante le logiciel L….

• Cliquer sur « liaison multimètre-PC ». Le nom du modèle et l’ID de l’appareil de mesure s’affichent.

• Modifier le délai d’attente de la réponse de l’appareil à 5000 ms (au lieu de 2000 ms par défaut). Sinon la réponse trop lente du multimètre génère des erreurs et des mesures à 0.

• Configurer la tension sur « AC ».

• Sélectionner en haut le mode de saisie : « Mesures Y(X) entrée manuelle X ».

• Pour chaque mesure, entrer à la main la valeur de X et effectuer ensuite la mesure de Y.

• Le graphe se construit automatiquement.

• Si le délai de réponse du multimètre est trop long la mesure est à 0 : vous pouvez supprimer des mesures en précisant leur numéro.

• Vous pouvez ainsi construire une allure grossière de Y(X) puis compléter votre graphe là où la courbe est mal définie.

• Les formats des graphes peuvent être ajustés. Le graphe peut être exporté « clic droit » comme une image (il est conseillé de « masquer la grille »). Les données aussi peuvent être copiées.

Incertitudes de mesures

I : Généralités

1-Introduction-Rappels

• L'incertitude (qualifiée d'incertitude "absolue") est définie comme la valeur Dx telle que la valeur réelle de x se situe avec une probabilité (presque) certaine dans l'intervalle [x -Dx ; x +D x] appelé intervalle de confiance.

• Le rapport est l'incertitude relative (sans dimension, positive), donnée généralement en pourcentage : elle traduit la précision d'une mesure.

En TP, une grandeur physique peut être :

- soit mesurée (appareil de mesure : voltmètre, règle, chronomètre...) : son incertitude est évaluée à partir des notices d'appareils, des conditions de mesure, etc.

- soit calculée à partir de grandeurs mesurées : son incertitude est alors calculée ® chapitre § III.

Remarque : il est toujours préférable de surestimer une incertitude plutôt que de la sous-estimer ! 2- Types d'incertitudes

L'incertitude sur une mesure peut résulter de deux types d'erreurs de mesure : a) les erreurs systématiques

Elles se reproduisent de manière systématique à chaque mesure et ont des origines diverses : - l'appareil de mesure : décalage de zéro, (plus rarement) une calibration fausse

- la méthode de mesure (montage tension ou intensité vraie en électrocinétique) Une erreur systématique si elle est repérée et évaluée, peut être corrigée.

b) les erreurs aléatoires

Non contrôlables, elles sont notamment dues, aux appareils de mesure (par construction, conception, normalisation…), à l'expérimentateur (erreur de parallaxe etc.…, à différents facteurs comme la définition imprécise de la grandeur physique (longueur d'une planche coupée de travers), l'existence d'une fluctuation temporelle, etc. Une erreur aléatoire ne peut qu'être estimée (majorée) numériquement.

Remarque : en anglais, on emploie "error" pour incertitude. Il est préférable de ne pas employer le terme erreur pour incertitude (une erreur peut toujours être éliminer si elle est repérée, à l'inverse d'une incertitude).

3- Règles de présentation

Rappel : le nombre de chiffres significatifs est le nombre de chiffres utilisés pour représenter une mesure, les zéros à gauche n'étant pas comptabilisés, mais ceux à droite si ! Il dépend de la précision, en accord avec l'incertitude (voir ci-dessous).

Exemples : Les chiffres significatifs sont de 3 pour [12,7], 2 pour [0,012], 4 pour [0,4600].

Attention : le nombre de chiffres de précision est une notion qui découle de la représentation des nombres à virgule flottante en informatique, terme qu'il convient d'éviter ® voir cours d'info , Wikipedia ...

Règle fondamentale : dans la présentation d'une mesure, l'incertitude doit être donnée avec un ou au plus deux chiffres significatifs et arrondie à la valeur supérieure.

Présentation : Δxx

U = 1,20.10

mV ± 0,02.10

mV

même (sous-)multiple d'unité même puissance en notation scientifique

chiffres significatifs qui s'arrêtent au même niveau pour la valeur et pour l'incertitude (rajouter des zéros si nécessaire)

• Ne pas hésiter à utiliser multiple et sous-multiple pour éliminer une puissance (sauf si l'on veut comparer différentes valeurs) ; exemple précédent : U = 1,20 ± 0,02 µV

• Pour la précision (en %), on arrondit à au plus deux chiffres significatifs.

Exemple précédent ( ) : la précision sur U est de 1,7% ( = 1,7%) U = 1,20 ± 0,02 µV (± 1,7%) …

II : Incertitude sur une valeur résultant d'un calcul

Soit Y = f(X₁, X₂, …) une grandeur qui dépend de X₁, X₂ ..., dont les mesures sont x₁ ± Dx₁, x₂ ± Dx₂…

® La valeur de Y est y = f(x₁, x₂) . Quelle est l'incertitude Dy sur cette valeur ? Hypothèses de bases

- les variables X_i sont indépendantes (leurs mesures sont indépendantes)

- les incertitudes Dx_i sont petites ( , en pratique ne pas dépasser 20-25%)) 1) Formule générale

Relation générale (appelée "formule de propagation des erreurs") : On se contentera d'utiliser la relation majorée :

Pour l'incertitude relative, on vérifie immédiatement : 2) Formulaire de base

Dans la suite, l représente une constante scalaire (ou une grandeur dont on néglige l'incertitude).

expression incertitude absolue précision

Y = X₁ + X₂ Y = X₁ - X₂ Y = X₁´ X₂

Y = l + X Y = l ´ X Y = X^l

Y = f(X)

3) Addition d'incertitudes d'origines différentes (indépendantes)

Une mesure peut résulter d'une succession d'étapes avec chacune son incertitude. Ainsi la mesure avec un appareil à cadran analogique est constituée de la mesure (déviation) par l'appareil (incertitude d'appareil) suivi de la lecture par l'expérimentateur (incertitude de lecture). Ces deux incertitudes d'origine différentes sont indépendantes et se somment : Dx = Dx_app+Dx_lect

Il en est ainsi pour tout cumul d'incertitudes indépendantes.

0,02

1,2 =0, 0166… ΔU

U

Δx_i xi

<<1

Δy= ∂Y

∂X₁Δx₁

( )

(

)

Δy= ∂Y

∂X1

Δx1+ ∂Y

∂X2

Δx2+....

Δy

y = ∂ln(Y)

∂X₁ Δx₁+ ∂ln(Y)

∂X₂ Δx₂+....

Δy=Δx₁+Δx₁

Δy

y =Δx1+Δx2

x₁+x₂ Δy

y =Δx₁+Δx₂ x₁−x₂ Δy=x₂×Δx₁+x₁×Δx₂

Δy y =Δx₁

x1 +Δx₂ x2

Y=X1

X2

Δy=Δx₁

x₂ +x₁×Δx₂ x₂²

Δy=Δx ^Δy

y = Δx λ+x

Δy=λ^×Δx Δy

y = Δx x

y=γ^×x^λ−1×Δx Δy

y =λ Δx x Y=1

X Δy= Δx

x²

Δy y = Δx

x Δy= df

dX Δx Δy

y =dln(f) dX Δx

III : Comparaison entre deux mesures

Soit une grandeur X pour laquelle on dispose de deux mesures obtenues par des méthodes différentes : X = x₁ ± Dx₁ et X = x₂ ± Dx₂ Comment faut-il les comparer ?

On utilise la règle suivante (soumis en théorie à diverses hypothèses) :

Si les intervalles de confiance de chaque mesure se recoupent, alors les deux mesures seront considérées comme compatibles.

Statistiquement, l'écart x₁-x₂ entre les deux mesures n'est pas significatif.

On évitera de dire que les mesures sont identiques (impossible physiquement).

• Exemple

On mesure la f.e.m. d'une pile par deux méthodes : U₁ = 1,10 ± 0,05 V U₂ = 1,07 ± 0,04 V Valeur indiquée par le fabricant : E = 1,20 V ± 0,02 V

Les intervalles de confiance sont pour U₁ [1,05:1,15], pour U₂ [1,03:1,11], pour E [1,18:1,22]

On en conclut que les valeurs expérimentales sont compatibles entre elles, mais ne le sont pas avec la valeur donnée par le fabricant. Il faut alors rechercher la ou les causes de ce problème.

Causes possibles les plus fréquentes d'incompatibilité entre deux mesures Plusieurs causes élémentaires en T.P. interviennent :

- décalage systématique sur une (ou les deux) mesure (erreur de calcul ou mauvaise manipulation).

- changement des conditions expérimentales entre les mesures (usure d'une pile par exemple) - sous-estimation d'une (ou des deux) incertitudes.

Modélisation de données expérimentales

Introduction : comment une série de mesures peut-elle valider un modèle théorique ?

On cherche à faire deux choses :

• Vérifier si nos données valident un modèle

• Trouver les k paramètres du modèle utilisé avec leurs incertitudes.

Le modèle le plus utilisé est le modèle linéaire : y = a+bx (k = 2) ® détermination de a ± ∆a et b ± ∆b.

Exemple (PHY151) : on mesure l'intensité I±∆I qui traverse une pile électrochimique pour différentes tensions U. Est-ce que notre pile vérifie le modèle physique de dipôle générateur idéal U = E-rI ?

Quelles sont les valeurs de la fem E±∆E et de la résistance interne r±∆r ?

Les logiciels grapheurs permettent généralement de faire ce type de calculs, c'est le cas avec KaleidagraphÔ utilisé en TP. Ce n'est pas le cas (ou difficilement) avec les logiciels tableur de type ExcelÔ.

Remarque

Un modèle peut être d'origine théorique, pour vérifier une loi issue de calculs théoriques en physique.

Ce peut être aussi un modèle donné par un constructeur comme la réponse d'un transducteur.

Dans la suite, on dispose de 6 points de mesures (x ; y) :

(0 ; 12,011), (1 ; 17,311), (2 ; 2,772), (3 ; 28,882), (4 ; 35,064), (5 ; 42,079)

avec des incertitudes ∆y identiques pour toutes les mesures (mais ce qui suit est vrai avec des ∆y différents).

On souhaite vérifier la fonction modèle : y = f(x) = 12 + 5x + 0,2x² via un ajustement de courbe (curve fit).

1) Nécessité des incertitudes

On trace les points sans incertitudes.

Les points ne semblent pas parfaitement alignés, mais on ne peut exclure qu'une modélisation linéaire y = a + bx soit valable.

Sans incertitudes, on ne peut rien conclure !

2) Un critère "visuel"

Après avoir tracé des incertitudes (∆x,∆y), on fait une "régression linéaire simple"

(affine y = a+bx)

Un critère qualitatif "visuel" permet de conclure : si la courbe de régression passent par tous les points au travers des incertitudes, le modèle sera considéré comme valide.

Problèmes :

1) il s'agit d'un critère empirique et non d'un critère mathématique.

2) On ne dispose pas d'incertitudes (∆a,∆b) sur les coefficients de la régression

linéaire. On ne dispose d'une seule indication, le coefficient de régression R (voir plus loin).

3) Utilisation des incertitudes de mesures a) Principe

Il faut "pondérer" chaque mesure par son incertitude pour le calcul d'ajustement.

Après ajustement, on obtient alors chaque paramètre avec son incertitude (a±∆a et b±∆b) ainsi que deux autres paramètres, R et Chisq.

b) Interprétation

Cas n°1 : on suppose ∆Y = 5

On obtient le graphe suivant incluant un tableau d'ajustement : Résultat : a = 11,4 ± 3,7 (33%)

b = 6,0 ± 1,2 (40%)

A quoi correspond - R (coefficient de régression)

- Chisq (c² : "Chi square" = "Khi deux")

• Le coefficient de régression linéaire ne représente que la dispersion des points de mesure par rapport au modèle, indépendamment des incertitudes ® Il ne permet donc pas de valider le modèle.

• Le Chi2 se calcule à partir des incertitudes :

Le choix de la fonction modèle f(x) est correcte si c² est de l'ordre de n-k - n est le nombre de valeurs expérimentales

- k est le nombre de paramètres à ajuster

Si c² < n-k, les incertitudes sont grandes par rapport à l'ajustement par la fonction.

Le Chi2 théorique est pour notre graphe 6-2 = 4 ; il vaut dans le tableau 0,064 : le modèle est valide, avec des incertitudes néanmoins surestimées.

Conséquence : les incertitudes sur les paramètres sont élevées (précision de 33% sur a et de 40% pour b !).

Des incertitudes trop grandes pour les paramètres rendent une modélisation non pertinente (voir cas n°5).

χ²= (y_i−f(x_i))² (∆yi)²

points

∑

10 15 20 25 30 35 40 45

-1 0 1 2 3 4 5 6

Y

X Tracé de la courbe à la main

10 15 20 25 30 35 40 45

-1 0 1 2 3 4 5 6

y = 11,374 + 5,9917x R= 0,99873

Y

X

∆Y = 1

10 15 20 25 30 35 40 45

-1 0 1 2 3 4 5 6

Y

X

∆Y = 5 y = a+b*x

Error Value

3,6187 11,374 a

1,1952 5,9917 b

NA 0,064128 Chisq

NA 0,99873 R

Conclusion : le modèle est validé, on obtient des paramètres d'ajustement peu précis mais qui sont compatibles (aux incertitudes près) avec les valeurs théoriques.

Cas n°2 : on suppose ∆Y = 2 Résultat : a = 11,4 ± 1,5 (14%)

b = 5,99 ± 0,48 (8%)

Le modèle est valide (Chisq OK) et les incertitudes ∆Y sont bien

"proportionnées". La précision est meilleure que le cas n°1.

Néanmoins, la valeur de a n'est plus compatible avec la valeur théorique.

Ce modèle ne traduit qu'imparfaitement nos mesures.

Cas n°3 : on suppose ∆Y = 0,2 Résultat : a = 11,37 ± 0,15

b = 5,99 ± 0,05

Le Chisq est très supérieur à 4 → Le modèle est non valide !

On vérifie (en zoomant) que la droite ne passe plus par les barres d'incertitude.

Les mesures vérifient un autre modèle plus complexe... on va utiliser un modèle polynomiale de second ordre.

Cas n°4 : on suppose ∆Y = 0,2, ajustement parabolique

Résultat : a = 12,06 ± 0,19 (1,6%) b = 4,97 ± 0,18 (3,7%) c = 0,205 ± 0,033 (16%)

Le modèle est valide, les paramètres sont obtenus avec une bonne précision et sont compatibles avec les valeurs théoriques.

Le TOP !

Cas n°5 : on suppose ∆Y = 2, ajustement parabolique Que donne ce modèle parabolique avec l'incertitude du cas n°2 ? Résultat : a = 12,1± 1,9 (16%)

b = 5,0 ± 1,8 (36%) c = 0,21 ± 0,33 (157% !)

Le Chisq est très faible : le modèle est valide.

Mais les paramètres, compatibles avec les valeurs théoriques, sont obtenus avec une grande imprécision : 157%

sur c, cela n'a pas de sens d'un point de vue statistique. La modélisation à l'ordre 2 n'est donc pas pertinente.

On doit se contenter avec une telle incertitude du cas n°2 !

10 15 20 25 30 35 40 45

-1 0 1 2 3 4 5 6

Y

X

∆Y = 2 y = a+b*x

Error Value

1,4475 11,374 a

0,47809 5,9917 b

NA 0,4008 Chisq

NA 0,99873 R

10 15 20 25 30 35 40 45

-1 0 1 2 3 4 5 6

Y

X

∆Y = 0,2 y = a+b*x

Error Value

0,14475 11,374 a

0,047809 5,9917 b

NA 40,08 Chisq

NA 0,99873

R

10 15 20 25 30 35 40 45

-1 0 1 2 3 4 5 6

Y

X

∆Y =0,2

y = a+b*x+c*x^ 2 Error Value

0,18127 12,056 a

0,1705 4,9687 b

0,032733 0,2046 c

NA 1,0097 Chisq

NA 0,99997

R

10 15 20 25 30 35 40 45

-1 0 1 2 3 4 5 6

Y

X

∆Y =2

y = a+b*x+c*x^ 2 Error Value

1,8127 12,056 a

1,705 4,9687 b

0,32733 0,2046 c

NA 0,010097 Chisq

NA 0,99997 R

4) Complément : incertitudes selon x, comment en tenir compte ?

Il arrive que les incertitudes ∆x soient importantes, voir majeures. Or les résultats précédents ne tiennent compte que de ∆y, comment faire pour inclure ∆x ?

Il suffit de reporter ∆x sur y via une "dérivée": et de les rajouter à ∆y initiale (indépendance).

Cette dérivée peut être calculée pour chaque mesure (x,y) (pour un modèle valide) : 1) Via la fonction modèle ...à partir des paramètres théoriques :

• Cas n°2 : y' = 5 • Cas n°4 : y' = 5+0,4x 2) ... à partir des paramètres expérimentaux (normalement proches...)

• Cas n°2 : y' = 5,99 ~ 6 • Cas n°4 : y' = 4,97+2´0,205x ~ 5+0,4x 3) à partir de la dérivée numérique (qi on a beaucoup de points) :

KaleidagraphÔ permet de faire ces différents calculs avec les formules ou macros disponibles.

∆y_←x=dy dx∆x

y'=yi+1−yi−1

xi+1−xi−1