Statistiques
I. Vocabulaire des s´ eries statistiques
Entreprendre une ´etude statistique, revient `a classer desindividusd’unepopulationen fonction d’unca- ract`ere.
Exemple 1 :classer les´el`eves d’uneclasse en fonction de leurnote. 12 ; 16 ; 18 ; 4 ; 16 ; 12 ; 10 ; 5 ; 9 ; 13 ; 12 ; 10 ; 11 ; 11 ; 13.
4 ; 5 ; 9 ; 10 ; 10 ; 11 ; 11 ; 12 ; 12 ; 12 ; 13 ; 13 ; 16 ; 16 ; 18.
Un´echantillon de taille nest une partie de la population contenant n individus.
Exemple 2 :lors d’une enquˆete d’opinion, on ne peut pas poser les questions `a toutes les personnes. On va sonder un ´echantillon de la population, choisi de mani`ere `a ce que les r´esultats soient le plus fiable possible.
Lorsque le caract`ere ´etudi´e prend des valeurs num´eriques, on dira qu’il estquantitatif, sinon il estqualitatif .
Dans le premier exemple, le caract`ere ´etant des notes, il est quantitatif.
Dans le second exemple, le caract`ere ´etant une opinion, il est qualitatif.
L’effectifest le nombre d’individu ayant un caract`ere sp´ecifique.
Notes 4 5 9 10 11 12 13 16 18 Total :
Effectifs 1 1 1 2 2 3 2 2 1 15
Lafr´equence est le rapport de l’effectif d’un caract`ere sur l’effectif total.
fr´equence effectif effectif total
Notes 4 5 9 10 11 12 13 16 18 Total :
Effectifs 1 1 1 2 2 3 2 2 1 15
Fr´equences 1 15
1 15
1 15
2 15
2 15
3 15
2 15
2 15
1 15 1
Remarque :une fr´equence est toujours comprise entre 0 et 1.
La somme des fr´equences est ´egale `a 1.
II. Mesures de tendance centrale et de dispersion
1. Mesure de dispersion
L’´etenduede la s´erie quantitative est la diff´erence entre le plus grand caract`ere et le plus petit.
2. Mesure de tendance centrale
a) Mode et classe modale
On appelle mode (ouclasse modale ) la valeur (ou la classe) du caract`ere pour laquelle l’effectif est le plus grand.
Exemple : le mode de la s´erie des notes est 12.
Exemple 3 :
classe [0 ; 5[ [5 ; 10[ [10 ; 15[ [15 ; 20]
effectif 1 2 9 3
La classe modale de cette s´erie est [10 ; 15[.
b) Moyenne
Lamoyenned’une s´erie quantitative est la somme des produits des caract`eresxi par l’effectif ni, divis´e par l’effectif total N :
¯ x
°p
i1xini
N
x1n1 x2n2 ... xpnp
Exemple : la moyenne des notes dans l’exemple 1 est :N
41 51 91 102 112 123 132 162 181
1 1 1 2 2 3 2 2 1 11,5
Remarque :pour calculer la moyenne d’une s´erie regroup´ee en classes d’intervalles, on d´etermine le centre de chaque classe, puis on calcule la moyenne pond´er´ee en s’aidant de ces centres.
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classe [0 ; 5[ [5 ; 10[ [10 ; 15[ [15 ; 20]
effectif 1 2 9 3
centre 2,5 7,5 12,5 17,5
La moyenne est : 2,51 7,52 12,59 17,53
1 2 9 3 12,2
Propri´ et´ e de lin´ earit´ e :
Multiplier tous les caract`eresxi de la s´erie par un nombrearevient `a multiplier la moyenne ¯xpara:
p
¸
i1
axini N a¯x
Ajouter un nombre b `a tous caract`eres xi de la s´erie revient `a ajouter le nombreb `a la moyenne ¯x :
p
¸
i1
pxi bqni
N x¯ b
Une s´erie x est s´epar´ee en deux sous groupes de moyenne ¯x1 d’effectif total N1 et ¯x2 d’effectif total N2.
La moyenne de cette s´erie est alors : ¯x x¯1N1 x¯2N2
N1 N2
Il arrive qu’il faille ignorer les caract`eres extrˆemes (le minimum et le maximum). Dans ce cas, on recherche lamoyenne ´elagu´ee.
Exemple 4 :on rel`eve 10 fois une mˆeme intensit´e en mA : 5,1 ; 5,3 ; 5,4 ; 5,3 ; 5,3 ; 6,1 ; 5,2 ; 5,3 ; 5,2 ; 5,2.
On peut soup¸conner une erreur de lecture lors de la 6emesure. Ainsi on cherchera la moyenne exp´erimentale en l’omettant : 5,1 5,3 5,4 5,3 5,3 5,2 5,3 5,2 5,2
9 5,3.
c) M´ediane
Lam´ediane est le nombre partageant la population en deux parties de mˆeme effectif de sorte qu’il y a 50%
des individus ayant un caract`ere inf´erieur ou ´egal `a la m´ediane (de mˆeme, il y a 50% des individus ayant un caract`ere sup´erieur ou ´egal `a la m´ediane).
Exemple :
Remarque :la m´ediane peut ˆetre illustr´ee par une ligne de partage.
Ici, l’effectif total de la s´erie (15) est impair, mais dans certain cas cet effectif est pair. Dans ce cas, on peut prendre pour m´ediane, la moyenne des deux nombres se situant autour de la 8243 ;ligne de partage8243 ; :
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