Commentaires sur le chapitre 6 du Perthame kinetic formulation of conservation laws

Commentaires sur le chapitre 6 du Perthame

Le schéma d’Enquist-Osher a selon Perthame la structure cinétique la plus simple, Ce schéma fait partie d’un ensemble de schémas appelés E-schémas ou flux E-discrets. Le schéma d’Enquist-Osher consiste à approcher le flux exact 𝐴 (𝑢 (𝑡, 𝑥_𝑖+1

2)) à la frontière des cellules 𝐶𝑖 et 𝐶𝑖+1 par un flux numérique 𝐴_𝑖+1

2(𝑡) = 𝒜(𝑣𝑖(𝑡), 𝑣𝑖+1(𝑡)) Où 𝑣_𝑖(𝑡) est la solution du schéma numérique et 𝒜, la fonction définie par

𝒜(𝑢, 𝑣) = ∫ 𝑎+(𝜉)𝜒(𝜉, 𝑢)𝑑𝜉 ℝ − ∫ 𝑎−(𝜉)𝜒(𝜉, 𝑣)𝑑𝜉 ℝ avec 𝑎₊(𝜉) = max(0, 𝑎(𝜉)) , 𝑎−(𝜉) = −min⁡(0, 𝑎(𝜉))

et (cf p46 pour les propriétés de 𝜉)

𝜒(𝜉, 𝑢) = {−1⁡𝑠𝑖⁡𝑢 < 𝜉 < 01⁡𝑠𝑖⁡0 < 𝜉 < 𝑢 0⁡⁡𝑠𝑖𝑛𝑜𝑛 Il dit que le schéma est consistent car 𝒜(𝑢, 𝑢) = 𝐴(𝑢) En effet : 𝒜(𝑢, 𝑢) = ∫ 𝑎+(𝜉)𝜒(𝜉, 𝑢)𝑑𝜉 ℝ − ∫ 𝑎−(𝜉)𝜒(𝜉, 𝑢)𝑑𝜉 ℝ = ∫ (𝑎+(𝜉) − 𝑎−(𝜉))𝜒(𝜉, 𝑢)𝑑𝜉 ℝ = ∫ 𝑎(𝜉)𝜒(𝜉, 𝑢)𝑑𝜉 ℝ = 𝐴(𝑢) − 𝐴(0) = 𝐴(𝑢) selon le cours de chi-wang shu, le schéma se définit par

𝒜(𝑢, 𝑣) = ∫ max(𝑎(𝜉), 0) 𝑑𝜉𝑢

0

+ 𝐴(0) + ∫ min(𝑎(𝜉), 0) 𝑑𝜉𝑣

0

ce qui est bien la même chose car Perthame a supposé 𝐴(0) = 0 selon J Vovelle ou P Joly, le schéma se définit par

𝒜(𝑢, 𝑣) =1

2(𝐴(𝑢) + 𝐴(𝑣) − ∫ |𝑎(𝜉)|𝑑𝜉

𝑣 𝑢

)

l’équivalence des définitions est facilement vérifié en utilisant les égalités : max(𝑎(𝜉), 0) =𝑎(𝜉) + |𝑎(𝜉)|

2 et

min(𝑎(𝜉), 0) =𝑎(𝜉) − |𝑎(𝜉)| 2

Remarque : schéma décentré amont (upwind scheme) signifie qu’on privilégie

l’information venant de l’amont par rapport à celle de l’aval. Sur une droite graduée, si un flux va des négatifs vers les positifs (vitesse de propagation c positive), alors on approchera la dérivée en un point par sa valeur légèrement à gauche sur la droite

graduée. Si la propagation du flux c est négative (le flux va de la droite vers la gauche sur la droite graduée), alors on approchera la dérivée en un point par sa valeur légèrement à droite sur la droite graduée.

Le flux numérique est défini par 𝐴_𝑖+1 2(𝑡) = 𝒜(𝑣𝑖(𝑡), 𝑣𝑖+1(𝑡)) = ∫ max(𝑎(𝜉), 0) 𝑑𝜉 𝑣𝑖(𝑡) 0 + 𝐴(0) + ∫ min(𝑎(𝜉), 0) 𝑑𝜉 𝑣𝑖+1(𝑡) 0

c’est à dire qu’il est égal à

∫ max(𝑎(𝜉), 0) 𝑑𝜉

𝑣𝑖(𝑡)

0

+ 𝐴(0) si le flux va de la gauche vers la droite (i.e. si 𝑎(𝜉) ≥ 0), et égal à

𝐴(0) + ∫ min(𝑎(𝜉), 0) 𝑑𝜉

𝑣𝑖+1(𝑡)

0

si le flux va de la droite vers la gauche (i.e. si 𝑎(𝜉) ≤ 0). Il est bien décentré amont.

Réécrivons maintenant la formulation cinétique en continu, et essayons de comprendre la formulation cinétique de Engquist-Osher en discret.

En continu : 𝜕

𝜕𝑡𝜒(𝜉, 𝑢(𝑡, 𝑥)) + 𝑎(𝜉). 𝛻𝑥𝜒(𝜉, 𝑢(𝑡, 𝑥)) = 𝜕

𝜕𝜉𝑚(𝑡, 𝑥, 𝜉)⁡⁡⁡⁡𝑐𝑓⁡𝑝60 Si j’intègre sur la cellule 𝐶_𝑖 = [𝑥_𝑖−1

2; 𝑥𝑖+ 1

2[ (de longueur ℎ𝑖) et que j’approche 𝑢(𝑡, 𝑥) par 𝑣𝑖(𝑡) et 𝑚(𝑡, 𝑥, 𝜉) par 𝑚𝑖(𝑡, 𝜉) sur 𝐶𝑖, j’obtiens

ℎ_𝑖 𝜕 𝜕𝑡𝜒(𝜉, 𝑣𝑖(𝑡)⁡) + 𝑎(𝜉) (𝜒 (𝜉, 𝑢 (𝑡, 𝑥𝑖+1₂)) − 𝜒 (𝜉, 𝑢 (𝑡, 𝑥𝑖−1₂))) = ℎ𝑖 𝜕 𝜕𝜉𝑚𝑖(𝑡, 𝜉) Pour approcher 𝑎(𝜉) (𝜒 (𝜉, 𝑢 (𝑡, 𝑥_𝑖+1 2)) − 𝜒 (𝜉, 𝑢 (𝑡, 𝑥𝑖−12)))

en utilisant le flux numérique d’Engquist-Osher, il suffit d’intégrer sur ℝ𝜉 et d’utiliser la

propriété p46 pour obtenir 𝐴 (𝑢 (𝑡, 𝑥_𝑖+1 2)) − 𝐴(0) − (𝐴 (𝑢 (𝑡, 𝑥𝑖−12)) − 𝐴(0)) = 𝐴 (𝑢 (𝑡, 𝑥𝑖+12)) − 𝐴 (𝑢 (𝑡, 𝑥𝑖−12)) ≈ 𝐴_𝑖+1 2(𝑡) − 𝐴𝑖−12(𝑡) = 𝒜(𝑣𝑖(𝑡), 𝑣𝑖+1(𝑡)) − 𝒜(𝑣𝑖−1(𝑡), 𝑣𝑖(𝑡)) = ∫ 𝑎₊(𝜉)𝜒(𝜉, 𝑣_𝑖(𝑡))𝑑𝜉 ℝ − ∫ 𝑎₋(𝜉)𝜒(𝜉, 𝑣_𝑖+1(𝑡))𝑑𝜉 ℝ − (∫ 𝑎+(𝜉)𝜒(𝜉, 𝑣𝑖−1(𝑡))𝑑𝜉 ℝ − ∫ 𝑎−(𝜉)𝜒(𝜉, 𝑣𝑖(𝑡))𝑑𝜉 ℝ ) d’où la formulation cinétique semi-discrète d’Engquist-Osher :

ℎ𝑖 𝜕 𝜕𝑡𝜒(𝜉, 𝑣𝑖(𝑡)⁡) + 𝑎+(𝜉)𝜒(𝜉, 𝑣𝑖(𝑡)) − 𝑎−(𝜉)𝜒(𝜉, 𝑣𝑖+1(𝑡)) − (𝑎+(𝜉)𝜒(𝜉, 𝑣𝑖−1(𝑡)) − 𝑎−(𝜉)𝜒(𝜉, 𝑣𝑖(𝑡))) = ℎ𝑖 𝜕 𝜕𝜉𝑚𝑖(𝑡, 𝜉) Remarque :

L’enveloppe convexe de (𝑢𝑖(𝑡), 𝑢𝑖+1(𝑡), 𝑢𝑖−1(𝑡)) est (je suppose) le plus petit segment ou

intervalle de ℝ contenant ces trois nombres. Autre remarque :

𝑎(𝜉). 𝛻𝑥𝜒(𝜉, 𝑢(𝑡, 𝑥)) = 𝑎(𝜉)𝜕𝑥𝜒(𝜉, 𝑢(𝑡, 𝑥)) = (𝑎+(𝜉) − 𝑎−(𝜉))⁡𝜕𝑥𝜒(𝜉, 𝑢(𝑡, 𝑥))

= 𝑎₊(𝜉)𝜕_𝑥𝜒(𝜉, 𝑢(𝑡, 𝑥))−𝑎₋(𝜉)𝜕_𝑥𝜒(𝜉, 𝑢(𝑡, 𝑥)) et que je discrétise en décentré amont, j’obtiens bien

𝑎₊(𝜉)_ℎ1 𝑖(𝜒(𝜉, 𝑣𝑖(𝑡)) − 𝜒(𝜉, 𝑣𝑖−1(𝑡))) − 𝑎−(𝜉) 1 ℎ_𝑖(𝜒(𝜉, 𝑣𝑖+1(𝑡)) − 𝜒(𝜉, 𝑣𝑖(𝑡))) Dernière remarque : 𝐴±(𝑢) = ∫ 𝑎±(𝜉)𝑑𝜉 𝑢 0

donc 𝐴_± est croissante donc 𝑚_±≥ 0. Plus exactement, 𝑚₋ est croissante en 𝜉 et 𝑚₊ est décroissante en 𝜉, or

𝑚_𝑖 = 𝑚₊+ 𝑚₋ = 𝑚_ − (−𝑚₊)

𝑚𝑖 est donc la différence entre deux fonctions croissantes, elle est donc à variations

bornées, c’est donc aussi une mesure signée d’où la cohérence dans l’appelation « discrete kinetic entropy defect mesure »

De la même manière que le flux 𝐴 est associé à la densité 𝑢(𝑥, 𝑡), le flux d’entropie 𝜂 est associé à l’entropie 𝑆, donc on doit aussi avoir un flux d’entropie numérique pour l’inégalité entropique discrète, ayant le même type de propriétés que le flux discret 𝒜 (consistence,….).

Dans la mesure où 𝜂′ _{= 𝑎𝑆′, et que la formulation entropique discrétise 𝐴′(𝑢) en}

(𝐴_𝑖+1 2− 𝐴𝑖− 1 2) /ℎ𝑖⁡ avec 𝐴𝑖+ 1 2(𝑡) = 𝒜(𝑣𝑖(𝑡), 𝑣𝑖+1(𝑡)) et 𝒜(𝑢, 𝑣) = ∫ 𝑎ℝ +(𝜉)𝜒(𝜉, 𝑢)𝑑𝜉− ∫ 𝑎_ℝ −(𝜉)𝜒(𝜉, 𝑣)𝑑𝜉, il est naturel de discrétiser 𝜂′(𝑢) en (𝜂_𝑖+1

2 𝑆 _{− 𝜂} 𝑖−1₂ 𝑆 _{) /ℎ} 𝑖 avec 𝜂_𝑖+1 2 𝑆 _{(𝑡) =} 𝜂𝑆_(𝑣 𝑖(𝑡), 𝑣𝑖+1(𝑡)) et 𝜂𝑆(𝑢, 𝑣) = ∫ 𝑆′(𝜉)𝑎_ℝ +(𝜉)𝜒(𝜉, 𝑢)𝑑𝜉− ∫ 𝑆′(𝜉)𝑎_ℝ −(𝜉)𝜒(𝜉, 𝑣)𝑑𝜉

Pour prouver que le théorème 6.2.1 implique le corollaire 6.2.2, comme indiqué par Perthame, on multiplie l’égalité (6.2.5) par 𝑆′(𝜉) puis on intègre sur ℝ_𝜉 :

Il faut écrire l’égalité au sens faible pour que ça ait un sens, c’est à dire avec des

fonctions test de la forme 𝜓′_{(𝜉)𝜑(𝑡, 𝑥) où 𝜓 est 𝐶}2 _{et 𝜑 à support compact (cf p 60, 61)}

∫ 𝑆′_(𝜉)ℎ 𝑖 𝜕 𝜕𝑡𝜒(𝜉, 𝑣𝑖(𝑡))𝑑𝜉 ℝ + ∫ 𝑆′_{(𝜉) (𝑎} +(𝜉)𝜒(𝜉, 𝑣𝑖(𝑡)) − 𝑎−(𝜉)𝜒(𝜉, 𝑣𝑖+1(𝑡))) 𝑑𝜉 ℝ − ∫ 𝑆′_{(𝜉) (𝑎} +(𝜉)𝜒(𝜉, 𝑣𝑖−1(𝑡)) − 𝑎−(𝜉)𝜒(𝜉, 𝑣𝑖(𝑡))) 𝑑𝜉 ℝ = ∫ ℎ_𝑖𝑆′_(𝜉) 𝜕 𝜕𝜉𝑚𝑖(𝑡, 𝜉)𝑑𝜉 ℝ c’est à dire ℎ_𝑖∫ 𝑆′_(𝜉) 𝜕 𝜕𝑡𝜒(𝜉, 𝑣𝑖(𝑡))𝑑𝜉 ℝ + η i+1₂ S _{− η} i−1₂ S _{= − ∫ ℎ} 𝑖𝑆′′(𝜉)𝑚𝑖(𝑡, 𝜉)𝑑𝜉 ℝ ≤ 0 et donc ℎ_𝑖 𝜕 𝜕𝑡∫ 𝑆_ℝ ′(𝜉)𝜒(𝜉, 𝑣𝑖(𝑡))𝑑𝜉+ ηi+1₂ S _{− η} i−1₂ S _{≤ 0⁡grâce⁡à⁡(∗)}

ℎ𝑖 𝜕 𝜕𝑡(𝑆(𝑣𝑖(𝑡)) − 𝑆(0)) + ηi+1₂ S _{− η} i−1₂ S _{≤ 0} soit ℎ𝑖 𝜕 𝜕𝑡𝑆(𝑣𝑖(𝑡)) + ηi+1₂ S _{− η} i−1₂ S _{≤ 0}

Remarque : lorsque 𝑆 est 𝐶1_{, cette inégalité est vraie au sens classique.}

Remarques :

Le cours de Filbert dit que le schéma semi-discret 6.2.1 – 6.2.4 admet une unique solution vérifiant 𝑣𝑖 ∈ 𝐶1(ℝ+)⁡∀𝑖 ∈ ℤ et 𝑣 ∈ 𝐶(ℝ+, 𝑙1(ℤ)), il dit que pour le montrer il

faut utiliser une méthode de type Cauchy-Lipschitz ou par troncature.

𝜕

𝜕𝑡𝜒(𝜉, 𝑣𝑖(𝑡)) est forcément une dérivée faible. D’ailleurs, au sens faible

𝜕₂𝜒(𝜉, 𝑢) = {𝛿{𝜉}⁡(𝑚𝑎𝑠𝑠𝑒⁡𝑑𝑒⁡𝑑𝑖𝑟𝑎𝑐⁡𝑑𝑢⁡𝑠𝑖𝑛𝑔𝑙𝑒𝑡𝑜𝑛⁡𝜉 ≠ 0) 0⁡𝑠𝑖⁡𝜉 = 0 𝜕 𝜕𝑡𝜒(𝜉, 𝑣𝑖(𝑡)) = 𝛿(𝜉 − 𝑣𝑖(𝑡)) × 𝑑 𝑑𝑡𝑣𝑖(𝑡) = 𝛿𝑣_𝑖(𝑡)(𝜉) × 𝑑 𝑑𝑡𝑣𝑖(𝑡)⁡"𝑒𝑛⁡𝑖𝑛𝑡é𝑔𝑟𝑎𝑛𝑡⁡𝑝𝑎𝑟⁡𝑟𝑎𝑝𝑝𝑜𝑟𝑡⁡à⁡𝜉𝑒𝑛⁡𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖𝑒𝑟" = ⁡𝑑𝑡. 𝑣_𝑖′_(𝑡)𝛿 𝑣𝑖(𝑡)(. ) où (𝑡, 𝐵) ↦ 𝑣_𝑖′_(𝑡)𝛿 𝑣𝑖(𝑡)(𝐵)

est définie ∀(𝑡, 𝐵) ∈ ]0; +∞[ × ℬ(ℝ) et est telle que 𝐵 ↦ 𝑣_𝑖′(𝑡)𝛿𝑣𝑖(𝑡)(𝐵) est une mesure

signée, et 𝑡 ↦ 𝑣_𝑖′_(𝑡)𝛿 𝑣𝑖(𝑡)(𝐵) = 𝑣𝑖 ′_(𝑡)(1 𝐵∘ 𝑣𝑖)(𝑡) est mesurable. Si 𝐴 × 𝐵 ∈ ℬ(]0; +∞[) × ℬ(ℝ), 𝑑𝑡. 𝑣_𝑖′_(𝑡)𝛿 𝑣𝑖(𝑡)(. )(𝐴 × 𝐵) = ∫ 𝑣𝑖 ′_(𝑡)𝛿 𝑣𝑖(𝑡)(𝐵) 𝐴 𝑑𝑡 se

prolonge en une mesure encore notée 𝑑𝑡. 𝑣_𝑖′_(𝑡)𝛿

𝑣_𝑖(𝑡)(. )

Remarques : 𝑑𝑡. 𝛿_{𝑣𝑖(𝑡)}(. ) est la mesure de Young associée à 𝑣𝑖.

Cf Ouvrard p 139 à 142 pour les notations et le théorème de Fubini généralisé : En effet :

Prenons une fonction test (𝑡, 𝜉) ↦ 𝜑(𝑡)𝜓(𝜉) où 𝜑 ∈ 𝒟(ℝ_𝑡) et 𝜓 ∈ 𝒟(ℝ_𝜉⁡) < 𝜕_𝑡𝜒(𝜉, 𝑣_𝑖(𝑡)), 𝜑(𝑡)𝜓(𝜉) >⁡= − ∫ 𝜒(𝜉, 𝑣_𝑖(𝑡))𝜑_𝑡(𝑡)𝜓(𝜉) ℝ2 𝑑𝑡𝑑𝜉 = − ∫ ∫ 𝜒(𝜉, 𝑣𝑖(𝑡))𝜓(𝜉)𝑑𝜉 ℝ 𝜑𝑡(𝑡)𝑑𝑡 ℝ = − ∫ ∫ 𝜓(𝜁)𝑑𝜁 𝑣𝑖(𝑡) 0 ℝ 𝜑𝑡(𝑡)𝑑𝑡 = − [∫ 𝜓(𝜁)𝑑𝜁 𝑣𝑖(𝑡) 0 × 𝜑(𝑡)] −∞ +∞ + ∫ 𝜓(𝑣𝑖(𝑡)) × 𝑣𝑖′(𝑡) ℝ × 𝜑(𝑡)𝑑𝑡 = 0 + ∫ 𝑣_𝑖′(𝑡) ℝ × 𝜑(𝑡) ∫ 𝜓(𝜉)𝛿_{𝑣𝑖(𝑡)}(𝑑𝜉) ℝ 𝑑𝑡

Un argument de densité doit montrer que c’est vrai pour toutes les fonctions test (𝑡, 𝜉) ↦ 𝜑(𝑡, 𝜉)

Remarques importantes sur cette petite démo : a) Le lemme 2.1.1 p46⁡

∫ 𝑆′_{(𝜉)𝜒(𝜉, 𝑢)𝑑𝜉} ℝ

= 𝑆(𝑢) − 𝑆(0) s’écrit en particulier pour toute fonction 𝜓 ∈ 𝐿∞_{𝑙𝑜𝑐(ℝ) :}

∫ 𝜓(𝜉)𝜒(𝜉, 𝑢)𝑑𝜉

ℝ

= ∫ 𝜓(𝜁)𝑑𝜁𝑢

0

b) Pour faire une dérivée partielle classique de (𝑡, 𝑥) ↦ 𝑓(𝑡, 𝑥), on fixe une variable et on dérive par rapport à l’autre. Ce n’est pas vrai en général pour les dérivée partielles faibles, pour le voir, il n’y a qu’à dériver faiblement 𝜒(𝜉, 𝑣(𝑡)) par rapport à 𝑡 en fixant 𝜉 > 0 avec 𝑣 ∈ 𝐶1_{(ℝ), strictement croissante, telle que 𝑣(ℝ) = ℝ, on trouve}

𝜕𝑡𝜒(𝜉, 𝑣(𝑡)) = 𝛿𝑣−1_(𝜉)

c) L’argument de densité est le suivant (cf Droniou p 68):

Soit 𝜑 ∶ ℝ2 _{→ ℝ⁡infiniment différentiable et à support compact, telle que 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝜑) ⊂ 𝑉}

où 𝑉 est un ouvert de ℝ2_{. Soient 𝜑}

1𝑛,𝑗 ∈ 𝒟(ℝ𝑡) et 𝜑2𝑛,𝑗 ∈ 𝒟(ℝ𝜉⁡) telles que

𝛩𝑛(𝑡, 𝜉) = ∑ 𝜑1𝑛,𝑗(𝑡)𝜑2𝑛,𝑗(𝜉) 𝑛

𝑗=1

𝛩𝑛 a son support dans le compact 𝐾 ⊂ 𝑉, 𝜕𝛼𝛩𝑛 tend uniformément vers 𝜕𝛼𝜑 dans 𝑉 quel

que soit 𝛼 ∈ ℕ2 alors ∀𝑗 ∈ {1, . . , 𝑛} : − ∫ 𝜒(𝜉, 𝑣_𝑖(𝑡))(𝜑₁𝑛,𝑗)′(𝑡)𝜑₂𝑛,𝑗(𝜉) ℝ2 𝑑𝑡𝑑𝜉 = ∫ 𝑣_ℝ 𝑖′(𝑡)× 𝜑1 𝑛,𝑗_{(𝑡) ∫ 𝜑} 2𝑛,𝑗(𝜉)𝛿𝑣𝑖(𝑡)(𝑑𝜉) ℝ 𝑑𝑡 et par linéarité − ∫ 𝜒(𝜉, 𝑣_𝑖(𝑡))𝜕𝑡𝛩𝑛(𝑡, 𝜉) ℝ2 𝑑𝑡𝑑𝜉 = ∫ ∫ 𝑣_{ℝ ℝ} 𝑖′(𝑡)𝛩𝑛(𝑡, 𝜉)𝛿𝑣𝑖(𝑡)(𝑑𝜉)𝑑𝑡 en faisant tendre 𝑛 vers l’infini, on obtient

− ∫ 𝜒(𝜉, 𝑣𝑖(𝑡))𝜕𝑡𝜑(𝑡, 𝜉) ℝ2 𝑑𝑡𝑑𝜉 = ∫ ∫ 𝑣𝑖 ′_{(𝑡)𝜑(𝑡, 𝜉)𝛿} 𝑣𝑖(𝑡)(𝑑𝜉) ℝ ℝ 𝑑𝑡 d) La démonstration marche encore si la fonction test (𝑡, 𝜉) ↦ 𝜑(𝑡)𝜓(𝜉) où 𝜑 ∈ 𝒟(]0; +∞[) et 𝜓 ∈ 𝒟(ℝ𝜉⁡) < 𝜕_𝑡𝜒(𝜉, 𝑣_𝑖(𝑡)), 𝜑(𝑡)𝜓(𝜉) >⁡= − ∫ 𝜒(𝜉, 𝑣_𝑖(𝑡))𝜑𝑡(𝑡)𝜓(𝜉) ]0;+∞[×ℝ 𝑑𝑡𝑑𝜉 = − ∫ ∫ 𝜒(𝜉, 𝑣_𝑖(𝑡))𝜓(𝜉)𝑑𝜉 ℝ 𝜑_𝑡(𝑡)𝑑𝑡 ]0;+∞[ = − ∫ ∫𝑣𝑖(𝑡)𝜓(𝜁)𝑑𝜁 0 ]0;+∞[ 𝜑_𝑡(𝑡)𝑑𝑡 = − [∫ 𝜓(𝜁)𝑑𝜁 𝑣𝑖(𝑡) 0 × 𝜑(𝑡)] 0 +∞ + ∫ 𝜓(𝑣𝑖(𝑡)) × 𝑣𝑖′(𝑡) ]0;+∞[ × 𝜑(𝑡)𝑑𝑡 = 0 + ∫ 𝑣_𝑖′(𝑡) ]0;+∞[ × 𝜑(𝑡) ∫ 𝜓(𝜉)𝛿_{𝑣𝑖(𝑡)}(𝑑𝜉) ℝ 𝑑𝑡

il est maintenant facile de montrer que ℎ_𝑖∫ 𝑆′_(𝜉) 𝜕

𝜕𝑡𝜒(𝜉, 𝑣𝑖(𝑡))𝑑𝜉

ℝ

= ℎ_𝑖 𝜕

En effet : < 𝜕 𝜕𝑡∫ 𝑆_ℝ ′(𝜉)𝜒(𝜉, 𝑣𝑖(𝑡))𝑑𝜉, 𝜑(𝑡) >= − ∫_]0;+∞[∫ 𝑆_ℝ ′(𝜉)𝜒(𝜉, 𝑣𝑖(𝑡))𝑑𝜉𝜑′(𝑡)𝑑𝑡 = − ∫ ∫ 𝜒(𝜉, 𝑣𝑖(𝑡))𝑆′(𝜉)𝜑′(𝑡)𝑑𝜉 ℝ 𝑑𝑡 ]0;+∞[ = ⁡ ∫ 𝜕 𝜕𝑡𝜒(𝜉, 𝑣𝑖(𝑡)) ]0;+∞[×ℝ 𝑆 ′_{(𝜉)𝜑(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ ∫} 𝑑 𝑑𝑡𝑣𝑖(𝑡) ℝ 𝑆′_(𝜉)𝛿 𝑣𝑖(𝑡)(𝑑𝜉)𝜑(𝑡)𝑑𝑡 ]0;+∞[ = ∫ ∫ 𝜕 𝜕𝑡𝜒(𝜉, 𝑣𝑖(𝑡)) ℝ 𝑆′_{(𝜉)𝑑𝜉𝜑(𝑡)𝑑𝑡} ]0;+∞[

Reprenons maintenant la démonstration du corollaire 6.2.2

Si je prend 𝑆(𝑢) = |𝑢|𝑝 _{pour 𝑝 > 1, que j’intègre entre 0 et 𝑇, et que je somme sur 𝑖}

allant de – 𝑛 à 𝑛 ℎ𝑖 𝜕 𝜕𝑡𝑆(𝑣𝑖(𝑡)) + ηi+1₂ S _{− η} i−1₂ S _{≤ 0}

et que je suppose 𝐶 = min ℎ𝑖 > 0, j’obtiens

𝐶 ∑ |𝑣_𝑖(𝑇)|𝑝 𝑛 𝑖=−𝑛 ≤ ℎ ∑ |𝑣_𝑖(0)|𝑝 𝑛 𝑖=−𝑛 + ∫ −η n+1₂ S _{+ η} −n−1₂ S _𝑑𝑡 𝑇 0 Si je prouve que min 𝑗∈ℤ 𝑣𝑗 0 _{≤ 𝑣} 𝑖(𝑡) ≤ max_𝑗∈ℤ 𝑣𝑗0

ou que j’utilise le fait que 𝑣 ∈ 𝐶(ℝ+_{, 𝑙}1_(ℤ)),

j’ai |𝑣𝑖(𝑡)| ≤ 𝑀⁡⁡∀𝑖 ∈ ℤ⁡𝑒𝑡⁡∀𝑡 ∈ [0⁡; 𝑇] et j’obtiens η i+1₂ S _{≤ ∫ 2|𝑆}𝑀 ′_{(𝜉)𝑎(𝜉)|𝑑𝜉} 0 donc 𝐶 ∑ |𝑣𝑖(𝑇)|𝑝 𝑛 𝑖=−𝑛 ≤ ℎ ∑ |𝑣𝑖(0)|𝑝 𝑛 𝑖=−𝑛 + ∫ 4𝑇|𝑆𝑀 ′_{(𝜉)𝑎(𝜉)|𝑑𝜉} 0

donc (𝑣𝑖(𝑇))_𝑖∈ℤ ∈ 𝑙𝑝⁡⁡∀𝑇⁡, cela voudra dire aussi que lim_𝑖→±∞|𝑣𝑖(𝑇)|𝑝= 0, et donc,

reprenant l’inégalité ℎ𝑖 𝜕 𝜕𝑡𝑆(𝑣𝑖(𝑡)) + ηi+1₂ S _{− η} i−1₂ S _{≤ 0}

en intégrant de 0 à 𝑇, en sommant de – 𝑛 à 𝑛 avec 𝑆(𝑢) = |𝑢|𝑝_{, j’obtiens :}

∑ |𝑣_𝑖(𝑇)|𝑝 𝑛 𝑖=−𝑛 ≤ ∑ |𝑣_𝑖(0)|𝑝 𝑛 𝑖=−𝑛 +1 𝐶∫ −ηn+1₂ S _{+ η} −n−1₂ S _𝑑𝑡 𝑇 0 or η n+1₂ S _{= ∫ 𝑆}′_(𝜉)𝑎 +(𝜉)𝜒(𝜉, 𝑣𝑛(𝑡))𝑑𝜉 ℝ − ∫ 𝑆′_(𝜉)𝑎 −(𝜉)𝜒(𝜉, 𝑣𝑛+1(𝑡))𝑑𝜉 ℝ = ∫ 𝑆′_(𝜉)𝑎 +(𝜉)𝑑𝜉 𝑣𝑛(𝑡) 0 − ∫ 𝑆′_(𝜉)𝑎 −(𝜉)𝑑𝜉 𝑣𝑛+1(𝑡) 0

qui tend vers 0 lorsque 𝑛 → +∞ grâce au théorème de convergence dominée. Maintenant, comme −η_n+1

2

S _{(𝑡) → 0 pour chaque 𝑡 ∈ [0; 𝑇] et que |η} n+1₂ S _{(𝑡)| ≤}

∫ 2|𝑆𝑀 ′_{(𝜉)𝑎(𝜉)|𝑑𝜉}

0 , encore une fois par convergence dominée,

∫ −η n+1₂ S _{(𝑡)𝑑𝑡} 𝑇 0 →_𝑛→∞ 0 de même avec η_−n−1 2 S _(𝑡) et donc ∑ |𝑣_𝑖(𝑇)|𝑝 +∞ 𝑖=−∞ ≤ ∑ |𝑣_𝑖(0)|𝑝 +∞ 𝑖=−∞

pour avoir l’inégalité avec 𝑝 = 1, il suffit d’utiliser la continuité de 𝑝 ↦ ‖𝑥‖𝑙𝑝 et de faire tendre 𝑝 vers 1 dans l’inégalité précédente.

Pour prouver min

𝑗∈ℤ 𝑣𝑗 0 _{≤ 𝑣}

𝑖(𝑡) ≤ max_𝑗∈ℤ 𝑣𝑗0

Perthame conseille d’utiliser les fonctions 𝑆(𝑢) = (𝑢 − 𝐾)₊2_{, la fonction 𝑆(𝑢) = (𝑢 − 𝐾)} +

suffit, je vais choisir 𝐾 = max

𝑗∈ℤ 𝑣𝑗

0_{, étudier le signe de η} i+1₂ S _{− η}

i−1₂

S _{, pour prouver que} 𝜕 𝜕𝑡𝑆 (max𝑖∈ℤ 𝑣𝑖(𝑡)) ≤ 0: On trouve η i+1₂ S _{− η} i−1₂ S _{= ∫ 1} 𝜉≥𝐾𝑎+(𝜉)𝑑𝜉 𝑣𝑖(𝑡) 0 − ∫𝑣𝑖+1(𝑡)1_𝜉≥𝐾𝑎₋(𝜉)𝑑𝜉 0 𝑑𝑡 − (∫𝑣𝑖−1(𝑡)1_𝜉≥𝐾𝑎₊(𝜉)𝑑𝜉 0 − ∫𝑣𝑖(𝑡)1_𝜉≥𝐾𝑎₋(𝜉)𝑑𝜉 0 ) que l’on peut écrire aussi

η i+1₂ S _{− η} i−1₂ S _{= ∫ 1} 𝜉≥𝐾𝑎+(𝜉)𝑑𝜉 𝑣𝑖(𝑡) 𝑣𝑖−1(𝑡) + ∫𝑣𝑖(𝑡) 1_𝜉≥𝐾𝑎₋(𝜉)𝑑𝜉 𝑣𝑖+1(𝑡) 𝑑𝑡 à 𝑡 > 0 fixé, supposons qu’il existe 𝑖 tel que 𝑣_𝑖(𝑡) > 𝐾 sinon on a

η i+1₂ S _{− η} i−1₂ S _{= 0} si max

𝑗∈ℤ 𝑣𝑗(𝑡) est atteint pour un certain 𝑖0 qui vérifie ηi0+1₂

S _{− η} i0−1₂ S _{> 0 et donc} 𝜕 𝜕𝑡𝑆 (max𝑖∈ℤ 𝑣𝑖(𝑡)) = 𝜕 𝜕𝑡𝑆(𝑣𝑖0(𝑡)) < 0

C’est en fait toujours le cas car en me servant du théorème 6.4.2, c’est à dire de la décroissance en 𝑡 de

∑(𝑣_𝑖+1(𝑡) − 𝑣𝑖(𝑡))_± 𝑖∈ℤ

je peux montrer que

∑(𝑣_𝑖+1(𝑡) − 𝑣𝑖(𝑡))_± 𝑖∈ℤ ≤ ∑(𝑣_𝑖+1(0) − 𝑣𝑖0)± 𝑖∈ℤ < +∞ et donc −𝑣𝑁(𝑡) = ∑(𝑣𝑖+1(𝑡) − 𝑣𝑖(𝑡))₊ 𝑖≥𝑁 − ∑(𝑣𝑖+1(𝑡) − 𝑣𝑖(𝑡))₋ 𝑖≥𝑁

tend vers 0 lorsque 𝑁 → +∞ (uniformément pour 𝑡 ∈ [0; 𝑇] grâce au fait que |𝑣_𝑁(𝑡)| ≤ ∑𝑖≥𝑁(𝑣𝑖+1(𝑡) − 𝑣𝑖(𝑡))₊

De même lorsque 𝑁 → −∞

(Ou plus simplement, comme 𝑣 ∈ 𝐶(ℝ+_{, 𝑙}1_{(ℤ)), on a lim}

𝑖→±∞𝑣𝑖(𝑡) = 0, sinon le serpent se

mord peut-être la queue dans mes démonstrations) Si max

𝑖∈ℤ 𝑣𝑖(𝑡) = 0 alors max𝑖∈ℤ 𝑣𝑖(0) < 0 ( car on a supposé qu’il existe 𝑖 tel que 𝑣𝑖(𝑡) >

max

𝑖∈ℤ 𝑣𝑖(0) ) et ceci est impossible car 𝑣(0) ∈ 𝑙 1_.

Il reste à intégrer entre 0 et 𝑇 pour conclure, et ça je peux le faire car les fonctions 𝑡 ↦ 𝑣_𝑖(𝑡) définies sur [0⁡; 𝑇] sont uniformément Lipschitzienne (constante de Lipschitz commune ne dépendant pas de 𝑖) donc 𝑡 ↦ max

𝑖∈ℤ 𝑣𝑖(𝑡) est Lipschitzienne et donc 𝑡 ↦

𝑆 (max

𝑖∈ℤ 𝑣𝑖(𝑡)) est aussi Lipschitzienne.

Ensuite, il conseille d’utiliser 𝑆(𝑢) = (𝑢 − 𝐾)−2, il suffit maintenant de choisir

𝐾 = min

𝑗∈ℤ 𝑣𝑗

0_{, pour obtenir min} 𝑗∈ℤ 𝑣𝑗

0 _{≤ 𝑣} 𝑖(𝑡)

Il y a une méthode plus simple qui consiste à prendre l’inégalité ‖𝑣(𝑡)‖𝑙𝑝 ≤ ‖𝑣(0)‖_𝑙𝑝 et à faire tendre 𝑝 → +∞ pour obtenir ‖𝑣(𝑡)‖∞ ≤ ‖𝑣(0)‖∞

ou pour être plus précis, reprendre la démonstration qui prouvait que ‖𝑣(𝑡)‖𝑙𝑝 ≤ ‖𝑣(0)‖𝑙𝑝 mais avec 𝑆(𝑢) = 𝑢₊𝑝 avec 𝑝 > 1⁡ pour prouver que

∑ 𝑣_𝑖(𝑇)+𝑝 +∞ 𝑖=−∞ ≤ ∑ 𝑣_𝑖(0)+𝑝 +∞ 𝑖=−∞

puis faire tendre 𝑝 → +∞ ce qui prouve max

𝑖∈ℤ 𝑣𝑖(𝑇) = max𝑖∈ℤ 𝑣𝑖(𝑇)+ ≤ max𝑖∈ℤ 𝑣𝑖(0)+ = max𝑖∈ℤ 𝑣𝑖(0)

de même avec (𝑢) = 𝑢₋𝑝 _{pour prouver que}

− min

𝑖∈ℤ 𝑣𝑖(𝑇) ≤ − min𝑖∈ℤ 𝑣𝑖(0)

Passons à la démonstration du théorème 6.2.1 : P128 ok,

Puis il définit la « fonction » 𝑚+ par :

𝜕

𝜕𝜉𝑚+(𝜉; 𝑢, 𝑣) = −𝛿(𝜉 − 𝑢) ∫ 𝑎_ℝ −(𝜁)[𝜒(𝜁; 𝑢) − 𝜒(𝜁; 𝑣)]𝑑𝜁+ 𝑎−(𝜉)[𝜒(𝜉; 𝑢) − 𝜒(𝜉; 𝑣)] Bien sur 𝛿(𝜉 − 𝑢) signifie comme précédemment 𝛿𝑢(𝜉) à condition d’intégrer le membre

de droite de l’égalité précédente par rapport à 𝑑𝜉.

La dérivée _𝜕𝜉𝜕 𝑚+(𝜉; 𝑢, 𝑣) est une dérivée faible, donc 𝑚+ est définie à une constante près

par 𝑚₊(𝜉; 𝑢, 𝑣)(𝜑) = −_𝜕𝜉𝜕 𝑚₊(𝜉; 𝑢, 𝑣) (𝜉 ↦ ∫ 𝜓(𝑡)𝑑𝑡₋𝜉_∞ )

Où 𝜃0 ∈ 𝒟(ℝ) ∶ ∫ 𝜃_ℝ 0(𝑥)𝑑𝑥 = 1, 𝜑 = 𝑎𝜃0+ 𝜓 avec 𝑎 = ∫ 𝜑(𝑡)𝑑𝑡_ℝ et 𝜓 ∈ 𝒟(ℝ) ∶

∫ 𝜓(𝑥)𝑑𝑥_ℝ = 0 (cf ce que j’ai écrit sur les primitives d’une distribution) Donc

𝑚₊(𝜉; 𝑢, 𝑣)(𝜑) = −_𝜕𝜉𝜕 𝑚₊(𝜉; 𝑢, 𝑣) (𝜉 ↦ ∫ 𝜓(𝑡)𝑑𝑡𝜉 −∞ ) = ∫ 𝜓(𝑡)𝑑𝑡 𝑢 −∞ ∫ 𝑎−(𝜁)[𝜒(𝜁; 𝑢) − 𝜒(𝜁; 𝑣)]𝑑𝜁 ℝ − ∫ ∫ 𝜓(𝑡)𝑑𝑡 𝜉 −∞ 𝑎₋(𝜉)[𝜒(𝜉; 𝑢) − 𝜒(𝜉; 𝑣)]𝑑𝜉 ℝ = 𝐹(𝑢, 𝑣) − ∫ ∫ (𝜑(𝑡) − 𝑎𝜃0(𝑡))𝑑𝑡 𝜉 −∞ 𝑎−(𝜉)[𝜒(𝜉; 𝑢) − 𝜒(𝜉; 𝑣)]𝑑𝜉 ℝ

Notons que 𝜒(𝜉; 𝑢) − 𝜒(𝜉; 𝑣) = 0 dès que 𝜉 ∉ [min(𝑢, 𝑣) ; max⁡(𝑢, 𝑣)] On peut choisir 𝜃0 tel que 𝜃0(𝑡) = 0⁡∀𝑡 ≤ max⁡(𝑢, 𝑣) de sorte que

𝑚₊(𝜉; 𝑢, 𝑣)(𝜑) = 𝐹(𝑢, 𝑣) − ∫ ∫ 𝜑(𝑡)𝑑𝑡𝜉 −∞ 𝑎₋(𝜉)[𝜒(𝜉; 𝑢) − 𝜒(𝜉; 𝑣)]𝑑𝜉 ℝ = 𝐹(𝑢, 𝑣) − ∫ 𝜑(𝑡) ∫ 1_[−∞;ξ](𝑡)𝑎−(𝜉)[𝜒(𝜉; 𝑢) − 𝜒(𝜉; 𝑣)]𝑑𝜉 ℝ ℝ 𝑑𝑡 = ∫ 𝜑(𝑡)1[−∞;𝑢](𝑡) ∫ 𝑎−(𝜉)[𝜒(𝜉; 𝑢) − 𝜒(𝜉; 𝑣)]𝑑𝜉 ℝ ℝ 𝑑𝑡 − ∫ 𝜑(𝑡) ∫ 1[−∞;ξ](𝑡)𝑎−(𝜉)[𝜒(𝜉; 𝑢) − 𝜒(𝜉; 𝑣)]𝑑𝜉 ℝ ℝ 𝑑𝑡 que je peux encore écrire

𝑚₊(𝜉; 𝑢, 𝑣)(𝜑)

= 1_{[−∞;𝑢]}(𝜉) ∫ 𝑎₋(𝜁)[𝜒(𝜁; 𝑢) − 𝜒(𝜁; 𝑣)]𝑑𝜁

ℝ

− ∫ 1_[−∞;ζ](𝜉)𝑎−(𝜁)[𝜒(𝜁; 𝑢) − 𝜒(𝜁; 𝑣)]𝑑𝜁 ℝ

qui est bien une fonction comme le dit Perthame.

Contrairement à Perthame, je trouve :

Si 𝑣 ≤ 𝜉 ≤ 𝑢, 𝑚+(𝜉; 𝑢, 𝑣) = 𝐴−(𝜉) − 𝐴−(𝑣)

Et comme lui, je trouve si 𝑢 < 𝜉 ≤ 𝑣, 𝑚+(𝜉; 𝑢, 𝑣) = 𝐴−(𝑣) − 𝐴−(𝜉)

Remarque : dans le calcul précédent, je peux mettre 1_{]−∞;𝑢[} à la place de 1_{[−∞;𝑢]} et trouver vraiment comme Perthame : si 𝑢 ≤ 𝜉 ≤ 𝑣, 𝑚₊(𝜉; 𝑢, 𝑣) = 𝐴₋(𝑣) − 𝐴₋(𝜉)

Je pense que mon résultat est juste, j’ai vérifié dans l’article de Perthame et Makridakis, Qui écrivent que Si 𝑣 ≤ 𝜉 ≤ 𝑢,

𝑚+(𝜉; 𝑢, 𝑣) = ∫ (𝑎+(𝜁)𝜒(𝜁; 𝑢) − 𝑎−(𝜁)𝜒(𝜁; 𝑣) − 𝑎(𝜁)𝜒(𝜁; 𝑢)) 𝜉 −∞ 𝑑𝜁 = ∫ (𝑎𝜉 ₋(𝜁)[𝜒(𝜁; 𝑢) − 𝜒(𝜁; 𝑣)])𝑑𝜉 −∞ = ∫ (𝑎𝜉 ₋(𝜁)[𝜒(𝜁; 𝑢) − 𝜒(𝜁; 𝑣)])𝑑𝜉 𝑣 = 𝐴₋(𝜉) − 𝐴−(𝑣)

Dans leur article, ils intègrent directement _𝜕𝜉𝜕 𝑚+(𝜉; 𝑢, 𝑣) entre −∞ et 𝜉 (par rapport à la

première variable), voyons pourquoi c’est vrai :

Soit 𝑚 une mesure définie sur les boréliens de ℝ, finie. Est-ce que 𝑚(−∞; 𝜉) en est une primitive ? Oui, car pour toute fonction test 𝜙, on a

< 𝑚(−∞; 𝜉)′_{, 𝜙 >= −< 𝑚(−∞; 𝜉), 𝜙}′ _{>= − ∫ 𝜙}′_{(𝜉)𝑚(−∞; 𝜉)𝑑𝜉} ℝ = − ∫ 𝜙′_{(𝜉) ∫ 𝑚(𝑑𝜁)}𝜉 −∞ 𝑑𝜉 ℝ = − ∫ 𝜙′_{(𝜉) ∫ 1} (−∞;𝜉)(𝜁)𝑚(𝑑𝜁) +∞ −∞ 𝑑𝜉 ℝ = − ∫ 𝜙′_{(𝜉) ∫ 1} (𝜁;+∞)(𝜉)𝑚(𝑑𝜁) +∞ −∞ 𝑑𝜉 ℝ = − ∫ ∫+ 1_(𝜁;+∞)(𝜉) ∞ −∞ 𝜙′_{(𝜉)𝑑𝜉𝑚(𝑑𝜁)} ℝ = ∫ 𝜙(𝜁)𝑚(𝑑𝜁) ℝ =< 𝑚, 𝜙 > Pour montrer la majoration de la mesure de défaut discrète, on suite les conseils de Perthame, par exemple pour 𝜉₀ ≥ 0 pour trouver :

∫ 𝑆_𝜉+ ′₀ (𝜉)ℎ_𝑖 𝜕 𝜕𝑡𝜒(𝜉, 𝑣𝑖(𝑡))𝑑𝜉 ℝ + ∫ 𝑆_𝜉+ ′₀ (𝜉) (𝑎₊(𝜉)𝜒(𝜉, 𝑣_𝑖(𝑡)) − 𝑎₋(𝜉)𝜒(𝜉, 𝑣_𝑖+1(𝑡))) 𝑑𝜉 ℝ − ∫ 𝑆_𝜉+ ′₀ (𝜉) (𝑎₊(𝜉)𝜒(𝜉, 𝑣_𝑖−1(𝑡)) − 𝑎₋(𝜉)𝜒(𝜉, 𝑣_𝑖(𝑡))) 𝑑𝜉 ℝ = ∫ ℎ_𝑖𝑆_𝜉+ ′₀ (𝜉) 𝜕 𝜕𝜉𝑚𝑖(𝑡, 𝜉)𝑑𝜉 ℝ

avec 𝑆_𝜉+₀(𝜉) = (𝜉 − 𝜉0)+ dont la dérivée est 1(𝜉0;+∞) et la dérivée seconde est 𝛿𝜉0. Donc ∫ ℎ𝑖𝑆𝜉0 + ′_(𝜉) 𝜕 𝜕𝜉𝑚𝑖(𝑡, 𝜉)𝑑𝜉 ℝ = ∫ ℎ𝑖 𝜕 𝜕𝜉𝑚𝑖(𝑡, 𝜉)𝑑𝜉 +∞ 𝜉0 = ∫ ℎ𝑖 𝜕 𝜕𝜉𝑚𝑖(𝑡, 𝜉)𝑑𝜉 +∞ −∞ − ∫ ℎ𝑖 𝜕 𝜕𝜉𝑚𝑖(𝑡, 𝜉)𝑑𝜉 𝜉0 −∞ = 0 − ∫ ℎ𝑖 𝜕 𝜕𝜉𝑚𝑖(𝑡, 𝜉)𝑑𝜉 𝜉0 −∞ = −ℎ𝑖𝑚𝑖(𝑡, 𝜉0) De plus, ∫ 𝑆_𝜉+ ′₀ (𝜉)ℎ𝑖 𝜕 𝜕𝑡𝜒(𝜉, 𝑣𝑖(𝑡))𝑑𝜉 ℝ = 𝜕 𝜕𝑡∫ 𝑆𝜉0 + ′_(𝜉)ℎ 𝑖𝜒(𝜉, 𝑣𝑖(𝑡))𝑑𝜉 ℝ ⁡⁡(𝑔𝑟â𝑐𝑒⁡à⁡(∗)) = ℎ𝑖 𝜕 𝜕𝑡𝑆𝜉0 +_(𝑣 𝑖(𝑡))

Pour l’instant, j’intègre entre 0 et 𝑇, puis quand l’inégalité ∑ ℎ_𝑖∫ 𝑚𝑇 _𝑖(𝑡, 𝜉)𝑑𝑡

0 𝑖∈ℤ

≤ 1_𝜉≥0‖(𝑣0_{− 𝜉)}

+‖𝑙1+ 1𝜉≤0‖(𝜉 − 𝑣0)+‖𝑙1 ≤ ‖𝑣0‖𝑙1

sera prouvée, je n’aurai qu’à faire tendre 𝑇 → +∞ car 𝑚𝑖(𝑡, 𝜉) ≥ 0

Remarque : le terme (𝑣_𝑖0_{− 𝜉)}

+ est égal à 𝑣𝑖0 − 𝜉 si 𝑣𝑖0 ≥ 𝜉 et à 0 sinon, donc si 𝜉 ≥ 0,

1_𝜉≥0‖(𝑣0_{− 𝜉)} +‖𝑙1 = ∑ 𝑣_𝑖0− 𝜉 𝑖⁡𝑡𝑒𝑙𝑠⁡𝑞𝑢𝑒⁡𝑣_𝑖0≥𝜉 ≤ ∑ 𝑣_𝑖0 𝑖⁡𝑡𝑒𝑙𝑠⁡𝑞𝑢𝑒⁡𝑣_𝑖0≥𝜉 ≤ ‖𝑣0_‖ 𝑙1 De même 1_𝜉≤0‖(𝜉 − 𝑣0₎ +‖𝑙1 ≤ ‖𝑣0‖𝑙1

Si 𝜉 = 0, on ne peut pas avoir (𝑣_𝑖0)₊ > 0et (−𝑣_𝑖0)₊> 0en même temps donc on a ‖(𝑣0₎

+‖𝑙1 + ‖(−𝑣0)+‖𝑙1 = ‖𝑣0‖𝑙1

Comme le dit le Perthame, grâce au fait que 𝜉₀ ≥ 0 on a bien

∫ 𝜕 𝜕𝑡𝑆𝜉0 +_(𝑣 𝑖(𝑡))𝑑𝑡 𝑇 = 𝑆_𝜉+_0(𝑣 𝑖(𝑇)) − 𝑆𝜉0 +_{(0) = 𝑆} 𝜉0 +_(𝑣 𝑖(𝑇)) = (𝑣𝑖(𝑇) − 𝜉0)+ ≥ 0

Maintenant, en reprenant la partie de la démonstration du corollaire 6.2.2 qui prouve que ‖𝑣(𝑇)‖𝑙𝑝 ≤ ‖𝑣(0)‖_𝑙𝑝, mais en utilisant 𝑆(𝑢) = (𝑢 − 𝜉₀)₊, on prouve que

∑ (𝑣_𝑖(𝑇) − 𝜉₀)₊ +∞ 𝑖=−∞ ≤ ∑ (𝑣_𝑖0_{− 𝜉} 0)+ +∞ 𝑖=−∞ et on prouve que ∫ η n+1₂ 𝑆_𝜉0+ (𝑡)𝑑𝑡 𝑇 0 →_𝑛→∞ 0 et ∫ η −n−1₂ 𝑆_𝜉0+ (𝑡)𝑑𝑡 𝑇 0 →𝑛→∞ 0

donc en intégrant de 0 à 𝑇, puis en sommant pour 𝑖⁡ allant de – 𝑛 à 𝑛, ∫ 𝑆_𝜉+ ′_{0 (𝜉)ℎ} 𝑖 𝜕 𝜕𝑡𝜒(𝜉, 𝑣𝑖(𝑡))𝑑𝜉 ℝ + ∫ 𝑆_𝜉+ ′_{0 (𝜉) (𝑎} +(𝜉)𝜒(𝜉, 𝑣𝑖(𝑡)) − 𝑎−(𝜉)𝜒(𝜉, 𝑣𝑖+1(𝑡))) 𝑑𝜉 ℝ − ∫ 𝑆_𝜉+ ′_{0 (𝜉) (𝑎} +(𝜉)𝜒(𝜉, 𝑣𝑖−1(𝑡)) − 𝑎−(𝜉)𝜒(𝜉, 𝑣𝑖(𝑡))) 𝑑𝜉 ℝ = ∫ ℎ_𝑖𝑆_𝜉+ ′_{0 (𝜉)} 𝜕 𝜕𝜉𝑚𝑖(𝑡, 𝜉)𝑑𝜉 ℝ on trouve ∑ ℎ_𝑖(𝑣_𝑖0_{− 𝜉} 0)+ +∞ 𝑖=−∞ ≥ ∑ ℎ_𝑖(𝑣_𝑖(𝑇) − 𝜉₀)₊ +∞ 𝑖=−∞ = ∑ ℎ_𝑖∫ 𝑚𝑇 _𝑖(𝑡, 𝜉)𝑑𝑡 0 𝑖∈ℤ d’où ∑ ℎ_𝑖∫ 𝑚𝑇 _𝑖(𝑡, 𝜉)𝑑𝑡 0 𝑖∈ℤ ≤ ℎ ∑ (𝑣_𝑖0_{− 𝜉} 0)+ +∞ 𝑖=−∞ ≤ ∑ (𝑣_𝑖0_{− 𝜉} 0)+ +∞ 𝑖=−∞ à condition que ℎ ≤ 1

Sinon, sans cette condition, je peux trouver que ∑ ∫ 𝑚𝑇 _𝑖(𝑡, 𝜉)𝑑𝑡 0 𝑖∈ℤ ≤ ∑ (𝑣_𝑖0_{− 𝜉} 0)+ +∞ 𝑖=−∞ ≤ ‖𝑣0_‖ 𝑙1 mais pas plus.

Concernant la remarque 6.2.3 qui généralise la formulation cinétique aux E-schémas c’est à dire aux E-flux discrets.

Pour 𝑢 ≤ 𝜉 ≤ 𝑣, on a 𝜒(𝜁, 𝑢) ≤ 𝜒(𝜁, 𝜉) ≤ 𝜒(𝜁, 𝑣) donc le schéma d’Engquist-Osher vérifie 𝒜(𝑢, 𝑣) ≤ ⁡𝒜(𝜉, 𝜉) = 𝐴(𝜉)

De même pour 𝑣 ≤ 𝜉 ≤ 𝑢, il vérifie

𝒜(𝑢, 𝑣) ≥ ⁡𝒜(𝜉, 𝜉) = 𝐴(𝜉) donc c’est bien un E-schéma.

Pour vérifier la remarque, lire l’article de Perthame et Makridakis. Dans la démonstration du théorème6.3.1., le fait que

𝜕

𝜕𝜉𝑓(𝑡, 𝑥, 𝜉) = 𝛿(𝜉) − 𝜈(𝑡, 𝑥, 𝜉),⁡⁡⁡𝜈 ≥ 0

vient du lemme p50 et du fait que la suite (𝑣𝑖(𝑡))_𝑖 soit uniformément bornée.

∑ ℎ_𝑖∫+ 𝑚_𝑖(𝑡, 𝜉)𝑑𝑡 ∞ 0 𝑖∈ℤ ≤ 1_𝜉≥0‖(𝑣0_{− 𝜉)} +‖𝑙1+ 1𝜉≤0‖(𝜉 − 𝑣0)+‖𝑙1 ≤ ‖𝑣0‖𝑙1

Elle devient grâce aux hypothèses du théorème 6.3.1 ∑ ℎ ∫+ 𝑚_𝑖(𝑡, 𝜉)𝑑𝑡 ∞ 0 𝑖∈ℤ ≤ 1_𝜉≥0ℎ‖(𝑣0_{− 𝜉)} +‖𝑙1+ 1_𝜉≤0ℎ‖(𝜉 − 𝑣0)₊‖_𝑙1 c’est à dire ∫ ∫ 𝑚ℎ(𝑡, 𝑥, 𝜉)𝑑𝑡 +∞ 0 𝑑𝑥 ℝ ≤ 1𝜉≥0ℎ‖(𝑣0− 𝜉)+‖𝑙1+ 1_𝜉≤0ℎ‖(𝜉 − 𝑣0)₊‖_𝑙1 Reprenant la définition de 𝜇(𝜉) page 61 :

𝜇(𝜉) = 1_𝜉≥0‖(𝑢0_{− 𝜉)}

+‖𝐿1(ℝ)+ 1𝜉≤0‖(𝑢0 − 𝜉)−‖𝐿1(ℝ)

et utilisant le fait que 𝑢_𝑖0 = 𝑣_𝑖0, on constate que ‖(𝑢0_{− 𝜉)} +‖𝐿1_(ℝ) = ∫ (𝑢0(𝑥) − 𝜉)₊𝑑𝑥 ℝ = ∑ ∫ (𝑢0_{(𝑥) − 𝜉)} +𝑑𝑥 𝐶𝑖 𝑖∈ℤ = ∑ ℎ(𝑣_𝑖0 _{− 𝜉)} + 𝑖∈ℤ = ℎ‖(𝑣0_{− 𝜉)} +‖𝑙1 De plus, (𝑢0_{− 𝜉)}

− = (𝜉 − 𝑢0)+ donc de la même manière

‖(𝑢0_{− 𝜉)} −‖𝐿1(ℝ) = ℎ‖(𝜉 − 𝑣0)+‖𝑙1 et donc ∫ ∫+∞𝑚_ℎ(𝑡, 𝑥, 𝜉)𝑑𝑡 0 𝑑𝑥 ℝ ≤ 𝜇(𝜉) ≤ ‖𝑢0_‖ 𝐿1_(ℝ) Reste à faire tendre ℎ vers 0…

𝑚ℎ(𝑡, 𝑥, 𝜉)est une suite de mesures absolument continues par rapport à la mesure de

Lebesgue 𝜆.

Elles sont uniformément bornées en tant que « fonctions » par

‖𝑚ℎ(𝑡, 𝑥, 𝜉)‖∞ ≤ 4 max(𝐴+(max_𝑗∈ℤ 𝑣𝑗0) , 𝐴+(min_𝑗∈ℤ 𝑣𝑗0) , 𝐴−(max_𝑗∈ℤ 𝑣𝑗0) , 𝐴−(min_𝑗∈ℤ 𝑣𝑗0)

En tant que mesures, elles sont uniformément bornées par ∫ ∫ ∫+ 𝑚_ℎ(𝑡, 𝑥, 𝜉)𝑑𝑡 ∞ 0 𝑑𝑥 ℝ ℝ 𝑑𝜉 ≤ (max 𝑗∈ℤ 𝑣𝑗 0_{− min} 𝑗∈ℤ 𝑣𝑗 0_)‖𝑢0_‖ 𝐿1(ℝ)

donc il existe une sous-suite (cf Ouvrard p 299) telle que 𝑚_ℎ(𝑡, 𝑥, 𝜉) converge faiblement (et donc vaguement) dans l’espace des mesures positives bornées par (max

𝑗∈ℤ 𝑣𝑗 0₋ min 𝑗∈ℤ 𝑣𝑗 0_)‖𝑢0_‖ 𝐿1(ℝ)

et encore une sous-suite telle que 𝑚ℎ(𝑡, 𝑥, 𝜉) converge faiblement-* 𝐿∞, ces deux

convergences coïncident donc la mesure 𝑚(𝑡, 𝑥, 𝜉) ∈ 𝐿∞

On a aussi pour les mêmes raisons, à 𝜉 fixé, 𝑚_ℎ(𝑡, 𝑥, 𝜉) converge faiblement vers une mesure 𝑚̃(𝑡, 𝑥, 𝜉), donc ∀𝜙₁ ∈ 𝐶_𝑐(0; +∞) et ∀𝜙₂ ∈ 𝐶_𝑐(ℝ_𝑥)

𝑚ℎ(𝑡, 𝑥, 𝜉)(𝜙1(𝑡)𝜙2(𝑥)) →ℎ→0 𝑚̃(𝑡, 𝑥, 𝜉)(𝜙1(𝑡)𝜙2(𝑥))

donc en multipliant par 𝜙3 ∈ 𝐶𝑐(ℝ𝜉) et en utilisant le théorème de convergence

dominée, on obtient

𝑚_ℎ(𝑡, 𝑥, 𝜉)(𝜙₁(𝑡)𝜙₂(𝑥)𝜙₃(𝜉)) →_ℎ→0 𝑚̃(𝑡, 𝑥, 𝜉)(𝜙₁(𝑡)𝜙₂(𝑥)𝜙₃(𝜉)) et comme on a aussi

𝑚_ℎ(𝑡, 𝑥, 𝜉)(𝜙1(𝑡)𝜙2(𝑥)𝜙3(𝜉)) →ℎ→0 𝑚(𝑡, 𝑥, 𝜉)(𝜙1(𝑡)𝜙2(𝑥)𝜙3(𝜉))

par unicité de la limite faible, 𝑚 = 𝑚̃

∫ ∫+ 𝑚_ℎ(𝑡, 𝑥, 𝜉)𝑑𝑡 ∞ 0 𝑑𝑥 ℝ ≤ 𝜇(𝜉) on obtient ∫ ∫+ 𝑚̃(𝑡, 𝑥, 𝜉)𝑑𝑡 ∞ 0 𝑑𝑥 ℝ ≤ 𝜇(𝜉) c’est à dire ∫ ∫ 𝑚(𝑡, 𝑥, 𝜉)𝑑𝑡 +∞ 0 𝑑𝑥 ℝ ≤ 𝜇(𝜉)

Pour le step 2 de la démonstration, il utilise Taylor-Lagrange à l’odre 1 : Il existe un nombre 𝑒_𝑖1_{(𝑡, 𝜉) ∈ 𝐶} 𝑖 tel que 𝜕 𝜕𝑡𝜓(𝑡, 𝑥, 𝜉) = 𝜕 𝜕𝑡𝜓(𝑡, 𝑥𝑖, 𝜉) + (𝑥 − 𝑥𝑖) 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑡𝜓(𝑡, 𝑒𝑖1(𝑡, 𝜉), 𝜉) donc ∫ ∫ 𝑓(𝑡, 𝑥, 𝜉) 𝜕 𝜕𝑡𝜓(𝑡, 𝑥, 𝜉)𝑑𝑥𝑑𝜉 ℝ×ℝ 𝑑𝑡 +∞ 0 = ∑ ℎ ∫ ∫ 𝜒(𝜉, 𝑣𝑖(𝑡)) 𝜕 𝜕𝑡𝜓(𝑡, 𝑥𝑖, 𝜉)𝑑𝑡𝑑𝜉 +∞ 0 ℝ ⁡ 𝑖 + ∑ ⁡ 𝑖 ∫ ∫ ∫ 𝜒(𝜉, 𝑣𝑖(𝑡))(𝑥 − 𝑥𝑖) 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑡𝜓(𝑡, 𝑒𝑖1(𝑡, 𝜉), 𝜉)𝑑𝑡𝑑𝜉 +∞ 0 ℝ 𝑑𝑥 𝐶𝑖 en posant 𝑂₁(ℎ) = ∑ ⁡ 𝑖 ∫ ∫ ∫ 𝜒(𝜉, 𝑣_𝑖(𝑡))(𝑥 − 𝑥_𝑖) 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑡𝜓(𝑡, 𝑒𝑖1(𝑡, 𝜉), 𝜉)𝑑𝑡𝑑𝜉 +∞ 0 ℝ 𝑑𝑥 𝐶𝑖

On a une somme finie sur 𝑖 car la fonction test 𝜓 est à support compact, on peut donc majorer |𝑂1(ℎ)| par |𝑂1(ℎ)| ≤ 𝐶𝑠𝑡𝑒 × ℎ2 de même ∫ 𝑓(0, 𝑥, 𝜉)𝜓(0, 𝑥, 𝜉)𝑑𝑥𝑑𝜉 ℝ×ℝ = ∑ ℎ ∫ 𝜒(𝜉, 𝑣_𝑖(0))𝜓(0, 𝑥_𝑖, 𝜉)𝑑𝜉 ℝ ⁡ 𝑖 + ∑ ⁡ 𝑖 ∫ ∫ 𝜒(𝜉, 𝑣_𝑖(0))(𝑥 − 𝑥_𝑖) 𝜕 𝜕𝑥𝜓(0, 𝑑𝑖1(𝜉), 𝜉)𝑑𝜉 ℝ 𝑑𝑥 𝐶𝑖 en posant 𝑂₂(ℎ) = ∑ ⁡ 𝑖 ∫ ∫ 𝜒(𝜉, 𝑣_𝑖(0))(𝑥 − 𝑥_𝑖) 𝜕 𝜕𝑥𝜓(0, 𝑑𝑖1(𝜉), 𝜉)𝑑𝜉 ℝ 𝑑𝑥 𝐶𝑖 on a aussi |𝑂2(ℎ)| ≤ 𝐶𝑠𝑡𝑒 × ℎ2 Ainsi 𝑂(ℎ) = 𝑂1(ℎ) + 𝑂2(ℎ)

J’en viens à la dernière égalité du step 2, et plus particulièrement à la preuve de lim ℎ→0∫ 𝜒 (𝜉, 𝑢ℎ 0_{(𝑥)) 𝜓(0, 𝑥, 𝜉)𝑑𝑥𝑑𝜉} ℝ2 = ∫ 𝜒(𝜉, 𝑢 0_{(𝑥))𝜓(0, 𝑥, 𝜉)𝑑𝑥𝑑𝜉} ℝ2

Etudions donc |∫ 𝜒 (𝜉, 𝑢_ℎ0(𝑥)) 𝜓(0, 𝑥, 𝜉)𝑑𝑥𝑑𝜉 ℝ2 − ∫ 𝜒(𝜉, 𝑢 0_{(𝑥))𝜓(0, 𝑥, 𝜉)𝑑𝑥𝑑𝜉} ℝ2 | = |∫ (𝜒(𝜉, 𝑢0_{(𝑥)) − 𝜒 (𝜉, 𝑢} ℎ 0_{(𝑥))) 𝜓(0, 𝑥, 𝜉)𝑑𝑥𝑑𝜉} ℝ2 | ≤ ∫ |∫𝑢 𝜓(0, 𝑥, 𝜉)𝑑𝜉 0_(𝑥) 𝑢_ℎ0(𝑥) | ℝ ⁡𝑑𝑥 ≤ 𝑀 ∫ |𝑢_ℎ0_{(𝑥) − 𝑢}0_(𝑥)|1 [−𝐶;𝐶](𝑥)𝑑𝑥 ℝ ⁡ pour certaines constantes 𝑀 et 𝐶 car 𝜓 est à support compact.

Comme 𝑢0 _{∈ 𝐿}1_{(ℝ), il existe une suite (𝑔}

𝑛) de fonctions continues à support compact qui

convergent dans 𝐿1_{(ℝ) vers 𝑢}0_{. Ainsi}

∫ |𝑢_ℎ0(𝑥) − 𝑢0_(𝑥)|1 [−𝐶;𝐶](𝑥)𝑑𝑥 ℝ ≤ ∫ |𝑢_ℎ0(𝑥) − 𝑔𝑛(𝑥)|1[−𝐶;𝐶](𝑥)𝑑𝑥 ℝ + ∫ |𝑔𝑛(𝑥) − 𝑢0(𝑥)|1[−𝐶;𝐶](𝑥)𝑑𝑥 ℝ ≤ ∑ ∫ |1 ℎ∫ 𝑢_𝐶𝑖 0(𝑦)𝑑𝑦− 𝑔𝑛(𝑥)| 𝑑𝑥 𝐶𝑖 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒⁡𝑠𝑢𝑟⁡𝑖 + ∫ |𝑔_𝑛(𝑥) − 𝑢0_{(𝑥)|𝑑𝑥} ℝ ≤ ∑ ∫ 1 ℎ∫ |𝑢_𝐶𝑖 0(𝑦) − 𝑔𝑛(𝑥)|𝑑𝑦𝑑𝑥 𝐶𝑖 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒⁡𝑠𝑢𝑟⁡𝑖 + ∫ |𝑔𝑛(𝑥) − 𝑢0(𝑥)|𝑑𝑥 ℝ ≤ ∑ ∫ 1 ℎ∫ |𝑢_𝐶𝑖 0(𝑦) − 𝑔𝑛(𝑦)|𝑑𝑦𝑑𝑥 𝐶𝑖 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒⁡𝑠𝑢𝑟⁡𝑖 + ∑ ∫ 1 ℎ∫ |𝑔_𝐶𝑖 𝑛(𝑥) − 𝑔𝑛(𝑦)|𝑑𝑦𝑑𝑥 𝐶𝑖 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒⁡𝑠𝑢𝑟⁡𝑖 + ∫ |𝑔_𝑛(𝑥) − 𝑢0_{(𝑥)|𝑑𝑥} ℝ ≤ 2 ∫ |𝑔_𝑛(𝑥) − 𝑢0_{(𝑥)|𝑑𝑥} ℝ + ∑ ∫ 1 ℎ∫ |𝑔_𝐶𝑖 𝑛(𝑥) − 𝑔𝑛(𝑦)|𝑑𝑦𝑑𝑥 𝐶𝑖 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒⁡𝑠𝑢𝑟⁡𝑖

on prend d’abord 𝑛 assez grand pour que

2 ∫ |𝑔_𝑛(𝑥) − 𝑢0_{(𝑥)|𝑑𝑥} ℝ

< 𝜀 2 puis ℎ assez petit pour que

∑ ∫ 1 ℎ∫ |𝑔_𝐶𝑖 𝑛(𝑥) − 𝑔𝑛(𝑦)|𝑑𝑦𝑑𝑥 𝐶𝑖 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒⁡𝑠𝑢𝑟⁡𝑖 < 𝜀 2 grâce à l’uniforme continuité de 𝑔_𝑛.

Première remarque pour le step three : convergence forte signifie convergence dans 𝐿𝑝_𝑙𝑜𝑐(ℝ⁡; 𝐿1_{(ℝ)) (cf p101)}

Grâce au lemme 2.3.3., on prouve que

∫ ∫ |𝑢_ℎ(𝑡, 𝑥) − 𝑢(𝑡, 𝑥)|𝑑𝑥

ℝ

𝑑𝑡

[0;𝑇] →ℎ→0 0

pour ça, il suffit de remarquer que ‖𝑢_ℎ‖∞ ≤ sup⁡(min 𝑗∈ℤ 𝑣𝑗

0_{; 𝑚𝑎𝑥 𝑣} 𝑗0).

Ensuite grâce à la réciproque du théorème de convergence dominée, quitte à prendre une sous-suite, on a :

∫ |𝑢_ℎ(𝑡, 𝑥) − 𝑢(𝑡, 𝑥)|𝑑𝑥

ℝ

→ 0⁡⁡⁡𝑝𝑝⁡𝑒𝑛⁡𝑡 ∈ [0; 𝑇] et enfin, 𝑡 ↦ ‖𝑢_ℎ(𝑡, . ) − 𝑢(𝑡, . )‖_𝐿1_(ℝ) est uniformément bornée car d’après le théorème 3.2.1. 𝑡 ↦ ‖𝑢(𝑡, . )‖_𝐿1_(ℝ) est continue sur [0; 𝑇] et qu’on a aussi

‖𝑢_ℎ(𝑡, . )‖_𝐿1_(ℝ) = ∑ ∫ |𝑣_ℎ(𝑡, 𝑥)|𝑑𝑥 𝐶𝑖 𝑖 = ∑ ℎ|𝑣_𝑖,ℎ(𝑡)| 𝑖 ≤ ℎ‖𝑣0_‖ 𝑙1 donc, quitte à prendre une sous-suite, on a bien

∫ (∫ |𝑢_ℎ(𝑡, 𝑥) − 𝑢(𝑡, 𝑥)|𝑑𝑥 ℝ ) 𝑝 𝑑𝑡 [0;𝑇] →_ℎ→0 0

Dans la preuve du théorème 6.4.2, il y a deux choses à comprendre : 𝑠𝑔𝑛_𝑖−1

2− 𝑠𝑔𝑛𝑖+12 = 1𝑣𝑖>𝑣𝑖−1 − 1𝑣𝑖+1>𝑣𝑖 = 1𝑣𝑖>𝑣𝑖−11𝑣𝑖+1<𝑣𝑖− 1𝑣𝑖+1>𝑣𝑖1𝑣𝑖<𝑣𝑖−1

et quand je multilplie par 𝑠𝑔𝑛_𝑖+1

2, au lieu d’obtenir

𝑑

𝑑𝑡(𝑣𝑖+1(𝑡) − 𝑣𝑖(𝑡))+, j’obtiens en fait

la dérivée à gauche. Puis je somme pour 𝑖 allant de – 𝑁 à 𝑁 pour obtenir ∑ 𝑑𝑔 𝑑𝑡 𝑁 𝑖=−𝑁 (𝑣𝑖+1(𝑡) − 𝑣𝑖(𝑡))₊+ 1 ℎ𝑁+1(𝐴𝑁+32(𝑡) − 𝐴𝑁+12(𝑡)) 1𝑉𝑁+1>𝑉𝑁 − 1 ℎ−𝑁(𝐴−𝑁+12(𝑡) − 𝐴−𝑁−12(𝑡)) 1𝑉𝑁+1>𝑉𝑁 ≤ 0

j’intègre de 𝑠 à 𝑡 (pour 𝑠 < 𝑡) (ce que je peux faire car 𝑡 ↦ (𝑣𝑖+1(𝑡) − 𝑣𝑖(𝑡))₊ est

Lipschitzienne) puis je fais tendre 𝑁 → +∞ (en ayant supposé que les ℎ𝑖 sont minorée

par une constante > 0), pour obtenir ∑ (𝑣_𝑖+1(𝑡) − 𝑣_𝑖(𝑡))₊ ∞ 𝑖=−∞ ≤ ∑ (𝑣_𝑖+1(𝑠) − 𝑣_𝑖(𝑠))₊ ∞ 𝑖=−∞ Passons au théorème 6.5.1 : Première remarque 𝑣_ℎ0 ∈ 𝐿1_{(ℝ) ⇔ (𝑣} 𝑖0)𝑖∈ℤ ∈ 𝑙1 car ∫ |𝑣_ℎ0_{(𝑥)|𝑑𝑥} ℝ = ∑ ℎ_𝑖|𝑣_𝑖0_| 𝑖∈ℤ

Si c’est le cas, la même égalité est vraie sans les valeurs absolues. De l’inégalité ℎ_𝑖 𝜕 𝜕𝑡𝑆(𝑣𝑖(𝑡)) + ηi+1₂ S _{− η} i−1₂ S _{≤ 0}

Il divise par ℎ_𝑖, multiplie par 1_𝐶𝑖 et somme sur 𝑖 (à 𝑥 fixé, la somme est finie car seul un des termes est non nul) pour obtenir

𝜕 𝜕𝑡𝑆(𝑣ℎ(𝑡, 𝑥)) + 𝜕 𝜕𝑥𝜂𝑆(𝑣ℎ(𝑡, 𝑥)) ≤ 𝜕 𝜕𝑥𝜂𝑆(𝑣ℎ(𝑡, 𝑥)) − ∑ 1 ℎ𝑖(ηi+12 S _{(t) − η} i−1₂ S _(𝑡)) 𝑖∈ℤ 1_𝐶𝑖(𝑥)

Pour la définition du terme d’erreur, il se sert de la formule 4.5.3 (très générale) et (je suppose qu’il veut que tous les paramètres soient nuls sauf un seul 𝛽_𝑖𝑆_{, c’est à dire dans}

la formule 4.5.3 𝑑 = 1, 𝛼𝑆 _{= 0,} 𝜕 𝜕𝑡𝛽0 𝑆 _{= 0,} 𝜕2 𝜕𝑥2𝛾𝑆= 0,⁡et 𝜕 𝜕𝑥𝛽𝑆 = 𝜕 𝜕𝑥𝜂𝑆(𝑣ℎ(𝑡, 𝑥)) − ∑ 1 ℎ_𝑖(ηi+1₂ S _{(t) − η} i−1₂ S _(𝑡)) 𝑖∈ℤ 1_𝐶𝑖(𝑥) = 𝜕 𝜕𝑥𝐸𝑟𝑟𝑆(𝑡, 𝑥) et donc

𝐸𝑟𝑟𝑆_{(𝑡, 𝑥) = 𝜂}𝑆_(𝑣 ℎ(𝑡, 𝑥)) − ∑ (η_i−1 2 S _{(𝑡) +}𝑥 − 𝑥𝑖−12 ℎ_𝑖 (ηi+1₂ S _{(t) − η} i−1₂ S _(𝑡))) 𝑖∈ℤ 1_𝐶𝑖(𝑥)

réfléchir plus tard au choix de la constante, en tout cas 𝑥−𝑥𝑖−12 ℎ𝑖 ≤ 1 et enfin, comme 𝜂𝑆_(𝑣 ℎ(𝑡, 𝑥)) = ∑ 𝜂𝑆(𝑣𝑖(𝑡, 𝑥)) 𝑖∈ℤ 1_𝐶𝑖(𝑥) = ∑ 𝜂𝑆_(𝑣 𝑖, 𝑣𝑖) 𝑖∈ℤ 1_𝐶𝑖(𝑥) on a 𝐸𝑟𝑟𝑆_{(𝑡, 𝑥) = ∑ (𝜂}𝑆_(𝑣 𝑖, 𝑣𝑖) − 𝜂𝑆(𝑣𝑖−1, 𝑣𝑖) 𝑖∈ℤ − 𝑥 − 𝑥_𝑖−1 2 ℎ𝑖 (𝜂 𝑆_(𝑣 𝑖, 𝑣𝑖+1) − 𝜂𝑆(𝑣𝑖−1, 𝑣𝑖))) 1𝐶𝑖(𝑥) Après calcul, je trouve

𝜕 𝜕𝑢𝜂𝑆(𝑢, 𝑣) = 𝑎+(𝑢)𝑆′(𝑢) et 𝜕 𝜕𝑣𝜂𝑆(𝑢, 𝑣) = −𝑎−(𝑣)𝑆′(𝑣) avec 𝜂𝑆_{(𝑢, 𝑣) = ∫ 𝑆}′_(𝜉)(𝑎 +(𝜉)𝜒(𝜉, 𝑢) − 𝑎−(𝜉)𝜒(𝜉, 𝑣))⁡𝑑𝜉 ℝ et donc, on a 𝑀₁ = sup 𝑖∈ℤ 𝑦∈(𝑣sup𝑖,𝑣𝑖−1) |𝜕 𝜕𝑢𝜂𝑆(𝑦, 𝑣𝑖)| ≤ ‖𝑆′‖𝐿∞([−𝐾,𝐾])‖𝑎‖𝐿∞([−𝐾,𝐾]) et 𝑀₂ = sup 𝑖∈ℤ 𝑦∈(𝑣sup𝑖,𝑣𝑖+1) |𝜕 𝜕𝑢𝜂𝑆(𝑦, 𝑣𝑖)| ≤ ‖𝑆′‖𝐿∞([−𝐾,𝐾])‖𝑎‖𝐿∞([−𝐾,𝐾]) Finalement, en remarquant que

𝜂𝑆_(𝑣 𝑖, 𝑣𝑖) − 𝜂𝑆(𝑣𝑖−1, 𝑣𝑖) = ∫ 𝑆′(𝜉)𝑎+(𝜉)𝑑𝜉 𝑣𝑖 𝑣𝑖−1 ≤ 𝑀₁|𝑣𝑖− 𝑣𝑖−1| et que 𝜂𝑆_(𝑣 𝑖, 𝑣𝑖+1) − 𝜂𝑆(𝑣𝑖−1, 𝑣𝑖) = 𝜂𝑆(𝑣𝑖, 𝑣𝑖+1) − 𝜂𝑆(𝑣𝑖, 𝑣𝑖) + 𝜂𝑆(𝑣𝑖, 𝑣𝑖) − 𝜂𝑆(𝑣𝑖−1, 𝑣𝑖) = ∫ 𝑆′_(𝜉)𝑎 −(𝜉)𝑑𝜉 𝑣𝑖+1 𝑣𝑖 + ∫ 𝑆′_(𝜉)𝑎 +(𝜉)𝑑𝜉 𝑣𝑖 𝑣𝑖−1 ≤ 𝑀₂|𝑣_𝑖 − 𝑣_𝑖+1| + 𝑀₁|𝑣_𝑖 − 𝑣_𝑖−1| on trouve bien, à 𝑥 ∈ 𝐶_𝑖 fixé :

|𝐸𝑟𝑟𝑆_{(𝑡, 𝑥)| ≤ 𝑀}

2|𝑣𝑖 − 𝑣𝑖+1| + 2𝑀1|𝑣𝑖 − 𝑣𝑖−1|

≤ 2‖𝑆′_‖

𝐿∞_{([−𝐾,𝐾])}‖𝑎‖_𝐿∞_{([−𝐾,𝐾])}(|𝑣_𝑖 − 𝑣_𝑖+1| + |𝑣_𝑖 − 𝑣_𝑖−1|)1_𝐶

𝑖(𝑥) que l’on peut écrire

|𝐸𝑟𝑟𝑆_{(𝑡, 𝑥)| ≤ 𝐶(𝐾) ∑(|𝑣}

𝑖 − 𝑣𝑖+1| + |𝑣𝑖− 𝑣𝑖−1|)1𝐶𝑖(𝑥)

𝑖∈ℤ

‖𝐸𝑟𝑟𝑆_{(𝑡, 𝑥)‖} 𝐿1_(ℝ 𝑥) ≤ 𝐶(𝐾) ∑(|𝑣𝑖 − 𝑣𝑖+1| + |𝑣𝑖− 𝑣𝑖−1|)ℎ𝑖 𝑖∈ℤ ≤ 2𝐶(𝐾)ℎ⁡𝑇𝑉[𝑣ℎ(𝑡)] ≤ 2𝐶(𝐾)ℎ⁡𝑇𝑉[𝑣_ℎ(0)]

Dans l’énoncé du théorème sur le taux de convergence, il donne comme hypothèse 𝑣0_{, 𝑢}0 _{∈ 𝐿}1_{∩ 𝐿}∞_{∩ 𝐵𝑉(ℝ)}

Thierry suppose que la suite (𝑣_𝑖0)_𝑖∈ℤ est définie par 𝑣_𝑖0 = 1 ℎ𝑖∫ 𝑣 0_{(𝑥)𝑑𝑥} 𝐶𝑖 ⁡⁡⁡∀𝑖 on a 𝑇𝑉[𝑣ℎ(0)] = ∑|𝑣𝑖0 − 𝑣𝑖−10 | 𝑖∈ℤ = ∑ |1 ℎ_𝑖∫ 𝑣_𝐶𝑖 0(𝑥)𝑑𝑥− 1 ℎ_𝑖−1∫ 𝑣_𝐶𝑖−1 0(𝑥)𝑑𝑥| 𝑖∈ℤ

comme 𝑣0 _{∈ 𝐵𝑉(ℝ), 𝑣}0 _{est la différence entre deux fonctions croissantes (positives)}

𝑣0 _{= 𝑠 − 𝑡 (cf cours de Heil et la décomposition de Jordan de 𝑣}0_{), de sorte que}

|1 ℎ_𝑖∫ 𝑣_𝐶𝑖 0(𝑥)𝑑𝑥− 1 ℎ_𝑖−1∫ 𝑣_𝐶𝑖−1 0(𝑥)𝑑𝑥| = |1 ℎ𝑖∫ 𝑠(𝑥)𝑑𝑥𝐶𝑖 − 1 ℎ𝑖−1∫ 𝑠(𝑥)𝑑𝑥𝐶𝑖−1 − 1 ℎ𝑖∫ 𝑡(𝑥)𝑑𝑥𝐶𝑖 + 1 ℎ𝑖−1∫ 𝑡(𝑥)𝑑𝑥𝐶𝑖−1 | ≤ max 𝑠,𝑡 ( 1 ℎ_𝑖∫ 𝑠(𝑥) − 𝑠 (𝑥_𝐶 𝑖−1₂) 𝑑𝑥 𝑖 + 1 ℎ𝑖−1∫𝐶𝑖−1𝑠 (𝑥𝑖−12) − 𝑠(𝑥)𝑑𝑥 ; 1 ℎ𝑖∫ 𝑡(𝑥) − 𝑡 (𝑥𝐶𝑖 𝑖−12) 𝑑𝑥 + 1 ℎ_𝑖−1∫_𝐶 𝑡 (𝑥𝑖−1₂) − 𝑡(𝑥)𝑑𝑥 𝑖−1 ) ≤ max 𝑠,𝑡 (𝑠 (𝑥𝑖+1₂) − 𝑠 (𝑥𝑖−3₂) ; 𝑡 (𝑥𝑖+1₂) − 𝑡 (𝑥𝑖−3₂)) et donc 𝑇𝑉[𝑣_ℎ(0)] ≤ 𝑇𝑉[𝑠] + 𝑇𝑉[𝑡] = 𝑇𝑉[𝑣0_{] = ‖𝑣}0_‖ 𝑇𝑉

on a aussi (en supposant comme je l’ai fait assez souvent que les ℎ_𝑖 sont minorés par une constante 𝐶 > 0⁡) : (𝑣_𝑖0₎ 𝑖∈ℤ ∈ 𝑙1 car ∑ 1 ℎ𝑖|∫ 𝑣 0_{(𝑥)𝑑𝑥} 𝐶𝑖 | ≤ 1 𝐶∫ |𝑣_ℝ 0(𝑥)|𝑑𝑥< +∞ 𝑖

Vérifions que les hypothèse du théorème 45.1 sont vérifiées : 1) 𝑣_ℎ ∈ 𝐿∞_{((0, 𝑇); 𝐿}1_{(ℝ)) car} ∫ |𝑣ℎ(𝑡, 𝑥)|𝑑𝑥 ℝ = ∑ ℎ𝑖|𝑣𝑖(𝑡)| 𝑖 ≤ ℎ ∑|𝑣𝑖(𝑡)| 𝑖 ≤ ℎ ∑|𝑣𝑖(0)| 𝑖 < +∞ 2) 𝑣ℎ est continue à droite en temps, à valeurs dans 𝐿1(ℝ) car

𝑣 ∶ 𝑡 ↦ (𝑣𝑖(𝑡))_𝑖∈ℤ ∈ 𝒞(ℝ+, 𝑙1(ℤ))

lim 𝑡→𝑡₀+‖𝑣ℎ(𝑡) − 𝑣ℎ(𝑡0)‖𝐿1(ℝ) = lim_𝑡→𝑡 0+ ∫ |𝑣_ℎ(𝑡, 𝑥) − 𝑣_ℎ(𝑡₀, 𝑥)|𝑑𝑥 ℝ = lim 𝑡→𝑡₀+∑ ℎ𝑖|𝑣𝑖(𝑡) − 𝑣𝑖(𝑡0)| 𝑖 ≤ lim 𝑡→𝑡₀+ℎ ∑|𝑣𝑖(𝑡) − 𝑣𝑖(𝑡0)| 𝑖 = lim 𝑡→𝑡0+ ℎ‖𝑣(𝑡) − 𝑣(𝑡₀)‖_𝑙1_(ℤ) = 0 3) 𝑣_ℎ0 _{∈ 𝐿}1_(ℝ) 4) L’inégalité ℎ_𝑖 𝜕 𝜕𝑡𝑆(𝑣𝑖(𝑡)) + ηi+1₂ S _{− η} i−1₂ S _{≤ 0}

est vraie quelle que soit la fonction convexe 𝑆, donc en particulier pour toute fonction 𝑆 ∈ 𝐶2_{(ℝ) et sous-linéaire.}

(attention, pour Perthame sous-linéaire veut peut-être dire « dont la dérivée 𝑆′ est essentiellement bornée » cf p 63 pour sous-quadratique)

Cela nous donne donc pour 𝑢0 _{∈ 𝐿}1_{∩ 𝐿}∞_{∩ 𝐵𝑉(ℝ) :}

‖𝑣ℎ(𝑇, . ) − 𝑢(𝑇, . )‖𝐿1_(ℝ) ≤ ‖𝑣_ℎ(0, . ) − 𝑢(0, . )‖_𝐿1_(ℝ)+ 𝐶 (‖𝑢0‖_{𝑇𝑉(ℝ)}‖𝐸𝑟𝑟̅̅̅̅̅(𝑇, 𝑥)‖_𝑀1_{((0,𝑇)×ℝ)}) 1 2 où 𝐸𝑟𝑟 ̅̅̅̅̅(𝑇, 𝑥) = sup |𝑆′_|≤1|𝐸𝑟𝑟 𝑆_{(𝑡, 𝑥)|}

je rappelle que 𝑀1_{((0, 𝑇) × ℝ) est l’ensemble des mesures bornées sur (0, 𝑇) × ℝ, c’est}

un espace de Banach muni de cette norme, il me semble que dans le cas particulier des fonction dans 𝐿1_{((0, 𝑇) × ℝ) identifié à un sous-ensemble de 𝑀}1_{((0, 𝑇) × ℝ), alors}

‖𝐸𝑟𝑟̅̅̅̅̅(𝑇, 𝑥)‖_𝑀1_{((0,𝑇)×ℝ)}= ‖𝐸𝑟𝑟̅̅̅̅̅(𝑇, 𝑥)‖_𝐿1_{((0,𝑇)×ℝ)} car ‖𝜇‖_𝑀1_{((0,𝑇)×ℝ)}= |𝜇|((0, 𝑇) × ℝ) = ∫ |𝐸𝑟𝑟𝑆(𝑡, 𝑥)|𝑑𝑡𝑑𝑥 (0,𝑇)×ℝ = ∫ ‖𝐸𝑟𝑟 𝑆_{(𝑡, 𝑥)‖} 𝐿1_(ℝ 𝑥)𝑑𝑡 (0,𝑇) ≤ ∫ 2𝐶(𝐾)ℎ⁡𝑇𝑉[𝑣0_]𝑑𝑡 (0,𝑇) = 4𝑇‖𝑆 ′_‖ 𝐿∞_{([−𝐾,𝐾])}‖𝑎‖_𝐿∞_{([−𝐾,𝐾])}ℎ⁡𝑇𝑉[𝑣0] ≤ 4𝑇‖𝑎‖_𝐿∞_{([−𝐾,𝐾])}ℎ⁡𝑇𝑉[𝑣0] dès que |𝑆′_{| ≤ 1,}

d’où la première inégalité du théorème 6.5.1

Si 𝑢0 _{appartient seulement à 𝐿}1_{, alors d’après le théorème 3.4.1, la solution 𝑢 de}

l’équation cinétique 3.2.1-3.2.2 appartient à 𝒞(ℝ+_{, 𝐿}1_(ℝ))

De plus la solution 𝑣 du problème 6.2.1-6.2.2-6.2.3 appartient à 𝒞(ℝ+_{, 𝑙}1_{(ℤ)) donc}

𝑣ℎ définie par 𝑣ℎ(𝑡, 𝑥) = 𝑣𝑖(𝑡)⁡⁡∀𝑥 ∈ [𝑥_𝑖−1 2⁡; 𝑥𝑖+ 1 2[⁡, ∀𝑡 vérifie ‖𝑣ℎ(𝑡) − 𝑣ℎ(𝑡0)‖𝐿1(ℝ) = ∑ ∫ |𝑣ℎ(𝑡) − 𝑣ℎ(𝑡0)|𝑑𝑡 𝐶𝑖 𝑖 = ∑ ∫ |𝑣_𝑖(𝑡) − 𝑣𝑖(𝑡0)|𝑑𝑡 𝐶𝑖 𝑖 = ∑ ℎ_𝑖|𝑣𝑖(𝑡) − 𝑣𝑖(𝑡0)| 𝑖 ≤ ℎ‖𝑣(𝑡) − 𝑣(𝑡₀)‖_𝑙1_(ℤ) →_𝑡→𝑡 0 0 d’où 𝑣_ℎ ∈ 𝒞(ℝ+_{, 𝐿}1_(ℝ)).

Soit 𝜌𝜀 une suite régularisante, 𝑢𝜀0 = 𝑢0∗ 𝜌𝜀 ∈ 𝐿1∩ 𝐿∞∩ 𝐵𝑉(ℝ) pour chaque 𝜀 et

‖𝑢0_{∗ 𝜌}

Soit 𝑢𝜀 ∈ 𝒞(ℝ+, 𝐿1(ℝ)) ∩ 𝐿∞(ℝ+× ℝ) l’unique solution entropique de donnée initiale

𝑢𝜀0.

On a la propriété de contraction 𝐿1 _:

‖𝑢𝜀(𝑡) − 𝑢(𝑡)‖𝐿1_(ℝ) ≤ ‖𝑢0 ∗ 𝜌_𝜀− 𝑢0‖_𝐿1_(ℝ) 𝑣𝜀,ℎ est définie par 𝑣𝜀,ℎ(𝑡, 𝑥) = 𝑣𝜀,𝑖(𝑡)⁡⁡∀𝑥 ∈ [𝑥_𝑖−1

2⁡; 𝑥𝑖+ 1

2[⁡, ∀𝑡 où 𝑣𝜀 est la solution appartenant à 𝒞(ℝ+_{, 𝑙}1_{(ℤ)) du problème 6.2.1-6.2.2-6.2.3 de donnée initiale les}

moyennes de 𝑢𝜀0 sur chaque cellule 𝐶𝑖.

La première partie du théorème 6.5.1 nous donne

‖𝑣𝜀,ℎ(𝑡) − 𝑢𝜀(𝑡)‖_𝐿1_(ℝ) ≤ ‖𝑣𝜀,ℎ0 − 𝑢0∗ 𝜌𝜀‖_𝐿1_(ℝ)+ 𝐶(𝑡ℎ‖𝑢𝜀0‖𝑇𝑉‖𝑢𝜀0‖𝑇𝑉) 1 2 Le théorème A.2.4 de la page 181 donne ∀𝑡 ≥ 0

‖𝑣𝜀,ℎ(𝑡) − 𝑣ℎ(𝑡)‖_𝐿1_(ℝ) ≤ ‖𝑣𝜀,ℎ0 − 𝑣ℎ0‖_𝐿1_(ℝ) Il reste à utiliser l’inégalité triangulaire pour montrer que

‖𝑣ℎ(𝑡) − 𝑢(𝑡)‖𝐿1_(ℝ) ≤ ‖𝑣ℎ(𝑡) − 𝑣𝜀,ℎ(𝑡)‖_𝐿1_(ℝ)+ ‖𝑣𝜀,ℎ(𝑡) − 𝑢𝜀(𝑡)‖_𝐿1_(ℝ)+ ‖𝑢𝜀(𝑡) − 𝑢(𝑡)‖𝐿1_(ℝ) ≤ ‖𝑣_𝜀,ℎ0 − 𝑣_ℎ0‖_𝐿1_(ℝ)+ ‖𝑣𝜀,ℎ0 − 𝑢0∗ 𝜌𝜀‖_𝐿1_(ℝ)+ 𝐶(𝑡ℎ‖𝑢𝜀0‖𝑇𝑉‖𝑢𝜀0‖𝑇𝑉) 1 2 + ‖𝑢0_{∗ 𝜌} 𝜀− 𝑢0‖𝐿1_(ℝ) On voit aussi que

‖𝑣_𝜀,ℎ0 _{− 𝑢}0_{∗ 𝜌} 𝜀‖_𝐿1_(ℝ) ≤ ‖𝑣𝜀,ℎ0 − 𝑣ℎ0‖_𝐿1_(ℝ)+ ‖𝑣ℎ0− 𝑢0‖_𝐿1_(ℝ)+ ‖𝑢0∗ 𝜌𝜀− 𝑢0‖𝐿1_(ℝ) donc ‖𝑣ℎ(𝑡) − 𝑢(𝑡)‖𝐿1(ℝ) ≤ 2‖𝑣_𝜀,ℎ0 − 𝑣_ℎ0‖_𝐿1_(ℝ)+ ‖𝑣ℎ0− 𝑢0‖_𝐿1_(ℝ)+ 𝐶(𝑡ℎ‖𝑢𝜀0‖𝑇𝑉‖𝑢𝜀0‖𝑇𝑉) 1 2 + 2‖𝑢0_{∗ 𝜌} 𝜀− 𝑢0‖𝐿1(ℝ) Or ‖𝑣_𝜀,ℎ0 − 𝑣_ℎ0‖_𝐿1_(ℝ) = ∑ ℎ𝑖|𝑣𝜀0− 𝑣0| 𝑖 = ∑ ℎ𝑖| 1 ℎ𝑖∫ 𝑢 0_{∗ 𝜌} 𝜀 𝐶𝑖 − 1 ℎ𝑖∫ 𝑢 0 𝐶𝑖 | 𝑖 ≤ ‖𝑢0_{∗ 𝜌} 𝜀 − 𝑢0‖𝐿1_(ℝ) donc ‖𝑣ℎ(𝑡) − 𝑢(𝑡)‖𝐿1(ℝ) ≤ ‖𝑣ℎ0− 𝑢0‖_𝐿1_(ℝ)+ 𝐶(𝑡ℎ‖𝑢𝜀0‖𝑇𝑉‖𝑢𝜀0‖𝑇𝑉) 1 2_{+ 4‖𝑢}0_{∗ 𝜌𝜀 − 𝑢}0‖_𝐿1_(ℝ) Le dernier terme tend bien vers 0 grâce à la suite régularisante et au fait que 𝑢0 _{∈ 𝐿}1_(ℝ)

De plus ‖𝑢_𝜀0_‖ 𝑇𝑉 = ‖𝑢0∗ 𝜌𝜀‖𝑇𝑉 = ‖𝑢0∗ 𝜌𝜀′‖𝐿1_(ℝ) ≤ ‖𝑢0‖_𝐿1_(ℝ)‖𝜌_𝜀′‖_∞ On a aussi ‖𝑣_ℎ0 _{− 𝑢}0_‖ 𝐿1(ℝ)→ℎ→0 0

grâce à une suite de fonctions lisses à support compact qui tend vers 𝑢0 _{dans 𝐿}1_(ℝ)

donc en prenant d’abord 𝜀 suffisamment petit, puis ℎ assez petit, on a bien ‖𝑣ℎ(𝑡) − 𝑢(𝑡)‖𝐿1_(ℝ) →_ℎ→0 0

et ceci de manière uniforme ∀𝑡 ∈ [0⁡; 𝑇].

0 ≤ 𝑠𝑔𝑛(𝜉)𝑓_𝑖𝑛+1(𝜉) ≤ 1 ce qui n’est pas difficile, il suffit de remarque que

𝑣_𝑖𝑛+1 = ∫ 𝑓_𝑖𝑛+1(𝜉)𝑑𝜉

ℝ

s’écrit de trois manière différente suivant les signes de 𝛼 et 𝛽 : Si 𝛼, 𝛽 > 0 alors 𝑣_𝑖𝑛+1 _{= 𝛼 + ∫ 𝑓} 𝑖𝑛+1(𝜉)𝑑𝜉 𝛽 𝛼 Si 𝛼 ≤ 0 et 𝛽 ≥ 0 alors 𝑣_𝑖𝑛+1 = ∫ 𝑓0 _𝑖𝑛+1(𝜉)𝑑𝜉 𝛼 + ∫ 𝑓𝛽 _𝑖𝑛+1(𝜉)𝑑𝜉 0 et si 𝛼, 𝛽 < 0 alors 𝑣_𝑖𝑛+1 _{= ∫ 𝑓} 𝑖𝑛+1(𝜉)𝑑𝜉 𝛽 𝛼 + 𝛽 Pour montrer que

min

𝑗∈ℤ 𝑣𝑗 0 _{≤ 𝑣}

𝑖𝑛 ≤ max_𝑗∈ℤ 𝑣𝑗0

on procède par récurrence, et on utilise la formule 0 ≤ 𝑠𝑔𝑛(𝜉)𝑓_𝑖𝑛+1_{(𝜉) ≤ 1, pour}

prouver que dans les trois cas précédents :

𝛼 ≤ 𝑣_𝑖𝑛+1 _{≤ 𝛽}

grâce à l’hypothèse de récurrence vraie au rang 𝑛. Quand j’aurai prouvé que

∑ 𝑆(𝑣_𝑖𝑛)

𝑖

≤ ∑ 𝑆(𝑣_𝑖0)

𝑖

je l’appliquerai à 𝑆(𝑥) = 𝑥 et à 𝑆(𝑥) = −𝑥 pour prouver que ∑ 𝑣_𝑖𝑛

𝑖

= ∑ 𝑣_𝑖0

𝑖

Le fait que 𝑓_𝑖𝑛+1 _{soit bornée et à support compact implique que 𝑓}

𝑖𝑛+1 ∈ 𝐿1(ℝ). Grâce au

fait que 0 ≤ 𝑠𝑔𝑛(𝜉)𝑓_𝑖𝑛+1_{(𝜉) = |𝑓}

𝑖𝑛+1(𝜉)| ≤ 1, on peut appliquer le théorème 2.2.1 (ii) qui

affirme que si 𝑆 est Lipschitzienne, continue, et convexe alors 𝑆 (∫ 𝑓_𝑖𝑛+1(𝜉)𝑑𝜉

ℝ

) − 𝑆(0) ≤ ∫ 𝑆′(𝜉)

ℝ

𝑓_𝑖𝑛+1(𝜉)𝑑𝜉 soit, dans notre cas

𝑆(𝑣_𝑖𝑛+1) ≤ ∫ 𝑆′(𝜉)

ℝ

𝑓_𝑖𝑛+1(𝜉)𝑑𝜉 que l’on peut écrire grâce à l’algorithme cinétique :

𝑆(𝑣_𝑖𝑛+1) ≤ 𝑆(𝑣_𝑖𝑛_{) − 𝜎} 𝑖(𝜂_𝑖+1 2 𝑆,𝑛 _{− 𝜂} 𝑖−1₂ 𝑆,𝑛₎ ou bien ℎ_𝑖𝑆(𝑣_𝑖𝑛+1_{) ≤ ℎ} 𝑖𝑆(𝑣𝑖𝑛) − 𝛥𝑡(𝜂_𝑖+1 2 𝑆,𝑛 _{− 𝜂} 𝑖−1₂ 𝑆,𝑛₎

en sommant pour 𝑖 allant de – 𝑁⁡ à 𝑁 on trouve ∑ ℎ_𝑖𝑆(𝑣_𝑖𝑛+1₎ 𝑁 𝑖=−𝑁 ≤ ∑ ℎ_𝑖𝑆(𝑣_𝑖𝑛₎ 𝑁 𝑖=−𝑁 − 𝛥_𝑡(𝜂 𝑁+1₂ 𝑆,𝑛 _{− 𝜂} −𝑁−1₂ 𝑆,𝑛 ₎

or 𝜂 𝑖+1₂ 𝑆,𝑛 _{= ∫ 𝑆}′_(𝜉)(𝑎 +(𝜉)𝜒(𝜉, 𝑣𝑖𝑛) − 𝑎−(𝜉)𝜒(𝜉, 𝑣𝑖+1𝑛 ))𝑑𝜉 ℝ = = ∫ 𝑆′_(𝜉)𝑎 +(𝜉)𝑑𝜉 𝑣_𝑖𝑛 0 − ∫ 𝑆′_(𝜉)𝑎 −(𝜉)𝑑𝜉 𝑣_𝑖+1𝑛 0 en prenant 𝑆(𝑥) = |𝑥| et ℎ_𝑖 = ℎ = 𝛥_𝑡 sup 𝜉∈[min 𝑗∈ℤ𝑣𝑗 0_;max 𝑗∈ℤ 𝑣𝑗 0_] |𝑎(𝜉)|on obtient ∑ ℎ|𝑣_𝑖𝑛+1| 𝑁 𝑖=−𝑁 ≤ ∑ ℎ|𝑣_𝑖𝑛| 𝑁 𝑖=−𝑁 + ℎ𝑀 ≤ ∑ ℎ|𝑣_𝑖0| 𝑁 𝑖=−𝑁 + (𝑛 + 1)ℎ𝑀 donc ∑ |𝑣_𝑖𝑛+1| ∞ 𝑖=−∞ < +∞ et lim 𝑖→±∞𝑣𝑖 𝑛+1 _{= 0}

donc par convergence dominée

lim 𝑖→±∞𝜂𝑖+1₂ 𝑆,𝑛 _{= 0} et enfin ∑ ℎ𝑖𝑆(𝑣𝑖𝑛+1) ∞ 𝑖=−∞ ≤ ∑ ℎ𝑖𝑆(𝑣𝑖𝑛) ∞ 𝑖=−∞

en particulier pour ℎ𝑖 = ℎ = 𝛥𝑡 sup 𝜉∈[min 𝑗∈ℤ𝑣𝑗 0_;max 𝑗∈ℤ 𝑣𝑗 0_] |𝑎(𝜉)|, on obtient ∑ 𝑆(𝑣_𝑖𝑛+1₎ ∞ 𝑖=−∞ ≤ ∑ 𝑆(𝑣_𝑖𝑛₎ ∞ 𝑖=−∞

La conclusion du schéma cinétique volume fini, c’est qu’en l’intégrant par rapport à 𝜉 on doit retomber sur le schéma volume fini entropique.

Donc on part du schéma vf entropique existant pour trouver le schéma vf cinétique (avec un flux cinétique discret bien décrit dans le papier de Perthame-Makridakis) Mais on ne discrétise pas la formulation cinétique continue de la loi de conservation scalaire directement.