Introduction aux transferts radiatifs

Introduction aux transferts radiatifs

par Guillaume Legros

Maître de Conférences à l’Université Paris VI

Université Pierre et Marie Curie – Paris6

Institut Jean le Rond d’Alembert (CNRS UMR 7190) email: guillaume.legros@upmc.fr

tél: 01 30 85 48 84

Licence de Mécanique – 2^ndeannée Jussieu, année 2008/2009

Rappel

Dans le cas oùsystème matériel et champ de rayonnement sont en déséquilibre, les interactions entre molécules et photonsconduisent à des flux macroscopiques d’énergie sous forme de rayonnement thermique.

Introduction Domaine

Flux

monochromatique

Vecteur flux

Propriétés radiatives à l’équilibre thermique

Conclusions

INTRODUCTION

Restriction

Dans le cadre de ce cours, on se limite aux échanges d’énergie radiative entre corps opaques à travers un milieu transparent.

Les transferts radiatifs n’apparaissent alors dans le bilan thermique d’un système qu’au niveau des conditions aux limites.

N.B.: la généralisation à des mediasemi-transparentsne sera pas abordée mais sa nécessité sera soulevée lors de

l’établissement de l’Equation du Transfert Radiatif.

Introduction Domaine

Flux

monochromatique Vecteur flux

Propriétés radiatives à l’équilibre thermique Conclusions

INTRODUCTION

Objectif

Exprimer le flux surfacique radiatifϕ^Rqui intervient dans l’expression du flux d’énergie à la frontière d’un corps opaque.

ϕ^Rest la somme sur tout le spectre de longueurs d’ondeλdu flux surfacique monochromatique , défini pour l’intervalle spectral [λ, λ+dλ]:

exprimer

d ϕ

∫

=

ϕ

ϕ

^d

d ϕ

Domaine

Flux

monochromatique

Vecteur flux

Propriétés radiatives à l’équilibre thermique

Conclusions

INTRODUCTION

Domaine spectral

Energie:le rayonnement thermique est constitué de quanta, appelés photons, d’énergie hυ (υ: fréquence) Dans ce cours, on considèrera que le rayonnement se propage dans des milieux semi-transparents non-dispersifs d’indice absolu n=c/c₀=1

N.B.: hypothèse valide pour le vide et les gaz transparents tels N₂et O₂

υet sont invariants lors des

réflexions et des transmissions dans de tels milieux

ν ν λ ν

n c n

c c =

=

=

Introduction Domaine

Flux

monochromatique Vecteur flux

Propriétés radiatives à l’équilibre thermique Conclusions

DOMAINE

Domaine spectral

domaine spectral du rayonnement thermique usuel 0,8 à 70 μm (IR)

0,4 à 0,8 μm (visible)

Introduction Domaine

Flux

monochromatique

Vecteur flux

Propriétés radiatives à l’équilibre thermique

Conclusions

DOMAINE

Définition

Grandeur directionnelle: relative à un angle solidedΩ s’étendant autour d’une direction orientée par un vecteur unitaire

u r

n r

u r

M

^θ d Ω

FLUX MONOCHROMATIQUE

Introduction Domaine

Flux

monochromatique directionnel hémisphérique Vecteur flux

Propriétés radiatives à l’équilibre thermique Conclusions

Définition

A priori, le flux monochromatique directionnel doit être proportionnelà:

• la surface apparentedS₁dans la direction O₁O₂: dS₁cosθ₁

• l’angle solidedΩ₁:

• la largeur de la bande spectrale d’émission[λ,λ+dλ]

2 2 1

2 2cos

O O dS θ

/ 5

φ

d

FLUX MONOCHROMATIQUE

Introduction Domaine

Flux

monochromatique directionnel hémisphérique Vecteur flux

Propriétés radiatives à l’équilibre thermique Conclusions

Définition

La luminance monochromatique directionnelle est alors définie comme le coefficient de proportionnalité:

N.B.: définition invariante en tout point du trajet O₁O₂si le milieu est transparent

( O u )

L

, r

( ) θ θ λ

φ

d

O O

dS u dS

O L

d

2 1

2 2 1 1 1

/ /

5

cos cos

, r

=

FLUX MONOCHROMATIQUE

Introduction Domaine

Flux

monochromatique directionnel hémisphérique Vecteur flux

Propriétés radiatives à l’équilibre thermique Conclusions

Définition

Flux hémisphériquepartant de dS₁:

C.P.: pour un rayonnement isotrope

n r

u r

O₁

^θ

d Ω

( )

=

λ

θ θ λ

φ

2 1

2 2 1 1

/ 1

3

cos

cos

, O O

u dS O L d dS

d

r

dΩ₁

( )

1

3

dS d L O

d φ

= λ π

d ϕ

= d λ π L

( ) O

Introduction Domaine

Flux

monochromatique directionnel hémisphérique Vecteur flux

Propriétés radiatives à l’équilibre thermique Conclusions

FLUX MONOCHROMATIQUE

Définition

Du point de vue du corps de surface dS₁:

où est le flux monochromatique émispar dS₁ le flux monochromatique absorbépar dS₁ Du point de vue du milieu extérieur ce corps:

où est le flux monochromatique partantde dS₁ le flux monochromatique incidentsur dS₁

n r

u r

M

^θ d Ω

a e

R

d d

d ϕ

= ϕ

− ϕ

Introduction Domaine

Flux

monochromatique directionnel hémisphérique Vecteur flux

Propriétés radiatives à l’équilibre thermique Conclusions

VECTEUR FLUX RADIATIF

d ϕ

d ϕ

i p

R

d d

d ϕ

= ϕ

− ϕ

d ϕ

d ϕ

Définition

Du point de vue du milieu extérieur ce corps:

où est le flux monochromatique partant de dS₁ le flux monochromatique incident sur dS₁

Ainsi

n r

u r

M

^θ d Ω

i p

R

d d

d ϕ

= ϕ

− ϕ

d ϕ

d ϕ

> 0

• n

u r r u r • n r < 0

( )

∫ >

Ω

=

, cos

λ

λ θ

ϕ d L M u d

d

r

( )

∫ <

Ω

=

, cos

λ

λ θ

ϕ d L M u d

d

r

Introduction Domaine

Flux

monochromatique directionnel hémisphérique Vecteur flux

Propriétés radiatives à l’équilibre thermique Conclusions

VECTEUR FLUX RADIATIF

Distribution de la luminance

On peut alors définir la distribution de luminance à partir des luminances partante et incidente:

∀M cosθ>0 cosθ<0 d’où

n r

u r

M

^θ d Ω

( M u ) L ( M u )

L

, r =

, r

( M u ) L ( M u )

L

, r =

, r

( )

( ∫ Ω )

•

=

−

=

λ

ϕ ϕ λ

ϕ d d n d

L

M , u u d

d

r r r

Introduction Domaine

Flux

monochromatique directionnel hémisphérique Vecteur flux

Propriétés radiatives à l’équilibre thermique Conclusions

VECTEUR FLUX RADIATIF

Vecteur flux radiatif monochromatique

On vient ainsi de définir le vecteur flux radiatif monochromatique:

N.B.: ce vecteur peut être directement introduit par dénombrement des photons traversant dS₁.

n r

u r

M

^θ d Ω

( )

( ∫ Ω )

•

=

λ

λ

ϕ n d

L

M , u u d

d

r r r

Introduction Domaine

Flux

monochromatique directionnel hémisphérique Vecteur flux

Propriétés radiatives à l’équilibre thermique Conclusions

VECTEUR FLUX RADIATIF

Vecteur flux radiatif monochromatique

On définit alors le vecteur flux radiatiftel que

n r

u r

M

^θ d Ω

( )

∫

∫ Ω

=

d λ

L

M , u u d

q r

r r

n q

R

= r • r

ϕ

Introduction Domaine

Flux

monochromatique directionnel hémisphérique Vecteur flux

Propriétés radiatives à l’équilibre thermique Conclusions

VECTEUR FLUX RADIATIF

Définitions générales

• Les phénomènes d’absorption, d’émission et de réflexion sont caractérisés par des grandeurs monochromatiques directionnelles, appelées respectivement

absorptivité, émissivité et réflectivité.

• Ces grandeurs dépendent du corps opaque considéré et de l’indice n du milieu faisant face au corps opaque.

Introduction Domaine

Flux

monochromatique Vecteur flux

Propriétés radiatives à l’équilibre thermique Conclusions

PROPRIETES RADIATIVES

Absorptivité monochromatique directionnelle

Par conservation de l’énergie radiative, on peut écrire:

où est le flux monochromatique incident dans dΩ autour de

le flux monochromatique absorbé par dS₁

le flux monochromatique réfléchi par dS₁dans les 2π-stéradians

n r

u r

M

^θ d Ω

x

ϕ

hr a

i

d d

d

φ

=

φ

+

φ

d⁵φ_λ^'i

(

)

ur d⁵φ_λ^'a

d⁵φ_λ^'hr Introduction

Domaine

Flux

monochromatique Vecteur flux

Propriétés radiatives à l’équilibre thermique Conclusions

PROPRIETES RADIATIVES

Absorptivité monochromatique directionnelle

On peut alors définir l’absorptivité monochromatique directionnelle :

N.B.:

n r

u r

M

^θ d Ω

x

ϕ

( )

L L d

M d

' ' ' 5

' 5

'

, ,

λ λ λ λ λ

φ ϕ φ

θ

α = =

1 0 ≤ α

≤

Introduction Domaine

Flux

monochromatique Vecteur flux

Propriétés radiatives à l’équilibre thermique Conclusions

PROPRIETES RADIATIVES

Réflectivité monochromatique directionnelle

On peut également définir la réflectivité monochromatique directionnelle :

N.B.:

n r

u r

M

^θ d Ω

x

ϕ

( )

h

d M d

' 5

' 5

'

, ,

λ λ λ

φ ϕ φ

θ

ρ =

1 0 ≤ ρ

≤

Introduction Domaine

Flux

monochromatique Vecteur flux

Propriétés radiatives à l’équilibre thermique Conclusions

PROPRIETES RADIATIVES

Absorptivité/réflectivité monochromatique directionnelle

Or par conservation de l’énergie radiative:

D’où

N.B.: cette relation reste vérifiée même pour un corps opaque hors d’équilibre

n r

u r

M

^θ d Ω

x

ϕ

hr a

i

d d

d

φ

=

φ

+

φ

( , , )

( , , ) 1

'

θ ϕ + ρ θ ϕ =

α

M

M

Introduction Domaine

Flux

monochromatique Vecteur flux

Propriétés radiatives à l’équilibre thermique Conclusions

PROPRIETES RADIATIVES

Rayonnement d’équilibre

Postulat: (démontré en physique statistique)

Dans un milieu transparent, non-dispersif d’indice 1, en équilibre thermique avec les corps opaques avoisinants, il existe un tout point un rayonnement d’équilibre. La luminance de ce rayonnement est indépendante de la direction et ne dépend que de la longueur d’onde et de la température.

Introduction Domaine

Flux

monochromatique Vecteur flux

Propriétés radiatives à l’équilibre thermique Conclusions

PROPRIETES RADIATIVES

Loi de Planck

La loi dite de Planck donne l’expression de cette luminance:

avec h=6,626.10^-34J.s (constante de Planck) k_B=1,3805.10^-23J/K (constante de Boltzmann)

c₀=2,998.10⁸m/s (célérité du rayonnement dans le vide) N.B.: seule l’isothermie du domaine est nécessaire pour

aboutir à ce résultat.

1 2

−

=

T k

c h o

e c L h

λ λ

λ

0

B

Introduction Domaine

Flux

monochromatique Vecteur flux

Propriétés radiatives à l’équilibre thermique Conclusions

PROPRIETES RADIATIVES

Emissivité monochromatique directionnelle

D’après le postulat énoncé, dans des conditions d’équilibre thermique à la température T d’un système, le flux

monochromatique partant dans dΩdepuis un élément de surface dS₁d’un corps opaque a pour expression:

( ) θ λ

φ

L

T dS d d

d

)

= cos Ω

(

Introduction Domaine

Flux

monochromatique Vecteur flux

Propriétés radiatives à l’équilibre thermique Conclusions

PROPRIETES RADIATIVES

Emissivité monochromatique directionnelle

Or ce flux se compose d’un flux émis, caractérisé par la luminance :

et d’un flux réfléchi dans l’angle solide dΩen

provenance de toutes les directions du demi-espace vu par le corps opaque, tel que:

( ) θ λ

φ

L

T dS d d

d

)

= cos Ω

(

( M T )

L

, θ , ϕ ,

( θ ϕ ) θ λ

φ

L

M T dS d d

d

)

= (

)

, , , cos Ω

(

r

d

φ

eq r h e eq

p eq

d d

d ) ( ) ( )

(

φ

=

φ

+

φ

( , , , ) ( ) )

( L

M θ ϕ T ≤ L

T

Introduction Domaine

Flux

monochromatique Vecteur flux

Propriétés radiatives à l’équilibre thermique Conclusions

PROPRIETES RADIATIVES

Emissivité monochromatique directionnelle

apparaît comme une référence limite pour caractériser la luminance monochromatique du rayonnement émis par un corps opaque.

On définit alors l’émissivité monochromatique directionnelle du corps opaque, telle que:

N.B.:

( , , , ) ( ) )

( L

M θ ϕ T ≤ L

T ( ) T

L

'

ε

( , , , )

( , , , )

( )

'

M T M T L T

L

θ ϕ = ε

θ ϕ

1 0 ≤ ε

≤

Introduction Domaine

Flux

monochromatique Vecteur flux

Propriétés radiatives à l’équilibre thermique Conclusions

PROPRIETES RADIATIVES

Emissivité monochromatique directionnelle

on peut définir la réflectivité monochromatique hémisphérique directionnelle d’équilibre:

représente la réflectivité dans un angle solide élémentaire dΩ, associé à un rayonnement incident de luminance isotrope.

n r

u r

M

^θ d Ω

x

ϕ

De même que l’on avait défini la réflectivité monochromatique directionnelle :

( )

h

d M d

' 5

' 5

'

, ,

λ λ λ

φ ϕ φ

θ

ρ =

eq r h e eq

p eq

d d

d ) ( ) ( )

(

φ

=

φ

+

φ

heq

eq '

1 = ε

+ ρ

h'eq

ρ

Domaine

Flux

monochromatique Vecteur flux

Propriétés radiatives à l’équilibre thermique Conclusions

PROPRIETES RADIATIVES

Emissivité monochromatique directionnelle

Principe de réciprocité d’Helmholtz:

Or et

D’où la loi de Kirchhoff(vérifiée par tout système matériel proche de l’ETL):

n r

u r

M

^θ d Ω

x

ϕ

h h'eq '

λ

λ

ρ

ρ =

'

1

'^eq

+

=

λ

ρ

ε α

+ ρ

= 1

) , , , ( )

, , ,

(

'

M θ ϕ T α M θ ϕ T

ε

=

Introduction Domaine

Flux

monochromatique Vecteur flux

Propriétés radiatives à l’équilibre thermique Conclusions

PROPRIETES RADIATIVES

Cas particulier 1: corps gris

Définition: un corps gris est un corps dont les propriétés sont indépendantes de la longueur d’onde.

Dans ce cas:

Ex: plâtre

autour de λ=10 μm (i.e. pour des rayonnements issus de sources à faible température):

dans le visible (i.e. pour le rayonnement solaire)

Application: modélisation par corps gris par bande

) , , , ( ) , , ,

(

'

M θ ϕ T α M θ ϕ T

ε =

9 , 0 ) 0

'

( θ = ≈

ε

2 , 0 ) 0

'

( θ = ≈

ε

Introduction Domaine

Flux

monochromatique Vecteur flux

Propriétés radiatives à l’équilibre thermique Conclusions

PROPRIETES RADIATIVES

Cas particulier 2: corps à propriétés radiatives isotropes

Application: 2 cas limites de validité

1. Parois “optiquement lisses” ( l_rugosité<< λ)

) , ( 1 ) , ( )

,

( M T

M T

M T

λ

α ρ

ε = = −

profil d’émissivité directionnelle stationnaire autour de la direction normale

Rayonnement pondérés par cosθ₂donc éventuellement négligés

Introduction Domaine

Flux

monochromatique Vecteur flux

Propriétés radiatives à l’équilibre thermique Conclusions

PROPRIETES RADIATIVES

Cas particulier 2: corps à propriétés radiatives isotropes

Application: 2 cas limites de validité

1. Parois “optiquement lisses” ( l_rugosité<< λ)

2. Parois rugueuses: à l’échelle de la longueur d’onde, la distribution des pentes de la paroi est aléatoire.

on peut supposer l’isotropie

) , ( 1 ) , ( )

,

( M T

M T

M T

λ

α ρ

ε = = −

Introduction Domaine

Flux

monochromatique Vecteur flux

Propriétés radiatives à l’équilibre thermique Conclusions

PROPRIETES RADIATIVES

Cas particulier 3: corps noir

Définition: un corps noir est un corps qui absorbe tout rayonnement.

Dans ce cas:

On en déduit 2 propriétés fondamentales:

1. Aucun rayonnement n’est réfléchi par un corps noir 2. Pour un corps noir:

Ex: plâtre ou verre au-delà de 3 μm

1 ) , , , ( ) ,

(

=

∀

∀ λ θ ϕ α

M θ ϕ T

) ( )

( ) ,

( θ ϕ L

T = L

T

∀

Introduction Domaine

Flux

monochromatique Vecteur flux

Propriétés radiatives à l’équilibre thermique Conclusions

PROPRIETES RADIATIVES

Propriétés du rayonnement d’équilibre

Rappel:

Propriété 1: les courbes ne se croisent pas

Propriété 2: à T fixée, une courbe passe par un maximum λ_mtel que

1 2

−

=

T k

c h o

e c L h

λ

λ

λ

0 B

) ( )

( ₁ ⁰ ₂

0 2

1 T L T L T

T _{λ λ}

λ

∀

K m T

T

λ

μ

Introduction Domaine

Flux

monochromatique Vecteur flux

Propriétés radiatives à l’équilibre thermique Conclusions

PROPRIETES RADIATIVES

Propriétés du rayonnement d’équilibre

Rappel:

Propriété 2: à T fixée, une courbe passe par un maximum λ_mtel que

Application: définition de la plage principale de

rayonnement d’un corps

1 2

−

=

T k

c h o

e c L h

λ λ

λ

0 B

K m T

T

λ

μ

Introduction Domaine

Flux

monochromatique Vecteur flux

Propriétés radiatives à l’équilibre thermique Conclusions

PROPRIETES RADIATIVES

Propriétés du rayonnement d’équilibre

Rappel:

Propriété 3: en coordonnées normalisées, on obtient une courbe universelle

Application: la plage 0,5<x<8 contient 98% de l’énergie du rayonnement d’équilibre

1 2

−

=

T k

c h o

e c L h

λ

λ

λ

0 B

x=

98%

Introduction Domaine

Flux

monochromatique Vecteur flux

Propriétés radiatives à l’équilibre thermique Conclusions

PROPRIETES RADIATIVES

Propriétés du rayonnement d’équilibre

Rappel:

Application: la plage 0,5<x<8 contient 98% de l’énergie du rayonnement d’équilibre

Or avec propriété vérifiée pour tout corps opaque proche de l’ETL

1 2

−

=

T k

c h o

e c L h

λ λ

λ

0 B

x=

98%

0 ' '

λ λ

λ ε L

L^e = 0≤

ε

Introduction Domaine

Flux

monochromatique Vecteur flux

Propriétés radiatives à l’équilibre thermique Conclusions

PROPRIETES RADIATIVES

Luminance totale du rayonnement d’équilibre

Loi dite de Stefan-Boltzmann:

avec la constante de Stefan

Signification: le flux total de rayonnement isotrope, incident sur un élément de surface ou partant de cet élément, à l’équilibre à la température T, s’écrit:

∫

=

=

0

( )

( )

π λ σ ^T d

T L T

L

4 2 8

3 0 5 4

/ / 10 . 67 , 15 5

2 W m K

h c

k_B = −

=

π σ

∫

=

=

= ϕ

π

( ) λ σ

ϕ

L T d T

Introduction Domaine

Flux

monochromatique Vecteur flux

Propriétés radiatives à l’équilibre thermique Conclusions

PROPRIETES RADIATIVES

En pratique…

En pratique, pour obtenir le flux total de rayonnement isotrope, on utilise la fonction tabulée Z:

N.B.: on cherche généralement

…

4 0

'

0

'

( ) '

) , (

0 T

d T L Z T

m

σ

λ π

λ

λ _{= ∫}

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∫

λ_'² ₁

π L

( T ) d λ '

Introduction Domaine

Flux

monochromatique Vecteur flux

Propriétés radiatives à l’équilibre thermique

Conclusions

PROPRIETES RADIATIVES