Existence. Unicit´e. Stabilit´e.
Notations
Pour tout couple (K,L) de volumes de contrˆole voisins on note DKL(uT) = uL−uK
dKL
.
Pour toute arˆete int´erieureσ∈ Eint on noteDσ(uT) =DKL(uT), o`u l’on a choisi uneorientationK→Lune bonne fois pour toutes.
Pour tout arˆete ext´erieureσ∈ Eext on noteDσ(uT) =−ud K
Kσ. Lemme (Int´egration par parties discr`ete)
SoituT ∈RT une´eventuelle solution de (VF4), alors pour tout vT ∈RT
X
σ∈E
dσ|σ|Dσ(uT)Dσ(vT)
| {z }
def= [uT,vT]1,T
= X
K∈T
|K|vKfK= (vT, fT)L2.
La conservativit´e locale est essentielle ici
28/ 52 Franck BOYER VF pour les probl`emes elliptiques - Partie 1
Analyse du sch´ ema VF4
Existence. Unicit´e. Stabilit´e.
Lemme (Int´egration par parties discr`ete)
SoituT ∈RT une´eventuelle solution de (VF4), alors pour tout vT ∈RT
X
σ∈E
dσ|σ|Dσ(uT)Dσ(vT)
| {z }
def= [uT,vT]1,T
= X
K∈T
|K|vKfK= (vT, fT)L2.
La conservativit´e locale est essentielle ici
Proposition La forme bilin´eaire
(uT, vT)∈RT ×RT 7→[uT, vT]1,T,
est un produit scalaire surRT appel´eproduit scalaireH01 discret.
La norme associ´ee est appel´eenorme H01 discr`ete et not´ee k · k1,T.
Analyse du sch´ ema VF4
Existence. Unicit´e. Stabilit´e.
Th´eor`eme
Pour toute donn´eef ∈L2(Ω), le sch´ema (VF4) admet une unique solutionuT et on a
kuTk21,T ≤ kuTkL2kfTkL2 ≤ kuTkL2kfkL2.
Pour obtenir une estimationH01 discr`ete exploitable, on utilise le Th´eor`eme (In´egalit´e de Poincar´e discr`ete)
Pour tout maillage orthogonal admissibleT, on a
∀vT ∈RT, kvTkL2 ≤diam(Ω)kvTk1,T.
Preuve de l’in´egalit´e de Poincar´e
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Analyse du sch´ ema VF4
Existence. Unicit´e. Stabilit´e.
Th´eor`eme
Pour toute donn´eef ∈L2(Ω), le sch´ema (VF4) admet une unique solutionuT et on a
kuTk21,T ≤ kuTkL2kfTkL2 ≤ kuTkL2kfkL2.
Pour obtenir une estimationH01 discr`ete exploitable, on utilise le Th´eor`eme (In´egalit´e de Poincar´e discr`ete)
Pour tout maillage orthogonal admissibleT, on a
∀vT ∈RT, kvTkL2 ≤diam(Ω)kvTk1,T.
Preuve de l’in´egalit´e de Poincar´e
Analyse du sch´ ema VF4
Propri´et´es qualitatives. Principe du maximum discret
Matrice du syst`eme
Elle est sym´etrique d´efinie positive (Cf. l’int´egation par parties discr`ete).
C’est uneM-matrice⇒principe du maximum discret v´erifi´e fT ≥0 =⇒uT ≥0.
En effet, la ligneKde la matrice s’´ecrit X
L∈VK
τKL
|{z}
≥0
(uK−uL) =|K|fK.
Impl´ementation du sch´ema
Parcours du maillage par arˆetes et non par volumes de contrˆole. Informations g´eom´etriques utilis´ees : |σ|,dKL,|K|.
La seule m´ethode de quadrature utilis´ee (´eventuellement) est pour le terme source.
Estimation de l’erreur de quadraturefT 7→uT,gT 7→vT kuT −vTkL2 ≤CΩkuT −vTk1,T ≤CΩ2kfT −gTkL2.
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Analyse du sch´ ema VF4
Propri´et´es qualitatives. Principe du maximum discret
Matrice du syst`eme
Elle est sym´etrique d´efinie positive (Cf. l’int´egation par parties discr`ete).
C’est uneM-matrice⇒principe du maximum discret v´erifi´e fT ≥0 =⇒uT ≥0.
En effet, la ligneKde la matrice s’´ecrit X
L∈VK
τKL
|{z}
≥0
(uK−uL) =|K|fK.
Impl´ementation du sch´ema
Parcours du maillage par arˆetes et non par volumes de contrˆole.
Informations g´eom´etriques utilis´ees :|σ|,dKL,|K|.
La seule m´ethode de quadrature utilis´ee (´eventuellement) est pour le terme source.
Estimation de l’erreur de quadraturefT 7→uT,gT 7→vT kuT −vTkL2 ≤CΩkuT −vTk1,T ≤CΩ2kfT −gTkL2.
Analyse du sch´ ema VF4
Gradient discret. Compacit´e. Convergence
Cellule diamant
K L
xK xL
D
Gradient discret Pour toutvT ∈RT, on d´efinit (d= dimension)
∀D∈D, ∇TDvT =
duL−uK
dKL
νKL=dDσ(uT)ν, siσ∈ Eint, d0−uK
dKL
νKσ=dDσ(uT)ν, siσ∈ Eext,
∇TvT = X
D∈D
1D∇TDvT ∈(L2(Ω))2. Lien avec la normeH01 discr`ete
kvTk21,T = 1
dk∇TvTk2L2.
31/ 52 Franck BOYER VF pour les probl`emes elliptiques - Partie 1
Analyse du sch´ ema VF4
Gradient discret. Compacit´e. Convergence
Th´eor`eme (Compacit´e faible)
Soit(Tn)n une suite de maillages orthogonaux admissibles avec size(Tn)→0 et(uTn)n une famille de fonctions discr`etes d´efinies sur chacun des maillages telle que
sup
n
kuTnk1,Tn <+∞.
Alors :
Il existe une fonction u∈L2(Ω), et une sous-suite(uTϕ(n))n qui converge fortement versudansL2(Ω).
De plus,
La fonctionuest dans H01(Ω).
La suite des gradients discrets (∇Tϕ(n)uTϕ(n))n converge faiblementvers ∇udans(L2(Ω))d.
Preuve du Th´eor`eme de compacit´e
Analyse du sch´ ema VF4
Gradient discret. Compacit´e. Convergence
Th´eor`eme (Compacit´e faible)
Soit(Tn)n une suite de maillages orthogonaux admissibles avec size(Tn)→0 et(uTn)n une famille de fonctions discr`etes d´efinies sur chacun des maillages telle que
sup
n
kuTnk1,Tn <+∞.
Alors :
Il existe une fonction u∈L2(Ω), et une sous-suite(uTϕ(n))n qui converge fortement versudansL2(Ω).
De plus,
La fonctionuest dans H01(Ω).
La suite des gradients discrets (∇Tϕ(n)uTϕ(n))n converge faiblementvers ∇udans(L2(Ω))d.
Preuve du Th´eor`eme de compacit´e
32/ 52 Franck BOYER VF pour les probl`emes elliptiques - Partie 1
Analyse du sch´ ema VF4
Gradient discret. Compacit´e. Convergence
Th´eor`eme (Convergence du sch´ema VF4)
Soitf ∈L2(Ω)etu∈H01(Ω), l’unique solution du probl`eme continu.
Soit(Tn)n une famille de maillages orthogonaux admissibles avec size(Tn)→0.
Pour toutn, on noteuTn∈RTn l’unique solution du sch´ema sur le maillageTn pour la donn´eef.
On a :
La suite (uTn)n convergefortement vers udansL2(Ω). La suite (∇TnuTn)n convergefaiblementvers ∇udans (L2(Ω))d.
De plus, sid≥2, la convergenceforte des gradients n’a lieu que si f =u= 0.
Preuve de la convergence de VF4
Analyse du sch´ ema VF4
Gradient discret. Compacit´e. Convergence
Th´eor`eme (Convergence du sch´ema VF4)
Soitf ∈L2(Ω)etu∈H01(Ω), l’unique solution du probl`eme continu.
Soit(Tn)n une famille de maillages orthogonaux admissibles avec size(Tn)→0.
Pour toutn, on noteuTn∈RTn l’unique solution du sch´ema sur le maillageTn pour la donn´eef.
On a :
La suite (uTn)n convergefortement vers udansL2(Ω).
La suite (∇TnuTn)n convergefaiblementvers∇udans (L2(Ω))d.
De plus, sid≥2, la convergenceforte des gradients n’a lieu que si f =u= 0.
Preuve de la convergence de VF4
33/ 52 Franck BOYER VF pour les probl`emes elliptiques - Partie 1
Analyse du sch´ ema VF4
Estimation de l’erreur
Pr´ealables
Convergence du sch´ema : pas d’hypoth`ese de r´egularit´e suru.
Pour les estimations d’erreur on va supposer queu∈H2(Ω).
Principe de l’analyse
On souhaite compareruT avec la projectionPTu= (u(xK))K de la solution exacte sur le maillage. On d´efinit l’erreur
eT =PTu−uT.
On compare le flux num´erique calcul´e surPTuavec le flux exact
|σ|RK,σ(u)def=FK,σ(PTu)−FK,σ. Il vient (pourσ∈ Eint)
RK,σ(u) = u(xL)−u(xK) dKL
− 1
|σ| Z
σ
∇u·νKLdx.
Analyse du sch´ ema VF4
Estimation de l’erreur
Pr´ealables
Convergence du sch´ema : pas d’hypoth`ese de r´egularit´e suru.
Pour les estimations d’erreur on va supposer queu∈H2(Ω).
Principe de l’analyse
On souhaite compareruT avec la projection PTu= (u(xK))K de la solution exacte sur le maillage. On d´efinit l’erreur
eT =PTu−uT.
On compare le flux num´erique calcul´e surPTuavec le flux exact
|σ|RK,σ(u)def=FK,σ(PTu)−FK,σ. Il vient (pourσ∈ Eint)
RK,σ(u) = u(xL)−u(xK) dKL
− 1
|σ| Z
σ
∇u·νKLdx.
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Analyse du sch´ ema VF4
Estimation de l’erreur
Pr´ealables
Convergence du sch´ema : pas d’hypoth`ese de r´egularit´e suru.
Pour les estimations d’erreur on va supposer queu∈H2(Ω).
Principe de l’analyse
On souhaite compareruT avec la projection PTu= (u(xK))K de la solution exacte sur le maillage. On d´efinit l’erreur
eT =PTu−uT.
On compare le flux num´erique calcul´e surPTuavec le flux exact
|σ|RK,σ(u)def=FK,σ(PTu)−FK,σ. Il vient (pourσ∈ Eint)
RK,σ(u) = u(xL)−u(xK) dKL
− 1
|σ|
Z
σ
∇u·νKLdx.
Analyse du sch´ ema VF4
Estimation de l’erreur
|σ|RK,σ(u)def=FK,σ(PTu)−FK,σ. On soustrait le bilan de flux exact
|K|fK= X et le sch´ema num´erique
|K|fK= X donc on trouve
keTk21,T = [eT, eT]1,T =X
σ∈E
dσ|σ|Dσ(eT)2=X
σ∈E
dσ|σ|Rσ(u)Dσ(eT). Par Cauchy-Schwarz on trouve
keTk1,T ≤ X Franck BOYER VF pour les probl`emes elliptiques - Partie 1
Analyse du sch´ ema VF4
Estimation de l’erreur
|σ|RK,σ(u)def=FK,σ(PTu)−FK,σ. On obtient
∀K∈ T, X
σ∈EK
FK,σ(eT) = X
σ∈EK
|σ|RK,σ(u). (?)
On multiplie (?) par eKet on somme surK.
L’erreur de consistance est conservative RK,σ(u) =−RL,σ(u) donc on trouve
keTk21,T = [eT, eT]1,T =X
σ∈E
dσ|σ|Dσ(eT)2=X
σ∈E
dσ|σ|Rσ(u)Dσ(eT). Par Cauchy-Schwarz on trouve
keTk1,T ≤ X
σ∈E
dσ|σ||Rσ(u)|2
!12 .
Analyse du sch´ ema VF4
Estimation de l’erreur
|σ|RK,σ(u)def=FK,σ(PTu)−FK,σ. On obtient
∀K∈ T, X
σ∈EK
FK,σ(eT) = X
σ∈EK
|σ|RK,σ(u). (?)
On multiplie (?) par eKet on somme surK.
L’erreur de consistance est conservative RK,σ(u) =−RL,σ(u) donc on trouve
keTk21,T = [eT, eT]1,T =X
σ∈E
dσ|σ|Dσ(eT)2=X
σ∈E
dσ|σ|Rσ(u)Dσ(eT).
Par Cauchy-Schwarz on trouve keTk1,T ≤ X
σ∈E
dσ|σ||Rσ(u)|2
!12 .
35/ 52 Franck BOYER VF pour les probl`emes elliptiques - Partie 1
Analyse du sch´ ema VF4
Estimation de l’erreur
keTk1,T ≤ X
σ∈E
dσ|σ||Rσ(u)|2
!12 .
Th´eor`eme (Estimation d’erreur - Version 1) Siu∈ C2(Ω), il existeC ne d´ependant que deΩtelle que
keTkL2 ≤diam(Ω)keTk1,T ≤Csize(T)kD2ukL∞, ku−uTkL2 ≤Csize(T)kD2ukL∞. Estimation de l’erreur de consistance
Siu∈ C2(Ω), |Rσ(u)| ≤CkD2uk∞size(T).
Siu∈H2(Ω), |Rσ(u)| ≤Csize(T) 1
|D| Z
D
|D2u|2dx 12
, Preuve
o`uC ne d´epend que la constante de r´egularit´e du maillage reg(T) = sup
σ∈E
|σ| dKσ
+ |σ| dLσ
.
Analyse du sch´ ema VF4
Estimation de l’erreur
keTk1,T ≤ X
σ∈E
dσ|σ||Rσ(u)|2
!12 .
Th´eor`eme (Estimation d’erreur - Version 2)
Siu∈H2(Ω), il existe C ne d´ependant que deΩetreg(T) telle que keTkL2 ≤diam(Ω)keTk1,T ≤Csize(T)kD2ukL2,
ku−uTkL2 ≤Csize(T)kD2ukL2. Estimation de l’erreur de consistance
Siu∈H2(Ω), |Rσ(u)| ≤Csize(T) 1
|D| Z
D
|D2u|2dx 12
, Preuve
o`uC ne d´epend que la constante de r´egularit´e du maillage reg(T) = sup
σ∈E
|σ|
dKσ
+ |σ|
dLσ
.
36/ 52 Franck BOYER VF pour les probl`emes elliptiques - Partie 1
Analyse du sch´ ema VF4
Remarques et probl`emes ouverts
Bien qu’on ait (pour des familles r´eguli`eres de maillages) kPTu−uTk1,T −−−−−−−→
size(T)→0 0, on a jamais(sauf siu=f = 0)
∇TuT −−−−−−−→
size(T)→0 ∇u.
En pratique on observe un ph´enom`ene de super-convergence keTkL2(Ω)∼Csize(T)2,
comme pour les sch´emas ´el´ements finis (Aubin–Nitschze). C’est encore un probl`eme ouvert dans le cas g´en´eral.
Analyse du sch´ ema VF4
Remarques et probl`emes ouverts
Bien qu’on ait (pour des familles r´eguli`eres de maillages) kPTu−uTk1,T −−−−−−−→
size(T)→0 0, on a jamais(sauf siu=f = 0)
∇TuT −−−−−−−→
size(T)→0 ∇u.
En pratique on observe un ph´enom`ene de super-convergence keTkL2(Ω)∼Csize(T)2,
comme pour les sch´emas ´el´ements finis (Aubin–Nitschze).
C’est encore un probl`eme ouvert dans le cas g´en´eral.
37/ 52 Franck BOYER VF pour les probl`emes elliptiques - Partie 1
Partie 1 - Plan
1
Introduction
Avant-Propos
Ecoulements complexes en milieux poreux
Ecoulements de fluides complexes visqueux incompressibles Autres mod`eles
Cahier des charges
2
Le Sch´ ema Volumes Finis basique pour le probl` eme de Laplace
Notations. Construction Analyse du sch´ema VF4
Existence. Unicit´e. Stabilit´e.
Principe du maximum discret
Gradient discret. Compacit´e. Convergence Estimation de l’erreur
Extensions de VF4
Diffusion isotrope h´et´erog`ene Second membre non r´egulier Un exemple un peu plus complexe
Les limitations de VF4