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Devoirs Vacances d'été 2017 #Révisions #Electronique
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DV5 : Filtres du 2nd ordre
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Eléments de correction
Exercice n°1 : Un filtre à nombres de valeurs réduites
Q1 : Il s'agit d'un simple pont diviseur V Vs R RR
(
2 k)
=Vs⋅1+(
21−k)
−
⋅ +
=
+ soit
k 3 Vs 1 V+= ⋅ − Q2 : En utilisant le théorème de Millmann
( )
ω +
ω +
+
= + ω + +
ω ++
= +
ω 2 RjC
RjC . Vs V Ve R jC
1 R
1
jC . R Vs V R Ve ) j (
VA soit
ω +
ω
− +
= +
ω 2 RjC
RjC . k Vs 3 Ve Vs ) j ( VA
Q3 : Il s'agit d'un simple filtre passe bas donc
ω
⋅ +
=
+ 1 jRC
VA 1
V soit
ω
⋅ +
− = 1 jRC VA 1
k 3
Vs Q4 : En reprenant les 2 équations précédentes on peut établir que :
(
+ ω)
= = + −+ + ω ω− ⋅ 2 RjC
RjC . k Vs 3 Ve Vs VA jRC
k 1 3
Vs soit
( )( )
+ ω+ −
= ω + ω +
− ⋅ Vs.RjC
k 3 Ve Vs RjC 2 jRC k 1
3 Vs
donc 3Vs−k⋅
(
2+3jRCω+(
jRCω)
2)
=Ve+3Vs−k +Vs.RjCω soit 3Vs−k⋅(
2+3jRCω+(
jRCω)
2)
−3Vs−k−Vs.RjCω=Ve( )
(
2 3jRC jRC 1 (3 k).jRC)
Vek 3
Vs ⋅ + ω+ ω2− − − ω =
− soit Vs⋅
(
1+kjRCω+(
jRCω)
2)
=Ve⋅(
3−k)
ce qui aboutit à
(
jRC)
2kjRC 1
k 3 Ve
Vs
ω + ω +
= − de la forme
2
o j o m j 2 1
max A )
j ( Ve
) j ( ) Vs j ( T
ω + ω ω
⋅ ω + ω =
= ω
ω qui est la forme
canonique d'un filtre passe bas du 2nd ordre.
Par identification on en déduit l'amplification maximale Amax=3−k Le coefficient d'amortissement
2
m= k et la pulsation propre
RC o= 1 ω
Q5 : Comme on fixe
2
m= 1 alors k= 2. Pour ce coefficient d'amortissement la pulsation propre ωo correspond à la fréquence de coupure ωc. Dans ce cas on obtient une réponse fréquentielle la plus plate possible dans la bande passante (réponse de Butterworth).
Q6 : On propose R=4,7kΩ et C=6,8nF . La résistance dont l'expression est R(2-k) prend la valeur 2,75kΩ soit 2,7kΩ dans la série E12.
La simulation permet de vérifier que l'on passe bien à fo=5kHz à -90°. Par ailleurs le gain est de 1dB soit 3dB de moins que le gain max du montage qui est donné par la relation 20.log(3-k)
L'atténuation à 50kHz est bien de -36dB soit 4dB-40dB car il y a une décade entre 50kHz et 5kHz et comme il s'agit d'un filtre passe bas d'ordre 2 la pente est bien de -40dB/dec
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Exercice n°2 : Un filtre audio pour tweeter
Q1 : Si l'on désigne par Zeq l'impédance équivalent constitué par L & R en // alors
ω +
ω
= ⋅ jL R
jL Zeq R
Dans ces conditions la fonction de transfert peut s'écrire sous la forme :
+ ω ω =
= ω ω
jC Zeq 1
Zeq )
j ( Va
) j ( ) Vh j ( T
en remplaçant l'expression de Zeq il vient :
ω + + ω
⋅ ω
⋅
ω
⋅ ω
= ⋅ + ω ω +
ω
⋅ + ω ω
⋅
=
ω R jL jC R jL
jC jL R jC
1 jL R
jL R
jL R
jL R )
j ( T
soit
( )
( )
22
j R LC 1 jL
j ) LC
j ( T
ω ω+
+
= ω ω
Q2/Q3 : On peut écrire la fonction de transfert sous la forme canonique d’un filtre passe haut du 2nd ordre tel
que 2
2
o j o m j 2 1
o j )
j ( T
ωω +
ωω
⋅ +
ω
ω
=
ω Par identification on en déduit que
LC o= 1
ω et
C L R 2
1 R 2
o m= Lω = ⋅
Q4: Des équations précédentes on peut écrire que
fo m . L R
⋅
= π avec fo=fc=3kHz car m=0,707 Par ailleurs
(
2 fo)
2L C 1
π
= ⋅ donc on en déduit L=300µH et C=9,38µF
