OCEANOGRAPHIE PHYSIQUE (V2) Ecole Navale

OCEANOGRAPHIE PHYSIQUE (V2) Ecole Navale

Nathalie DANIAULT UM/LPO - UFR Sciences

Universit´ e de Bretagne Occidentale

1er f´ evrier 2005

Table des mati` eres

1 Introduction 4

1.1 L’oc´eanographie Physique . . . 4

1.2 D´efinitions et classifications . . . 6

1.2.1 Courant . . . 6

1.2.2 Classifications . . . 6

1.2.3 Th´eorie des courants marins . . . 6

2 Propri´et´es physiques de l’eau de mer 8 2.1 Temp´erature . . . 8

2.1.1 La distribution des temp´eratures de surface . . . 8

2.1.2 La distribution des temp´eratures avec la profondeur . . . 8

2.1.3 La temp´erature potentielle θ . . . 9

2.2 Salinit´e . . . 10

2.2.1 Variation de S avec la profondeur . . . 11

2.2.2 Propri´et´es conservatives et non-conservatives . . . 11

2.3 Masse volumique ou densit´e . . . 11

2.3.1 d´efinitions . . . 11

2.3.2 Stabilit´e statique et fr´equence de Brunt Va¨ısala . . . 12

2.4 Propri´et´es acoustiques . . . 14

3 Bilan d’´energie et d’eau de l’oc´ean mondial 16 3.1 Le syst`eme oc´ean-atmosph`ere . . . 16

3.1.1 L’apport par rayonnement incident . . . 16

3.1.2 L’´equilibre radiatif . . . 17

3.1.3 Le principe de l’effet de serre . . . 17

3.1.4 L’effet des mouvements fluides . . . 18

3.2 Les transferts de propri´et´es entre l’atmosph`ere et l’oc´ean . . . 19

3.2.1 Le transfert de quantit´e de mouvement . . . 19

3.2.2 Les transferts de chaleur . . . 21

3.2.3 Le transfert d’eau douce . . . 21

3.2.4 Les gradients lat´eraux de densit´e de surface et la circulation thermohaline 22 4 Les ´equations du mouvement 23 4.1 G´en´eralit´es . . . 23

4.1.1 Les lois de base . . . 23

4.1.2 Classification des forces . . . 23

4.2 L’´equation de continuit´e - ´equation de conservation . . . 24

4.2.1 Equation de conservation de la masse . . . 24

4.2.2 Application . . . 25

4.2.3 Equation de conservation du sel . . . 26

4.3 Les ´equations du mouvement . . . 27

4.3.1 Remarques . . . 28

4.3.2 Le terme de pression . . . 28

4.3.3 Passage aux axes li´es `a la terre . . . 31

4.3.4 Le frottement . . . 33

4.4 Les ´equations de l’´ecoulement moyen (Reynolds) . . . 35

4.4.1 Tension de Reynolds et viscosit´e turbulente . . . 36

4.4.2 Adimensionalisation (scaling) des ´equations . . . 37

4.5 L’approximation de Boussinesq . . . 39

4.6 Les nombres de Rossby et d’Ekman . . . 40

4.7 Autres nombres sans dimension . . . 41

4.7.1 Le nombre de Rossby . . . 42

4.7.2 Le nombre de Reynolds . . . 42

4.7.3 Le nombre d’Ekman . . . 42

4.7.4 Le nombre de Froude . . . 42

4.7.5 Le nombre de Burger . . . 43

4.7.6 Le nombre de Richardson . . . 44

5 Courants sans frottement 45 5.1 L’´equilibre hydrostatique . . . 45

5.2 Le courant d’inertie . . . 46

5.3 L’´ecoulement g´eostrophique . . . 48

5.3.1 Quelques d´efinitions . . . 48

5.3.2 Les ´equations du courant g´eostrophique . . . 50

5.3.3 La m´ethode g´eostrophique (dynamique) de calcul des vitesses relatives . 52 5.3.4 Les ´equations du vent thermique . . . 53

5.4 Ecoulement g´eostrophique d’un fluide homog`ene . . . 55

5.4.1 fluide homog`ene . . . 55

5.4.2 ´ecoulement peu ´etendu en latitude . . . 55

5.4.3 fond irr´egulier . . . 55

6 Courants avec frottement 57 6.1 La d´erive des icebergs . . . 57

6.2 La solution d’Ekman int´egr´ee . . . 58

6.3 La solution d’Ekman compl`ete . . . 59

6.3.1 Pla¸cons nous en surface . . . 60

6.3.2 Pla¸cons nous au fond . . . 61

6.4 Couche d’Ekman de surface . . . 61

6.4.1 Upwelling et downwelling . . . 63

6.4.2 Un exemple . . . 63

6.4.3 Upwelling et gradient de pression . . . 65

6.5 La couche d’Ekman au fond . . . 65

6.5.1 Solution plus g´en´erale . . . 67

7 La circulation forc´ee par le vent 69

7.1 Dans la couche d’Ekman . . . 70

7.1.1 G´eostrophie . . . 70

7.1.2 Ekman . . . 70

7.1.3 Total . . . 71

7.2 Sous la couche d’Ekman . . . 71

7.3 Sur toute la profondeur . . . 72

7.4 Ordres de grandeur des termes . . . 73

7.5 La circulation de Sverdrup . . . 73

7.6 Un cas d’´ecole . . . 75

7.7 Intensification du courant de Bord Ouest . . . 76

7.8 Influence de la stratification . . . 77

7.9 La vorticit´e . . . 78

7.10 La vorticit´e relative ζ . . . 79

7.11 La vorticit´e plan´etaire f . . . 79

7.12 La vorticit´e absolue (ζ+f) . . . 80

7.13 La vorticit´e potentielle (^ζ+f_D ) . . . 80

7.14 Les th´eories de la conservation de la vorticit´e potentielle . . . 81

8 La circulation thermohaline 83 8.1 Introduction d’un processus thermohalin . . . 83

8.1.1 Les hypoth`eses de d´epart . . . 83

8.1.2 Introduction d’un processus thermohalin . . . 84

8.2 Le transport dans les courants de bord Ouest . . . 85

8.3 Les th´eories de la thermocline ventil´ee . . . 87

9 Ondes oc´eaniques 89 9.1 Dynamique des ondes lin´eaires . . . 89

9.2 Ondes de Kelvin . . . 91

9.3 Ondes de Poincar´e: inertie-gravit´e . . . 93

9.4 Ondes de Rossby: plan´etaires . . . 94

9.5 Ondes topographiques . . . 97

Chapitre 1 Introduction

1.1 L’oc´ eanographie Physique

Oc´eanographie: Science qui a pour objet l’´etude des mers et des oc´eans, du milieu marin et de ses fronti`eres ainsi que des organismes qui y vivent.

L’oc´eanographie consiste `a ´etudier les oc´eans par l’utilisation de diverses sciences de base telles que la physique, la chimie, la biologie, la g´eologie, les math´ematiques ´etant ´evidemment omnipr´esentes.

La contribution du physicien est d’´etudier la distribution de diverses propri´et´es telles que la temp´erature, la salinit´e, la densit´e, la transparence ... qui permettent de distinguer une masse d’eau d’une autre, et d’´etudier et comprendre les mouvements de l’oc´ean en r´eponse aux forces qui agissent sur lui.

On peut ´etablir une liste (non exhaustive) de probl`emes types pos´es en oc´eanographie physique (fig 1):

• Pourquoi, aux latitudes moyennes, la circulation oc´eanique en surface se fait dans le sens des aiguilles d’une montre dans l’h´emisph`ere Nord, et dans le sens inverse dans l’h´emisph`ere Sud?

• Pourquoi ces circulations de surface sont ´etroites et rapides sur les bords Ouest des oc´eans (Gulf Stream, Kuroshio) mais larges et lentes ailleurs?

• Pourquoi une circulation d’Ouest en Est tout autour du continent Antarctique?

• Comment ´evolue la circulation oc´eanique avec la profondeur?

• Quelles sont les raisons de la complexit´e des courant ´equatoriaux?

• Comment se font les transferts d’´energie (chaleur et quantit´e de mouvement) entre l’at- mosph`ere et l’oc´ean?

• Quelles sont les caract´eristiques et les causes des ondes internes `a l’int´erieur de l’oc´ean?

• Quel est le rˆole de l’oc´ean dans la r´egulation climatique (r´eservoir de chaleur, volant thermique)?

Certaines de ces questions ont des r´eponses, d’autres des r´eponses partielles, et au fur et `a mesure des progr`es, de nouveaux probl`emes apparaissent et de nouvelles questions sont pos´ees.

Les ´etudes en oc´eanographie physique sont men´ees d’une part par une observation directe des propri´et´es et des mouvements des masses d’eau, d’autre part par application des prin- cipes de la physique de base, m´ecanique et thermodynamique, pour d´eterminer et comprendre les mouvements observ´es. L’approche ”observation” est appel´ee oc´eanographie descriptive (ou

synoptique). La seconde, est appel´ee oc´eanographie dynamique. Le but est d’utiliser les lois physiques connues pour obtenir des relations math´ematiques entre les forces agissant sur le milieu oc´eanique et les mouvements qui en r´esultent. C’est la dualit´e observation-mod´elisation.

L’objectif final est d’apprendre suffisamment sur la structure et les mouvements de l’oc´ean pour ˆ

etre capable de pr´edire son ´etat futur, un peu comme en m´et´eorologie.

Mesurer pour connaˆıtre, puis connaˆıtre pour mod´eliser et enfin mod´eliser pour comprendre.

Ensuite seulement viendra la pr´evision. Tel est le cr´edo des oc´eanographes actuels.

Si la terre est habitable, c’est un peu `a l’oc´ean que nous le devons. En effet, par la redis- tribution de la chaleur vers les pˆoles qu’il effectue (il participe `a ce transport `a parit´e avec l’atmosph`ere) l’oc´ean contribue `a maintenir la temp´erature des zones ´equatoriales plus basse et celle des hautes latitudes plus haute qu’elles ne le seraient en l’absence de ce transport de chaleur.

La capacit´e calorifique de l’eau (' 4000J kg⁻¹K⁻¹, environ 4 fois celle de l’air) fait que l’oc´ean est le r´egulateur thermique de l’atmosph`ere: une couche de 2.5mde la surface oc´eanique peut stocker autant de chaleur que la totalit´e de l’atmosph`ere:

la masse par unit´e de surface de l’atmosph`ere est d’environ 10<sup>4</sup>kg m<sup>−2</sup> et puisque l’acc´el´eration de la pesanteur est de l’ordre de 10ms<sup>−2</sup>le poids de l’atmosph`ere par unit´e de surface, ou la pression atmosph´erique, est de l’ordre de 10⁵N m⁻² soit 10⁵P a soit 1bar. La masse volumique de l’eau ´etant 1000 fois celle de l’air, environ 10m d’oc´ean ont le mˆeme poids par unit´e de surface: la pression augmente d’environ 1bar tous les 10mde profondeur. Cette diff´erence de poids implique une grande diff´erence de capacit´e calorifique: la chaleur sp´ecifique de l’eau (capacit´e calorifique par unit´e de masse) est 4 fois plus importante que celle de l’air ; ainsi 2.5m d’eau ont la mˆeme capacit´e calorifique par unit´e de surface que toute l’´epaisseur de l’atmosph`ere. En d’autres termes, la chaleur n´ecessaire pour augmenter de 1K toute l’atmosph`ere est identique `a celle n´ecessaire pour augmenter de 1K 2.5md’oc´ean.

N´eanmoins, le syst`eme oc´ean-atmosph`ere est un syst`eme coupl´e car c’est la circulation atmosph´erique (le vent) qui est responsable pour une large part de la circulation g´en´erale des oc´eans, aussi comprend-on que l’explication globale des ph´enom`enes climatiques passe par l’´etude de la dynamique oc´eanique. On comprend ´egalement que la protection des mers revˆet une importance capitale: on peut parler ici du probl`eme du CO₂ dont l’augmentation (30%

en 100 ans), li´ee `a l’utilisation du charbon et du p´etrole, pourrait, par ”effet de serre” faire croˆıtre la temp´erature moyenne de l’atmosph`ere causant la fonte des calottes polaires, avec les cons´equences que l’on imagine. L’oc´ean jouera-t-il un rˆole de buvard?

Il convient ´egalement d’´evoquer le ph´enom`ene ”El Ni˜no” (fig 2): vers No¨el, le courant de Humbolt ne remonte pas jusqu’aux cˆotes du P´erou, ´etant contrecarr´e dans son ´evolution par un contre-courant chaud appel´e El Ni˜no (du fait de son apparition `a cette ´epoque de l’ann´ee) s’´ecoulant de l’´equateur vers le pˆole. De temps en temps, environ tous les cinq ans, ce courant est plus intense que la normale, il p´en`etre plus au sud et ses eaux sont exceptionnellement chaudes.

Son intensification est accompagn´ee de pluies tr`es importantes, sur le continent habituellement d´esertique. Les vents (aliz´es, dirig´es vers le large) faiblissent ou s’annulent, l’upwelling nourricier est masqu´e par les eaux chaudes pendant plusieurs semaines. Les anchois et les oiseaux marins meurent par millions, la pˆeche p´eruvienne connaˆıt une ann´ee difficile, mais surtout il se produit des perturbations climatiques (s´echeresses ici, cyclones et trombes d’eau l`a) sur tout le globe.

C’est ce qu’on appelle le ph´enom`ene “El Ni˜no - oscillation australe”.

1.2 D´ efinitions et classifications

1.2.1 Courant

C’est le mouvement d’une particule d’eau marine. La profondeur moyenne hdes oc´eans est de l’ordre de 4km. La dimension horizontale Ldes oc´eans est de l’ordre de 4000km. Il y a donc un facteur 1/1000 entre l’´echelle verticale et l’´echelle horizontale. On peut ´ecrire en premi`ere approximation:

w

U ∼ dh/dt dL/dt ∼ h

L ∼10⁻³

Les vitesses horizontales des oc´eans d´epassent rarement 1ms⁻¹ (2 noeuds). Les vitesses verticales des mouvements de grande ´echelle sont inf´erieures au mms⁻¹.

1.2.2 Classifications

Les causes des courants sont tr`es diverses et on observe une grande variabilit´e dans la circulation oc´eanique, tant dans le temps que dans l’espace. On peut faire la classification suivante(fig 3):

• Aux longues trajectoires sont associ´es des courants dits r´eguliers. C’est la circulation oc´eanique g´en´erale. Par exemple, le Gulf Stream a une vitesse moyenne de l’ordre de 1ms⁻¹ et le flux d’eau qu’il transporte (son d´ebit) varie de 30 `a 60 millions de m<sup>3</sup>s<sup>−1</sup> entre le D´etroit de Floride et le Cap Hatteras. Ces grands courants permanents ont des dimensions plan´etaires (plusieurs milliers de kilom`etres).

• Aux trajectoires plus courtes sont associ´es des mouvements de caract`ere p´eriodique: cou- rant de mar´ee, d’inertie (p´eriodes de quelques jours)...

• A plus petite ´echelle les courants dus aux vagues et `a la houle ont des p´eriodes de quelques secondes.

• A ´echelle microscopique apparaissent les mouvements associ´es `a la turbulence, au ca- ract`ere al´eatoire tr`es marqu´e et qui jouent un grand rˆole dans la diffusion.

1.2.3 Th´ eorie des courants marins

Les mesures ne renseignent pas sur le ”pourquoi” et le ”comment” des courants. Elles doivent ˆ

etre interpr´et´ees `a la lumi`ere de sch´emas th´eoriques qui permettent d’expliquer les ph´enom`enes pour ensuite les pr´evoir. Les th´eories reposent sur l’application au milieu marin des lois de la m´ecanique, ce qui exige le recensement des forces qui agissent sur le milieu et l’analyse des termes n´egligeables dans les ´equations, en fonction des dimensions spatio-temporelles du ph´enom`ene que l’on cherche `a ´etudier.

On distingue:

• Les forces internes: elles ont leur origine dans les variations de densit´e li´ees aux ´echanges

´energ´etiques `a l’interface air-mer (par processus thermodynamiques).

• Les forces externes: effet m´ecanique du vent sur la surface de la mer, variations de pression atmosph´erique, forces g´en´eratrices de la mar´ee. Ces forces, externes et internes, sont productrices de mouvements. Ce sont des forces actives.

• Les forces modificatrices du mouvement: la force de Coriolis qui est due `a la rotation de la terre, les forces de frottement. Ce sont des forces passives.

Chapitre 2

Propri´ et´ es physiques de l’eau de mer

2.1 Temp´ erature

Les deux propri´et´es physiques les plus importantes de l’eau de mer sont sa temp´erature et sa salinit´e, parce qu’elles gouvernent sa masse volumique ¹ ρ=ρ(p,T,S). Aux hautes latitudes un refroidissement de surface peut initier le processus de convection (plong´ee d’eau). Aux latitudes plus basses, un exc`es d’´evaporation (compl´et´e par l’action du vent) peut, en rendant l’eau de surface tr`es sal´ee, provoquer ´egalement la formation d’eau profonde.

2.1.1 La distribution des temp´ eratures de surface

Noter (fig 4) le caract`ere zonal (le long des parall`eles) des isothermes except´e au voisinage des cˆotes m´eridiennes. En plusieurs endroits la temp´erature est plus basse le long des fronti`eres Est des oc´eans, `a cause du ph´enom`ene d’upwelling (remont´ee d’eau profonde).

La connaissance de la temp´erature de surface est essentielle `a l’estimation des transferts oc´ean-atmosph`ere de chaleur et d’eau.

Les transferts de chaleur se font par:

• Radiation: plus la temp´erature de surface est ´elev´ee, plus l’oc´ean radie de la chaleur

• Conduction: la surface de l’oc´ean est en moyenne plus chaude que l’air au dessus, d’o`u pertes par conduction

• Evaporation: c’est le principal m´ecanisme par lequel l’oc´ean perd de la chaleur

Les transferts d’eau se font par ´evaporation, condensation, pr´ecipitation et par ´echange de gaz et d’a´erosols en cas de fort vent.

2.1.2 La distribution des temp´ eratures avec la profondeur

L’absorption de l’´energie solaire aux diff´erentes longueurs d’onde dans les couches de surface provoque le r´echauffement direct des premi`eres dizaines de m`etres (fig 5).

Le r´echauffement p´en`etre ensuite plus profond´ement grˆace au m´elange turbulent, qui ´etablit la “couche de m´elange de surface” (fig 6).

Entre 400met 1000mselon les r´egions existe une “thermocline permanente”, qui est une zone de gradient vertical de temp´erature accentu´e, au dessous de laquelle les variations saisonni`eres

1. On parle indiff´eremment de densit´e ou de masse volumique `a cause de la traduction impropre du terme anglais “density” qui veut dire masse volumique.

ne p´en`etrent pas. La temp´erature au fond varie entre 0<sup>o</sup>et 3<sup>o</sup>C. La partie situ´ee au dessus de la thermocline principale est parfois appel´ee “sph`ere d’eau chaude”.

La couche de m´elange de surface est elle-mˆeme sujette `a des variations saisonni`eres: ap- profondissement l’hiver (turbulence et convection hivernale), et formation d’une “thermocline saisonni`ere” de quelques dizaines de m`etres en ´et´e (fig 7).

Aux tr`es basses latitudes il n’y a pas de refroidissement d’hiver: la thermocline saisonni`ere devient “permanente” vers 100-200m. Aux hautes latitudes il n’y a pas de thermocline perma- nente, mais une thermocline saisonni`ere peut se d´evelopper.

En ´et´e il peut y avoir une formation de thermocline “diurne” caract´eris´ee par un r´echauffement en surface de 1^o`a 2<sup>o</sup>C et de profondeur pouvant atteindre 10m `a 15m. Cette thermocline “diur- ne” peut apparaitre n’importe o`u, pour peu que le r´echauffement diurne soit suffisamment important.

La distribution de temp´erature dans l’oc´ean n’est pas le seul r´esultat de l’absorption d’´energie solaire et du m´elange turbulent vertical. L’advection par les courant joue un rˆole pr´epond´erant (fig 8). Cette advection est d’ailleurs n´ecessaire pour maintenir, par ´equilibre dynamique, la distribution verticale de temp´erature (fig 9).

2.1.3 La temp´ erature potentielle θ

C’est la temp´erature atteinte par un ´el´ement de fluide ramen´e adiabatiquement (sans ´echange de chaleur avec l’eau avoisinante) `a la surface oc´eanique. La temp´erature potentielle est plus petite que la temp´erature “in situ” (´ecarts allant jusqu’`a 1.5^oC).

D´emonstration

Une transformation adiabatique r´eversible (sans ´echange de chaleur avec le milieu ext´erieur), est isentropique: dS =δQ/T = 0.

La quantit´e de chaleur re¸cue par l’unit´e de masse d’un fluide quelconque, soumis `a une variation de temp´erature dT et une variation de pression dP par l’action d’agents ext´erieurs s’´ecrit:

δQ=C_PdT +hdP

o`u CP et h sont les coefficients calorim´etriques respectivement `a pression et temp´erature constante.

Construisons les expressions des diff´erentielles exactes des fonctions d’´etat G, enthalpie libre, et S, entropie qui ne d´ependent que des variables d’´etat T etP (normalement il faudrait rajouter s, la salinit´e de l’eau de mer):

dU =δQ−P dα=T dS−P dα o`uα = 1/ρ est le volume massique, ou volume de l’unit´e de masse.

dH =d(U+P α) =T dS+αdP

dG=d(H−T S) =−SdT +αdP (2.1) L’entropie s’´ecrit:

dS = δQ T = CP

T dT + h

TdP (2.2)

D’o`u l’expression deh par combinaison des d´eriv´ees partielles deS des ´equations (2.1) et (2.2):

_∂S

∂P

T = _T^h

−_∂P^∂S_T =_∂T^∂α

P







h=−T ∂α

∂T

!

P

En substituant cette expression dans (2.2) on obtient finalement:

dS =C_pdT

T − ∂α

∂T

!

P

dP (2.3)

La transformation ´etant isentropique dS= 0:

dT = T C_p

∂α

∂T

!

P

dP =−ρg T C_p

∂α

∂T

!

P

dz (2.4)

O`u on a utilis´e l’´equation de l’hydrostatique dp=−ρgdz. Avec α = 1/ρ, l’expression s’´ecrit:

dT dz

!

S

=−gT C_p

"

1 α

∂α

∂T

!

P

#

=−gT

C_pA (2.5)

o`u A est le coefficient de dilatation (d’expansion) thermique.

Pour les eaux oc´eaniques profondes par exemple (conditions moyennes `a 4000m de profon- deur): A= 1.71 10⁻⁴ K⁻¹ etT = 275K; Cp '4000J kg⁻¹K⁻¹. On trouve:

dT dz

!

S

=−10×275×1.71 10⁻⁴

4000 =−1.2 10⁻⁴ K m⁻¹

Soit approximativement−0.12K par kilom`etre. Ce gradient est faible, mais cependant ais´ement mis en ´evidence par les mesures hydrographiques dont la pr´ecision atteint couramment 0.01K (fig 10).

2.2 Salinit´ e

C’est la concentration en sel dissous dans l’oc´ean (' 35^o/^oo ). Depuis 1980, la salinit´e est d´efinie officiellement comme un rapport, on ne sp´ecifie plus l’unit´e.

La gamme de variation de S est: 33 < S < 37 pour les grands bassins ; 28 < S < 40 pour les plateaux continentaux et les mers ferm´ees.

La question de l’origine des oc´eans reste, encore `a l’heure actuelle, l’objet de d´ebats. De mˆeme, les hypoth`eses concernant la provenance des sels marins, de la salinit´e de l’oc´ean, varient encore. On pense g´en´eralement qu’`a partir d’un corps homog`ene les ph´enom`enes radioactifs, thermiques ou chimiques ont amen´e une diff´erenciation progressive des magmas du manteau et que les ´el´ements chimiques de l’eau (Hydrog`ene et Oxyg`ene) initialement bloqu´es dans les min´eraux, ont pu ˆetre exprim´es en surface grˆace au volcanisme sous forme de vapeur d’eau et de gaz. C’´etait l’initiation par un processus interne de l’atmosph`ere et de l’hydrosph`ere primitive:

les sels de l’eau de mer auraient ainsi la mˆeme origine interne que les ´el´ements de la croˆute terrestre.

2.2.1 Variation de S avec la profondeur

La salinit´e de surface d´epend de l’´equilibre entre ´evaporation et pr´ecipitation contrˆol´e cli- matiquement, et aussi dans certaines r´egions, du ph´enom`ene de fonte des glaces. Plus bas que 1000m les fluctuations de surface ne sont plus ressenties, et 34.5< S <35 `a toutes les latitudes (fig 11).

Les couches de fort gradient vertical de salinit´e sont des haloclines.

La salinit´e de surface est maximale vers 20^ode latitude, l`a o`u l’´evaporation exc`ede les pr´ecipitations(fig 12).

2.2.2 Propri´ et´ es conservatives et non-conservatives

L’eau oc´eanique acquiert g´en´eralement ses caract´eristiques T et S en surface au contact de l’atmosph`ere. L’eau ayant plong´e, ces caract´eristiques ne peuvent ensuite se modifier que par m´elange avec des eaux avoisinantes de caract´eristiques T et S diff´erentes. On dit que T et S sont des propri´et´es conservatives.

La temp´erature ´etant affect´ee par la compression ou l’expansion adiabatique, ce n’est pas T, temp´erature in situ qui est conserv´ee, mais plutˆot la temp´erature potentielle θ.

Les masses d’eau peuvent ˆetre caract´eris´ees par d’autre propri´et´es chimiques. Parmi celles- ci, le contenu en oxyg`ene dissous, ou les sels nutritifs, qui sont non-conservatifs, car affect´es par la pr´esence d’organismes vivants.

2.3 Masse volumique ou densit´ e

La pression est reli´ee `a la profondeur par l’´equation de l’hydrostatique:

dp=−ρgdz o`ug = 9.81m/s², ρla masse volumique de l’eau de mer.

La masse volumique de l’eau de mer ρ'1.03 10³ ±2% kg/m³.

L’eau est donc tr`es peu compressible. C’est ce qui explique la relation quasi-lin´eaire entre pression et profondeur.

Pour dz = 1m, dp=−1.03 10³×9.81×(−1)'1.01 10⁴P a'1dbar Le dbar est l’unit´e usuelle de pression en oc´eanographie physique.

Les mouvements oc´eaniques sont contrˆol´es par la masse volumique de l’eau de mer. L’´equation d’´etat de l’eau de mer indique que la masse volumique est une fonction de p, T et S. Cette relation est non lin´eaire, mais approximativement:

ρ augmente de 1kg/m³ quand T diminue de 5^oC S augmente de 1^o/^oo p augmente de 200db

2.3.1 d´ efinitions

La masse volumique ´etant tr`es proche de 1000kg/m³, on utilise souvent en oc´eanographie physique les anomalies de masse volumique (densit´e):

σ = (ρ−1000)kg/m³

• Anomalie de densit´e “in situ”: σ(p,T,S) = ρ(p,T,S)−1000

• Anomalie de densit´e en surface: σ_t=ρ(0,T,S)−1000

• Anomalie de densit´e potentielle: c’est l’anomalie de densit´e d’un paquet d’eau ramen´e adiabatiquement en surface: σ_θ =ρ(0,θ,S)−1000.

σθ est tr`es utilis´e car il permet de comparer la densit´e de deux masses d’eau ramen´ees `a la mˆeme pression (ici p= 0db).

• σ_P est l’anomalie de densit´e potentielle d’un paquet d’eau ramen´e adiabatiquement `a la pression P: σ_P =ρ(P,θ,S)−1000

• Le volume sp´ecifique (volume de l’unit´e de masse)α= 1/ρs’exprime enm³/kg. L’anoma- lie de volume sp´ecifique estδ =α(p,T,S)−α(p,0,35). Dans δon regarde les contributions de T et S `a l’anomalie, pas celle de p.

• Un fort gradient de densit´e est appel´e pycnocline, une surface de densit´e constante est une isopycne(fig 13).

Remarque: σ_θ n’´etant fonction que de θ et de S est une propri´et´e conservative: on consid`ere g´en´eralement que l’´ecoulement des eaux dans l’oc´ean se fait le long des surfaces isopycnes plus qu’`a travers celles-ci. L’analyse de la distribution d’autres propri´et´es conservatives (θ, S ....) sur ces surfaces peut donner des informations (qualitatives) sur la circulation de certaines masses d’eau (analyse isentropique).

2.3.2 Stabilit´ e statique et fr´ equence de Brunt Va¨ısala

La distribution verticale de densit´e permet de dire si le fluide est stable, c’est `a dire:

• S’il r´esiste aux mouvements verticaux (stable)

• S’il est indiff´erent aux mouvements verticaux (neutre)

• S’il a tendance `a se mouvoir verticalement de lui mˆeme (instable)

Il sera stable si ^∂ρ_∂z <0 (z >0 vers le haut) ou ^∂ρ_∂p >0. C’est `a dire dans le cas o`u les eaux plus l´eg`eres sont au dessus des eaux plus lourdes.

Dans le calcul de la stabilit´e on utilisera une densit´e potentielle σ_P rapport´ee `a un niveau de pression situ´e dans la couche oc´eanique dans laquelle on travaille.

Consid´erons dans un premier temps, pour simplifier, deux couches d’eau incompressible de densit´es diff´erentes o`uρ<sub>1</sub> < ρ<sub>0</sub> (la variation de ρ suivant la verticale n’est pas due `a la variation de pression - hypoth`ese incompressible - mais `a une variation de composition ou de propri´et´es physiques du fluide consid´er´e). Un ´el´ement de volume V est d´eplac´e adiabatiquement de la couche de densit´e ρ₀ vers la couche de densit´e ρ₁. Le volume V est soumis dans la couche 1 `a la r´esultante de son poids et de la pouss´ee d’Archim`ede:

F~ =P~_a+P~ =−ρ₁V ~g+ρ₀V ~g = (ρ₀−ρ₁)V ~g F~ =m~γ =ρ₀V ~γ

~γ = ρ0−ρ1

ρ₀ ~g (2.6)

~

γ est appel´e acc´el´eration r´eduite de la pesanteur.

Dans une stratification continue on peut ´ecrire: ρ(z) =ρ₀+ ∂ρ

∂zz o`u ∂ρ

∂z <0

z ´etant l’´ecart de l’´el´ement fluide `a sa position d’´equilibre o`u la masse volumique est ρ₀, et ∂ρ/∂z est le gradient vertical de densit´e. L’acc´el´eration r´eduite de la pesanteur devient, en rempla¸cant dans (2.6)ρ1 par ρ(z):

~

γ =−1 ρ0

∂ρ

∂zz ~g Projetons sur la verticale orient´ee vers le haut:

γ = d²z

dt² =− −1 ρ₀

∂ρ

∂z

!

z g =−Eg z en posant E =− 1 ρ₀

∂ρ

∂z

=⇒ d²z

dt² +Eg z = 0

On retrouve l’´equation de l’oscillateur harmonique de pulsation:

ω=^qEg E est le crit`ere de stabilit´e. On voit queE =−γ/gz:

E >0 → γ de signe oppos´e `a z → stable. L’´el´ement fluide a tendance `a revenir `a sa position d’´equilibre.

E <0→ instable.

Si E >0: quand on lˆache l’´echantillon au niveau z, il revient `a son niveau d’´equilibre, mais le d´epasse (inertie) et commence `a osciller: il y a alors formation d’onde interne de gravit´e. On d´efinit la fr´equence de Brunt Va¨ısala N par N² = g E(rad/s²) = ω², improprement appel´ee fr´equence puisqu’il s’agit en fait de la pulsation ω vue ci-dessus. On peut montrer que c’est la fr´equence (`a un facteur 2π pr`es) maximum des ondes internes dans de l’eau de stabilit´e E.

Les valeurs de E vont de 1000 10⁻⁸ m⁻¹ pr`es de la surface `a 10 10⁻⁸ m⁻¹. Les fr´equences correspondantes (N/2π =√

Eg/2π) varient de 10⁻³ `a 10⁻⁴ cycles/s soit des p´eriodes de 10mn

`

a 2 ou 3 heures. N est maximale dans les pycnoclines, et tr`es faible au fond, o`u l’oc´ean est peu stratifi´e(fig 14).

Fr´equemment le gradient de densit´e r´esulte d’un gradient de temp´erature. On peut alors introduire dans l’expression de N² le coefficient de dilatation thermique:

A= 1 α

∂α

∂T

!

P

=−1 ρ

∂ρ

∂T

!

P

N² =g E =−g ρ

∂ρ

∂z =−g ρ

∂ρ

∂T

∂T

∂z =A g∂T

∂z

C’est l’expression exacte dans l’approximation d’un fluide incompressible, mais elle doit ˆetre corrig´ee lorsque le milieu est compressible. Dans ce cas la valeur exacte de E s’´ecrit:

E =−1 ρ

∂ρ

∂z − g C²

o`u C est la vitesse du son dans l’eau (' 1500m/s), et le terme ρg/C² repr´esente les effets de la compressibilit´e, avec C² = (∂P/∂ρ)_S.

Alors N² =g E =−g ρ

∂ρ

∂z + gρ C²

!

Si le milieu est compressible on doit tenir compte du fait que la masse volumique de la parcelle d’eau d´eplac´ee subit dans son d´eplacement l’effet de cette compression que l’on consid`ere adiabatique (suffisamment rapide pour que seule la compression ait le temps de modifier la masse volumique de la parcelle). alors

∂ρ

∂z = ∂ρ

∂z |insitu−∂ρ

∂z |ad.

∂ρ

∂z |ad.= ∂ρ

∂p |ad.

∂p

∂z =−ρg∂ρ

∂p |ad=−ρg C²

2.4 Propri´ et´ es acoustiques

L’eau de mer, comme l’air mais `a moindre ´echelle, est un milieu compressible, si bien qu’une perturbation de pression cr´e´ee en un point peut se transmettre de proche en proche `a travers le fluide environnant. Ces perturbations sont d´enomm´ees ondes acoustiques, leur c´el´erit´e de pro- pagationC, d´epend tout particuli`erement de la densit´e des r´egions travers´ees (C² = (∂P/∂ρ)_S).

Les variations deCsont domin´ees par les effets deT etp, moins parS.Cest proche de 1500m/s.

Les effets de T et S sont illustr´es sur la figure (fig 15). En surface, l’effet de temp´erature do- mine. Sous la thermocline principale, quand T (et S) devient quasi-constant, c’est l’effet de la pression qui est pr´epond´erant. Le r´esultat est un minimum entre 1000 et 1500m. Dans le deuxi`eme exemple (station au large du Portugal), T est constant entre 500 et 1300m, associ´e `a une augmentation de S (eau d’origine M´editerran´eenne), ce qui donne un rˆole pr´epond´erant `a S dans cette couche, et cr´ee un double minimum sur le profil. G´en´eralement il n’y a qu’un seul minimum.

Les variations horizontales de C (fig 16), sont beaucoup plus r´eduites que les variations ver- ticales. Une onde acoustique se propageant verticalement ne sera pas affect´ee par la r´efraction car elle rencontre quasi-perpendiculairement les surfaces `a C constant. Par contre, un signale sonore se propageant dans une direction proche de l’horizontale subira la r´efraction, selon la

Loi de Snell-Descartes. Il en r´esulte un “pi´egeage” des rayons sonores dans la couche o`u C est minimum. Cette couche est appel´ee “chenal sonore”. L’´energie acoustique ´emise dans le chenal sonore peut ainsi se propager sur de tr`es longues distances (> 1000km). Les applica- tions “acoustiques” dans l’oc´ean sont tr`es nombreuses. Dans le domaine de l’instrumentation scientifique, le suivi acoustique des flotteurs de subsurface et la tomographie acoustique sont les principales(fig 17).

Chapitre 3

Bilan d’´ energie et d’eau de l’oc´ ean mondial

3.1 Le syst` eme oc´ ean-atmosph` ere

3.1.1 L’apport par rayonnement incident

La puissance solaire re¸cue par unit´e de surface au sommet de l’atmosph`ere (en incidence perpendiculaire) ou ´emittance, est:

S = 1376W/m²

S est appel´ee constante solaire. Elle est d´eduite de la formule suivante:

E_s = 4πa²σT⁴ = 4πd²S

o`uEsest la puissance ´emise par le soleil de rayona = 6.96 10⁸mselon la loi de St´efan (σest la constante de St´efan), etd= 1.5 10¹¹mest la distance moyenne Terre-Soleil.T la temp´erature moyenne du soleil est de l’ordre de 5800K.

La totalit´e de ce rayonnement est ´emis dans l’intervalle de longueurs d’onde 0.2< λ <4µm.

La “loi du d´eplacement” de Wien (λ_mT = 2.9 10⁻³) indique que l’´energie re¸cue sera maximale

`

a λ_m = 0.5µm, c’est `a dire dans le visible.

En moyenne globale et annuelle, chaque m`etre carr´e de la plan`ete re¸coit 344W: la puissance, re¸cue par la terre sur le disque d’´eclairement est πR²S, o`u R est le rayon de la terre ; cette puissance se r´epartit sur la sph`ere terrestre de surface 4πR²:

πR²S 4πR² = S

4 = 344W/m²

Localement, cette puissance varie avec la latitude (fig 18): si l’axe de la terre n’´etait pas inclin´e par rapport au plan de l’´ecliptique, le flux moyen re¸cu en un point varierait de S/π `a l’´equateur, `a 0 aux pˆoles:

S_Eq =S

Z ^π₂

−^π₂ cosθdθ= 2S et en moyenne sur une journ´ee 2S 2π = S

π

Cependant, l’inclinaison de 23.5^◦ a pour r´esultat une variation saisonni`ere dans la distribu- tion du flux re¸cu.

Une fractionαde cette puissance est r´efl´echie ou diffus´ee, le reste est absorb´e par l’ensemble Terre-Atmosph`ere.

Le flux moyen absorb´e est S

4(1−α)'240W/m²

α '0.3 est l’alb´edo de la terre. L’alb´edo varie localement, et augmente avec la pr´esence de nuages, de glace, de neige (fig 19).

3.1.2 L’´ equilibre radiatif

Si la terre n’avait pas d’enveloppe fluide, la surface r´efl´echirait ou diffuserait la fraction α des radiations incidentes, et absorberait le reste. Elle se r´echaufferait jusqu’`a ce que l’´equilibre soit atteint, c’est `a dire jusqu’`a ce qu’elle renvoie par rayonnement autant qu’elle re¸coit. La quantit´e d’´energie rayonn´ee par unit´e de temps et de surface par un corps noir de temp´erature T ´etant E = σT<sup>4</sup>, avec σ = 5.7 10<sup>−8</sup>W m<sup>−2</sup>K<sup>−4</sup> (loi de St´efan) la temp´erature `a l’´equateur serait de 270K et celle aux pˆoles de 160K.

Dans la r´ealit´e, la surface de la terre est plus chaude, et l’´ecart ´equateur-pˆoles plus faible.

Ceci est dˆu `a la pr´esence de l’enveloppe fluide qui a deux effets:

- les rayonnements peuvent ˆetre absorb´es par l’atmosph`ere

- l’atmosph`ere et l’oc´ean peuvent transporter de la chaleur d’un point `a un autre verticalement (convection) et lat´eralement (courants, vents).

3.1.3 Le principe de l’effet de serre

La terre ayant une temp´erature plus basse que le soleil, rayonne `a des longueurs d’onde plus ´elev´ees (loi de Wien). Sch´ematisons l’enveloppe atmosph´erique par une plaque de verre, transparente aux petites longueurs d’onde, et absorbant partiellement les grandes:

Le sol s’´echauffe jusqu’`a une temp´erature Tg et ´emet, selon la loi de St´efan, une radiation dont le flux est U =σT_g⁴.

La fraction eU de cette radiation est absorb´ee par le verre, qui lui aussi s’´echauffe et ´emet

un flux B dans les deux directions. L’´equilibre est atteint quand:

I = (1−e)U +B

=U(1−₂^e) car eU = 2B

D’o`u finalement U =σT_g⁴ = I

1− ^e₂ =⇒ T_g =





I σ1− ^e₂





1 4

On voit que T_g sera plus ´elev´ee qu’en l’absence de verre. Si tout le rayonnement terrestre

´

etait absorb´e par la plaque de verre, soit e= 1, alors Tg serait multipli´e par 2^1/4 = 1.19.

Le probl`eme est un peu plus compliqu´e avec l’atmosph`ere comme mat´eriau absorbant, car l’absorption est continue et varie avec l’altitude.

3.1.4 L’effet des mouvements fluides

Les mouvements des fluides interviennent dans ce sch´ema et le compliquent. Par exemple, les mouvements de convection verticale dans l’atmosph`ere (qui peuvent ˆetre induits par un flux de chaleur sensible `a l’interface) vont distribuer sur la verticale la vapeur d’eau produite par ´evaporation. Cette vapeur d’eau va `a son tour modifier les propri´et´es “absorbantes” de l’atmosph`ere ...

On voit qu’un ´equilibre radiatif-convectif doit remplacer l’´equilibre purement radiatif. L’effet global de la convection va ˆetre de r´eduire les gradients verticaux dans l’atmosph`ere.

La variation avec la latitude des flux radiatifs absorb´es conduirait `a d’importants gradients lat´eraux de temp´erature, si le rayonnement agissait seul. L`a encore, les mouvements de fluide horizontaux tendent `a r´eduire ces gradients.

Ceci est illustr´e par la courbe en pointill´e sur la figure 18, qui repr´esente l’´energie rayonn´ee par le globe. Si l’´equilibre ´etait uniquement radiatif-convectif (local), cette courbe serait iden- tique `a la courbe basse en trait plein. Ce n’est pas le cas et on voit que de l’´energie a ´et´e transport´ee de l’´equateur vers les pˆoles par l’atmosph`ere et l’oc´ean. La quantit´e transport´ee vers les pˆoles `a travers chaque parall`ele a ´et´e estim´ee (fig 20) pour l’h´emisph`ere nord. Cette

figure distingue les parts du transport effectu´ees par l’atmosph`ere et l’oc´ean. Globalement elles sont ´equivalentes, mais on constate qu’au sud de 40<sup>o</sup>N la plus grande partie du transport de chaleur vers le nord est assur´ee par l’oc´ean, alors qu’au nord de cette latitude, la contribution de l’atmosph`ere est dominante.

3.2 Les transferts de propri´ et´ es entre l’atmosph` ere et l’oc´ ean

3.2.1 Le transfert de quantit´ e de mouvement

Les vents r´esultent des gradients de pression atmosph´eriques, eux-mˆemes g´en´er´es par le for¸cage radiatif. Ils transmettent `a leur tour de la quantit´e de mouvement `a l’oc´ean, g´en´erant les courants.

Ainsi deux questions se posent:

• Quels sont les m´ecanismes de transfert de quantit´e de mouvement?

• De quoi d´ependent les taux de transfert?

Les vitesses de vent sont de l’ordre de 10m/s. Le frottement avec la surface oc´eanique implique que la vitesse (moyenne) de l’air s’annule au contact de l’oc´ean: un ´ecoulement `a cisaillement vertical s’´etablit donc `a proximit´e de la surface. Cet ´ecoulement n’est pas stable, et devient turbulent.

Quand on approche de la surface, le cisaillement vertical augmente en fonction inverse de la distance `a la surface:

∂u

∂z = k z

Ceci conduit `a un profil logarithmique de la vitesse dans la couche atmosph´erique.

Pour traiter de la turbulence on d´ecompose les composantes du vecteur vitesse en s´eparant la moyenne de la partie fluctuante. Pour la composante selon Ox on ´ecrit:

u=u+u⁰, o`u u⁰ est la partie fluctuante telle queu⁰ = 0.

Nous verrons au §4.4 qu’une telle d´ecomposition fait apparaitre dans les ´equations du mou- vement des termes non nuls tels que ρu⁰w⁰,ρv⁰w⁰. Ils ont les dimensions et les caract´eristiques

d’une tension. Ils repr´esentent le transport vertical de quantit´e de mouvement horizontale dˆu

`

a la turbulence. En surface, pour z = 0m, ils sont assimil´es `a la tension du vent.

Param´etrisation du transfert

Pour relier la tension du vent `a la vitesse, on doit sp´ecifier la hauteur `a laquelle on mesure cette derni`ere. On utilise conventionnellement 10m. Une analyse dimensionnelle conduit alors

`

a la relation empirique:

τ =CD ρ u² [τ] =M LT⁻² L⁻² tension du vent s’exprime en N/m² [u²] =L²T⁻² et [ρ] =M L⁻³

C_D est le coefficient de traˆın´ee, sans dimension. Il varie avec la vitesse du vent. Ce coefficient est d´etermin´e exp´erimentalement et de nombreuses formules empiriques existent.

Distribution de la tension du vent `a la surface du globe

Cette distribution doit r´epondre `a certaines contraintes, en particulier celle de la conserva- tion du moment cin´etique terrestre:

Soit a le rayon terrestre,φ la latitude, et τ^x(φ) la composante de la tension du vent suivant l’axe Ouest-est.

L’aire d’une bande comprise entre φ etφ+dφ´etant 2πacos (φ)×adφ soit 2πa²cos (φ)dφ, la force correspondant `a cette tension τ<sup>x</sup>(φ) appliqu´ee `a cette surface s’´ecrit:

F(τ^x) = 2πa²cos (φ)τ^x(φ)dφ

Son moment par rapport `a l’axe de rotation de la terre est ´egal `a acosφ F(τ^x) = 2πa³cos²(φ) τ^x(φ)dφ

Son int´egrale sur toute la surface de la terre doit ˆetre nulle, sinon le moment cin´etique de la terre augmenterait:

Z +^π₂

−^π₂

cos²(φ) τ^x(φ)dφ= 0

L’oc´ean occupant les 3/4 de la surface du globe, cette relation est approximativement v´erifi´ee en consid´erantτ comme la tension du vent sur le globe terrestre. Sur la figure(fig 21) l’´echelle en latitudes est proportionnelle `a cos<sup>2</sup>(φ), o`u φ est la latitude. Il apparait en effet que l’aire sous la courbe est approximativement nulle. L’effet des vents d’Ouest aux latitudes moyennes, 40^o- 50^oN ou S, est compens´e par celui des aliz´es, aux basses latitudes.

Cette distribution de la tension du vent (vue ici sous sa forme globale et stationnaire) constitue une part du for¸cage de la circulation oc´eanique de grande ´echelle, dite circulation g´en´erale.

3.2.2 Les transferts de chaleur

La quantit´e moyenne de radiation solaire absorb´ee par l’oc´ean, Q_I, n’est environ que la moiti´e de celle arrivant sur la haute atmosph`ere, soit 175W/m². Ce gain d’´energie est ´equilibr´e

`

a l’´echelle du globe par (fig 22):

• Une ´emission radiative nette par l’oc´ean de Q_B '65 W/m²

• Le refroidissement par ´evaporationE (perte de chaleur latente)

• Les pertes par conduction thermique directe Q_S (perte de chaleur sensible)

Comme pour le transfert de quantit´e de mouvement, le calcul du flux de chaleur local est bas´e sur des formules empiriques d´ependant de param`etres r´eguli`erement observ´es (bateaux, bou´ees d´erivantes instrument´ees, satellites).

On d´etermine ainsi:

• Le taux Q_I d’absorption des radiations solaires, qui d´epend du taux d’absoption sans nuages Q_I0, de l’alb´edo de surface, et de la fraction de ciel couvert.

• Le rayonnement net de grande longueur d’onde Q_B, qui d´epend essentiellement de la temp´erature de surface de la mer.

• Le flux de chaleur sensible Q_S, qui d´epend de la vitesse du vent et de la diff´erence de temp´erature air-mer.

• Le taux d’´evaporation E, qui d´epend lui aussi de la vitesse du vent et de l’humidit´e sp´ecifique de l’air `a diff´erents niveaux proches de la surface oc´eanique.

Le flux total de chaleur de l’oc´ean vers l’atmosph`ere est la somme de ces diverses contribu- tions:

Q=Q_B+Q_S +E−Q_I

On notera(fig 23), la perte importante de chaleur par l’oc´ean au dessus du Gulf Stream, et les gains dans les r´egions d’upwelling ( c’est −Q qui est report´e).

Les r´egions recouvertes de glace requi`erent un traitement diff´erent.

La carte fournit une moyenne annuelle. Il y a ´evidemment une forte variabilit´e saisonni`ere.

3.2.3 Le transfert d’eau douce

Le param`etre important n’est pas le taux de pr´ecipitations lui-mˆeme, mais la diff´erence (P −E), soit la masse d’eau douce gagn´ee par unit´e de surface et unit´e de temps de l’oc´ean.

Le param`etre (M −F) (Melting - Freezing ou Fonte - Cong´elation) joue un rˆole ´equivalent dans les r´egions o`u de la glace est pr´esente.

On notera (fig 24) la pr´esence d’une “ceinture” de fortes pr´ecipitations pr`es de l’´equateur.

Il s’agit de l’ITCZ (InterTropical Convergence Zone), r´egion de forts mouvements ascendants de l’air.

Dans les r´egions o`u (P −E)>0, la surface de l’oc´ean tendrait `a s’´elever s’il n’y avait pas les courants de gravit´e pour la maintenir horizontale. Ces courants sont en fait beaucoup plus faibles que ceux induits par le vent.

Un effet beaucoup plus important de (P −E) ou (M−F) est la modification de salinit´e et donc de densit´e, qu’ils entraˆınent.

3.2.4 Les gradients lat´ eraux de densit´ e de surface et la circulation thermohaline

Les flux de chaleur et d’eau douce se combinent pour ´etablir des diff´erences de densit´e d’une r´egion `a l’autre. Ces diff´erences induisent des courants par gravit´e.

Une bille de densit´e ρ₀ (ou une parcelle d’eau incompressible) plong´ee dans un fluide de densit´e ρ sera soumise `a l’acc´el´eration r´eduite de la pesanteur(cf §2.3.2):

~γ = ρ₀−ρ ρ0

~g

Si ρ₀ > ρ la bille coule. Si ρ₀ ≤ρ la bille flotte ou remonte `a la surface: −~γ est appel´ee “flotta- bilit´e” (ou force de flottabilit´e par unit´e de masse) et s’exprime en ms⁻². Le flux de flottabilit´e γ.w s’exprime en ms⁻².ms⁻¹ soit en m²s⁻³.

On peut en partant des flux de chaleur Q et d’eau douce (P − E), calculer le flux de flottabilit´e `a la surface de l’oc´ean (fig 25).

L’´evaporation fait d´ecroˆıtre la flottabilit´e de deux fa¸cons:

- la perte de chaleur induit un refroidissement de l’eau de surface - en augmentant la salinit´e

L’effet du refroidissement est environ 4 fois plus efficace.

La circulation g´en´er´ee par les flux de flottabilit´e est la circulation thermohaline.

Chapitre 4

Les ´ equations du mouvement

4.1 G´ en´ eralit´ es

4.1.1 Les lois de base

Une premi`ere remarque s’impose avant d’aborder cette ´etude. Les lois de la m´ecanique ont une forme simple dans les rep`eres Galil´eens ou d’inertie (axes de directions fixes). Quelquefois, les probl`emes sont trait´es selon ce type de rep`eres, mais, plus fr´equemment, ils le sont selon des rep`eres li´es au globe terrestre. Nous d´efinissons ainsi un rep`ere entraˆın´e dont le d´eplacement se caract´erise par une translation et une rotation. Dans ces rep`eres mobiles il faut introduire des forces d’inertie, au cˆot´e des forces vraies. L’´energie cin´etique, l’´energie potentielle et le travail des forces appliqu´ees changent alors de valeur ou de forme.

Les lois de base de la physique sont utilis´ees pour l’´etude de la dynamique oc´eanique:

• Conservation de la masse (´equation de continuit´e)

• Conservation de l’´energie

• Les lois de Newton: conservation de la quantit´e de mouvement

• Premi`ere: toute particule isol´ee, dans un rep`ere Galil´een, d´ecrit un mouvement rec- tiligne uniforme (pas d’acc´el´eration).

• Deuxi`eme: il existe une relation de proportionalit´e entre l’acc´el´eration d’une particule et la force `a laquelle elle est soumise.

• Troisi`eme: principe de l’action et de la r´eaction

• Conservation du moment cin´etique

• Loi de gravitation universelle

4.1.2 Classification des forces

On peut classer les forces en deux classes, les forces primaires, qui provoquent le mouvement, et les forces secondaires, qui r´esultent du mouvement:

• Les forces primaires (ou actives): gravitation (force de volume), tension du vent et pression atmosph´erique (forces de fronti`ere)

• Les forces secondaires (ou passives): la force de Coriolis (due au mouvement du rep`ere terrestre), les forces de frottement (qui tendent `a s’opposer au mouvement).

4.2 L’´ equation de continuit´ e - ´ equation de conservation

4.2.1 Equation de conservation de la masse

Il est facile d’imaginer que dans tout volume, en l’absence de sources ou de puits, tout ce qui entre doit sortir et inversement. C’est ce qu’illustre ces ´equations de conservation (conservation de masse ou de toute autre propri´et´e telle que salinit´e, oxyg`ene ...). Consid´erons un volume

´

el´ementaire, fix´e dans l’espace, de fluide de densit´eρ.

La masse de ce volume ´el´ementaire s’´ecrit

m =ρ∆x∆y∆z

Consid´erons un ´ecoulement uni directionnel `a travers ce volume. Le d´ebit massique (flux de masse) s’´ecrit dans la direction de l’axe Ox (ce qui entre est positif, ce qui sort est n´egatif):

d´ebit de masse entrant:

Q₁ = ∆m₁

∆t =ρ₁u₁∆y∆z d´ebit sortant:

Q₂ =ρ₂u₂∆y∆z D’o`u la variation de masse par unit´e de temps:

∆m

∆t = ∆(ρ∆x∆y∆z)

∆t =ρ₁u₁∆y∆z−ρ₂u₂∆y∆z

Prenons un intervalle de temps suffisamment petit pour pouvoir consid´erer Le volume

´

el´ementaire de forme constante ; il vient:

∆ρ

∆t = ρ1u1−ρ2u2

∆x

Qui peut s’´ecrire si les dimensions du volume tendent vers l’infiniement petit:

∂ρ

∂t =−∂(ρu)

∂x

Appliquant ce mˆeme raisonnement dans les 3 directions, on peut alors ´ecrire l’´equation de conservation de la masse (aussi appel´ee ´equation de continuit´e):

∂ρ

∂t + ∂(ρu)

∂x + ∂(ρv)

∂y +∂(ρw)

∂z = 0

soit ∂ρ

∂t +∇.(ρ~V) = 0

Une convergence (divergence) dans l’espace doit ˆetre compens´e par une compression (dila- tation) du fluide.

La d´eriv´ee totale de la masse volumique ρ(x,y,z,t) s’´ecrit:

dρ dt = ∂ρ

∂t +u∂ρ

∂x +v∂ρ

∂y +w∂ρ

∂z En combinant ces deux ´equations on obtient:

dρ

dt +ρ ∂u

∂x + ∂v

∂y +∂w

∂z

!

= 0

soit dρ

dt +ρ ∇.~V = 0 (4.1)

Pour un fluide incompressible le premier terme est nul et l’´equation de continuit´e pour un fluide incompressible s’´ecrit:

∂u

∂x + ∂v

∂y + ∂w

∂z = 0⇒ ∇.~V = 0 (4.2)

4.2.2 Application

Les vitesses verticales ne sont pas directement mesurables car trop faibles. Elles peuvent parfois ˆetre d´eduites en utilisant l’´equation de continuit´e. Consid´erons les courants de surface (moyennes sur 5^ox 5^o) indiqu´es sur le sch´ema joint:

∂w

∂z =−

"

∂u

∂x +∂v

∂y

#

∂u

∂x |A '0

∂u

∂x |B ' −10 10⁻⁸s⁻¹











⇒ ∂u

∂x |E ' −5 10⁻⁸s⁻¹

∂u

∂x |^E ' −5 10⁻⁸s⁻¹

∂v

∂y |E ' −8.3 10⁻⁸s⁻¹











⇒ ∂w

∂z |^surf '13.3 10⁻⁸s⁻¹

On voit que ∂w/∂z est positif ; wdoit ˆetre nul en surface (condition aux limites) donc sous la surface w doit ˆetre n´egatif, puisqu’il augmente jusqu’en surface.

Ainsi, [^∂u_∂x+ ^∂v_∂y]<0 et ^∂w_∂z >0 implique qu’il y a convergence au point E:w est dirig´ee vers le bas.

Si ∂w/∂z =cste dez = 0m `az =−50m (base de la thermocline saisonni`ere), alors wvarie lin´eairement avec la profondeur:

w_−50m = ∂w

∂z z+w_0m = (13.3 10⁻⁸)×(−50) + 0 =−6.7 10⁻⁶ms⁻¹

On voit que l’ordre de grandeur de west de 10⁻³U: siU est l’ordre de grandeur des vitesses horizontales, H et L les ´echelles verticales et horizontales typiques, alors, selon l’´equation de la continuit´e W ' ^HU_L . Avec ^H_L ∼10⁻³.

4.2.3 Equation de conservation du sel

Par d´efinition la salinit´e est le rapport entre le poids de sel en grammes sur le poids de l’eau en kilogramme.

Si on appelle mw la masse d’eau qui contient ms masse de sel alors S = m_s

m_w10³ = m_s ρV 10³

Sρ= (m_s/V) 10³ repr´esente la masse de sel par unit´e de volume.

Par analogie avec l’´equation de conservation de la masse, on peut ´ecrire que le flux de sel entrant dans un volume ´el´ementaire s’´ecrit S1ρ1u1∆y∆z dans la direction x; le flux de sel sortant s’´ecrit S₂ρ₂u₂∆y∆z.

La quantit´e de sel contenue dans le volume s’´ecrit:

Sρ∆x∆y∆z

Dans un intervalle de temps ∆t on peut ´ecrire que la variation de cette quantit´e est:

∆(Sρ)

∆t ∆x∆y∆z=S₁ρ₁u₁∆y∆z−S₂ρ₂u₂∆y∆z

∆(Sρ)

∆t = (S₁ρ₁u₁−S₂ρ₂u₂)

∆x

∂(Sρ)

∂t =−∂(Sρu)

∂x

Finalement dans les 3 directions l’´equation de conservation du sel s’´ecrit:

∂(Sρ)

∂t =−∂(Sρu)

∂x − ∂(Sρv)

∂y −∂(Sρw)

∂z

soit ∂(Sρ)

∂t +∇.(Sρ~V) = 0

Ou en d´eveloppant les d´erivations de produits:

S∂ρ

∂t +ρ∂S

∂t =−ρ[u∂S

∂x +v∂S

∂y +w∂S

∂z]−Sρ[∂u

∂x +∂v

∂y + ∂w

∂z]−S[u∂ρ

∂x +v∂ρ

∂y +w∂ρ

∂z] Ce qui revient `a une ´equation ´equivalente `a celle de conservation de la masse:

d(ρS)

dt + (ρS) ∇.~V = 0 (4.3)

Pour un fluide incompressible, ρ=cste et ∇.~V = 0. La conservation du sel s’´ecrit:

dS

dt = 0 (4.4)

Ces ´equations correspondent `a l’advection en sel dans un volume ´el´ementaire (tout le sel qui entre dans le volume doit en sortir). Dans la r´ealit´e il faudra tenir compte en plus du ph´enom`ene de diffusion.

4.3 Les ´ equations du mouvement

L’´evolution d’un fluide sur une plan`ete en rotation est r´egie parl’´equation de la quantit´e de mouvement. La loi de Newton indique que l’acc´el´eration est ´egale `a la r´esultante des forces par unit´e de masse:

d~V

dt = − α∇p −2Ω~ ×V~ +~g +F~

↑ ↑ ↑ ↑

Pression Coriolis Gravit´e Autres

(4.5)

ou en projection sur des axes li´es `a la terre:

du

dt = − α^∂p_∂x + 2Ω sinφ v− 2Ω cosφ w +F_x

dv

dt = − α^∂p_∂y − 2Ω sinφ u +Fy

dw

dt = − α^∂p_∂z + 2Ω cosφ u − g +F_z

(4.6)

u,v,w sont les composantes de la vitesse dans le rep`ere local x,y,z `a la surface de la terre α est le volume sp´ecifique (volume de l’unit´e de masse, d´ependant de T et S) suppos´e connu Ω la vitesse angulaire de rotation de la terre et φ la latitude

F~ repr´esente les forces de frottement, mar´ee ...

Pour d´eterminer les quatre inconnuesu,v,w,pon utilise ce syst`eme, augment´e del’´equation de continuit´e.

4.3.1 Remarques

Dans certains cas T et S sont consid´er´ees comme inconnues (circulation thermohaline). Il faut alors deux ´equations suppl´ementaires, qui sont les ´equations d’advection-diffusion de ces quantit´es.

L’hypoth`ese d’incompressibilit´e dans∇.~V = 0 ´elimine les ondes acoustiques des solutions possibles.

A ces ´equations on doit adjoindre des conditions aux fronti`eres (bords et fonds des oc´eans, interface air-mer) et des conditions initiales (position du syst`eme `a l’instantt = 0).

Bords et fonds des oc´eans: Les conditions aux fronti`eres seront diff´erentes selon qu’il s’agit d’un fluide parfait ou d’un fluide visqueux. Dans le cas d’un fluide parfait on ´ecrit que les vitesses normales aux parois sont nulles ; dans le cas d’un fluide visqueux on ´ecrit que les vitesses sur les parois sont nulles.

Interface: A l’interface entre deux fluides, la distinction pr´ec´edente peut s’appliquer: cou- plage par pression seule, on n´eglige les effets de la viscosit´e ; couplage par pression et tension, les fluides sont alors consid´er´es visqueux, et on ´ecrit qu’il y a continuit´e des pressions et des tensions `a travers l’interface.

Les expressions de force de frottement (turbulent) sont encore tr`es incertaines. Trouver des solutions est encore plus difficile quand les termes d’acc´el´eration sont maintenus, car ces

´

equations sont alors non-lin´eaires. Non-lin´earit´e et turbulence sont li´ees.

4.3.2 Le terme de pression

Un des termes les plus faciles `a appr´ehender dans l’´equation du mouvement (4.5) est certai- nement celui-ci: une particule se d´eplacera des hautes vers les basses pressions, et l’acc´el´eration

est tout simplement proportionnelle au gradient de pression. On peut imaginer une analogie m´ecanique: une balle roulant sans friction sur un plan inclin´e va acqu´erir une acc´el´eration proportionnelle `a l’inclinaison du plan ( qui ´equivaut ici au gradient de pression).

Consid´erons un volume ´el´ementaire de fluide de masse volumique ρ et de cˆot´es ∆x, ∆y et ∆z. Soient P₁ et P₂ les pressions agissant sur les faces oppos´ees, avec P₂ > P₁, ou encore P₂ =P₁+ ∆p.

Sur la face 1 la force de pression s’´ecrit:F₁ =P₁∆x∆z

Sur la face 2 la force de pression s’´ecrit:F₂ =P₂∆x∆z = (P₁ + ∆p)∆x∆z La masse du volume fluide est m=ρ∆x∆y ∆z

Ecrivons la relation fondamentale de la dynamique projet´ee sur l’axe des y:

mdv

dt =F₁−F₂ ρ∆x∆y∆zdv

dt =P₁∆x∆z−(P₁ + ∆p)∆x∆z apr`es simplification

dv

dt =−1 ρ

∆p

∆y

Si les dimensions du volume fluide tendent vers l’infiniment petit on peut ´ecrire dv

dt =−1 ρ

∂p

∂y

Le signe ”−” indique bien que si la pression augmente vers la droite (P₂ > P₁), la force est dirig´ee vers la gauche. La particule est acc´el´er´ee vers les pressions d´ecroissantes (l’acc´el´eration est dirig´ee des hautes vers les basses pressions, alors que le vecteur gradient est toujours dirig´e vers les valeurs croissantes de la fonction). La force du gradient de pression et le gradient de pression sont oppos´es.

Gradient de pression et pente des isobares

Imaginons une situation simpliste: de l’eau de mer de masse volumique constanteρoccupant un bassin oc´eanique et une pente `a la surface de l’eau.

Selon la loi de l’hydrostatique la pression en un point du fluide est simplement la pression due au poids de la colonne d’eau situ´ee au dessus de ce point, agissant par unit´e de surface:

P₁ =ρgz ; P₂ =ρg(z+ ∆z) Le terme de gradient de pression suivant x s’´ecrit:

1 ρ

∂p

∂x ' 1 ρ

P2 −P1

∆x = 1

ρ

ρg(z+ ∆z)−ρgz

∆x

soit 1

ρ

∂p

∂x =g∆z

∆x =g.i_x si i_x est la pente de la surface fluide, suivant la direction x.

Le gradient de pression est le mˆeme partout `a l’int´erieur du fluide. Donc si aucune autre force n’agit, le fluide entier doit ˆetre acc´el´er´e des hautes vers les basses pressions.

du

dt =−1 ρ

∂p

∂x =−g.i_x D´emonstration plus math´ematique:

1 ρ

∂p

∂x =−1 ρ

∂p

∂z

!

x

∂z

∂x

!

P

= 1

ρgρtani avec ∂p

∂z

!

x

=−ρg et ∂z

∂x

!

P

= tani