Translation Sym´etrie orthogonale ou r´eflexion
Homoth´etie Rotation (du plan orient´e)
D´efinition La translation de vecteur ~u est la transformation qui `a tout pointM du plan associe le pointM0tel que :
−−−→ MM0=~u
M
M0
~u
La r´eflexion (ou sym´etrie ortho- gonale) d’axe∆ est la transfor- mation qui `a tout point M du plan associe le pointM0tel que :
• ∆est la m´ediatrice de [MM0] siM /∈∆
• M0=MsiM∈∆
On dit queM0est le sym´etrique (orthogonale) deMpar rapport
`a∆
M
M0 (∆)
L’homoth´etie de centreOet de rapport k (un r´eel non nul) est la transforma- tion qui `a tout pointMdu plan associe le pointM0tel que :
−−→
OM0 =k−−OM→
O M
M0
k= 2
O
M M0 k=−13
La rotation de centreOet d’angleαest la transformation qui `a tout pointMdu plan associe le pointM0tel que :
• M=M0siM=O
•
OM=OM0 et
(−−OM,→ −−OM→0) =α[2π]
siM6=O
O M
M0
α α=π3
Notation La translation de vecteur ~u est not´eet~u
La r´eflexion d’axe∆est not´ees∆ L’homoth´etie de centreOet de rapport
kest not´eeh(O, k) La rotation de centre O et d’angle α est not´eer(0, α)
Points invariants
Lorsque~u6=~0: pas de points inva- riants
Lorsque~u=~0: tous les points sont invariants
Les points invariants pars∆sont
les points de∆ Lorsque k 6= 1 le centreO est le seul point invariant
Lorsque k = 1 tous les points sont invariants
Lorsqueα 6= 0[2π]le centreOest le seul point invariant
Lorsqueα=0[2π]tous les points sont in- variants
Propri´et´es fondamentales
Pour tous pointsMetN d’images respectives M0 etN0 par tu~ on a :
•−−−M0N→0 =−−MN→
M
M0
~u
N
N0
~u
•Deux points distincts et leurs ima- ges forment un parall`elogramme
Pour tous points M et N d’images respectives M0 et N0 pars∆etIun point de∆on a :
•IMM0est isoc`ele enI M
M0 (∆)
I
•Le centreOde l’homoth´etie, un point Met son imageM0sont align´es
• Pour tous points M et N d’images respectivesM0 etN0 parh(O, k)on a :
−−−→
M0N0=k−−MN→
O M
M0
N N0 k >1
O
M
M0
N N0
−1< k <0
On en d´eduit que :
•M0N0 =kMN
• Deux points distincts, leurs images et le centre forment une configuration de Thal`es
Pour tous pointsMetNd’images respec- tivesM0etN0 parr(O, α)on a :
•M0N0 =MN
•(−−MN,→ −−−M0N→0) =α[2π]
O M
M0 α
N N0
α
−−→MN
−−−→M0N0 α
