inria-00340975, version 1 - 24 Nov 2008

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a p p o r t

d e r e c h e r c h e

9-6399ISRNINRIA/RR--6732--FR+ENG

Thème COG

Reconstruction d’images satellitaires à partir d’un échantillonnage irrégulier

Mikael Carlavan — Pierre Weiss — Laure Blanc-Féraud — Josiane Zerubia

N° 6732

Novembre 2008

inria-00340975, version 1 - 24 Nov 2008

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MikaelCarlavan, Pierre Weiss, Laure Blan-Féraud, Josiane Zerubia

∗

ThèmeCOG Systèmesognitifs

ProjetAriana

Rapportdereherhe n°6732Novembre200860pages

Résumé:Leproblèmedelareonstrutiond'imagesesteluid'estimeruneimageàvariable

ontinue àpartir des observations disrètes. Depuis lestravaux pionniers de Shannon, de

nombreusesméthodesontétéproposéesdanslalittératurepourlareonstrution d'images

àpartirdedonnéesobservéesaveunéhantillonnagehoisi,qu'ilsoitrégulierouirrégulier.

Nousnoussommesfoaliséssurleproblèmeglobaldelarestaurationd'uneimagesatellitaire

omprenant : la reonstrution d'une image régulièrement éhantillonnée à partir d'une

imageirrégulièrementéhantillonnée(lespositionsdeséhantillonssontsupposéesonnues);

laprise en ompte dela fontionde ou de l'appareiloptique(supposée onnue); laprise

enompte dubruit.Nousproposons uneméthode parminimisationdefontionnelle,dans

laquellenous utilisons une norme l¹ ^pour ^le ^terme ^d'attahe ^aux ^données, ^et ^la^variation

totale (VT) ou une transformée en ondelettes (Dual-Tree Complex Wavelet Transform)

omme terme de lissage. Cette méthode est très rapide et onverge en O _k¹

où k ^est ^le

nombred'itérationsalorsquelaplupartdesméthodesdeminimisationexistantesonvergent

O(^√¹_k)^.

Mots-lés: Optimisationonvexe,methodesvariationnelles,normel¹^,ondelettes,restau- rationd'image,déonvolution,imageriesatellitaire.

∗

Lesauteurs remerient l'entreprise CS-SIpour lenanement partielde etravailde reherhe, en

partiulierAnneChaniéetRosarioRuilobadeCS-SIpouretteollaboration,etégalementleCNESpour

touteslesdonnéesfournies.

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Abstrat: Theproblemofimage reonstrution onsistsin estimatinganimage in aon-

tinuoussettingfromdisreteobservations.BeginningwiththepioneeringworkofShannon,

severalmethods havebeenproposedfor imagereonstrution from regularlyorirregularly

spaeddisreteobservations.Wefousedonirregularsamplingimagereonstrutionwhih

inludes:regularsamplingimagereonstrutionformirregularlyspaedsamples(weassume

that theloations ofsamples areknown);image deonvolutionby taking intoaountthe

PointSpreadFuntionoftheoptis(supposedtobeknown);restorationofthenoisedueto

aquisitionbythesensors.Weproposeamethod minimizingafuntionalforwhihweuse

anl¹^-norm^for^the^data^term,ând^Tôtal^Variation^(TV) ôrâ^wavelet^transform^(Dual-Tree

ComplexWaveletTransform), forthesmoothingterm.Thismethod isveryfastand hasa

onvergenerateinO ¹_k

wherek^is^the^iteration^number^while^mostminimizationmethods onvergeinO(√¹

k)^.

Key-words: Convexoptimization,variationalmethods,l¹^-norm, ^wavelets,^image^restora-

tion,deonvolution,satelliteimaging.

(5)

Table des matières

1 Présentation 5

1.1 Position duproblème. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Imagesutilisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Construtiondesimages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Approhesvariationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Etat de l'art :algorithmesrapides 11 2.1 Gradientomposite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Méthodeàbase degradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Méthodeaéléréeàbasedegradient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Solution proposée 17 3.1 Résolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2 Réalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 Régularisationdans le domaine desondelettes 27 4.1 Transforméeenondelettesomplexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2 Miseenoeuvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.3 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5 Comparaisondual/primal 33 5.1 ModèleBV −l1 ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ³³

5.2 Algorithmeprimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.3 Algorithmedual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.4 Appliationauproblèmedereonstrution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6 Comparaisonrégularité/parimonie 41 6.1 Modèledeparimonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.2 Modèlederégularité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.3 ComparaisonavelemodèleBV −l¹ ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ⁴³

(6)

7 Conlusion etperspetives 49

(7)

Chapitre 1

Présentation

Depuismaintenantplusieursannées,latehnologienumériqueaprislemonopoledansplu-

sieurs domaines, en partiulier elui de l'imagerie. Bien que le passage analogique/num-

érique (éhantillonnage) induise une perte d'information, les avantages sont ertains. Un

desproblèmesmajeursapparuavelatehnologienumériqueest eluidelareonstrution

d'uneimage àpartirdes observations disrètesdonton dispose. Ces observations peuvent

aussibienêtreissuesd'unéhantillonnagerégulierqu'irrégulier.Danserapport,nousnous

sommesintéressésauaspartiulierdelareonstrutiond'imagessatellitairesàpartird'un

éhantillonnageirrégulier.

1.1 Position du problème

Dansleadredelaollaborationfrano-italienneduprogrammeORFEO(programmeper-

mettantàla foisl'aquisitiond'imagesoptiqueset radar), il est prévudutéfrançaisde

lanerdeuxsatellitesoptiqueshauterésolution. Cessatellites,nommésPléiades,et quide-

vraientêtrelanésd'ii2010pourlepremiereten2011pourleseondaurontlespropriétés

suivantes:

Longueursd'onded'aquisition:bleu,vert,rougeetproheinfrarouge.

Résolution:0.7m.

Fauhée(hampdevue):20km.

Parailleurs,demanièreàpouvoirrépondreàdesbesoinsdeartographiene, notamment

enzoneurbaineetenomplémentdeprisesdevuesaériennes,lessatellitesPléiadesdevront

permettrel'aquisitiondepairesstéréosopiquesquasi-instantanéesainsique laréalisation

demosaiquesd'imagesdetailles120kmpar120km.Enn,leurmobilitépermettrad'aquérir

desimagesentoutpointduglobeenl'espaed'unejournée.

Danseadred'aquisition,lareonstrutiond'uneimagesuper-résolueàpartird'unepaire

stéréosopiquepeuts'avérerintéressante.Si l'on onsidèredeux prisesdevue d'unemême

sène mais ave un angle diérent, alors on peut onsidérer qu'une des deux images est

(8)

éhantillonnéeirrégulièrementparrapportàlapremière.Danseontexte,lareonstrution

d'une image à partir de l'autre ou la fusion de lapaire stéréosopique peuvent être vues

ommedesproblèmesdereonstrutionàpartird'unéhantillonnageirrégulier.

1.2 Images utilisées

Comme il a été dérit préédemment, lesimages utilisées sont des pairesstéréosopiques.

Lagure1.1montreunexempled'unepairestéréosopiqueainsiquel'imagedesdisparités

d'uneimageàl'autre.

Fig. 1.1 Exemple d'une paire stéréosopique ©CNES (à gauhe et au entre) et des

disparitésd'uneimage àl'autre (à droite). Plus un élementse seradéplaé entre lesdeux

images et plusil sera sombre sur l'image des disparités.Les images n'étant pasprises au

même moment, on remarque que lesvoitures ont bougé d'une image àl'autre. De même,

l'ombredel'immeuble enbasauentreest légèrementdiérente.

Dans leadre de e travail, leCNES amis à notredisposition deux ouplesd'images: le

oupled'imagesde laprison Saint-MihelàToulouse prisesàl'aide duapteur Pélian et

elui deMarseille, simulationdu satellitePléiades. Ensuite pour haque ouple,lasoiété

CS nous afourni une image des disparitésentre les pairesstéréos. Leparagraphesuivant

déritl'algorithmequi aétéutiliséparCS.

1.2.1 Constrution des images

Pourtrouverlesvaleursdesdisparitésentrelespairesstéréos,lasoiétéCSautilisél'algo-

rithmeMARC(MultirésolutionAlgorithmforRenedCorrelation)développéparleCNES.

Dansetalgorithme,lemodèleutiliséestlesuivant:

˜

ub(x) =ub(x+θ(x)) +gb(x) ^(1.1)

oùub êtub ^sont^les^paires^stéréosêt θ(x)êstûn^déalageên^fontion^dex^.^Dansê^modèle, gb

(9)

valeurdudéplaementestdonnéenmaximisantlerapportdeorrélationsuivant:

ρx0(m) =

Rϕ(x0−x)ub(x+m) ˜ub(x)dx qR ϕ(x0−x)u²_b(x+m)dxR

ϕ(x0−x) ˜ub2(x)dx

(1.2)

Dans ette expression, ϕ ^est ^la ^fenêtre ^de orrélation, elle dénit l'intervallesur lequel la orrélationest alulée. Dans[7℄, une étudeest faitesur le hoixde taille et de formeop-

timalde ettefenêtrean delimiter lesartefatsdus auproessus destéréovision,omme

parexemplel'adhérene(dilatationdeertainsobjetsautourdeontours trèsmarqués).

Dans et algorithme, une hypothèse est faite sur les valeurs de θ(x) ^qui ^ne ^doivent ^pas

être trop fortes par rapport aux variations de ub^. ^Les ^points ^trouvés ^ne ^respetant ^pas

ettehypothèsenesontpasprisenompte.Pourrésoudreeproblème,l'algorithmeutilise

uneapprohemulti-éhelle.Enn,pourobtenirunepréisionsubpixéliquedelavaleurdes

disparités,ilestnéessaired'obteniruneimageontinuelorsdualulduoeientdeor-

relation.Cetteétapeestexpliquéedans[7℄.

Une fois la valeur des disparités obtenue, il est possibled'utiliser deux images diérentes

pourleproblèmed'éhantillonnageirrégulierquionsisteàreonstruireuneimageàpartir

deladeuxièmeetdesdisparités.Lagure1.2 montre lagrilleirrégulièreobtenueenappli-

quantlesdisparitésentrelesdeuximagesd'unepairestéréoàunegrillerégulière.

200 202 204 206 208 210 212 214 216 218 220

350 352 354 356 358 360 362 364 366 368 370

Grille reguliere

X

Y

200 202 204 206 208 210 212 214 216 218 220

345 350 355 360 365 370 375

Fig.1.2Comparaisond'unegrillerégulièredetaille20x20etd'unegrilleirrégulière.Cette

grilleirrégulièreestobtenueparappliationdeladisparitéentrelesdeuximagesd'unepaire

stéréosurunepetitezone.

Finalement,nousdérivonslesimagesparlemodèlesuivant:

u= ∆Λ(h∗I) +ε ^(1.3)

(10)

ave:











I^la^sène^observée,

h^la^réponseimpulsionnelledusystèmeoptiquedontl'expression est fournieparleCNES(3.17),

∆Λ ^la^grilleirrégulièred'éhantillonnage dénie par∆Λ(.) = P

λk∈∆

δ(.−λk),

lesλk ^sont^les^positions^deséhantillonsetδ ^réprésente^la^fontion^Dira,

dénie parδ(x) =

(1^si^x⁼⁰,

0^sinon

εûn^bruit^dûâuâpteurôptique^du^systèmeêt âuxêrreurs^dedisparités.Dansleadre denotreappliation, nousonsidéronsenprioritéeserreursdedisparités,nous

modéliseronsebruit ommeétantimpulsionnel(partie1.3).

(1.4)

1.3 Approhes variationnelles

Ilexistedenombreuxalgorithmesdereonstrutionàpartird'unéhantillonnageirrégulier

(f. [9, 11℄ par exemple). La plupart de es algorithmes onsidèrent la grille irrégulière

ommeétantune grillerégulièrepertubéeparun légerdéalageξ ^[14℄. ^Néanmoins^lorsque

e déalage devient plus important, es algorithmes deviennent très approximatifs. Il est

diilederésoudreeproblèmeenessayantuneinversiondiretedansledomainedeFourier

arlesfontionsdetransfertdesoptiquessontdesltrespasses-basets'annulentquandon

s'approhedelafréquenedeNyquist.Enonséquene,uneinversiondiretefaitexploserle

bruitontenudansl'imagemême sielui-iesttrèsfaible (voirgure1.3).Nousformulons

don notre problème omme la reherhe de la solution exate u^∗ ^qui ^verie ^l'équation

suivante:

g= ∆Λ.(h∗u^∗) +ε ^(1.5)

oùgêst^l'observâtion,î.e.^l'imageéhantillonnéeirrégulièrement.Nousherhonsàminimiser

ε^,^soitg−∆Λ.(h∗u)^e ^qui^est^formulé^par^: u^∗= arg min

u∈R^Nk∆Λ.(h∗u)−gk^pp ^(1.6)

où k.k^pp ^désigne ^une ^norme l^p ^à ^la ^puissane p^. ^Le ^hoix ^de p ^dépend ^du ^type ^de ^bruit

à minimiser. Pour un bruit gaussien,un hoix naturel est p = 2^, ^pour ^un ^bruit ^de ^type

impulsionnel on prendrap= 1 ^[3℄. ^Cependant, ^laformulation (1.6)(moindres arrés) fait égalementexploserlebruit.Ilest alorsnééssairederégulariserlessolutionsprésentes via,

parexemple,uneapprohevariationnelle:

u^∗= arg min k∆Λ.(h∗u)−gk^p+ λJ(u)

(11)

où J(u)êst l'opérateur de régularisation qui est fontion de u êt ^de ^ses ^dérivées, λ êst ^le

paramètrederégularisation.Certainsopérateursfavorisentmieuxlaparimonie(séparation

bruit/signal)etpermettentdereonstruireplusnementl'imagetoutenltrantlebruit(f.

hapitre4). Unopérateurtrèsrépanduentraitementd'imageestJ(u) =k∇uk1^[22℄.^Cette

régularisation senomme laVariation Totale (VT) et permet de onserverles ontours de

l'imagemaislisselestextures[1℄(eet "artoon").

Lesimages représentantlesdisparitésentre lesouplesd'imagespeuventprésenterdes er-

reurs.Ceserreursontdegrandesréperutionssurlareonstrutiondel'image,enpartiulier

surlerepositionnementdesontoursdesobjets.Ceipeutêtrevuommedubruitimpulsion-

nelsurl'intensité.Notremodèledoitdonêtrerobusteàegenredebruit(uneappliation

possibleaprès le rééhantillonnage pourrait être la fusiondes images). De plus,nous sou-

haitonsgarderuneertainequalité del'imageet donnepaslisserlesontours.Nousnous

plaçonsdondansleasp= 1^ar^nous^souhaitons^minimiser^un^bruitimpulsionneletnous régularisonslemodèleenutilisantlavariationtotale,onherhedon:

arg min

u∈R^Nk∆Λ.(h∗u)−gk1+λk∇uk1 ^(1.8)

Fig.1.3Inversiondiretedusystèmepouruneimagebruitéeaveunbruitblangaussien

direte.

And'expliiterleterme∆Λ.(h∗u)^, ^nous^passons^dans ^le^domaine^de^F^ourier^(on^désigne

parF l'opérateurdetransforméedeFourierdisrèteetF⁻¹ l'opérateurinverse):

arg min

u∈R^Nk∆Λ.(h∗u)−gk¹+λk∇uk¹= arg min

u∈R^NkF⁻¹(F(∆Λ.(h∗u)))−gk¹+λk∇uk¹

(12)

= arg min

u∈R^NkF⁻¹(F(∆Λ)∗(F(h)F(u))))−gk1+λk∇uk1 ^(1.9)

En notant G ^la transformée de Fourier de ∆Λ^, ^et ^en substituant le produit matriiel au produitdeonvolution,(1.9)peutseréériresouslaforme:

arg min

u∈R^NkF⁻¹(GF(h)F(u))−gk¹+λk∇uk¹ ^(1.10)

L'expressiondeF(h)êst êlle ^donnée^par^le ^CNES ^(3.17), ôn^la^noteraH^. Ênn, ên^rem-

plaçantl'opérateurF ^par^son^expression^matriielleF^,^nous^obtenons^: arg min

u∈R^NkF⁻¹(GHF u)−gk1+λk∇uk1 ^(1.11)

EnnotantS=F⁻¹G^, ^(1.11)^peut^se^réérire^sous^la^forme^: arg min

u∈R^NkSHF u−gk1+λk∇uk1 ^(1.12)

AveF l'opérateurdetransforméedeFourier,H ^latransforméedeFourierdelafontionde transfertdel'optiquehêt,ênn,Sûnôpérateur^permettant^de^passer^d'uneîmageômplexe

éhantillonnéerégulièrementà une image réelle éhantillonnée irrégulièrement(expression

donnéeàlapartie 3.2).Pourplusdesimpliité,nousérironsparlasuite:

arg min

u∈R^NkAu−gk¹+λk∇uk¹ ^(1.13)

CettemodèlisationestellequeE.Bughinavaitutilisédans[3℄.Pourrésoudreeproblème,

il avaitégalementutiliséune desente degradientqui onvergeaiten O(√¹

k) ^(nous^verrons

dans le hapitre 3 omment ontourner la non-dérivabilité de la norme l¹^). ^Ce ^taux ^de

onvergenen'estpasoptimal,ilestdonruialdetrouverdesalgorithmesrapidestelsque

euxproposésdans[10℄ou[25℄.Dans[10℄,laméthodedespointsintérieursestutilisée.Dans

[25℄, uneméthode est developpée pourrésoudrees fontionnellesàl'aided'unalgorithme

proposé par Y. Nesterov [17℄. Dans la suite de e rapport, nous détaillons un algorithme

enoreplusréentet plusperfomantdumêmeauteur[20℄.

(13)

Chapitre 2

Etat de l'art : algorithmes rapides

2.1 Gradient omposite

Dans un premier temps, Y. Nesterov [20℄ herhe à déterminer le minimum loal d'une

fontionφ^dénie ^par^:

φ(x) =f(x) + Ψ(x), x∈Q ^(2.1)

avef ôntinûment ^dérivableêt ônvexe, Ψûne ^fontionônvexe ^fermée^('est ^à^dire ûne

fontiononvexedontl'épigrapheest unensemblefermé)surunensembleQ^.^Une^fontion

dérivablef êst ^fortementônvexe^surQ^de^paramètre^deônvéxitéν≥0 ^si∀x, y∈Q^: h∇f(x)− ∇f(y), x−yi ≥νkx−yk²2 ^(2.2)

Le as ν = 0ôrrespond^à ûne ^fontion^dérivable ônvexe.Ûne ^hypothèse êst ^faite^sur Ψ

qui doit être une fontion simple 'est àdire une fontionoù arg min

y∈Q Ψ(y) +¹₂ky−xk²2

estalulable.Lafontionf ^est ^ontinûmentdiérentiableet songradientestsupposéLf^-

lipshitzien:

k∇f(x)− ∇f(y)k²6Lfkx−yk², ∀x, y∈Q ^(2.3)

Nousdisposonsdulemme fondamentalsuivant(A.48):

f(x)≤f(y) +h∇f(y), x−yi+L

2kx−yk², ∀x, y∈Q ^(2.4)

ave0 ≤L≤Lf^. ^Y. ^Nesterov ^généraliseê ^lemme ên^y âjoutant^la^fontion Ψ^, îl ôbtient

ainsi:

f(x) + Ψ(x)≤f(y) +h∇f(y), x−yi+L

2kx−yk²+ Ψ(x) ^(2.5)

D'où,grâeà(2.1):

φ(x)≤f(y) +h∇f(y), x−yi+L

2kx−yk²+ Ψ(x) ^(2.6)