Partie ADans cette partie,

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DM 5b – à rendre pour le lundi 22 janvier. (/11 pts) On donne la fonction suivante :

Cd,a(t) = $/f{d;a}(1-e^{-/f{a;/al{70;90}}t})$.

Où d et a sont des paramètres, a étant strictement positif.

On ne l’étudie que sur [0;+ ∞ [

Partie A

Dans cette partie, a = /al{5;9} et d = /al{80;90}.

1. a.^[1] Calculer C’. (On obtenir une expression de la forme $k e^{mt}$ où k et m

sont des fractions à déterminer ) /.

/.

b.^[1] Étudier le signe de C’. En déduire le tableau de variation de C. /.

/.

c.^[1] Calculer /lim{t;+infinity;C(t)}

/.

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Partie B

/iv{/al{4;8}}

1.^[1] Soit f la fonction définie et dérivable sur ]0;+ ∞ [ par : f(x)=$/f{105;x}(1- e^{-/f{/calc{#4/2};40}x})$.

Démontrer que f ’(x)=/f{105g(x);x²}, où g est la fonction définie par :

g(x) = $/f{/calc{#4/2};40}xe^{-/f{/calc{#4/2};40}x}+e^{-/f{/calc{#4/2};40}x}-1$.

/.

2.On admet que g est continue, strictement décroissante sur /R+ . a.^[1] Calculer /lim{x;+∞;g(x)}.

/.

b.^[0.5] Calculer g(0).

/.

c.^[0.5] En utilisant la réponse précédente et la décroissance de g, en déduire le signe

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de g sur /R+ (on partira de l’inégalité x > 0 ) /.

/.

d.^[0.5] Déduire de ce qui précède le sens de variation de f sur /R+.

/.

3. a.^[0.5] Énoncer les conditions du théorème de la bijection.

/.

b.^[0.5] Vérifier si les conditions sont remplies pour f sur /R+.

/.

c.^[0.5] L’équation f(x) = /ar{/al{/calc{#4*21/16};1;0.1};0,1} admet-elle une solution

unique sur /R+ ? Justifier.

/.

Partie C

1. a.^[0.5] Dans cette question, d est réglé à 105. a est inconnu et t = /ar{/al{/calc{#4*21/16};1;0.1};0,1}. Exprimer C en fonction de a. /.

/.

b.^[0.5] On sait que, pour t = /ar{/al{/calc{#4*21/16};1;0.1};0,1}, C vaut /ar{#5;0,1}. Quelle égalité cela donne-t-il ?

/.

c.^[1] En utilisant l’égalité précédente, déterminer une valeur approchée de a.

/.

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2.^[1] Dans cette question, d est inconnu, et a est la valeur trouvée à la question précédente. Déterminer, si c’est possible, la valeur de d de façon que /lim{t;

+infinity;C(t)}=/al{13;17}. /.

/.

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