OP3 – Superposition d’ondes lumineuses A – Travaux dirigés OP31 – Méthode de Fresnel

(1)

OP3 – Superposition d’ondes lumineuses A – Travaux dirigés

OP31 – Méthode de Fresnel

1°)

Soit les deux signaux : 𝑠𝑠1(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴1𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(ω𝑡𝑡 +ϕ₁) 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑠𝑠2(𝑡𝑡) =𝐴𝐴2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(ω𝑡𝑡+ϕ₂). On se rappelle que les normes des vecteurs 𝑆𝑆��⃗1 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑆𝑆��⃗2 sont égales aux amplitudes des signaux.

On a représenté aussi le vecteur de Fresnel du signal somme 𝑠𝑠(𝑡𝑡) 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑆𝑆⃗ tel que : 𝑆𝑆² =�𝑆𝑆��⃗1+𝑆𝑆��⃗�² =₂ 𝑆𝑆₁²+𝑆𝑆₂²+ 2𝑆𝑆��⃗₁.𝑆𝑆��⃗₂ = 𝑆𝑆₁²+𝑆𝑆₂²+ 2𝑆𝑆₁.𝑆𝑆₂cos (ϕ₂−ϕ₁) Donc :

𝐴𝐴² =𝐴𝐴₁²+𝐴𝐴₂²+ 2𝐴𝐴₁𝐴𝐴₂𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 (ϕ₂−ϕ₁) 2°)

On a :

𝐴𝐴² = 2𝐴𝐴12�1 +𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠�ϕ₂−ϕ₁��= 4𝐴𝐴12𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠^2�^ϕ²⁻^{2 �}^ϕ¹ ⇒ 𝐴𝐴= 2𝐴𝐴1𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 �ϕ₂−ϕ₁

2 �

Soit 𝑠𝑠(𝑡𝑡) =𝑠𝑠1(𝑡𝑡) +𝑠𝑠2(𝑡𝑡) =𝐴𝐴�cos�ωt +ϕ₁�+ A cos(ωt +ϕ₂)�

= 2𝐴𝐴𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 �2ωt +ϕ₁+ϕ₂

2 � 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 �ϕ₂−ϕ₁

2 �

𝑐𝑐𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑝𝑝+𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐= 2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 �𝑝𝑝+𝑐𝑐

2 � 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 �𝑝𝑝 − 𝑐𝑐 2 � 𝐷𝐷^′𝑐𝑐ù 𝑠𝑠(𝑡𝑡) = 2𝐴𝐴𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 �ϕ₂ −ϕ₁

2 �

��

𝐴𝐴

cos (ωt +ϕ_m)

(2)

OP32 – Interférences

Soit :

𝐼𝐼(𝑀𝑀) =𝐾𝐾� 𝑠𝑠 𝑠𝑠^∗�

= 𝐾𝐾 �𝑝𝑝1𝑒𝑒^𝑗𝑗�^ω^𝑡𝑡−^ϕ¹^{(𝑥𝑥)�}+𝑝𝑝2𝑒𝑒^𝑗𝑗�^ω^𝑡𝑡−^ϕ²^{(𝑥𝑥)�}� �𝑝𝑝1𝑒𝑒^{−𝑗𝑗�}^ω^𝑡𝑡−^ϕ¹^{(𝑥𝑥)�}+𝑝𝑝2𝑒𝑒^{−𝑗𝑗�}^ω^𝑡𝑡−^ϕ²^{(𝑥𝑥)�}�

= 𝐾𝐾𝑝𝑝₁² +𝐾𝐾𝑝𝑝₂² +𝐾𝐾𝑝𝑝1𝑝𝑝2�𝑒𝑒^𝑗𝑗�^ϕ¹^{(𝑥𝑥)−}^ϕ²^{(𝑥𝑥)�}+𝑒𝑒^{−𝑗𝑗�}^ϕ¹^{(𝑥𝑥)−}^ϕ²^{(𝑥𝑥)�}�

=𝐾𝐾𝑝𝑝₁² +𝐾𝐾𝑝𝑝₂² + 2𝐾𝐾𝑝𝑝₁𝑝𝑝₂cos�ϕ₂(𝑥𝑥)−ϕ₁(𝑥𝑥)�

D’où

𝐼𝐼1+𝐼𝐼2+ 2�𝐼𝐼1𝐼𝐼2cos�∆ϕ(𝑀𝑀)�

2°) Or :

𝐼𝐼_{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑥𝑥} = 𝐼𝐼₁+𝐼𝐼₂+ 2�𝐼𝐼₁𝐼𝐼₂ 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝐼𝐼_{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚} = 𝐼𝐼₁+𝐼𝐼₂−2�𝐼𝐼₁𝐼𝐼₂ Tel que :

3°) On a : 𝐶𝐶 =^𝐼𝐼_𝐼𝐼^{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚}^−𝐼𝐼^{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚}

𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚+𝐼𝐼_{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚}=_2(𝐼𝐼^4�𝐼𝐼¹^𝐼𝐼²

1+𝐼𝐼₂)

Or : 𝐶𝐶 =_2(𝐼𝐼^4�𝐼𝐼¹^𝐼𝐼²

1+𝐼𝐼₂)= 2_1+𝑢𝑢^√𝑢𝑢 𝑐𝑐ù 𝑢𝑢 =^𝐼𝐼_𝐼𝐼² D’où : 1

𝐶𝐶^′(𝑢𝑢) =2� 1

2√𝑢𝑢(1 +𝑢𝑢)− √𝑢𝑢�

(1 +𝑢𝑢)² = 2� 1

2√𝑢𝑢− √𝑢𝑢2 �

(1 +𝑢𝑢)² =√𝑢𝑢 �1 𝑢𝑢 −1�

(1 +𝑢𝑢)² Donc C est extrêmal pour u=1

4°) On a : ∆ϕ(𝑀𝑀) =²_λ^πδ

(3)

5°) Soit : 𝛿𝛿 = (𝑆𝑆₂𝑀𝑀) – (𝑆𝑆₁𝑀𝑀) Or :

⎩⎪

⎨

⎪⎧

𝑆𝑆₂𝑀𝑀 =��𝑥𝑥+𝑝𝑝

2�²+𝐷𝐷² +𝑦𝑦² =𝐷𝐷�1 +𝑦𝑦² 𝐷𝐷²+�𝑥𝑥

𝐷𝐷+ 𝑝𝑝 2𝐷𝐷�² 𝑆𝑆₁𝑀𝑀= ��𝑥𝑥 −𝑝𝑝

2�²+𝐷𝐷² +𝑦𝑦² =𝐷𝐷�1 +𝑦𝑦² 𝐷𝐷²+�𝑥𝑥

𝐷𝐷 − 𝑝𝑝 2𝐷𝐷�²

⇔

⎩⎪

⎨

⎪⎧ 𝑆𝑆2𝑀𝑀~𝐷𝐷 �1 +1 2�𝑝𝑝𝑥𝑥

𝐷𝐷²+ 𝑦𝑦² 𝐷𝐷²+ 𝑝𝑝²

4𝐷𝐷²+ 𝑥𝑥² 𝐷𝐷²��

𝑆𝑆₁𝑀𝑀~𝐷𝐷 �1 +1 2�−𝑝𝑝𝑥𝑥

𝐷𝐷²+ 𝑦𝑦² 𝐷𝐷²+ 𝑝𝑝²

4𝐷𝐷²+ 𝑥𝑥² 𝐷𝐷²��

Donc :

𝛿𝛿∼ 𝐷𝐷×𝑝𝑝𝑥𝑥 𝐷𝐷²

⇒ 𝛿𝛿 =𝑝𝑝𝑥𝑥 𝐷𝐷

⇒∆ϕ(𝑀𝑀) =2π

λ₀δ=2π λ₀ 𝑝𝑝𝑥𝑥

𝐷𝐷

⇒ 𝐼𝐼(𝑀𝑀) = 2𝐼𝐼0�1 + cos�2π

λ₀ ^{𝑝𝑝𝑥𝑥}_𝐷𝐷^��

(4)

B – Exercices supplémentaires

OP33 – Superposition d’ondes

(5)

OP34 – Tube de Kundt

OP35 - Accord d’un piano

(6)

OP36 - Ecoute musicale et interférences

OP37 - Anharmonicité d’une corde de piano

1°) 𝑆𝑆𝑐𝑐𝑆𝑆𝑡𝑡 𝑐𝑐= [𝜔𝜔]

[𝑘𝑘] donc c est une vitesse

Le terme sous la racine est sans dimension donc α à la dimension de _𝑘𝑘²¹ soit [𝛼𝛼] =𝑇𝑇²