Mouvements à force centrale

Mouvements à force centrale

I₂₆. (d’après CCP 1999 MP)

Dans cet énoncé les vecteurs sont notés en caractères gras ; sur votre copie, vous mettrez une flèche au dessus.

On désire étudier les mouvements possibles d'un point matériel M, de masse m, sous l'action du champ de pesanteur g , à l'intérieur d'une cavité fixe que l'on suppose solidaire d'un référentiel terrestre R (O, ex, ey, ez ) supposé galiléen. La surface extérieure de cette cavité est un paraboloïde de révolution P, d'axe vertical ascendant Oz , dont l'équation en coordonnées cylindriques (ρ, ϕ, z) est ρ² – az = 0 avec a > 0 (Figure A-l).

On suppose que le point matériel M glisse sans frottement sur P.

Compte tenu de la symétrie du problème, on utilisera les coordonnées cylindriques de M , la base de projection étant celle de Rc(O, eρ, eϕ, ez) (Figure A-l).

On suppose la liaison unilatérale, c'est-à-dire que les coordonnées ρ et z de M satisfont à l'inégalité z ≥ ρ² / a.

1. Moment cinétique

a) Exprimer, dans la base de RC , la vitesse de M par rapport à R .

b) Exprimer en fonction des coordonnées cylindriques de M fonctions du temps t la composante sur Oz du moment cinétique en O de M.

σz

c) Montrer que la réaction G

R qu'exerce P sur M est contenue dans le plan OHP. En appliquant le théorème du moment cinétique en O, sous forme vectorielle, montrer que se conserve au cours du temps. Expliciter cette relation de conservation en fonction de ρ et ϕ. Dans la suite, pour simplifier l'écriture, on désignera par L cette constante.

σz

2. Energie

a) Quelle est, en fonction des coordonnées et de leurs dérivées, l'expression de l'énergie cinétique Ek de la particule M par rapport à R ?

b) Justifier l'existence d'une énergie potentielle Ep associée à la force subie par M. Exprimer Ep en fonction de ρ en supposant que Ep (O) = 0.

c) Que peut-on dire de E_m =E_k +E_p? 3. Discussion générale du mouvement

a) Déduire de ce qui précède une équation différentielle du premier ordre, à une seule fonction inconnue , de la forme

( )t ρ

2

,

1 ( ) ( )

2m^•ρ G ρ +E^{p ef} ρ =E^m où G(ρ) est positif et sans dimension et où Ep,ef (ρ) est appelé énergie potentielle effective. Expliciter G(ρ) et E_p,ef (ρ) .

b) Représenter le graphe Ep,ef (ρ). Montrer que E_p,ef (ρ) passe par un minimum pour une valeur ρ_m de ρ que l'on exprimera en fonction de L, m, a et g, intensité du champ de pesanteur.

c) Discuter, à l'aide du graphe Ep,ef (ρ), la nature du mouvement de M. En déduire que la trajectoire de M sur P est nécessairement tracée sur une région de P limitée par deux cercles définis à l'aide des constantes du mouvement et des données du problème. On se contentera d'indiquer quelle équation il conviendrait de résoudre pour déterminer ces deux cercles.

4. Etude de quelques mouvements particuliers

a) A quelle condition sur L la trajectoire de M sur P est-elle une portion de parabole méridienne ? b) Déterminer la vitesse initiale vG₀

pour que la trajectoire de M sur P soit un cercle horizontal.

c) Une petite perturbation écarte légèrement la coordonnée ρ de la valeur ρ_m pour laquelle Ep,ef(ρ) est minimal.

Montrer que ε =ρ − ρ_m varie sinusoïdalement avec une période que l'on calculera dans le cas général.

d) Application numérique : ρ_m = 1 m, a = 2 m, g = 9,81 m.s^–2.

e) Pour quelles valeurs de ρ_m et a une trajectoire de ce type se referme-t-elle après un tour ?

II25. Stabilité d’une orbite circulaire dans un champ de force centrale.

Soit O un point fixe et ^k et ⁿ deux constantes positives. Un mobile P de masse ^m n’est soumis qu’à la force

n r

F k u

=−r

G G

, où r =OP et _r OP u =OP

G JJJG .

1) Montrer que le mouvement est plan et qu’en coordonnées polaires est une constante du mouvement qu’on notera C.

r2θ

2) Montrer que la loi fondamentale de la dynamique projetée sur la direction radiale peut être écrite sous la forme

2

2 ( )

d r f r

dt = et exprimer la fonction f r( ) en fonction de k, m, r, n et C.

3) Discuter le signe de f r( ) et tracer son graphe en distinguant plusieurs cas, en particulier selon que : a) ⁿ <³ ;

b) n =3 ; c) n >3.

4) Dans quel cas l’orbite est-elle un cercle de centre O et de rayon a ?

5) Décrire l’allure radiale d’un mouvement initialement proche d’un mouvement circulaire, en distinguant plusieurs cas. A quelle condition l’orbite circulaire est-elle stable ?

6) On suppose l’orbite circulaire stable. Soit un mouvement voisin d’une orbite circulaire de rayon a et de période : où reste petit devant a. Montrer qu’il obéit à

T r =a+ε( )t ε( )t ²₂ 4 ₂²

(3 ) 0

d n

dt T

ε π

+ − ε=

7) Ce résultat est-il en accord avec la conclusion sur la stabilité des orbites circulaires ? Quel est alors l’allure du mouvement ?

8) Interpréter le cas particulier n =2. III₄₉ (d’après petites mines 2002).

Le mouvement est étudié dans le référentiel du laboratoire assimilé à un référentiel galiléen et associé à un repère ( , , , )O i j kG G G

. Un palet M de masse m peut se mouvoir sans frottement dans le plan ( , h

(table à coussin d'air par exemple). Le champ de pesanteur est suivant la verticale Oz : g =

O x y, ) orizontal

−gkG

G .

Le palet est accroché à l'extrémité d'un ressort (point ) de longueur à vide l , de raideur , dont l'autre extrémité est fixée en O. La position de est repérée dans la base ( ,

M ₀ k

M )

i j^{G G} par OM^JJJJG =xi^G+yj^G ou dans la base ( , )e e^{G G}_{r θ} par OM^JJJJG =re^G_r.

1. Faire un bilan des forces. Montrer qu'il y a conservation du moment cinétique L^G_O par rapport à O.

2. On lance le palet d'un point

0 ( 0)

OM^JJJJJG =OM t^JJJJG = =l i₀^G =v j

Mouvements à force centrale, page 2

, avec une vitesse initiale v^G_{0 0}^G orthogonale à OM^JJJJJG₀ . Dans la suite, on travaillera en coordonnées polaires dans le plan ( ,O x y, ).

Préciser L^G_O en fonction de r et d

, puis, en fonction des conditions initiales et des vecteurs de base. On notera L le module de

dt θ L^GO.

3. Rappeler l'expression de l'énergie potentielle élastique.

Doit-on tenir compte de l'énergie potentielle de pesanteur pour étudier le mouvement ? Montrer qu'il y a conservation de l'énergie mécanique E_m.

Préciser l'expression de E_m :

• en fonction des conditions initiales,

• en fonction de , dr, d ,

r m k et l .

dt dt θ

0

4. Montrer que l'énergie mécanique peut s'écrire : ^{m = 1}₂

( )

^dr_dt ^{2 +Eeff( )r}

r

E m .

Préciser l'expression de E_eff( ). Tracer l'allure de E_eff( )r . 5. Le palet peut-il s'éloigner indéfiniment du pôle d'attraction ?

6. Le palet peut-il passer par le centre d'attraction au cours de son mouvement ?

7. Décrire qualitativement le mouvement.

8. Quelles sont les valeurs extrêmes de au cours du mouvement ? On précisera l’une de ces valeurs et on donnera l’équation déterminant l’autre.

r

9. Calculer l’écart entre ces deux valeurs s’il est petit. A quelle condition cela est-il valable ? IV21. Pendule sphérique (d’après ENSI Sud 1985).

A.

Un point matériel M, de masse m, est relié à un point fixe O par une tige rigide sans masse de longueur a. Le mouvement de M sera rapporté au repère orthonormé ( , , , )O i j k^{G G G} fixe dans un espace galiléen. La trajectoire du point M dans l'espace est sur une sphère de rayon a et de centre O. L'articulation en O est sans frottement. La position de M sera donnée par :

( cos sin )

OM^JJJJG =r i^G ϕ+j^G ϕ +zk^G + =a² k avec r² z² .

L'accélération de la pesanteur est donnée par : g^G =−g^G, (g >0).

ϕ =C ans la suite

que e peut s’annuler, que M tourne toujours dans le même sens et que B.

° Exprimer l'énergie cinétique du point M en fonction des dérivées par rapport au temps des coordonnées cy

rgie potentielle de M (on considérera que l'énergie potentielle est nulle pour z = 0).

tion obtenue en II.4° et de la relation ², exprimer à l'aide de et des co

u égal à un polynôme de degré 3 en qui s'écrit : 1° Exprimer la projection sur Oz du moment cinétique de M par rapport au point O.

2° Démontrer que r reste constant au cours du temps. On suppose d 3° Montrer n

2 C ≠ 0.

r −a < <z a.

1 E_c

lindriques de M.

2° Exprimer l'éne

3° Que peut-on dire de l'énergie mécanique totale E_m du point M ? 4° Donner son expression.

5° Tenant compte de la rela r² +z² =a E_m z,z

nstantes m, a, g, et C.

6° En déd ire que a z²² est z

( )

2 2z =(a2 −z2) 2E_m/m −2gz −C2 =P z( ). a

7° Faire un inventaire complet des propriétés qu’on connaît sur le signe du polynôme . En déduire que s'a

n se propose dans cette partie d'étudier le mouvement et de montrer qu'il se situe entre deux plans horizontaux.

gé

mme instant initial , l'un de ceux où cette tangence se produit, avec = ϕ

( )

P z z

nnule pour au moins une valeur de z comprise entre −a et a, qu'on appellera z0. C.

O

1° Justifier qu'en tout point de la trajectoire où z =0, celle-ci est tangente à un cercle z =cte (parallèle ographique).

2° On prendra co t =0 vG₀ r_{0 0}jG

(r0 ≠0 et ϕ₀ >0) et avec la position initiale M0 prise dans le plan xOz et définie par OMJJJJJG₀ =r i₀G+z₀kG (r₀² +z₀² =a²)

mer les constantes C et E_m à l'aide des condition tiales.

Expri s ini

fini (z −z Q z) ( ) et exprimer en fonction des co

racine de et une seule est comprise entre et

3° Décomposer alors P z( ), dé en II.6°, sous la forme : P z( )= ₀ Q z( ) nditions initiales.

4° Montrer qu'une z₁ Q z( ) −a a.

5° Exprimer ϕ²₀ e + et montrer que la trajectoire reste

co =

6° Montrer que : avec

à l'aide d a, g, z₀ et z₁. En déduire le signe de (z₀ z₁) mprise entre les plans z =z₀ etz z₁.

1 2

( ) 2 ( )( )

Q z = g z −z z −z ₂ ^{2 0 1}

0 1

a z z

z z z

=− + + 7° Quelle est la valeur de pour que la trajectoire soit circulaire ?

in e point atteigne le plan de l'équateur

z 9° Pour

v0C v₀

8° Quelle est la valeur m imal v_0E de v₀ pour que, z₀ étant négatif, le ( =⁰) ?

0 3

z =− 2 a, donner à l'aide d'un dessin qualitatif la projection sur ^xOy de la trajectoire dans les trois cas

V40. Mouvement à force centrale et énergie potentielle effective.

Un point matériel P, de masse ^m, est attaché à un point fixe O par un ressort de raideur ^k et de longueur naturelle ; il glisse sans frottement sur un plan horizontal passant par O. On le lance du point P

A ₀ avec une vitesse horizontale

perpendiculaire à OP v0 ₀ = r0.

1) Montrer que son énergie potentielle est E_p = ¹₂k r( −A)², où r =OP.

2) Montrer que son énergie peut être mise sous la forme E = ¹₂mr² +E_peff( )r et exprimer , fonction de r et des paramètres constants du mouvement.

peff( )

E r

3) Calculer ^{dEpeff( )r} dr et

2 2 peff( ) d E r

dr .

4) En déduire la valeur v_C dev₀ pour que P décrive un cercle de centre O.

5) On suppose voisin de . Montrer que la pulsationΩ des petites oscillations du ressort dans le référentiel tournant s’exprime en fonction de la pulsation du ressort quand P se meut sur une droite passant par O et de la vitesse angulaire moyenne ω de P autour de O par la relation approximative .

v0 v_C

Ω0

2 2

0 3

Ω =Ω + ω² VI. Énergie potentielle effective d’un système de deux points.

Deux points matériels pesants M1 et M2 de masses m₁ et m₂ sont liés par un fil de longueur L. M₁ glisse sans frottement sur une table horizontale très mince. Le fil traverse la table par un trou très fin O ; il coulisse dans ce trou sans frottement. M2 se meut sur la droite verticale passant par O. On repère M1 par ses coordonnées polaires de centre O, soit (r,θ) et M2 par sa distance ^x à O.

A l’instant 0, les deux portions de fil sont tendues ; M1 est en r =r₀ etθ=0 ; il a une vitesse vG₀

horizontale et perpendiculaire au brin de fil OM1 ; OM2 est vertical ; la composante horizontale de la vitesse de M2 est nulle. On suppose que par la suite, sauf avis contraire, le fil reste tendu et que M2 ne vient pas heurter le dessous de la table.

1) Quelle est la force agissant sur M1 ?

2) Une liaison est parfaite si le travail des forces de liaison exercées sur les corps liés est nul. On suppose que la liaison par le fil et le trou entre M1 et M2 est telle. Montrer que les tensions et des deux brins du fil sont égales à tout instant.

T1 T₂ 3) Quelle est la vitesse de M2 à l’instant 0?

4) Pour quelle valeur v_c de v₀ le point M₂ reste-t-il immobile ? Quel est alors le mouvement de M1 ?

5) Montrer que le moment cinétique L_O en O de M₁ est constant au cours du temps. Que peut-on déduire sur le signe de θ ?

6) L’énergie E du système formé par M1 et M2 est la somme des énergies cinétiques de ces deux points et de leur énergie potentielle. Trouver l’expression de l’énergie en fonction de r , des vitesses et des paramètres du problème et montrer que E est constant au cours du temps.

7) Mettre E sous la forme ² ,

1 ( )

2 ^{p eff}

E = mr +E r , exprimer m et montrer que ^{( )}

1 0 02 2

, 2 2 2

p eff

m r v

E r m gr

= + r .

8)

a) Qu’obtient-on en dérivant 1 ² _,

2 ^{p eff}( )

E = mr +E r par rapport au temps ? b) Exprimer la tension T du fil en fonction de r et des constantes du problème.

c) Le fil peut-il se détendre au cours du mouvement ? Dans les autres questions, on le supposera toujours tendu.

d) La trajectoire peut-elle tourner sa concavité, tantôt vers O, tantôt dans la direction opposée ? 9) Si v₀ =0, quel est le mouvement ?

10) Si m v_{1 0}² =m gr_{2 0}, quel est le mouvement ? 11) On suppose dorénavant que

1 02 2 0

m v

α=m gr est différent de 0 et de 1. Tracer sommairement le graphe de , en supposant la position de son extremum compris dans l’intervalle physique de variation de r .

, ( ) p eff

E r

12) Décrire qualitativement le mouvement de M1 et donner les expressions des valeurs extrêmes de r en fonction de et . Quelle vérification peut-on faire sur ces expressions ?

r0 α

Mouvements à force centrale, page 4

13) Pour quelles valeurs des paramètres le programme maple suivant trace la trajectoire ?

> v0:=2:

> sol:=dsolve({diff(r(t),t,t)=(v0^2/r(t)^3-1)/2, diff(theta(t),t)=v0/r(t)^2,r(0)=1,D(r)(0)=0, theta(0)=0},{r(t),theta(t)},numeric):

> plots[odeplot](sol,[r(t)*cos(theta(t)), r(t)*sin(theta(t))],t=0..20,numpoints=200, color=black,labels=["",""],scaling=constrained);

14) Dessiner la trajectoire de M1 si M2 heurte le dessous de la table quand et rebondit élastiquement. On suppose que le choc, parfaitement élastique, change la vitesse de M

θ =π/ 2

2 en l’opposé et que le fil résiste au choc.

Qu’a de particulier cette trajectoire ?

15) Déterminer la période temporelle et la période angulaire des petites oscillations radiales pour v₀ voisin de v_c.

VII₄₁.

Soit O un point fixe et U et a deux constantes positives. Une particule P de masse m est soumise à la force :

3 2

3 2

( ) _r 2U a a _r

F F r u u

a r r

⎛ ⎞⎟

= = ⎜⎜⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎟⎠

G G G

où r r

r OP u

= = r

JJJG G

G G

.

Ce modèle permet de représenter grossièrement les mouvements de rotation et de vibration des molécules diatomiques.

1) Déterminer l’énergie potentielle E r_p( ) associée à cette force, en la supposant nulle à l’infini.

2) Tracer schématiquement les graphes de F r( ) et de E r_p( ). Quel rôle joue r =a pour ces graphes ? 3) Montrer que le vecteur moment cinétique LG

au point O est conservé au cours du mouvement. En déduire que le mouvement a lieu dans un plan à préciser. Exprimer L en coordonnées polaires.

4) Exprimer l’énergie E du mobile.

5) A l’instant 0 , la position et la vitesse de P sont caractérisées par : r₀ =a r; ₀ =0 ;θ₀ =v₀/a où v₀ = U /m. Montrer que la conservation de l’énergie s’écrit : E =¹2mr² +E_{p eff}, ( )r et exprimer E et E_{p eff,} ( )r .

6) Si le mobile parvient à l’infini, quelle est alors sa vitesse, ou bien s’il ne parvient pas à l’infini, quelles sont les valeurs minimale rm et maximale rM prises par r au cours du mouvement ?

VIII28. Atome d’hydrogène dans un champ magnétique.

Soit a et B deux constantes positives. Un atome d’hydrogène est modélisé par un proton de charge e fixe à l’origine O et par un électron mobile de charge −e et de masse m. On lui applique un champ magnétique BG =BuG_z

. On suppose l’électron immobile à l’instant 0 au point rG =auG_x

=

et on traite le problème de son mouvement en mécanique classique.

1) Montrer que z est solution des équations du mouvement. On admettra que, la solution du problème étant unique, c’est bien la solution.

0

2) En utilisant la conservation de l’énergie, montrer que la distance au proton ne peut dépasser a. 3) Montrer que le moment cinétique est LG =¹₂e r( ² −a B²)G

.

4) Montrer que l’électron tourne toujours dans le même sens, qu’on précisera.

5) Montrer qu’une quantité de la forme ₂¹mr² +E_{p eff,} ( )r est constante au cours du temps et exprimer E_{p eff,} ( )r . 6) Déterminer le signe de _eff dE^{p eff,}

F pour r et .

=− dr =a r → 0

7) En déduire que la distance entre l’électron et le proton oscille de façon périodique entre deux valeurs dont on déterminera l’une et écrira l’équation déterminant l’autre. Dessiner une trajectoire possible de l’électron.

Réponses

I. 1.a) 2

. _z

v e e e

a

• → → •

ρ ϕ ρ ρ

=ρ +ρϕ +

G ^→ ; 1.b) σ_z =mρ ϕ^{2 •} =L ; 1.c) σ_Oz =mρ ϕ^{2 •} ; 2.a)

2 2

2

2 2

1 4

2 1 2

k

E m L

a m

• ⎛⎜ ρ ⎟⎞

= ρ ⎜⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎟⎠+ ρ ; 2.b)

2 p =

E mg

a

ρ 2.c) E_m est constant au cours du temps ; 3.a)

2 2

( ) 1 4

G a

ρ = + ρ ;

2 2

, ( ) 2

p ef 2

mg

E L ; 3.b)

m a

ρ = + ρ

ρ

2 14

2 2 m

aL m g

⎛ ⎞⎟

ρ =⎜⎜⎜⎜⎝ ⎠⎟⎟⎟ ; 3.c) ρ et sont les racines de

; 4.a) L ; 4.b)

1 ρ2

, ( )

p ef m

E ρ =E =0 ₀ 2 ₀

g 2

v e gz e

a ^{ϕ ϕ}

=ρ =

G G G

; 4.c)

2 3

,

2 2

4 4

(1 ) m dE^{p ef} 0

m a a d

ρ ρ ρ

ρ + + + =

ρ

;

2 , 2

2 2

( ) (1 4 )

p ef m m

d E d

m a

ρ ρ ω=

+ ρ

; 8mg

T ; 4.d) T ; 4.e)

= a =1, 42 s 3

m 2 a

ρ = ou z₀ = ³₄a.

II.

Mouvements à force centrale, page 6

1) voir cours ; 2)

2

( ) k_n C3

f r =−mr + r ; 3) f r( ) est positif si ^{n 3} k ₂

r , soit si n et

mC

− > <3

1 3 2

k n

r a

mC

⎛ ⎞⎟ −

< =⎜⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠ ou si n >3 et

1 3 2

k n

r a ou si n et mC ;

4) n et

mC

⎛ ⎞⎟ −

> =⎜⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠ = =k

≠

3 ²

3 ^{r =a =}

( )

_mC^{k2 n−13ou n = et ; 5) n < .}

r u

=− −

3 mC² =k 3

III. 1) FG k( ₀)G_r

A ; voir cours sur forces centrales ; 2)

0 2 0 0

L mr d k m v k dt

= θ =

G G G

A ; 3) E_p = ¹₂k(r−A₀)² ; non ;

( )

²

( )

^{2 ( )2}

2 2

1 1 1

0 0

2 2 2

m

dr d

E mv m r k r

dt dt

⎡ θ ⎤

⎢ ⎥

= = + + −

⎢ ⎥

⎣ ⎦ A ; 4)

( ) (

2 20 0 1 2

2 0

2 2 eff

E r m v k r

= Ar + −

A ) ; 5) non ; 6) non ; 8) l’une est , l’autre la racine positive et distincte de de l’équation

A0

A0

( )

2 2 2

0 0 0

2 1 0

2 2

mv k r

r

⎛ ⎞⎟ −

⎜ − ⎟+ =

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

A A

; 9) si mv₀² <<kA²₀,

20

max 0

0

2mv

r .

−A ≈ k A

= r ϕ

Eeff

m r E

0 A0 rmax

( )²

1 0

2m r−A n < 3

n > 3 f(r)

r 0

f(r)

r 0

f(r)

r

n = 3, mC² > k

f(r)

r 0

n = 3, mC²< k n = 3, mC²= k

r 0

f(r)

0

IV. A. 1° L_z m ²

; B. 1° E_c =¹₂m(r² +r^{2 2}ϕ +z²) ; 2° E_p =mgz ; 3° constante au cours du temps ; 4°

2 2 2 2

12 ( )

Em = m r +r ϕ +z +mgz ; 5°

2 2 2

2 2

1 2

m 2

a z C

E m g

a z z

⎡ + ⎤

⎢ ⎥

= +

⎢ − ⎥

⎣ ⎦

; C. 2°

( )

2 2 2

0 0

0 0 0

1 2

m 2

C =r ϕ E = m r ϕ + gz ; 5°

2 2

2 1

1 0

0 2 2

1 0 0

2 ( )

0 0

( )( )

g a z

z z

z z a z

− −

ϕ = > ⇒ + < ; 7°

+ −

2 2

0 0

0

( )

C

g z a

v z

= − ; 8°

2 0

2

OE

v ga ; 9°

= − z

V. 1) 1 ( ²

p 2

E = k r−A) ; 2) ^{( )} (

0 02 2 2

, 2

1 2 2

p eff

E r mr v k r

= r + −A) ; 3) ( )

, 0 02 2

3 p eff

dE mr v

dr =− r +k r−A ;

2 2 2

, 0 0

2 4

p eff 3

d E mr v

dr = r +k d E² _{p eff2}^, 3mr v^{0 0}₄^{2 2}

dr = r +k ; 4) _C kr r^{0( 0 )}

v m

= −A

. VI. 1) TG₁

; 3) nulle ; 4) ²

1 c

v m gr

= m ; mouvement circulaire uniforme ; 5) θ garde un signe constant ; 6)

2 2

1 1 2 2 2

1 1

2 2

E = m v + m v +m gr ; 7)

1 0 02 2

, 2 2 2

p eff

m v r

E m gr

= + r ; 8.a)

1 0 02 2

2 3

m r v mr m g

=− + r

; 8.b)

1 2 0 02 2

1 2 3

m m r v

T ; 8.c) non ; 8.d) non ; 9) M

se dirige vers O et M

m m g r

⎛ ⎞⎟

= + ⎜⎜⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎟⎠ ¹

2 descend, tous deux avec la même accélération, soit

2

1 2

x r m g

m m

=− =

+ ; 10) M1 a un mouvement circulaire uniforme et M2 est

immobile ; 11) voir ci-contre ; 12) M1 tourne autour de O, toujours dans le même sens, sa distance oscillant périodiquement entre un maximum et un minimum ; les valeurs extrêmes de r sont r₀ et

1 0

1 1 8 4

r =αr ⎛⎜⎜⎜⎜⎝ + +α⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠ ; 13)

; 14) voir ci contre ; 15) période temporelle

1 2 0 1 ; 0 2 ; 4 ; 1 2, 732

m =m =g =r = v = α= r =

0 1 2

0 1

2

3

r m m

v m

π +

et angulaire ^{1 2}

1

2 3

m m

m

π + .

r

, p eff

E

0 r_min rmax

E

VII. 1)

2

2 2

p

a a

E U

r r

⎛ ⎞⎟

= ⎜⎜⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎟⎠ ; 2) r est le zéro de et l’abscisse du minimum de E ; 3) P se meut dans le plan fixe passant par O et perpendiculaire à L

=a F r( ) _p( )r

G

; L =mrv_θ =mr²θ ; 4)

2 2

12 a2 2a

E mv U

r r

⎛ ⎞⎟

= + ⎜⎜⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎟⎠ ; 5)

2

, 2

3 2

p eff 2

a a

E U ;

r r

⎛ ⎞⎟

= ⎜⎜⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎟⎠ 2

E =−U ; 6) positions extrêmes r_M = 3a r_m =a. 0 x y

VIII. 4) L’électron tourne dans le sens des aiguilles d’une montre ; 5) ^{, ( ) 2 2}

(

²

)

^{2 2}

8 4 0

p eff

e B a e

E r ; 6)

négatif et positif ; 7) ; r racine de E r .

m r r r

= − −

πε

E a

max =

r =a _{min p eff,} ^{( )} _{p eff,} ^{( )}

Corrigé

I.

1. Moment cinétique.

a – OMJJJJG= ρe^→_ρ+z e^→z

; 2

. d de _z . _z

v dOM e z e v e e

dt dt d a

•

• → ρ → • → → e→

ρ ϕ ρ ϕ ρ ρ

= =ρ +ρ + ⇒ =ρ +ρϕ +

ϕ

→ JJJJG G

G .

b –

3

2

2 2

0 2

O

a

OM m v m m

a

a a

•

•

→ • •

• •

−ρ ϕ ρ ρ

σ = ∧ = ∧ ρ ϕ = −ρ ρ .

ρ ρ ρ ρ ϕ

JJJJG

G ₂

z m ^• L

σ = ρ ϕ= .

c – Comme M glisse sans frottement sur le paraboloïde, la réaction du paraboloïde est normale à celui-ci. Il faut donc démontrer que la normale au paraboloïde est dans le plan méridien OHMP.

Comme le paraboloïde est engendré par la rotation d’une courbe (la parabole) autour de l’axe Oz, le plan tangent en M au paraboloïde contient la tangente en M au cercle d’axe Oz passant par M ; eG_ϕ

est donc dans le plan tangent au paraboloïde ; la normale au paraboloïde a une composante nulle sur eG_ϕ

et est dans le plan méridien OHMP.

Un autre raisonnement acceptable consiste à dire que le plan méridien, contenant Oz et le point M considéré, est un plan de symétrie du paraboloïde et contient donc la normale en M au paraboloïde.

Le moment ΓG_O =OMJJJJG∧(mgG+ΡG) de la force totale est un produit vectoriel de deux vecteurs du plan méridien ; il est donc perpendiculaire à ce plan méridien ; sa projection Γ_Oz sur une direction du plan méridien est nulle. Or

Oz Oz

d dt

σ =Γ (l’axe Oz est cartésien) ; donc d ^Oz 0 dt

σ = et σ_Oz =mρ ϕ^{2 •} =L est une constante du mouvement.

2. Energie.

a –

2 2

2 2

2 2

2

4

1 1

2 2 .

Ek mv m

a

• • •

⎛ ⎞⎟

⎜ ρ ρ ⎟

⎜ ⎟

= = ⎜⎜⎜⎜⎝ρ +ρ ϕ + ⎟⎟⎟⎟⎠. Comme L₂ ϕ =m

ρ ,

2 2

2

2 2

4

1 1

2 2

k L

E m

a m

• ⎛⎜ ρ ⎟⎞

= ρ ⎜⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎟⎠+ ρ b – La réaction ne travaille pas. La seule contribution à l’énergie potentielle est celle du poids :

2 p =

E mgz mg

a

= ρ (puisque E O_p( )=0)

c - E_m est constant au cours du temps, la force totale étant conservative.

3. Discussion générale du mouvement.

a – Des expressions ci-dessus, on déduit que l’énergie totale est de la forme 1 ² ,

( ) ( )

m 2 p

E = mG ρ ρ^• +E _ef ρ où

2 2

( ) 1 4

G a

ρ = + ρ et

2 2

, ( ) 2

p ef 2

L mg

E m a

ρ = + ρ

ρ . On remarque que si dans la suite du raisonnement E joue un rôle qualitatif semblable à celui de l’énergie potentielle, ce n’en est pas une, même dans le référentiel radial, puisque

, p ef

2 2

, ,

1 1

( ) ( ) ( )

2 2

m p ef

E = mG ρ ρ^• +E ρ ≠ m^•ρ +E_{p ef} ρ

b –

2 2 14

,

3

2 0

2

p ef m

dE L mg

d m a m

⎛ ⎞

ρ ⎜ ⎟

=− + > ⇔ ρ>ρ =⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟

ρ ρ ⎝ ² ⎠

aL

g , d’où le tableau de variation :

ρ 0 ρm +∞

,

dEp ef

dρ ⁻ 0 +

,

Ep ef +∞ 2 / +∞

c – Comme

2 2

12 2

(1 4 ) 0

m a

ρ + ρ >

ρ =E

E

ρ

,

Ep ef

Em

ρ2

ρ1

0 , le mouvement n’a lieu que dans la région où

. Quel que soit E , le mobile est dans un état lié. Si ρ et sont les racines de E , le mouvement radial est une oscillation périodique entre les deux valeurs ρ et ρ de racines de . Le mobile décrit sur le

,

p ef m

E ≤E _{m 1} ρ₂

, ( )

p ef m

1 2 ρ E_{p ef,} ( )ρ = _m

Mouvements à force centrale, page 8

paraboloïde des festons entre deux cercles de rayons ρ₁ et ρ₂ et d’altitudes z₁ ¹² a

= ρ et

22

z2

a

= ρ . 4. Etude de quelques mouvements particuliers.

a – La trajectoire est un arc de parabole méridienne si ϕ = cste, soit ϕ = 0 ou L =0.

b – La trajectoire de M est un cercle horizontal si et sont constants, soit z ρ

2 14

2 2 m

L a m g

⎛ ⎞⎟

⎜ ⎟

ρ= ρ =⎜⎜⎜⎜⎝ ⎟⎟⎟⎟⎠ . Alors

L = m ρ² ϕ impose

2

2 2

2m g 2g

L L

m a

m L a

ϕ= = =

ρ .

Donc, on doit lancer la particule avec la vitesse ₀ ²g 2

v e gz

a ^ϕ

=ρ =

G

0e_ϕ

G G

d’un point quelconque du paraboloïde.

La constante L est alors définie par la valeur initiale de . ρ c – L’équation de conservation de l’énergie est

2 2

1 ,

2 2

(1 4 ) ( )

m p

E m E

a

= ρ + ρ + _ef ρ

Dérivons par rapport au temps :

2 3 2 2

, ,

2 2 2 2

4 4 4 4

0 (1 ) m dE^{p ef} (1 ) m dE^{p ef}

m m

d d

a a a a

⎡ ⎤

ρ ρ ρ ⎢ ρ ρ ρ ⎥

= ρρ + + +ρ ρ =ρ⎢⎣ ρ + + + ρ ⎥⎦

Eliminons la solution parasite ρ =0 ; il vient 4₂² 4 ₂^{3 ,}

(1 ) m dE^{p ef} 0

m a a d

ρ ρ ρ

ρ + + + =

ρ

Posons et ne retenons dans l’équation précédente que les termes linéaires en ε et ses dérivées successives :

m et

ρ= ρ +ε ⇒ ρ =ε ρ=ε

2 2

,

2 2

(1 4 ^m) d E^{p ef} ( _m) 0

m a d

ε + ρ +ε ρ =

ρ . En effet dE^{p ef,} ( )

d ρ

ρ est nul pour et est donc approximativement égal au produit de par sa dérivée par r apport à ρ, dérivée calculée en . On

reconnaît l’équation d’un oscillateur harmonique de pulsation

ρ=ρm

ρ − ρm ρ=ρ_m

2 ,

4

p ef

+ a

2 2 2

( )

(1 )

m m

d E d m

ρ ρ ω =

ρ .

2 2

2

2 2 2

, ,

, 2 2 4 2 2

2 2

2 2 0

2

3 2 3 2 8

( ) ( )

2

2 (1 4 )

4

2 4

2 (1 )

8 2 2

p ef p ef

p ef m

m

m

d E d E

mg

L L mg L

E m a d m a d L a

m m g

m a a a z

T T

mg g a g

a

ρ = + ρ ⇒ = + ρ = + =

ρ ρ ρ ρ

+ ρ ρ

π +

= = π ⇒ =π + =π

ω

mg mg

a a

Autre manière de faire le calcul

Posons ε = ρ – ρm et développons Ep,ef(ρ) autour de ρm au deuxième ordre en ε. Il vient : Ep,ef(ρ) = Ep,ef(ρm) + ε ^{d ,}

d m

Ep ef ρ=ρ

⎛ ⎞⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟⎟

⎜ ρ

⎝ ⎠ +

2 ,

2 2

1 d

2 d

m

Ep ef ρ=ρ

⎛ ⎞⎟

⎜ ⎟

ε ⎜⎜⎜⎝ ρ ⎟⎟⎟⎠ .

Or ^{d ,} 0

d m

Ep ef ρ=ρ

⎛ ⎞⎟

⎜ ⎟ =

⎜ ⎟⎟

⎜ ρ

⎝ ⎠ et

2 2 ,

2 4

2 3

d d

p ef m g L

E

a m

⎛ ⎞⎟

⎜ ⎟= +

⎜ ⎟

⎜ ⎟⎟

⎜ ρ ρ

⎝ ⎠ , donc

2 ,

2

d 8

d m

p ef m g

E

ρ=ρ a

⎛ ⎞⎟

⎜ ⎟ =

⎜ ⎟

⎜ ⎟⎟

⎜ ρ

⎝ ⎠ .

Puisque G(ρ) = 1 + 4 ²₂ a

ρ = 1 + 4

2 2 m

a

ρ (à l’ordre zéro qui nous intéresse ici), on en déduit l’expression de l’énergie

mécanique Em =

2 2

2 ,

1 4

1 4 ( )

2

m p ef m

m E m g

a a

⎡ ρ ⎤

⎢ ⎥

ε ⎢⎣ + ⎥⎦+ ρ + ε². Sa dérivée par rapport au temps est nulle. Eliminant la

solution parasite ε =0, on obtient :

2 2

8 1

4 0

1 ^m

g a

a

ε+ ε=

+ ρ

qui est l’équation d’un oscillateur harmonique de

pulsation propre ω telle que: ω² = ₂

2

8 1

1 4 ^m

g a

a + ρ

, et donc de période

2 2

2 4

2 1

8 a m

T g a

⎛ ⎞

π ⎜⎜ ρ ⎟⎟

= ω = π ⎜⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎟⎟⎠

d)T =1, 42 s .

e) D’après la question b), la durée d’un tour est

0

2 2

2 T a

v g

′= πρ = π . La trajectoire se referme après un tour si ^T′=^nT où ⁿest un entier, soit

2 2

2 2 a2

4 4 4

2 2 1 1

2 8

m m

a a

g n g a n

⎛ ρ ⎞⎟ ρ

⎜ ⎟

π = π ⎜⎜⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎟⎟⎠⇒ = + .

La seule solution est ⁿ =¹ et

2 2

4 ^m 3

a

ρ = ; d’où ³

m 2 a

ρ = ou z0 = ³4a

5. Dans la pratique, il y a des frottements qui font diminuer l’énergie E = ¹₂mv² +mgz, jusqu’à obtenir sa valeur minimale qui correspond au repos en O.

II. Stabilité d'une orbite circulaire dans un champ de force centrale non newtonien.

1) Soit σG_O =^OPJJJG∧^mvG

le moment cinétique en O. Sa dérivée par rapport au temps est nulle parce que d O

OP F dt

σ = ∧

G JJJG G

et parce que FG

est parallèle à OPJJJG

. Donc σG_O

est constant au cours du mouvement.

Comme OPJJJG

est perpendiculaire à σG_O

, P se meut dans le plan perpendiculaire à σG_O

passant par O.

Repérons P en coordonnées polaires par rapport à O. Alors σO =mr²θ, donc r² C ⁰ m

θ = = σ reste constant au cours du mouvement.

2) La loi fondamentale de la dynamique projetée sur la direction radiale s'écrit ( ²) k_n m r r

− θ =−r

. Or ^C₂

θ =r .

D'où

2

3 n

m r C r r

⎛ ⎞⎟

⎜ − ⎟=−

⎜ ⎟⎟

⎜⎜⎝ ⎠ k

qui est de la forme

2 2

2 ( ) _n 3

d r k C

f r mr

dt = =− + r . f(r)

r 0

f(r)

r 0

f(r)

r

n = 3, mC² > k

f(r)

r 0

n = 3, mC²< k n = 3, mC²= k

r 0

f(r)

0

n > 3 n < 3

3) f r( ) est positif si r^{n 3 k} ₂ mC

− > , soit si n <3 et

1 3 2

k n

r a

mC

⎛ ⎞⎟ −

< =⎜⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠ ou si n >3 et

1 3 2

k n

r a

mC

⎛ ⎞⎟ −

> =⎜⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠ ou si n =3 et mC² =k.

4) L'orbite est circulaire si ^{f r( )}=⁰, soit si ⁿ ≠³ et ^{r =a =}

( )

_mC^{k 2 n−13ou n =3 et mC2 =k.}

5) Si n <3, f r( ) est du signe contraire de r , donc c'est une force de rappel et l'orbite circulaire r est stable : si le mobile s'écarte de O, il est soumis à une force de rappel qui le fait osciller autour de r a.

−a =a

=

Si au contraire n >3, f r( ) est du signe de r , donc c'est une force qui écarte de l'équilibre relatif r et l'orbite circulaire r est instable. Si on s'écarte de cette orbite, on va à l'infini ou à l'origine.

−a =a

=a

Mouvements à force centrale, page 10

Si , la discussion est plus compliquée à comprendre ; si, par exemple, le mobile est sur orbite circulaire et qu'on augmente un peu sa vitesse, on augmente C, donc

3 n =

( )

f r devient positif et le mobile part à l'infini ; si au contraire le mobile est sur orbite circulaire et qu'on diminue un peu sa vitesse, on diminue ^C, donc ^{f r( )} devient négatif et le mobile part vers l'origine.

6) Supposons r =a+ε( )t . Alors r=ε= f r( ) εf a′( ). ₁ 3₄² ₁ 3₄²

( ) nk_n c ( ) nk_n c

f r f a

mr ⁺ r ma ⁺ a

′ = − ⇒ ′ = − , ou

d'après la question 4) ^{a =}

( )

_mC^{k 2 n−13, soit} _m^{k =C a2 n−3. D'où f a′( )=(n −3)C}_a^{42 . Or C =r2θ =a22}_T^{π, donc}

2 2

4

4 C

a T

= π₂ . D'où

2 2

4 (n 3) T

ε = π − ε

.

7) Si n <3, posons ² 4 ₂²

(3 n) T

Ω = π − ; l'équation devient dont

la solution est ; on voit que l'écart à l'orbite circulaire reste petit.

2 0

ε+Ω ε=

cos sin

A t B

ε= Ω + Ωt

Si , on voit que l'équilibre est instable, puisque la force tend à écarter radialement le mobile ; toutefois cette argumentation n'est valable qu'au voisinage de l'orbite.

3 n >

8) Si , la période de l'écart à l'orbite circulaire est aussi la période orbitale.

En effet, l'orbite exacte est alors une ellipse voisine d'un cercle. Dans ce cas, la trajectoire est fermée, alors qu’elle ne l’est pas pour n quelconque.

2 n =

n = 2 n < 3

III.

1) Le palet est soumis à son poids, à la réaction de la table et à la tension du ressort. Les deux premières forces se neutralisent, donc la force totale est la tension du ressort : FG =−k r( − 0)uGr

A .

0 0

dL r F

dt = ∧ =

G G G G

car rG FG

& , donc LG0

est constant.

2) 0 ²d 0

r k m v k0

dt

= θ =

LG m G G

A . 3) Ep =¹2k(r −A0)².

On peut oublier l’énergie potentielle du poids, car elle est constante.

(

¹₂ ²

)

p m ¹₂ ²

d mv =F drG JJG⋅ =−dE ⇒E = mv +E_p

est constant au cours du temps.

( )

²

( )

^{2 ( )2}

2 2

1 1 1

0 0

2 2 2

m dr d

E mv m r k r

dt dt

⎡ θ ⎤

⎢ ⎥

= = + + −

⎢ ⎥

⎣ ⎦ A .

4) D’après la conservation du moment cinétique, r^{d 0 0v} , d’où

dt r θ = A

( )

^{2 ( )}

12

m dr e

Eff r

= dt +

E m , où

( ) ( )

2 20 0 1 2

2 0

2 2 eff

E r m v k r

= Ar + − A .

5) Le palet ne peut aller à l’infini, car E_m ≥E_eff et E ∞ = +∞. Eff

≥ = +∞

( )

eff

6) le palet ne peut passer par l’origine, car E_{m e} et E_eff ^{( )}0 . 7) Le palet tourne autour de l’origine, sa distance à l’origine oscillant périodiquement entre un minimum A0 et un maximum ^r_max. En effet,

( )

20 0

0 eff 0

dE mv

dr A =− <

A , qui montre que la disposition du graphe de ^E est bien celle dessinée ci-dessus.

( )

eff r

=

= A

)

8) A l’instant 0, r , donc E E . Les valeurs extrêmes de r correspondent à , donc à . L’une est , l’autre est la

0 _{m eff} ( ₀)

0

r = E (r)=E (A A

Eeff

0 Em

r A0 rmax

( )²

1 0

2m r−A

O A0

vG0

rmax

x