Partie II : La fonction a 7→ a exp a

Préliminaire et notations

Voici un rappel de quelques notations classiques : B Ndésigne l’ensemble des entiers naturels.

B Rdésigne l’ensemble des nombres réels.

B Cdésigne l’ensemble des nombres complexes.

B C[X] désigne l’ensemble des polynômes à coefficients dansC.

B Cn[X] désigne l’ensemble des polynômes deC[X] de degré inférieur ou égal àn, oùn∈N.

B SiP∈C[X] etn∈N, on noteP⁽ⁿ⁾la dérivéen-ième deP.

B M_n(C) désigne l’ensemble des matrices carrées de taillen > 1 à coefficients dans C. On noteI_n son élément unité.

On considère une algèbre unitaireAde dimension finie sur le corpsC, dont on note 1A l’élément unité.

Une normek.ksurAest ditenorme d’algèbresi : (i) k1Ak=1

(ii) (∀(a,b)∈ A²), kabk6kakkbk En particulier, dans ce cas, on a :

(∀n∈N),(∀a∈ A), kaⁿk6kakⁿ.

Onrappelleque, dans une algèbre normée de dimension finie, toute série absolument convergente est convergente.

Si P

n∈N

a_n et P

n∈N

b_n sont des séries absolument convergentes à valeurs dans l’algèbre A, alors leur produit de Cauchy est la sérieP

n∈N

cnavec

c_n= P

p+q=na_pb_q=Pⁿ

p=0a_pb_n−p. Cette série converge absolument et vérifie :

∞

P

n=0a_n

∞

P

n=0b_n

=

∞

P

n=0c_n.

On définit enfin la fonction exponentielle

exp :a7→1A+

∞

P

n=1

aⁿ n!·

L’objet du problème est d’étudier dans certaines algèbres normées (A,k.k) particulières la surjectivité de l’application

Φ:

A −→ A a∈ A 7−→ aexpa .

Partie I : Premiers résultats

A) Norme d’algèbre sur une C-algèbre de dimension finie

On considère une algèbre unitaireA de dimension finie sur le corps C. On se donne une norme quelconque, notéek.k, surA. On se propose de vérifier l’existence d’une norme d’algèbreNsurA.

1. On définit poura∈ Al’application σa:

A −→ A x 7−→ ax . Démontrer queσaest un endomorphisme deA.

2. Justifier le fait queσaest continue sur (A,k.k).

3. On se donnea∈ A. Démontrer que sup

kxk61

kσa(x)kest un réel bien défini, qui sera notéN(a).

4. (a) Démontrer que l’application

N: A −→ R a 7−→ N(a) définit une norme surA.

(b) Démontrer queNest bien une norme d’algèbre surA. B) Deux identités préliminaires

On considère un entier natureln>1.

5. (a) Vérifier que x 7→ (1−e^x)ⁿ est indéfiniment dérivable sur R et, par exemple à l’aide d’arguments de développement limité, vérifier que sa dérivéen−1-ième en 0 est nulle.

(b) Démontrer la relation

Pn

p=0

(−1)^p n

p

pⁿ⁻¹=0. (1)

6. On se donneu∈Cet on pose

P0(X)=1, Pj(X)=X(X−ju)^j−1, 16 j6n. (a) Démontrer queB=(P_j)_06j6nest une base deC_n[X].

(b) Démontrer que :

(∀P∈Cn[X]), P(X)=P(0)+Pⁿ

k=1

X(X−ku)^k−1

k! P^(k)(ku). Indication : on pourra se servir de la base précédente.

(c) En déduire l’identité :

(X+n+1)ⁿ=(n+1)ⁿ+Pⁿ

k=1

n k

X(X+k)^k−1(n+1−k)^n−k. (2)

Partie II : La fonction a 7→ a exp a

On considère une algèbre de dimension finie (A,k.k), oùk.kest une norme d’algèbre. Onadmettra la propriété suivante :

Si (u_p,q)_(p,q)∈N²,est une suite double d’éléments deAtelle que

∞

X

p=0





∞

X

q=0

ku_p,qk



est fini, alors les trois expressions

∞

P

p=0

∞

P

q=0u_p,q

! ,

∞

P

q=0

∞

P

p=0u_p,q

! et

∞

P

n=0

P

p+q=nu_p,q

!

ont un sens et sont égales.

7. Justifier le fait que la fonction exp : A → Aest bien définie et est continue surA. 8. On considère des élémentsaetbdeAqui commutent, c’est-à-dire tels queab=ba.

(a) On introduit la suite double : (∀(p,q)∈N²), up,q= a^pb^q p!q!· Démontrer que

∞

P

p=0

^∞ P

q=0

ku_p,qk

est fini.

(b) En déduire à l’aide du résultat admis en début de cette section la relation exp(a+b)=expaexpb.

On définit l’application Φ:

A −→ A a 7−→ aexpa .

9. (a) On note e le nombre réel exp(1). Étudier les variations surR de η : x 7→ xexpx et en déduire que dans ]0,+∞[, l’équationη(x)=1/eadmet une unique solution. Celle-ci sera notéeτ.

(b) Démontrer que la série entière complexe P

n>1

(−1)ⁿ⁻¹nⁿ⁻¹ n! zⁿ a pour rayon de convergence 1/e.

On noteraWsa somme sur son disque ouvert de convergence.

10. Démontrer que, pour touta∈ Atel quekak<1/e, ω(a)=

∞

P

n=1(−1)ⁿ⁻¹nⁿ⁻¹ n! aⁿ

est bien définie. Il en résulte queω:a7→ω(a) réalise une application deΩ ={a∈ A;kak<1/e} dansA.

On se propose de montrer dans toute la suite de cette section, que l’on a autour de l’origine dansA la relation :

ω(Φ(a))= Φ(ω(a))=a.

11. On considère un élémenta∈ Atel quekak< τ. On introduit les suites doubles (∀p∈N^∗),(∀q∈N), s_p,q=(−1)^p−1p^p+q−1a^p+q

et v_p,q= p^p+q−1kakp+q

·

(a) Démontrer l’inégalitékakexpkak<1/eet établir les relations

∞

P

p=1

∞

P

q=0

v_p,q

!

=−W(−kakexpkak) puis ω(Φ(a))=

∞

P

p=1

∞

P

q=0

s_p,q

! .

(b) En déduire à l’aide des propriétés admises sur les suites doubles et de l’identité vue en I-B-??que pour tout élémentadeAtel quekak< τon aω(Φ(a))=a.

On considère jusqu’à la fin de cette partie un élémenta∈ Atel quekak<1/e.

12. (a) Démontrer l’existence deρ >1 tel que la fonction ϕ:t7→ω(ta)=

∞

P

n=1(−1)ⁿ⁻¹nⁿ⁻¹ n! tⁿaⁿ soit bien définie sur ]−ρ, ρ[.

(b) Démontrer queϕest de classeC¹sur ]−ρ, ρ[ avec : (∀t∈]−ρ, ρ[), ϕ⁰(t)=

∞

P

n=0

(−1)ⁿ(n+1)ⁿ n! tⁿaⁿ⁺¹ (c) Justifier le fait queϕ(t) etϕ⁰(t) commutent pour toutt∈]−ρ, ρ[.

(d) Démontrer quet7→exp(ϕ(t)) est de classeC¹sur ]−ρ, ρ[ avec : (∀t∈]−ρ, ρ[), exp(ϕ(t))⁰

=ϕ⁰(t) exp(ϕ(t))=exp(ϕ(t))ϕ⁰(t). 13. On se propose d’établir la relation :

(∀t∈[0, ρ[), tϕ⁰(t)(1+ϕ(t))=ϕ(t). (a) Établir la relation :

(∀t∈]0, ρ[), ϕ(t)

t −ϕ⁰(t)=

∞

P

n=1(−1)ⁿ⁻¹n(n+1)ⁿ⁻¹

n! tⁿaⁿ⁺¹.

(b) Montrer à l’aide d’un produit de Cauchy que : (∀t∈]0, ρ[), ϕ(t)ϕ⁰(t)=

∞

X

n=1

c_ntⁿaⁿ⁺¹, avec c_n= (−1)ⁿ⁻¹ n!

n

X

k=1

n k

k^k−1(n−k+1)^n−k.

(c) Établir à l’aide de l’identité vue enI-B-??l’égalité : (∀t∈]0, ρ[), ϕ(t)

t −ϕ⁰(t)=ϕ(t)ϕ⁰(t), puis la relation annoncée.

14. (a) Démontrer que la fonctiont7→ ϕ(t) exp(ϕ(t))

t est constante sur ]0, ρ[, puis que : (∀t∈[0, ρ[), ϕ(t) exp(ϕ(t))=ta.

(b) En déduire que l’on aΦ(ω(a))=a.

Partie III : Le cas A = C

On se propose d’établir la surjectivité de l’application : Φ: C −→ C

z 7−→ ze^z Onadmettrala propriété suivante :

Soit P

n∈N

λnzⁿune série entière complexe de rayon de convergence infini, de sommeΛ.

On suppose queΛne s’annule pas surC. Alors il existe une série entière complexe P

n∈N

ρnzⁿ de rayon de convergence infini, de sommeΘtelle que :

(∀z∈C), e^Θ(z)= Λ(z). On considère une série entière complexe P

n∈N

a_nzⁿde rayon de convergence infini, de sommeF.

On noteGla partie réelle deF, ce qui revient à poser : (∀z∈C), G(z)= 1 2

∞

P

n=0(a_nzⁿ+a_nzⁿ). 15. (a) Démontrer la relation :

(∀n∈N^∗),(∀R>0), a_n= 1 πRⁿ

Z 2π 0

G(Re^it)e^−intdt.

Indication : On pourra effectuer une intégration terme à terme après l’avoir justifiée.

(b) Calculer, pour toutR>0, l’intégraleI(R)=R_2π

0 G(Re^it) dten fonction dea0. 16. On suppose qu’il existe deux nombres réelsp>0 etq>0 tels que :

(∀z∈C), G(z)6p|z|+q. (a) Démontrer que

(∀n∈N^∗),(∀R>0), |an|6 1 πRⁿ

Z _2π

0

pR+q−G(Re^it) dt. (b) En déduire queFest un polynôme de degré61.

Dans la suite de cette partie, on va démontrer par l’absurde queΦest surjective.

On suppose donc l’existence deβ∈Ctel que : (∀z∈C), Φ(z),β . 17. Démontrer l’existence d’une série entière complexeΨ(z)=

∞

P

n=0ψnzⁿ, de rayon de convergence infini, telle que :

(∀z∈C), e^Ψ(z) = Φ(z)−β=ze^z−β . On noteG_Ψ la partie réelle deΨ.

18. Démontrer l’existence dep0>0 etq0>0 tels que : (∀z∈C), G_Ψ(z)6p0|z|+q0. 19. En déduire une contradiction et conclure.

20. Établir que−1/eadmet une infinité d’antécédents dansCparΦ.

Indication : on pourra exprimerztel queΦ(z)=−1/esous la formez=x+iy.

Partie IV : Le cas A = M

(C)

On se fixe un entier naturel n > 1. On suppose que l’algèbre A est M_n(C), munie d’une norme d’algèbre.

On se propose d’établir la surjectivité de l’application :

Φ: M_n(C) −→ M_n(C) A 7−→ Aexp(A) On rappelle et onadmettrale résultat suivant :

Soit une matrice M ∈ M_n(C). Si λ1,· · ·, λs sont les s > 1 valeurs propres complexes distinctes de M, d’ordre de multiplicité α1,· · ·, αs, alors M est semblable à la matrice diagonale par blocs deM_n(C) :

diag(M₁,· · ·,M_s)=













M₁ 0 · · · 0

0 M2 ...

... ... 0

0 · · · 0 M_s











 ,

avecM_k=λkI_αk+N_k ∈M_αk(C) oùN_k ∈M_αk(C) est nilpotente, pour tout 16k6s.

21. On considère un polynômeP∈Cn[X] tel queP(0)=0 etP⁰(0),0.

On introduit l’application

∆: Cn[X] −→ C[X]

T 7−→ ∆(T)

où∆(T) est le reste de la division euclidienne deT(P(X)) parXⁿ⁺¹. (a) Démontrer que∆est un endomorphisme deC_n[X].

(b) Démontrer que∆est un automorphisme deCn[X].

(c) En déduire l’existence deQ∈Cn[X] tel queQ(0)=0,Q⁰(0),0 et deS∈C[X] tel que Q(P(X))=X+Xⁿ⁺¹S(X).

(d) Que peut-on dire deP(Q(X)) ?

22. Soitλun nombre complexe différent de−1/eetU∈ M_n(C) une matrice nilpotente (autrement dit,Uⁿ=0).

Soitµ∈Ctel queµe^µ =λ. SoitP∈Cn[X] le polynôme donné par :P(X)=Pⁿ

k=1

e^µ(µ+k) k! X^k. Vérifier que l’on peut associer àPun polynômeQcomme à la question21et que

Φ(µIn+Q(U))=λIn+U.

23. SoitU∈ M_n(C) une matrice nilpotente. Montrer qu’il existeA∈ M_n(C) telle que Φ(A)=−(1/e)I_n+U.

24. Montrer queΦ:M_n(C)→ M_n(C) est surjective.

FIN DU SUJET