Volumes finis pour les problèmes elliptiques hétérogènes anisotropes sur. Partie 1

(1)

Volumes finis pour les probl` emes elliptiques h´ et´ erog` enes anisotropes sur

maillages g´ en´ eraux Partie 1

Franck BOYER

Laboratoire d’Analyse, Topologie et Probabilités CNRS / Université Paul Cézanne

Ecole d’été du GDR MOAD Fréjus, 31 Aout - 3 Septembre 2009

1/ 52 Franck BOYER VF pour les probl`emes elliptiques - Partie 1

(2)

Plan du cours

Partie 1

Introduction : mod`eles / probl´ematiques.

Le sch´ema volumes finis de base et les outils d’analyse associ´es.

Partie 2

Revue de schémas plus évolués et de leurs propriétés.

Benchmark Partie 3

Les sch´emas DDFV dans le cadre scalaire non-lin´eaire.

Les sch´emas DDFV pour le probl`eme de Stokes.

(3)

Partie 1 - Plan

1

Introduction

Avant-Propos

Ecoulements complexes en milieux poreux

Ecoulements de fluides complexes visqueux incompressibles Autres mod`eles

Cahier des charges

2

Le Sch´ ema Volumes Finis basique pour le probl` eme de Laplace

Notations. Construction Analyse du sch´ema VF4

Existence. Unicit´e. Stabilit´e.

Principe du maximum discret

Gradient discret. Compacit´e. Convergence Estimation de l’erreur

Extensions de VF4

Diffusion isotrope hétérogène Second membre non régulier Un exemple un peu plus complexe

Les limitations de VF4

(4)

Partie 1 - Plan

1

Introduction

Avant-Propos

Cahier des charges

2

Le Sch´ ema Volumes Finis basique pour le probl` eme de Laplace

Extensions de VF4

(5)

Partie 1 - Plan

1

Introduction

Avant-Propos

Cahier des charges

2

Le Sch´ ema Volumes Finis basique pour le probl` eme de Laplace

Extensions de VF4

(6)

Avant-Propos

Ce dont je ne parlerai pas dans ce cours

La prise en compte de conditions aux limites exotiques (Fourier par exemple).

Les problèmes 3D (Cf. exposé de F. Hubert) Les méthodes Discontinuous Galerkin (Di Pietro–Ern ’08)

Beaucoup d’autres schémas (dont peut-être votre schéma favori).

Les solveurs associ´es (d´ecomposition de domaines, multigrille, ...)

Je ne présenterai pas le schéma idéal !

Remerciements B. Andreianov, F. Hubert, S. Krell

(7)

Partie 1 - Plan

1

Introduction

Avant-Propos

Cahier des charges

2

Le Sch´ ema Volumes Finis basique pour le probl` eme de Laplace

Extensions de VF4

(8)

Exemples d’´ ecoulements de Darcy ...

... ou pas 1/2

Ecoulement d’un fluide incompressible en milieu poreux divv= 0, conservation de la masse,

v=−ϕ(x,∇p), loi constitutive pour la vitesse de filtration.

(9)

Exemples d’´ ecoulements de Darcy ...

... ou pas 1/2

Loi de Darcy

v=−K(x)∇p, le tenseurK(x) est la perm´eabilit´e.

(10)

Exemples d’´ ecoulements de Darcy ...

... ou pas 1/2

R´egimes non lin´eaires

Dans certains cas, on doit consid´erer des effets non lin´eaires :

Loi de Darcy-Forchheimer :En cas de forts gradients de pression

−∇p= 1

kv+β|v|v, ⇐⇒ v= −2k∇p 1 +p

1 + 4βk²|∇p|. Loi de puissance :Effets non-newtoniens

|v|ⁿ⁻¹v=−k∇p, ⇐⇒ v=−|k∇p|ⁿ¹⁻¹(k∇p).

Dans tous les cas, la loi ∇p7→v=−ϕ(x,∇p)est monotone

(11)

Exemples d’´ ecoulements de Darcy ...

... ou pas 2/2

Hétérogénéités, Discontinuités, Anisotropie

Exemple de structure souterraine

Chaque couleur repr´esente un milieu poreux diff´erent :

−div (ϕ(x,∇p)) =f.

ϕ(x,·) peut être linéaire pour certains matériaux.

ϕ(x,·) peut ˆetre non lin´eaire pour d’autres.

Certains matériaux sont très perméables, d’autres très imperméables.

Fortes anisotropies dues à des directions privilégiées dans la structure des pores.

Conditions de transmission

La pression est continue aux interfaces.

Le flux de masseϕ(x,∇p)·ν est continu aux interfaces.

(12)

Autres mod` eles en milieu poreux

Ecoulements multiphasiques en milieu poreux

Couplage non-linéaire d’une équation de Darcy avec un problème hyperbolique.

En pratique on résout successivement via un schéma en temps : 1) Un problème de Darcy dont la perméabilité est une fonction de la

saturation.

−div (K(u)∇p) =f,

2) Un problème hyperbolique non linéaire qui fait intervenir la vitesse de Darcyv=−K(u)∇pcalculée précédemment.

∂t(θu) + div (f(u)v) = 0.

La première étape relève du problème étudié ici.

On a besoin d’une bonne approximation des flux (v·ν) dans la seconde ´etape.

Convection-Diffusion d’un polluant

∂_t(θc) + div (cv)−div (D(c, v)∇c) = 0,

o`uD(c, v) est un tenseur de diffusion/dispersion etv la vitesse de Darcy.

(13)

Autres mod` eles en milieu poreux

Ecoulements multiphasiques en milieu poreux

Couplage non-linéaire d’une équation de Darcy avec un problème hyperbolique.

En pratique on résout successivement via un schéma en temps : 1) Un problème de Darcy dont la perméabilité est une fonction de la

saturation.

−div (K(u)∇p) =f,

2) Un problème hyperbolique non linéaire qui fait intervenir la vitesse de Darcyv=−K(u)∇pcalculée précédemment.

∂t(θu) + div (f(u)v) = 0.

La première étape relève du problème étudié ici.

On a besoin d’une bonne approximation des flux (v·ν) dans la seconde ´etape.

Convection-Diffusion d’un polluant

∂_t(θc) + div (cv)−div (D(c, v)∇c) = 0,

o`uD(c, v) est un tenseur de diffusion/dispersion etv la vitesse de Darcy.

(14)

Partie 1 - Plan

1

Introduction

Avant-Propos

Cahier des charges

2

Le Sch´ ema Volumes Finis basique pour le probl` eme de Laplace

Extensions de VF4

(15)

Exemples 1

Ecoulements multiphasiques

Equations de Navier-Stokes incompressible multifluide











∂ρ

∂t +v· ∇ρ= 0,

∂ρv

∂t + div (ρv⊗v)−2div (η(ρ)D(v)) +∇p=ρf+KδΣ, divv= 0.

avecD(v) = (∇v+^t∇v)/2.

Apr`es discr´etisation en temps

Problème de type Stokes à viscosité variable avec terme source singulier





 1

∆tvⁿ⁺¹−2 div (η(ρⁿ)D(vⁿ⁺¹)) +∇pⁿ⁺¹= 1

∆tvⁿ+Fⁿ+Kδ_Σⁿ, divvⁿ⁺¹= 0.

Cas typique :

ρprend deux valeurs (pas de zones de m´elange).

η prend donc deux valeurs dont le rapport peut ˆetre important.

(16)

Exemples 1











∂ρ

∂t +v· ∇ρ= 0,

∂ρv

avecD(v) = (∇v+^t∇v)/2.





 1

∆tvⁿ⁺¹−2 div (η(ρⁿ)D(vⁿ⁺¹)) +∇pⁿ⁺¹ = 1

Cas typique :

(17)

Exemples 1











∂ρ

∂t +v· ∇ρ= 0,

∂ρv

avecD(v) = (∇v+^t∇v)/2.





 1

∆tvⁿ⁺¹−2 div (η(ρⁿ)D(vⁿ⁺¹)) +∇pⁿ⁺¹ = 1

Cas typique :

(18)

Exemples 2

Ecoulements non-newtoniens / LES

Mod`eles Navier-Stokes Oldroyd











∂v

∂t + (v· ∇)v−(1−r)div (2ηD(v)) +∇p−divσ=f, λ

∂σ

∂t −W(v).σ+σ.W(v) + (v· ∇)σ

+σ=2rηD(v), divv= 0,

avecD(v) = (∇v+^t∇v)/2 etW(v) = (∇v−^t∇v)/2.

Mod`ele de Smagorinski en turbulence







∂v

∂t + (v· ∇)v−div (2ηD(v))−µhdiv (|D(v)|D(v)) +∇p=f, divv= 0.

Mod`eles d’´ecoulements non newtoniens (sang, glaciers, ...) (−div (η(D(v))D(v)) +∇p=f,

divv= 0,

avecη(σ) =η∞+ (η0−η∞)e^−β|σ|par exemple.

(19)

Exemples 2











∂v

∂σ

∂t −W(v).σ+σ.W(v) + (v· ∇)σ







∂v

divv= 0,

(20)

Exemples 2











∂v

∂σ

∂t −W(v).σ+σ.W(v) + (v· ∇)σ







∂v

divv= 0,

(21)

Partie 1 - Plan

1

Introduction

Avant-Propos

Cahier des charges

2

Le Sch´ ema Volumes Finis basique pour le probl` eme de Laplace

Extensions de VF4

(22)

Autres mod` eles

Elasticit´e

(divσ=f,

σ= 2µ(x)D(u) +λ(x)(divu)Id Mod`ele en ´electrocardiologie

(Coudi`ere–Pierre–Turpault ’09)











u=u_i−u_e,

C(∂tu+f(u)) =−div (Ge∇ue), dans le coeur, div ((Gi+Ge)∇ue) =−div (Gi∇u), dans le coeur,

div (G_T∇uT) = 0, dans le thorax,

(Gi∇ue)·ν=−(Gi∇u)·ν, `a l’interface coeur/thorax, (G_e∇u_e)·ν=−(G_T∇u_T)·ν, `a l’interface coeur/thorax.

Maxwell ...

(23)

Partie 1 - Plan

1

Introduction

Avant-Propos

Cahier des charges

2

Le Sch´ ema Volumes Finis basique pour le probl` eme de Laplace

Extensions de VF4

(24)

G´ eom´ etrie du domaine. Maillages

Propriétés attendues des schémas

Conservation locale de la masse et consistance des flux.

Préservation des propriétés qualitatives des EDP (existence, unicité, monotonie, etc ...).

Pr´eservation des bornes physiques de la solution.

Bonne précision, même sur des maillages grossiers et avec de fortes anisotropies et hétérogénéités.

Impl´ementation “facile” et coˆut de calcul “raisonnable”.

Contraintes faibles sur les maillages

Maillages non conformes : grilles adaptées (ou pas !) à la géométrie du problème.

Raffinement local. Cellules très déformées.

R´esultats honorables sur des maillages grossiers.

(25)

G´ eom´ etrie du domaine. Maillages

Propriétés attendues des schémas

Conservation locale de la masse et consistance des flux.

Préservation des propriétés qualitatives des EDP (existence, unicité, monotonie, etc ...).

Pr´eservation des bornes physiques de la solution.

Bonne précision, même sur des maillages grossiers et avec de fortes anisotropies et hétérogénéités.

Impl´ementation “facile” et coˆut de calcul “raisonnable”.

Contraintes faibles sur les maillages

Maillages non conformes : grilles adaptées (ou pas !) à la géométrie du problème.

Raffinement local.

Cellules très déformées.

R´esultats honorables sur des maillages grossiers. 17/ 52 Franck BOYER VF pour les probl`emes elliptiques - Partie 1

(26)

Exemples acad´ emiques de maillages

(27)

Partie 1 - Plan

1

Introduction

Avant-Propos

Cahier des charges

2

Le Sch´ ema Volumes Finis basique pour le probl` eme de Laplace

Extensions de VF4

(28)

Partie 1 - Plan

1

Introduction

Avant-Propos

Cahier des charges

2

Le Sch´ ema Volumes Finis basique pour le probl` eme de Laplace

Extensions de VF4

(29)

La notion de maillage orthogonal admissible

(Eymard, Gallou¨et, Herbin, ’00→’09)

Définition(pas la plus générale)

Ω un ouvert born´e polygonal connexe deR^d.

Un maillage orthogonal admissibleT est constitué de : une famille finie de sous-domaines compacts, polyhédraux, convexes, non vides de Ω notésKet appelésvolumes de contrôlevérifiant

Si^K6=L, on a^K^◦∩L^◦=∅.

Ω =S

K∈T K.

une famille de points (xK)K∈T tels que Pour tout^K∈ T,xK∈K^◦.

Pour toutK,L∈ T,K6=L, siK∩Lest de dimensiond−1, alors c’est une face deKet deL, notéeK|Let qui de plus, vérifie la condition d’orthogonalité

[xK, xL]⊥K|L. (1)

Notations

Pas du maillage : size(T)

Ensembles d’arˆetes :E,Eext,Eint,EK

Normales : νK,νKσ,νKL

Volumes. Mesures :|K|,|σ| Distances : dKσ, dLσ,dKL, d_σ

(30)

La notion de maillage orthogonal admissible

Si^K6=L, on a^K^◦∩L^◦=∅.

Ω =S

K∈T K.

une famille de points (xK)K∈T tels que Pour toutK∈ T,xK∈K^◦.

[xK, xL]⊥K|L. (1)

Notations

Volumes. Mesures :|K|,|σ| Distances : dKσ, dLσ,dKL, d_σ

(31)

La notion de maillage orthogonal admissible

Si^K6=L, on a^K^◦∩L^◦=∅.

Ω =S

K∈T K.

une famille de points (xK)K∈T tels que Pour toutK∈ T,xK∈K^◦.

[xK, xL]⊥K|L. (1)

Notations

Volumes. Mesures :|K|,|σ|

Distances : dKσ, dLσ,dKL, d_σ

(32)

Le sch´ ema VF4 / TPFA

Notations. Généralités.

On consid`ere le probl`eme suivant

(−∆u=f, dans Ω u= 0, sur∂Ω.

sur un maillage orthogonal admissibleT (ici form´e de triangles)

xK

K L

xL σ

xσ

Bilan sur un volume de contrˆole^K

|K|fK def=

Z

K

f = Z

K

−∆u= X

σ∈EK

− Z

σ

∇u·νKσ

| {z }

def=FK,σ

(33)

Le sch´ ema VF4 / TPFA

xK

K L

xL σ

xσ

|K|fK= X

σ∈EK

FK,σ.

Conservativit´e locale pour le probl`eme initial FK,σ =−FL,σ, siσ=K|L.

Inconnues aux centres On souhaite obteniruK∼u(xK) Notation : u^T = (uK)K∈T ∈R^T.

Flux num´eriques

BUT: d´efiniru^T 7→FK,σ(u^T) qui approche le flux r´eel FK,σ

Sch´ema num´erique

Trouveru^T ∈R^T tel que |K|fK= X

σ∈EK

FK,σ(u^T) pour toutK∈ T.

(34)

Le sch´ ema VF4 / TPFA

xK

K L

xL σ

xσ

|K|fK= X

σ∈EK

FK,σ.

Flux num´eriques

Trouveru^T ∈R^T tel que |K|fK= X

σ∈EK

(35)

Le sch´ ema VF4 / TPFA

xK

K L

xL σ

xσ

|K|fK= X

σ∈EK

FK,σ.

Flux num´eriques

Trouveru^T ∈R^T tel que|K|fK= X

σ∈EK

(36)

Le sch´ ema VF4 / TPFA

Construction des flux num´eriques.

Cas d’une arˆete int´erieure σ∈ Eint,σ=K|L. xL−xK=dKLνKL.

six∈σ, (∇u(x))·νKL= u(xL)−u(xK) dKL

+O(size(T))

=⇒FK,σ =−|σ|u(xL)−u(xK) dKL

+O(size(T)²) On pose donc

FK,σ(u^T) =−|σ|uL−uK

dKL

.

Remarque :On a la conservativit´e du sch´emaFK,σ(u^T) =−FL,σ(u^T) Notation :

FK,L(u^T)^def=FK,σ(u^T) =−FL,σ(u^T).

(37)

Le sch´ ema VF4 / TPFA

Cas d’une arˆete int´erieure σ∈ Eint,σ=K|L. xL−xK=dKLνKL.

six∈σ, (∇u(x))·νKL= u(xL)−u(xK) dKL

+O(size(T))

=⇒FK,σ =−|σ|u(xL)−u(xK) dKL

FK,σ(u^T) =−|σ|uL−uK

dKL

.

Remarque :On a la conservativit´e du sch´emaFK,σ(u^T) =−FL,σ(u^T) Notation :

FK,L(u^T)^def=FK,σ(u^T) =−FL,σ(u^T).

(38)

Le sch´ ema VF4 / TPFA

Cas d’une arˆete ext´erieure σ∈ Eext. xσ−xK=dKσνKσ.

(∇u(x))·νKσ ∼u(x_σ)−u(xK) dKσ

=0−u(xK) dKσ

⇐condition au bord

=⇒FK,σ =−|σ|−u(xK) dKσ

FK,σ(u^T) =−|σ|−uK

dKσ

.

(39)

Le sch´ ema VF4 / TPFA

Construction du sch´ema.

Le sch´ema

On chercheu^T = (uK)K∈T ∈R^T tel que











∀K∈ T, X

σ∈EK

FK,σ(u^T) =|K|fK, F_K_,σ(u^T) =−|σ|uL−uK

dKL

, siσ=K|L∈ Eint, FK,σ(u^T) =−|σ|−uK

dKσ

, siσ∈ Eext.

(VF4)

Notations - Approximation constante par morceaux On notera f^T = (fK)K∈T ∈R^T.

On associe `a toute famillev^T ∈R^T, une fonction v^T(x) = X

K∈T

vK1K(x). On a alors

kv^TkL^∞ = sup

K∈T

|vK|, kv^TkL² = X

K∈T

|K||vK|²

!¹₂ .

(40)

Le sch´ ema VF4 / TPFA

Le sch´ema











∀K∈ T, X

σ∈EK

dKL

dKσ

, siσ∈ Eext.

(VF4)

Remarques

Il s’agit d’un système linéaire deN équations àN inconnues (N=nb de volumes de contrôle dansT).

Pourquoi TPFA ?Two Point Flux Approximation

Pourquoi VF4 ? Stencil de 4 points en 2D sur maillages triangles.

Sur maillage 2D cartésien uniforme : c’est le schéma à 5 points standard.

K∈T

vK1K(x). On a alors

kv^TkL^∞ = sup

K∈T

|vK|, kv^TkL² = X

K∈T

|K||vK|²

!¹₂ .

(41)

Le sch´ ema VF4 / TPFA

Le sch´ema











∀K∈ T, X

σ∈EK

dKL

dKσ

, siσ∈ Eext.

(VF4)

K∈T

vK1K(x).

On a alors

kv^TkL^∞= sup

K∈T

|vK|, kv^TkL² = X

K∈T

|K||vK|²

!¹₂ .

(42)

Partie 1 - Plan

1

Introduction

Avant-Propos

Cahier des charges

2

Le Sch´ ema Volumes Finis basique pour le probl` eme de Laplace

Extensions de VF4

(43)

Analyse du sch´ ema VF4

Notations

Pour tout couple (K,L) de volumes de contrˆole voisins on note DKL(u^T) = uL−uK

dKL

.

Pour toute arête intérieureσ∈ Eint on noteDσ(u^T) =DKL(u^T), où l’on a choisi uneorientationK→Lune bonne fois pour toutes.

Pour tout arˆete ext´erieureσ∈ Eext on noteDσ(u^T) =^−u_d ^K

Kσ. Lemme (Int´egration par parties discr`ete)

Soitu^T ∈R^T une´eventuelle solution de (VF4), alors pour tout v^T ∈R^T

X

σ∈E

dσ|σ|Dσ(u^T)Dσ(v^T)

| {z }

def= [u^T,v^T]1,T

= X

K∈T

|K|vKfK= (v^T, f^T)L².

La conservativit´e locale est essentielle ici

(44)

Analyse du sch´ ema VF4

Lemme (Int´egration par parties discr`ete)

Soitu^T ∈R^T une´eventuelle solution de (VF4), alors pour tout v^T ∈R^T

X

σ∈E

dσ|σ|Dσ(u^T)Dσ(v^T)

| {z }

def= [u^T,v^T]1,T

= X

K∈T

|K|vKfK= (v^T, f^T)L².

La conservativit´e locale est essentielle ici

Proposition La forme bilin´eaire

(u^T, v^T)∈R^T ×R^T 7→[u^T, v^T]_1,T,

est un produit scalaire surR^T appel´eproduit scalaireH₀¹ discret.

La norme associée est appeléenorme H₀¹ discrète et notée k · k_1,T.

(45)

Analyse du sch´ ema VF4

Th´eor`eme

Pour toute donn´eef ∈L²(Ω), le sch´ema (VF4) admet une unique solutionu^T et on a

ku^Tk²_1,T ≤ ku^TkL²kf^TkL² ≤ ku^TkL²kfkL².

Pour obtenir une estimationH₀¹ discrète exploitable, on utilise le Théorème (Inégalité de Poincaré discrète)

Pour tout maillage orthogonal admissibleT, on a

∀v^T ∈R^T, kv^Tk_L2 ≤diam(Ω)kv^Tk_1,T.

Preuve de l’inégalité de Poincaré

(46)

Analyse du sch´ ema VF4

Th´eor`eme

Pour toute donn´eef ∈L²(Ω), le sch´ema (VF4) admet une unique solutionu^T et on a

ku^Tk²_1,T ≤ ku^TkL²kf^TkL² ≤ ku^TkL²kfkL².

Pour obtenir une estimationH₀¹ discrète exploitable, on utilise le Théorème (Inégalité de Poincaré discrète)

Pour tout maillage orthogonal admissibleT, on a

∀v^T ∈R^T, kv^Tk_L2 ≤diam(Ω)kv^Tk_1,T.

Preuve de l’inégalité de Poincaré

(47)

Analyse du sch´ ema VF4

Propri´et´es qualitatives. Principe du maximum discret

Matrice du syst`eme

Elle est symétrique définie positive (Cf. l’intégation par parties discrète).

C’est uneM-matrice⇒principe du maximum discret v´erifi´e f^T ≥0 =⇒u^T ≥0.

En effet, la ligneKde la matrice s’´ecrit X

L∈VK

τKL

|{z}

≥0

(uK−uL) =|K|fK.

Impl´ementation du sch´ema

Parcours du maillage par arêtes et non par volumes de contrôle. Informations géométriques utilisées : |σ|,dKL,|K|.

La seule méthode de quadrature utilisée (éventuellement) est pour le terme source.

Estimation de l’erreur de quadraturef^T 7→u^T,g^T 7→v^T ku^T −v^TkL² ≤CΩku^T −v^Tk1,T ≤C_Ω²kf^T −g^TkL².

(48)

Analyse du sch´ ema VF4

Propri´et´es qualitatives. Principe du maximum discret

Matrice du syst`eme

Elle est symétrique définie positive (Cf. l’intégation par parties discrète).

C’est uneM-matrice⇒principe du maximum discret v´erifi´e f^T ≥0 =⇒u^T ≥0.

En effet, la ligneKde la matrice s’´ecrit X

L∈VK

τKL

|{z}

≥0

(uK−uL) =|K|fK.

Impl´ementation du sch´ema

Parcours du maillage par arˆetes et non par volumes de contrˆole.

Informations géométriques utilisées :|σ|,dKL,|K|.

La seule méthode de quadrature utilisée (éventuellement) est pour le terme source.

Estimation de l’erreur de quadraturef^T 7→u^T,g^T 7→v^T ku^T −v^TkL² ≤CΩku^T −v^Tk1,T ≤C_Ω²kf^T −g^TkL².

(49)

Analyse du sch´ ema VF4

Gradient discret. Compacit´e. Convergence

Cellule diamant

K L

xK xL

D

Gradient discret Pour toutv^T ∈R^T, on d´efinit (d= dimension)

∀D∈D, ∇^T_Dv^T =







duL−uK

dKL

νKL=dDσ(u^T)ν, siσ∈ Eint, d0−uK

dKL

νKσ=dD_σ(u^T)ν, siσ∈ Eext,

∇^Tv^T = X

D∈D

1_D∇^T_Dv^T ∈(L²(Ω))². Lien avec la normeH₀¹ discr`ete

kv^Tk²_1,T = 1

dk∇^Tv^Tk²_L2.

(50)

Analyse du sch´ ema VF4

Théorème (Compacité faible)

Soit(T_n)_n une suite de maillages orthogonaux admissibles avec size(T_n)→0 et(u^Tⁿ)_n une famille de fonctions discr`etes d´efinies sur chacun des maillages telle que

sup

n

ku^Tⁿk_1,T_n <+∞.

Alors :

Il existe une fonction u∈L²(Ω), et une sous-suite(u^T^ϕ(n))n qui converge fortement versudansL²(Ω).

De plus,

La fonctionuest dans H₀¹(Ω).

La suite des gradients discrets (∇^T^ϕ(n)u^T^ϕ(n))n converge faiblementvers ∇udans(L²(Ω))^d.

Preuve du Théorème de compacité

(51)

Analyse du sch´ ema VF4

Théorème (Compacité faible)

Soit(T_n)_n une suite de maillages orthogonaux admissibles avec size(T_n)→0 et(u^Tⁿ)_n une famille de fonctions discr`etes d´efinies sur chacun des maillages telle que

sup

n

ku^Tⁿk_1,T_n <+∞.

Alors :

Il existe une fonction u∈L²(Ω), et une sous-suite(u^T^ϕ(n))n qui converge fortement versudansL²(Ω).

De plus,

La fonctionuest dans H₀¹(Ω).

La suite des gradients discrets (∇^T^ϕ(n)u^T^ϕ(n))n converge faiblementvers ∇udans(L²(Ω))^d.

Preuve du Théorème de compacité

(52)

Analyse du sch´ ema VF4

Théorème (Convergence du schéma VF4)

Soitf ∈L²(Ω)etu∈H₀¹(Ω), l’unique solution du probl`eme continu.

Soit(Tn)_n une famille de maillages orthogonaux admissibles avec size(Tn)→0.

Pour toutn, on noteu^Tⁿ∈R^Tⁿ l’unique solution du sch´ema sur le maillageTn pour la donn´eef.

On a :

La suite (u^Tⁿ)_n convergefortement vers udansL²(Ω). La suite (∇^Tⁿu^Tⁿ)n convergefaiblementvers ∇udans (L²(Ω))^d.

De plus, sid≥2, la convergenceforte des gradients n’a lieu que si f =u= 0.

Preuve de la convergence de VF4

(53)

Analyse du sch´ ema VF4

Théorème (Convergence du schéma VF4)

Soitf ∈L²(Ω)etu∈H₀¹(Ω), l’unique solution du probl`eme continu.

Soit(Tn)_n une famille de maillages orthogonaux admissibles avec size(Tn)→0.

Pour toutn, on noteu^Tⁿ∈R^Tⁿ l’unique solution du sch´ema sur le maillageTn pour la donn´eef.

On a :

La suite (u^Tⁿ)_n convergefortement vers udansL²(Ω).

La suite (∇^Tⁿu^Tⁿ)n convergefaiblementvers∇udans (L²(Ω))^d.

De plus, sid≥2, la convergenceforte des gradients n’a lieu que si f =u= 0.

Preuve de la convergence de VF4

(54)

Analyse du sch´ ema VF4

Estimation de l’erreur

Pr´ealables

Convergence du schéma : pas d’hypothèse de régularité suru.

Pour les estimations d’erreur on va supposer queu∈H²(Ω).

Principe de l’analyse

On souhaite compareru^T avec la projectionP^Tu= (u(xK))K de la solution exacte sur le maillage. On d´efinit l’erreur

e^T =P^Tu−u^T.

On compare le flux num´erique calcul´e surP^Tuavec le flux exact

|σ|RK,σ(u)^def=FK,σ(P^Tu)−FK,σ. Il vient (pourσ∈ Eint)

RK,σ(u) = u(xL)−u(xK) dKL

− 1

|σ| Z

σ

∇u·νKLdx.

(55)

Analyse du sch´ ema VF4

Pr´ealables

On souhaite compareru^T avec la projection P^Tu= (u(xK))K de la solution exacte sur le maillage. On d´efinit l’erreur

e^T =P^Tu−u^T.

− 1

|σ| Z

σ

∇u·νKLdx.

(56)

Analyse du sch´ ema VF4

Pr´ealables

On souhaite compareru^T avec la projection P^Tu= (u(xK))K de la solution exacte sur le maillage. On d´efinit l’erreur

e^T =P^Tu−u^T.

− 1

|σ|

Z

σ

∇u·νKLdx.

(57)

Analyse du sch´ ema VF4

|σ|RK,σ(u)^def=FK,σ(P^Tu)−FK,σ. On soustrait le bilan de flux exact

|K|fK= X

σ∈EK

FK,σ = X

σ∈EK

FK,σ(P^Tu)− X

σ∈EK

|σ|RK,σ(u), et le sch´ema num´erique

|K|fK= X

σ∈EK

FK,σ(u^T).

On obtient

∀K∈ T, X

σ∈EK

FK,σ(e^T) = X

σ∈EK

|σ|RK,σ(u). (?)

On multiplie (?) par eKet on somme surK.

L’erreur de consistance est conservative RK,σ(u) =−RL,σ(u) donc on trouve

ke^Tk²_1,T = [e^T, e^T]_1,T =X

σ∈E

d_σ|σ|D_σ(e^T)²=X

σ∈E

d_σ|σ|R_σ(u)D_σ(e^T). Par Cauchy-Schwarz on trouve

ke^Tk_1,T ≤ X

σ∈E

dσ|σ||Rσ(u)|²

!¹₂ .

(58)

Analyse du sch´ ema VF4

|σ|RK,σ(u)^def=FK,σ(P^Tu)−FK,σ. On obtient

∀K∈ T, X

σ∈EK

FK,σ(e^T) = X

σ∈EK

|σ|RK,σ(u). (?)

ke^Tk²_1,T = [e^T, e^T]1,T =X

σ∈E

dσ|σ|Dσ(e^T)²=X

σ∈E

dσ|σ|Rσ(u)Dσ(e^T). Par Cauchy-Schwarz on trouve

ke^Tk_1,T ≤ X

σ∈E

dσ|σ||Rσ(u)|²

!¹₂ .

(59)

Analyse du sch´ ema VF4

|σ|RK,σ(u)^def=FK,σ(P^Tu)−FK,σ. On obtient

∀K∈ T, X

σ∈EK

FK,σ(e^T) = X

σ∈EK

|σ|RK,σ(u). (?)

ke^Tk²_1,T = [e^T, e^T]1,T =X

σ∈E

dσ|σ|Dσ(e^T)²=X

σ∈E

dσ|σ|Rσ(u)Dσ(e^T).

Par Cauchy-Schwarz on trouve ke^Tk_1,T ≤ X

σ∈E

dσ|σ||Rσ(u)|²

!¹₂ .