Séries de Fourier
Problématique: Approximation d’une fonction T-périodique par une série de fonctions trigonométriques (les harmoniques) dont les périodes sont multiples de T et les amplitudes sont les coefficients de cette série (série de Fourier).
I) Calcul des coefficients de Fourier et de la série de Fourier, associés à une fonction périodique II) Conditions (Dirichlet) pour la convergence de la série de Fourier vers la fonction associée Définition Série trigonométrique
Soit et deux suites de nombres réels. On appelle série trigonométrique toute série de fonctions de la forme :
( ) a
n n≥0( ) b
n n≥0( )
∑
≥+
0
) sin(
) cos(
n
n
n
nt b nt
a
.Théorème: Si la série trigonométrique
∑ ( )
≥
+ +
1
0
cos( ) sin( )
n
n
n
nt b nt
a
a
converge uniformément à unefonction f sur
[ − π , π ]
, alors les coefficients de la série s’expriment en fonction de f par :−
∫
=
ππ
πf t dt
a ( )
2 1
0 ;
∫
−
=
ππ
πf t nt dt
a
n1 ( ) cos( )
et
∫
−
=
ππ
πf t nt dt
b
n1 ( ) sin( )
.
Définition: Si f est une fonction 2π-périodique, intégrable, on définit:
• Les coefficients de Fourier de f:
−
∫
=
ππ
πf t dt
a
f( )
2 1
0 = la moyenne de f sur
[ − π , π ]
−
∫
=
ππ
πf t nt dt
a
nf1 ( ) cos( )
et
∫
−
=
ππ
πf t nt dt
fn
1 ( ) sin( )
b
= coefficients des harmoniques d’ordre n• La série de Fourier de f :
∑ ( )
≥
+ +
1
0
cos( ) sin( )
n
f n f
n
f
a nt b nt
a
Exemple 1) Soit
[ [
⎩ [
⎨ ⎧
∈
−
= ∈
π π π , 2 [
1
, 0 ) 1
( si t
t t si
f
, une fonction 2π-périodique (fonction créneau).Calculer les coefficients de Fourier et écrire la série de Fourier associée à f.
-2p -p p 2p 3p
-1.0 -0.5 0.5
• Les coefficients de Fourier de f : 1.0
0
= 0
a
,a
n= 0
,∀ n ∈ N
et2 ( 1 cos( π ) )
π n
b
n= n −
• La série de Fourier de f :
( )
∑
∑
≥ ≥+
= +
+ +
00
2 1
) 1 2 ( sin ) 4
) 1 2 sin((
) 1 2 (
4
n
n
k
t t k
k π k π
Théorème : Si f est une fonction périodique de période T, intégrable. Alors
T
ω = 2 π
= la pulsation et• les coefficients de Fourier de f sont:
∫
∫
+−
=
=
a Ta T
T
f
f t dt
dt T t T f
a 1 ( )
) 1
/2(
2 /
0 = la moyenne de f sur une période T
∫
∫
+−
=
=
a Ta T
T f
n
f t n t dt
dt T t n t T f
a 2 ( ) cos( )
) cos(
) 2
/2(
2 /
ω
ω
et∫ ∫
+−
=
=
a Ta T
T f
n
f t n t dt
dt T t n t
T f
b 2 ( ) sin( )
) sin(
) 2
/2(
2 /
ω
ω
• la série de Fourier de f :
∑ ( )
≥
+ +
1
0
cos( t ) sin( t )
n
f n f
n
f
a n b n
a ω ω
.Exemple 2) Soit
f ( t ) = t , si t ∈ [ [ 0 , π
, une fonction périodique de période π (pulsationπ
ω = 2 π
=2).Calculer les coefficients de Fourier et écrire la série de Fourier associée à f.
• On utilise la propriété des fonctions T-périodiques:
∫ ∫
+−
=
a Ta T
T
dt t f dt t
f ( ) ( )
2 /
2 /
• Les coefficients de Fourier de f :
0
2
= π a
,-3p -2p -p p 2p 3p
-3 -2 -1 1 2 3
= 0
a
n ,∀ n ∈ N
*etn n
b
nn 1
) 2
1 cos( = −
−
= π
,∀ n ∈ N
*• La série de Fourier de f :
∑
≥
−
1
) t sin(
2
nn
n ω
π
.Théorème : a) Si f est une fonction paire, périodique de période T, alors:
• Tous les coefficients de Fourier
b
nf sont nuls (f est développable en série de cosinus)•
= ∫
/20
0f
2
T( )
dt t T f
a
et= ∫
/20
) t cos(
) 4
T(
f
n
f t n dt
a T ω
b) Si f est une fonction impaire, de période T, on dit que f est développable en série de sinus et:
• Tous les coefficients de Fourier
a
nf sont nuls•
= ∫
/20
) t sin(
) 4
T(
f
n
f t n dt
b T ω
Remarque : Les propriétés de parité simplifient le calcul des coefficients De Fourier, car la moitié d’entre eux sont nuls et on intègre seulement sur une moitié de période, avec la propriété :
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
∫
−
∫
a a
a f t dt si f paire
impaire f
si dt
t f
0
) ( 2
0 )
( .
A B
O C
-2 -1 1 2
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Exemple 3) Soit
[ [
, une fonction paire et périodique de période T=4.⎩ [
⎨ ⎧
∈
−
= ∈
2 , 1 2
1 , 0 ) 1
( t si t
t t si
f ]
a) Représenter la fonction f sur l’intervalle [-2,2].
b) Calculer les coefficients de Fourier de f.
c) On note
∑ ( )
=
+ +
=
21
0
cos( ) sin( )
) (
n
n
n
n t b n t
a a
t ω ω
ϕ
la série de Fourier associée à f, à l’ordre 2.
Représenter la fonction
ϕ
sur l’intervalle [-2,2].Dém : Comme f est paire, tous les coefficients
b
nf sont nuls.4 ) 3 2 (
) 1 4 (
1
20 2
2
0
= ∫ = ∫ =
−
dt t f dt
t f
a
f = l’aire sous le graphique =l’aire du trapèze OABC.
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ ⎟ −
⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛
= ∫ ∫ ∫
−
−
) 2 cos(
4 cos cos 2
) 2 (
cos ) 2 (
) 1 cos(
) 4 (
2
2 2 2
0 2
2 2
2
π π π
π
ω π n n
dt n n t
t f dt n t t
f dt
t n t
f a
nfDonc :
1 2
4
= π
a
et2 2
