EFFETS NON LINÉAIRES DANS LE MOUVEMENT CONVECTIF D'UN FLUIDE SOUMIS A L'INSTABILITÉ DE RAYLEIGH-BÉNARD

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EFFETS NON LINÉAIRES DANS LE MOUVEMENT CONVECTIF D’UN FLUIDE SOUMIS A

L’INSTABILITÉ DE RAYLEIGH-BÉNARD

M. Dubois

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M. Dubois. EFFETS NON LINÉAIRES DANS LE MOUVEMENT CONVECTIF D’UN FLUIDE

SOUMIS A L’INSTABILITÉ DE RAYLEIGH-BÉNARD. Journal de Physique Colloques, 1976, 37

(C1), pp.C1-137-C1-143. �10.1051/jphyscol:1976119�. �jpa-00216446�

EFFETS NON LINÉAIRES DANS LE MOUVEMENT CONVECTIF D'UN FLUIDE SOUMIS A L'INSTABILITÉ DE RAYLEIGH-BÉNARD

M. DUBOIS

Service de Physique du Solide et de Résonance Magnétique

Centre d'Etudes Nucléaires de Saclay, BP n° 2, 91190 Gif-sur-Yvette, France

Résumé. — Le comportement spatial de la vitesse convective est étudié dans un fluide soumis à l'instabilité de Rayleigh-Bénard. Dans le domaine 2 < e < 10, où e = (R — R

)/Rc, ce comporte- ment peut s'interpréter par la superposition au mode fondamental existant près du seuil, de ses second et troisième harmoniques. L'amplitude de ces derniers varie respectivement comme £ et s

'

quand on augmente AT".

Abstract. — The spatial dependance of the convective velocity field is studied in a fluid, sub- mitted to Rayleigh-Benard instability. For 2 < e < 10, (s = (R — Re)/Re), this dependance can be explained by the superposition of the fundamental mode, which describes the velocity behaviour near the threshold, and its second and third harmonics, the amplitude of which is varying respecti- vely as e and e

'

when AT is increased.

1. Introduction. — Lorsqu'une couche horizontale de fluide est soumise à une différence de température AT de même sens que les forces de la pesanteur, des mouvements naissent et se développent de façon très régulière à l'intérieur du fluide, lorsque AT excède une valeur critique AT

. Si AT - AT

reste faible, les pro- priétés du fluide se rapportent au domaine dit linéaire et sont bien comprises tant expérimentalement que théoriquement [5]. Dans cette communication, nous discutons au contraire des propriétés qui se rattachent au domaine non linéaire, pour lequel A r est grand devant AT

. Nous présentons essentiellement les résul- tats obtenus par des mesures locales de vitesse.

Ce travail s'insère normalement à la suite de celui présenté par M. Berge au cours de ce même congrès (colloque Transition de Phase), et a été réalisé avec sa collaboration.

2. Rappel des propriétés caractéristiques d'un fluide convectif près du seuil (domaine linéaire). — Ces pro- priétés sont prévues par la théorie linéaire [1, 2, 3] et confirmées expérimentalement avec un accord excel- lent [4, 5] dans le domaine 0 < AT < 3 AT

. Ces résul- tats ayant été présentés en [6], n'est donné ici qu'un tableau rapide des propriétés caractéristiques du fluide près du seuil de convection.

L'état de convection est décrit par un paramètre : le nombre de Rayleigh R = agd

AT/Kq qui est en fait le nombre sans dimension qui exprime le gradient de température.

Les variables qui décrivent le système sont la vitesse V et la perturbation de température 9. Lorsque R excède la valeur critique J?

= 1 707, les mouvements se déve- loppent dans la couche fluide avec une longueur

d'onde A

# 2 d. La géométrie des rouleaux de convec- tion est déterminée par les parois latérales qui confi- nent horizontalement le fluide. Dans le cas d'une cellule rectangulaire, ces rouleaux sont parallèles au petit côté de la cellule (structure à deux dimen- sions) [3]. Suivant le grand axe de la cellule (Fig. 1) les variables Ket 6 obéissent à un mode spatial unique

V

= °F

.sin 2KXIA

V

= °V

cos 2 nxjAc V

= 0

où V

, V

et V

sont les composantes de la vitesse locale suivant les axes définis figure 1.

z

I ^ ^ ! . ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^,' „<y

To ~Î^Y Y Y Y Y Y Y % v ^

TO,AT-X4,V ^ s A s \ A A A A /y^ ,

<jt " L« — »J

r

"

FIG. 1. — Schéma des rouleaux de convection dans une cellule rectangulaire. Présentation des axes de coordonnées Un tel comportement, prévu théoriquement, est tout à fait confirmé expérimentalement. On peut ainsi voir (Fig. 2) le comportement de la composante V

en fonction de x, comparé à une loi sinusoïdale unique de période 2 n/A,. avec A

= 2 d : l'accord est très bon.

Par ailleurs, lorsqu'augmente la différence de tempe-

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1976119

Cl-138 M. DUBOIS

FIG 2. - Variation de la composante verticale de la vitesse Vz en fonction de x (z

0,22 d). Les points expérimentaux sont comparés à une sinusoïde de période 2 n/Ac (courbe en trait plein)

E =

0.47 .

rature entre les parois horizontales qui confinent la couche fluide, la vitesse varie comme où

en accord avec les prédictions de Landau.

2.1 CONDITIONS DE MESURE. - L'accord entre les prédictions théoriques et les résultats expérimentaux nécessite des conditions d'expérience rigoureuses et obéissant d'aussi près que possible aux hypothèses de base des calculs. Ici, ces conditions sont principale- ment :

- étude d'une couche horizontale de fluide pur, homogène et dilatable,

- géométrie assimilée à une géométrie infinie (rapport d'aspect d / L inférieur à 1/6),

- parois horizontales ayant une conductivité ther- mique grande devant celle du fluide pour assurer la condition O = O à ces parois.

Expérimentalement, ces conditions ont été réalisées en prenant une cellule constituée de plaques de cuivre épaisses de 1 cm, entre lesquelles esr confinée de l'huile aux silicones pure (viscosité - ^{1 st. à} 25 OC). Les dimensions de la couche fluide, limitée par un cadre en plexiglas poli sont 10 x 3 x 1 cm. Ces conditions, qui sont celles des résultats présentés en [6] dans le domaine linéaire sont inchangées pour l'étude que noiis présentons ici. Aussi, tous les renseignements complé- mentaires concernant la cellule et les méthodes de vélo- cimétrie peuvent être trouvés en 161.

3. Résultats expérimentaux pour ^E > 2.

3 . 1 LA

STRUCTURE. - Avec la géométrie que nous avons adoptée, c'est-&-dire la couche fluide étant limitée par un cadre rectangulaire tel que le rapport d'aspect A = d / L soit égal A 1/10, la structure observée près du

seuil reste stable jusqu'à ^{E 2} 10. Dans ce domaine donc A = Ac.

Ce résultat expérimental très reproductible est diffé- rent de ceux obtenus par Koschmieder et Pallas [7], qui avec une géométrie cylindrique observaient une augmentation continue de A en fonction de R, mais il diffère peu de ceux présentés en [8]. La stabilité de la structure dans une géométrie rectangulaire peut être expliquée par l'énergie requise pour la disparition d'un rouleau sur toute la largeur de la cellule, en compa- raison de celle nécessitée pour sa disparition en un point.

Toutes les mesures de vitesse que nous présentons ont été obtenues dans le domaine 2 < E < 10, où la structure convective a donc pour longueur d'onde A = A,. Ces mesures sont toujours représentatives d'un état stable et dans le domaine étudié, nous n'avons jamais pu mettre en évidence aucun signe de turbulence, la vitesse du fluide coiivectif en un point donné restant indépendante du temps. Ce résultat ne saurait étonner car nous savons que l'apparition de la turbulence est liée à Pr, nombre de Prandtl du fluide étudié, P. Martin [ I l ] prévoit en effet que

RT - Pr (Pr + ⁴⁾

-- -

Rc Pr - 2

si RT est le nombre de Rayleigh correspondant au seuil de la turbulence. En prenant Pr = IO3, nombre de Prandtl de l'huile que nous avons utilisée, il vient

3 . 2 VARIATION DE V, ET DE V, EN FONCTION DE X. - La vitesse convective, donc ses composantes V, et V,, dépend des coordonnées x , y et z et de l'écart au gra- dient critique mesuré par c. Nous avons vérifié cepen- dant que, comme dans le domaine O < E < 2, la vitesse était indépendante de y à quelques % et aux effets de bord près.

Les trois figures 3, 4 et 5, donnent la variation spa- tiale soit de V x , soit de V , en fonction de x. Bien que

FIG. 3.

Variation de la composante horizontale de la vitesse,

V,, en fonction de x. z

0,22 d ;

3,95.

FIG. 4. - Variation de la composante horizontale de la vitesse Vz en fonction de x mesurée dans le plan médian (z

0,5 d ) ;

E =

8,M.

senté figure 4, avec une décomposition harmonique comme suit :

pour E = 8,04.

Enfin, la dépendance V z = f (x) est montrée figure 5, où V, est mesuré dans le plan médian de la cellule ;

E

= 5,67 et la décomposition harmonique donne

De tels résultats montrent l'importance des différents harmoniques dans la répartition spatiale des vitesses.

Cependant les phases des harmoniques 2 et 3 étant O ou n par rapport à l'origine des x, l'indépendance des mouvements d'un rouleau à l'autre est conservée.

Plus particulièrement, pour z ⁼ 0,22 d et z ⁼ 0,78 d la phase de v?' est la même, alors que celle de v:')

change de n. On remarque également que dans le plan médian, les maxima de coïncident avec ceux de V:

(Fig. 6 et 7).

FIG. 6 . - Phases relatives de VA" et de ~ 1 ~ ' .

FIG. 5.

Variation de la composante verticale de la vitesse Vr en fonction de x, mesurée dans le plan médian (z

0,5 d ) ;

E =:

5,67 .

mesurées h des valeurs différentes de ^{E ,} la structure

FIG. 7. - Phases relatives de Y"' et de vJ3'.

restant stable, chacune est représentative du comporte- ment spatial de V pour 2 <

< 10.

La figure 3 montre le comportement Vx = f _(x) mesuré pour z = 0,22 d [6] et E = 3,95. La décompo- sition harmonique d'une telle courbe donne :

où les amplitudes

v:"',

et OvX3) sont celles rela- tives au mode fondamental ( A = A,) et à ses harmo- niques 2 et 3.

Le comportement typique de V, en fonction de x pour z = 0,5 d (plan médian de la cellule) est repré-

3.3 D~PENDANCE EN FONCTION DE R. - Les résultats précédents ont montré clairement que le comporte- ment spatial de la vitesse peut s'expliquer par la super- position d'un mode fondamental et de ses deux pre- miers harmoniques. 11 est intéressant pour compléter l'information que nous en avons, d'étudier leur comportement en fonction de E. Une simple extra- polation des prédictions de Landau, prédirait en effet que la grandeur du second harmonique V(') varie comme E , et la grandeur du troisième comme e'v5.

TI est relativement aisé de connaître la variation

V") = S(E). En effet, si nous nous rapportons au

Cl-140 M. DUBOIS comportement de V,. la vitesse horizontale, présenté figure 4, nous pouvons voir que seule la composante

v:') existe dans le plan médian, où elle est maximum.

Nous avons donc mesuré directement la grandeur de

v:'' dans ce plan-là, pour différentes valeurs de E . Le

résultat figure 8 montre sans ambiguïté que

varie comme

avec

⁼ 5 $ 0,3 p m ~ - l pour

E = 1, à comparer avec l'amplitude

v:') r 134 pms- '

également pour

= 1.

FIG. 8. -Variation de vL2', mesuréc dans Ic pian médian ( z

0,s d) en fonction de e.

Le comportement de V(3) est plus complexe à obte- nir, car nulle part dans la cellule la vitesse du fluide ne dépend que du troisième harmonique. Cependant, si l'on se rapporte aux résultats présentés figure 5, et compte tenu des relations de phase dont nous avons déjà parlé, nous pouvons déduire que

VZ max = v!') rnax + v!~) rnax

où V, rnax est l'amplitude de la vitesse maximisée par rapport à z et x (donc mesurée dans le plan médian).

Et en effet, V, rnax cesse d'être proportioniiel à c09' quand ^E devient supérieur à 3 (Fig. 9). Si l'on porte pour chaque valeur de E , la différence A V entre V, rnax mesurée et la valeur de V, rnax extrapolée du compor- tement

du domaine linéaire, cette différence varie raisonnablement comme (Fig. 10). Compte tenu du fait que les valeurs AV ne sont pas précises, l'expo- sant 1,5 n'est lui même estimé qu'à 10 % près.

La valeur de ~ 1 ~ ' rnax extrapolée pour ^E = 1 est environ 6 pms-', c'est-à-dire du même ordre de gran- deur que v?) rnax (5 pms-').

La dépendance en fonction de ^E de l'amvlitude des

FIG. 9. - Variation de Vz max en fonction de

FIG. 10.

Variation de Aven fonction de e, AVest la différence, pour une valeur donnée de

entrc la valeur Vz rnax mesurée et

celle extrapolée du domaine linéaire.

4. Comparaison des résultats expérimentaux avec les prévisions théoriques. - Au point de vue théorique, les termes harmoniques du mode fondamental appa- raissent lorsque dans les équations de base qui décri- vent Ie phénomène convectif. les termes du second ordre, tel que V-grad 8 ne sont plus négligés. Un premier calcul avait été élaboré en [IO], mais tout récemment, C . Normand et Y. Pomeau (') l'ont repris et ont donné de façon très complète le comportement spatial de Vc2) ainsi que sa grandeur. Des calculs concernant V(3) sont également en cours.

différenrr harmoniques V") et VC3' est 'donc bien _4.1 C O M ~ O R T E M B ~ D U SECOND HARMONIQUE. - compatible avec ce qui est attendu. Les calculs prévoient les variations de v!" ^{et de} v?' ^en

Notons que ces dépendances en s sont différentes de

celles obtenues par Gollub et Freilich [9] lors de l'étude (11 Normand, C. et Pomeau Y., C . E. N. Saclay, Orme des

de l'instabilité de Taylor, effectuée avec de l'eau. Merisiers, Communication privée et à paraître.

comparées au comportement de v!') ^{et de} v:". Sur ces courbes, seule est à considérer la variation spatiale, les maxima étant tous normalisés à 1. Nous pouvons

autres et inscrits dans la cellule élémentaire carrée de côté d où évolue le rouleau fondamental (Fig. 13).

Toutes les propriétés spatiales de v"' tant théoriques qu'expérimentales y sont satisfaites.

FIG. 11. - Variation calculée de l't''en fonction de

comparée à l'j"

- f (z).

/ ^(2nd harmonique)

FIG. 12. - Variation calculée de v;" en fonction de z, comparée à vil'

f

ainsi remarquer que v?' est nul pour z = d / 2 , là où Vz

est maximum - v?) par contre s'annule pour z = d/4 et est maximum pour z = d / 2 (ce que nous avons vérifié expérimentalement figure 4 par exemple).

Les calculs ont permis également d'évaluer la gran- deur de v?' max et de v:') max, qui sont du même ordre de grandeur. Pour ^E = 1,

v'" ^{max o 2,5 pms-} ' .

Si nous nous reportons aux résultats expérimentaux, nous voyons qu'ils sont tout à fait compatibles avec les prédictions du calcul ; y compris l'ordre de grandeur de la vitesse mesurée.

Il est possible de résumer tous ces résultats par un schéma simple. De même que la structure convective près du seuil peut être représentée par des rouleaux cylindriques qui s'engrènent les uns dans les autres, de même le comportement du second harmonique décri- vant la perturbation de vitesse peut être schématisé par

mode fondamental + zd harmonique

FIG. 13. - Représentation schématique du mouvement du fluide lié a la présence du second harmonique dans le comportement

spatial de la vitesse.

Il semble donc que le comportement du second har- monique de la vitesse convective soit bien compris en nous limitant cependant au domaine où A reste égal à A,.

4 . 2 COMPORTEMENT DU TROISIÈME HARMONIQUE. -

Nous n'entrerons pas dans les détails du comportement du troisième harmonique, car les calculs et expériences n'en sont qu'à un premier stade d'étude.

Nous pouvons cependant dire que lors du dévelop- pement de l'expression analytique de v ( ~ ) , plusieurs termes interviennent, que l'on peut grouper sous la forme suivante, pour V, par exemple :

2 nx

v:" + ^COS (2T) j z ( z ) + ^COS (2) ^- g,(z) (1)

oùA(z) s'annule pour z = 0 , z = d et deux fois pour O < z < d, tandis que g,(z) ne s'annule qu'aux parois.

Nous pouvons voir tout de suite que lors d'une décom- position harmonique du comportement de la vitesse suivant x, l'effet de la présence de v ' ~ ) est non seule- ment de présenter un terme troisième harmonique du mode fondamental, mais aussi d'ajouter une certaine contribution au terme fondamental proportionnelle à f (2).

Le schéma, présenté figure 14, résume un tel compor- tement par la superposition, non plus de rouleaux cylindriques, mais de rouleaux allongés, soit suivant x, soit suivant z.

10

M. DUBOIS

v;

A,

VX ^oc

ZJIX

Ac

FIG. 14.

Représentation schématique du mouvement du fluide lié à la présence du troisitme harmonique dans le comporte-

ment spatial de la vitesse.

Quelle confirmation d'une telle configuration est donnée par l'expérience ? La nature choisit-elle une configuration plutôt qu'une autre ? Quelles en sont les incidences sur le flux de chaleur ?

Au stade expérimental actuel, nous pouvons affirmer que Ia configuration représentée par des rouleaux allon- gés suivant z décrit le comportement expérimental de

v!~', donc existe.

La configuration des rouleaux allongés suivant x, semble aussi être présente, mais nous n'en avons qu'une manifestation indirecte par le comportement de

V, = .f (8). En effet, nous pouvons voir figure 15 que, même très loin du seuil (3 < E < 10)' V, max reste

La non-influence de v?) est, au contraire, hautement non triviale mais peut s'expliquer par une compensa- tion locale de deux termes au point où V, max est mesuré : nous avons vu en effet, formule (1)' que les contributions du 3e harmonique sur V, provenaient de deux termes. De même pour la composante V, on peut écrire

2 nx 6 nx

v,'"

sin (n;) f,(z) + sin ( - K ) p,(z) . (2)

I I

On peut voir figure 14 une représentation schématique de l'influence du terme 1 (à droite) et de celle du terme II (à gauche). Il est clair qu'au point où Vx max est mesuré, les contributions 1 et II sont de signe opposé, et selon la valeur des fonctions f,(z) et g,(z) peuvent s'annihiler mutuellement, donnant un effet global nul pour l'harmonique v?). Cette interprétation est plei- nement confirmée par l'analyse harmonique de la caractéristique V, = f (x) ; par exemple pour E = 3,95 (Fig. 3) on trouve :

En fait, ce que nous avons nommé OP':"* n'est pas composé que du seul terme fondamental mais au contraire représente la somme de tous les termes ayant la période fondamentale A,. Or (2) nous indique qu'une partie du 3e harmonique a précisément cette période A , (terme 1). Donc, en fait,

où

v:') désigne la grandeur de la composante fonda-

mentale de V, et

(I). la part du 3e harmonique correspondant au terme 1 de la formule (2). D'après la figure 15 nous pouvoris déduire (pour E = 3,95) :

OV;"

= 261 pms-' d'où

OV;~)(I) = I l pms-' , d'amplitude égale et de sens opposé à

O v J 3 )

= 11,5 pms-' ,

~ i ~ - . ~ é Vz max

~ (e), vz max étant la ~ ~ justifiant ainsi quantitativement la compensation d ~ ~ ~ ~ de la composante horizontale de la vitesse réellement mesurée locale faisant disparaître toute influence du 3e harmo-

(avant toute décomposition harmonique). nique sur V, max.

5. Conclusion. - Les résultats de cette étude des proportionnel à E'.' paraissant ainsi insensible à la pré- harmoniques supérieurs du mode fondamental qui décrivent le comportement de la vitesse convective, sence des harmoniques supérieurs de vil), ce qui ne

sont tout à fait cohérents avec ce qui est attendu théori- peut manquer d'étonner.

quement. Une fois de plus, la mesure de vitesses locales

~n ce qui est de la non-influence de Y?', elle a permis d'approcher finement la compréhension du s'explique simplement par les phases relatives de v:') et phénomène convectif, loin de AT,, où il est de v?) ^{(Fig. 6) :} aux points où v:') est maximum, intéressant de voir comment le mouvement s'organise

v!') est nul. avec des modes spatiaux de plus en plus petits.

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