Certificats de positivit´e et minimisation polynomiale dans la base de Bernstein

Base de Bernstein multivari´ee Certificats de positivit´e Minimisation polynomiale

Certificats de positivit´e et minimisation polynomiale dans la base de Bernstein

multivari´ee

JNCF 2008

Marie-Fran¸coise Roy & Richard Leroy IRMAR

Vendredi 24 octobre 2008

R. Leroy — Certificats de positivit´e et ´e`e`a`u minimisation polynomiale - 1 -

Base de Bernstein multivari´ee Certificats de positivit´e Minimisation polynomiale

But de l’expos´e

Notations

f ∈R[X] =R[X₁, . . . ,X_k] de degr´e d

simplexe non d´eg´en´er´e V = Conv [V₀, . . . ,V_k]⊂R^k coordonn´ees barycentriquesλi (i = 0, . . . ,k) :

polynˆomes de degr´e 1 Pλ_i = 1

x∈V ⇔ ∀i, λi(x)≥0

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But de l’expos´e

Notations

f ∈R[X] =R[X₁, . . . ,X_k] de degr´e d

simplexe non d´eg´en´er´e V = Conv [V₀, . . . ,V_k]⊂R^k coordonn´ees barycentriquesλi (i = 0, . . . ,k) :

polynˆomes de degr´e 1 Pλ_i = 1

x∈V ⇔ ∀i, λi(x)≥0

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But de l’expos´e

Notations

f ∈R[X] =R[X₁, . . . ,X_k] de degr´e d

simplexe non d´eg´en´er´eV = Conv [V₀, . . . ,V_k]⊂R^k

coordonn´ees barycentriquesλi (i = 0, . . . ,k) :

polynˆomes de degr´e 1 Pλ_i = 1

x∈V ⇔ ∀i, λi(x)≥0

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But de l’expos´e

Notations

f ∈R[X] =R[X₁, . . . ,X_k] de degr´e d

simplexe non d´eg´en´er´eV = Conv [V₀, . . . ,V_k]⊂R^k coordonn´ees barycentriquesλi (i = 0, . . . ,k) :

polynˆomes de degr´e 1 Pλi = 1

x∈V ⇔ ∀i, λ_i(x)≥0

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But de l’expos´e

Exemple : le simplexe standard

∆ ={x ∈R^k | ∀i,xi ≥0 et X

xi = 1}

x≥0 1−x ≥0

x ≥0 y ≥0 1−x−y≥ 0

x≥0 y≥0 z ≥0

1−x−y−z ≥0

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But de l’expos´e

Questions

Comment d´ecider si f est positif sur V ou non ? Le cas ´ech´eant, comment obtenir une preuve simple de cette positivit´e ?

,→ certificats de positivit´e

Comment calculer le minimum def sur V (et localiser les minimiseurs) ?

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But de l’expos´e

Questions

Comment d´ecider si f est positif sur V ou non ?

Le cas ´ech´eant, comment obtenir une preuve simple de cette positivit´e ?

,→ certificats de positivit´e

Comment calculer le minimum def sur V (et localiser les minimiseurs) ?

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But de l’expos´e

Questions

Comment d´ecider si f est positif sur V ou non ? Le cas ´ech´eant, comment obtenir une preuve simple de cette positivit´e ?

,→ certificats de positivit´e

Comment calculer le minimum def sur V (et localiser les minimiseurs) ?

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But de l’expos´e

Questions

Comment d´ecider si f est positif sur V ou non ? Le cas ´ech´eant, comment obtenir une preuve simple de cette positivit´e ?

,→ certificats de positivit´e

Comment calculer le minimum def sur V (et localiser les minimiseurs) ?

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But de l’expos´e

Questions

Comment d´ecider si f est positif sur V ou non ? Le cas ´ech´eant, comment obtenir une preuve simple de cette positivit´e ?

,→ certificats de positivit´e

Comment calculer le minimum def sur V (et localiser les minimiseurs) ?

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Plan de l’expos´e

1 Base de Bernstein multivari´ee 2 Certificats de positivit´e 3 Minimisation polynomiale

Base de Bernstein multivari´ee Certificats de positivit´e Minimisation polynomiale

1 Base de Bernstein multivari´ee 2 Certificats de positivit´e 3 Minimisation polynomiale

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Polynˆ omes de Bernstein

Notations

multi-indice α= (α0, . . . , αk)∈N^k+1

|α|=α0+· · ·+αk =d coefficient multinomial ^d_α

= d!

α0!. . . αk!

Polynˆomes de Bernstein de degr´e d associ´es `a V B_α^d =

d α

λ^α =

d α

λ0α0. . . λkαk.

Apparaissent naturellement dans le d´eveloppement 1 = 1^d = (λ0+· · ·+λk)^d = X

|α|=d

d α

λ^α = X

|α|=d

B_α^d.

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Polynˆ omes de Bernstein

Notations

multi-indice α= (α0, . . . , αk)∈N^k+1

|α|=α0+· · ·+αk =d coefficient multinomial ^d_α

= d!

α0!. . . αk! Polynˆomes de Bernstein de degr´e d associ´es `a V

B_α^d = d

α

λ^α = d

α

λ0α0. . . λkαk.

Apparaissent naturellement dans le d´eveloppement 1 = 1^d = (λ0+· · ·+λk)^d = X

|α|=d

d α

λ^α = X

|α|=d

B_α^d.

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Polynˆ omes de Bernstein

Notations

multi-indice α= (α0, . . . , αk)∈N^k+1

|α|=α0+· · ·+αk =d coefficient multinomial ^d_α

= d!

α0!. . . αk! Polynˆomes de Bernstein de degr´e d associ´es `a V

B_α^d = d

α

λ^α = d

α

λ0α0. . . λkαk.

Apparaissent naturellement dans le d´eveloppement 1 = 1^d = (λ0+· · ·+λk)^d = X

|α|=d

d α

λ^α = X

|α|=d

B_α^d.

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Propri´et´es

positifs sur V base deRd[X]

,→ coefficients de Bernstein :

Tout polynˆome f de degr´e ≤d s’´ecrit de mani`ere unique f = X

|α|=d

b_α(f,d,V)B_α^d.

b(f,d,V) : liste des coefficients b_α =b_α(f,d,V)

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Propri´et´es

positifs sur V

base deRd[X]

,→ coefficients de Bernstein :

Tout polynˆome f de degr´e ≤d s’´ecrit de mani`ere unique f = X

|α|=d

b_α(f,d,V)B_α^d.

b(f,d,V) : liste des coefficients b_α =b_α(f,d,V)

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Propri´et´es

positifs sur V base deRd[X]

,→ coefficients de Bernstein :

Tout polynˆome f de degr´e ≤d s’´ecrit de mani`ere unique f = X

|α|=d

b_α(f,d,V)B_α^d.

b(f,d,V) : liste des coefficients b_α =b_α(f,d,V)

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Propri´et´es

positifs sur V base deRd[X]

,→ coefficients de Bernstein :

Tout polynˆome f de degr´e ≤d s’´ecrit de mani`ere unique f = X

|α|=d

b_α(f,d,V)B_α^d.

b(f,d,V) : liste des coefficients b_α =b_α(f,d,V)

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Grille de contrˆ ole

Grille de Gr´eville : points Nα = α0V₀+· · ·+αkV_k Grille de contrˆole : points (N_α,b_α) d

Graphe def sur la grille de Gr´eville : points (N_α,f (N_α))

Points de contrˆole Graphe def

0 1

Points de Gr´eville

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Grille de contrˆ ole

Grille de Gr´eville : points Nα = α0V₀+· · ·+αkV_k d

Grille de contrˆole : points (N_α,b_α)

Graphe def sur la grille de Gr´eville : points (N_α,f (N_α))

Points de contrˆole Graphe def

0 1

Points de Gr´eville

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Grille de contrˆ ole

Grille de Gr´eville : points Nα = α0V₀+· · ·+αkV_k Grille de contrˆole : points (N_α,b_α) d

Graphe def sur la grille de Gr´eville : points (N_α,f (N_α))

Points de contrˆole Graphe def

0 1

Points de Gr´eville

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Grille de contrˆ ole

Grille de Gr´eville : points Nα = α0V₀+· · ·+αkV_k Grille de contrˆole : points (N_α,b_α) d

Graphe def sur la grille de Gr´eville : points (Nα,f (Nα))

Points de contrˆole Graphe def

0 1

Points de Gr´eville

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Grille de contrˆ ole

Grille de Gr´eville : points Nα = α0V₀+· · ·+αkV_k Grille de contrˆole : points (N_α,b_α) d

Graphe def sur la grille de Gr´eville : points (Nα,f (Nα))

Points de contrˆole Graphe def

0 1

Points de Gr´eville

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Propri´et´es d’interpolation

Pr´ecision affine

Sid ≤1 :b_α =f (N_α) Interpolation aux sommets

b_dei =f (V_i)

Et les autres coefficients dans le casd ≥2 ?

,→ mesurer l’´ecart entre f (Nα) etbα

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Propri´et´es d’interpolation

Pr´ecision affine

Si d ≤1 :b_α =f (N_α)

Interpolation aux sommets

b_dei =f (V_i)

Et les autres coefficients dans le casd ≥2 ?

,→ mesurer l’´ecart entre f (Nα) etbα

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Propri´et´es d’interpolation

Pr´ecision affine

Si d ≤1 :b_α =f (N_α) Interpolation aux sommets

b_dei =f (V_i)

Et les autres coefficients dans le casd ≥2 ?

,→ mesurer l’´ecart entre f (Nα) etbα

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Propri´et´es d’interpolation

Pr´ecision affine

Si d ≤1 :b_α =f (N_α) Interpolation aux sommets

b_dei =f (V_i)

Et les autres coefficients dans le casd ≥2 ?

,→ mesurer l’´ecart entref (Nα) etbα

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Propri´et´es d’interpolation

Pr´ecision affine

Si d ≤1 :b_α =f (N_α) Interpolation aux sommets

b_dei =f (V_i)

Et les autres coefficients dans le casd ≥2 ? ,→ mesurer l’´ecart entref (Nα) etbα

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Ecart grille de contrˆ ole / graphe de f

Th´eor`eme

L’´ecart entre la grille de contrˆole et le graphe de f est major´e par

dk(k+ 2) 24

∆²b(f,d,V) _∞

| {z } .

||

max

|γ|=d−2 0≤i<j≤k

|b_γ+ei+ej−1 +b_γ+ei−1+ej −b_γ+ei+ej −b_{γ+ei−1+ej−1}

| {z }

diff´erences secondes

|

Le cas le pire est atteint par une certaine forme quadratique, qui r´ealise la borne ci-dessus.

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1 Base de Bernstein multivari´ee 2 Certificats de positivit´e 3 Minimisation polynomiale

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Certificats de positivit´e

Hypoth`ese de positivit´e : m= min

∆ f >0 Certificat de positivit´e :

Identit´e alg´ebrique prouvant que f est positif sur ∆. Ici :

Certificat de positivit´e dans la base de Bernstein Sib(f,d,V)>0, alors f >0 sur ∆.

Attention :R´eciproque fausse !

f = 6x²−6x+ 2>0 sur [0,1], mais b(f,2,[0,1]) = [2,−1,2].

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Certificats de positivit´e

Hypoth`ese de positivit´e : m= min

∆ f >0

Certificat de positivit´e :

Identit´e alg´ebrique prouvant que f est positif sur ∆. Ici :

Certificat de positivit´e dans la base de Bernstein Sib(f,d,V)>0, alors f >0 sur ∆.

Attention :R´eciproque fausse !

f = 6x²−6x+ 2>0 sur [0,1], mais b(f,2,[0,1]) = [2,−1,2].

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Certificats de positivit´e

Hypoth`ese de positivit´e : m= min

∆ f >0 Certificat de positivit´e :

Identit´e alg´ebrique prouvant que f est positif sur ∆.

Ici :

Certificat de positivit´e dans la base de Bernstein Sib(f,d,V)>0, alors f >0 sur ∆.

Attention :R´eciproque fausse !

f = 6x²−6x+ 2>0 sur [0,1], mais b(f,2,[0,1]) = [2,−1,2].

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Certificats de positivit´e

Hypoth`ese de positivit´e : m= min

∆ f >0 Certificat de positivit´e :

Identit´e alg´ebrique prouvant que f est positif sur ∆.

Ici :

Certificat de positivit´e dans la base de Bernstein Sib(f,d,V)>0, alors f >0 sur ∆.

Attention :R´eciproque fausse !

f = 6x²−6x+ 2>0 sur [0,1], mais b(f,2,[0,1]) = [2,−1,2].

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Certificats de positivit´e

Hypoth`ese de positivit´e : m= min

∆ f >0 Certificat de positivit´e :

Identit´e alg´ebrique prouvant que f est positif sur ∆.

Ici :

Certificat de positivit´e dans la base de Bernstein Sib(f,d,V)>0, alors f >0 sur ∆.

Attention :R´eciproque fausse !

f = 6x²−6x+ 2>0 sur [0,1], mais b(f,2,[0,1]) = [2,−1,2].

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Certificats de positivit´e

Hypoth`ese de positivit´e : m= min

∆ f >0 Certificat de positivit´e :

Identit´e alg´ebrique prouvant que f est positif sur ∆.

Ici :

Certificat de positivit´e dans la base de Bernstein Sib(f,d,V)>0, alors f >0 sur ∆.

Attention :R´eciproque fausse !

f = 6x²−6x+ 2>0 sur [0,1], mais b(f,2,[0,1]) = [2,−1,2].

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2 Certificats de positivit´e Par ´el´evation du degr´e Par subdivision

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Certificats de positivit´e

par ´el´evation du degr´e

Id´ee : Exprimer f dans les bases de Bernstein de degr´esD ≥d de plus en plus grands.

SiD est assez grand, alors tous les coefficients b_α(f,D,∆) sont>0.

Th´eor`eme

D > d(d−1)k(k+ 2) 24m

∆²b(f,d,∆)

_∞ ⇒b(f,D,∆)>0.

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2 Certificats de positivit´e Par ´el´evation du degr´e Par subdivision

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Certificats de positivit´e

par subdivision

Id´ee : Garder le degr´e d constant, et subdiviser le simplexe ∆.

Si la subdivision est suffisamment fine, alors sur chaque sous-simplexeVⁱ, les coefficients b_α(f,d,Vⁱ) sont >0.

Outil : triangulations standard de degr´e 2 successives :

∆ =V¹∪ · · · ∪V^2kN. Th´eor`eme

Si 2^N >

√d k(k+ 2)p

k(k+ 1)(k+ 3) 24√

m k∆²b(f,d,∆)k∞, alorsb(f,D,Vⁱ)>0 sur chaque Vⁱ.

Base de Bernstein multivari´ee Certificats de positivit´e Minimisation polynomiale

Certificats de positivit´e

par subdivision

Avantages :

le processus s’adapte `a la g´eom´etrie du polynˆome f

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Certificats de positivit´e

par subdivision

Avantages :

le processus s’adapte `a la g´eom´etrie du polynˆome f

Base de Bernstein multivari´ee Certificats de positivit´e Minimisation polynomiale

Certificats de positivit´e

par subdivision

Avantages :

le processus s’adapte `a la g´eom´etrie du polynˆome f

R. Leroy — Certificats de positivit´e et ´e`e`a`u minimisation polynomiale - 18 -

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Certificats de positivit´e

par subdivision

Avantages :

le processus s’adapte `a la g´eom´etrie du polynˆome f taille des certificats de positivit´e moindre

meilleure interpolation

f= (2−4X+ 3Y)²+ 1 d= 11

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Certificats de positivit´e

par subdivision

Avantages :

le processus s’adapte `a la g´eom´etrie du polynˆome f taille des certificats de positivit´e moindre

meilleure interpolation

f= (2−4X+ 3Y)²+ 1 d= 11

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Certificats de positivit´e

par subdivision

Avantages :

le processus s’adapte `a la g´eom´etrie du polynˆome f taille des certificats de positivit´e moindre

meilleure interpolation

f= (2−4X+ 3Y)²+ 1 d= 11

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Certificats de positivit´e

par subdivision

Le processus s’arrˆete :

Th´eor`eme

Il existe une constante (explicite)m_k,d,τ >0 telle que si

deg(f)≤d et la taille binaire des coefficients def est major´ee parτ, alors

f >m_k,d,τ sur ∆.

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Base de Bernstein multivari´ee Certificats de positivit´e Minimisation polynomiale

1 Base de Bernstein multivari´ee 2 Certificats de positivit´e 3 Minimisation polynomiale

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Propri´et´e d’encadrement

Soitm le minimum de f sur le simplexe standard ∆.

But :donner un encadrement aussi pr´ecis que l’on veut de m.

Propri´et´e d’encadrement

SoitV un simplexe, et mV le minimum de f sur V. Alors : m_V ∈[s_V,t_V],

o`u

s_V = minb_α,

t_V = min[f (N_β), b_dei

|{z}

=f(Vi)

,i = 0, . . . ,k], β est tel que bβ =sV.

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Algorithme

Principe :

On subdivise : ∆ =V¹∪ · · · ∪V^s.

On ´elimine les simplexes sur lesquels f est trop grand On boucle jusqu’`a ce que sur chaque simplexe Vⁱ, on ait :

t_Vⁱ −s_Vⁱ < ε,

o`u ε est la pr´ecision recherch´ee.

Outil : triangulations standard de degr´e 2 successives. Si dk³(k+ 1)²(k+ 2)(k+ 3)

2^2N

k∆²b(f,d,∆)k∞

576 < ε,

alors au plusN ´etapes de subdivision sont n´ecessaires.

Base de Bernstein multivari´ee Certificats de positivit´e Minimisation polynomiale

Algorithme

Principe :

On subdivise : ∆ =V¹∪ · · · ∪V^s.

On ´elimine les simplexes sur lesquels f est trop grand On boucle jusqu’`a ce que sur chaque simplexe Vⁱ, on ait :

t_Vⁱ −s_Vⁱ < ε,

o`u ε est la pr´ecision recherch´ee.

Outil : triangulations standard de degr´e 2 successives. Si dk³(k+ 1)²(k+ 2)(k+ 3)

2^2N

k∆²b(f,d,∆)k∞

576 < ε,

alors au plusN ´etapes de subdivision sont n´ecessaires.

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Algorithme

Principe :

On subdivise : ∆ =V¹∪ · · · ∪V^s.

On ´elimine les simplexes sur lesquels f est trop grand

On boucle jusqu’`a ce que sur chaque simplexe Vⁱ, on ait : t_Vⁱ −s_Vⁱ < ε,

o`u ε est la pr´ecision recherch´ee.

Outil : triangulations standard de degr´e 2 successives. Si dk³(k+ 1)²(k+ 2)(k+ 3)

2^2N

k∆²b(f,d,∆)k∞

576 < ε,

alors au plusN ´etapes de subdivision sont n´ecessaires.

Base de Bernstein multivari´ee Certificats de positivit´e Minimisation polynomiale

Algorithme

Principe :

On subdivise : ∆ =V¹∪ · · · ∪V^s.

On ´elimine les simplexes sur lesquels f est trop grand On boucle jusqu’`a ce que sur chaque simplexe Vⁱ, on ait :

t_Vⁱ −s_Vⁱ < ε, o`u ε est la pr´ecision recherch´ee.

Outil : triangulations standard de degr´e 2 successives. Si dk³(k+ 1)²(k+ 2)(k+ 3)

2^2N

k∆²b(f,d,∆)k∞

576 < ε,

alors au plusN ´etapes de subdivision sont n´ecessaires.

R. Leroy — Certificats de positivit´e et ´e`e`a`u minimisation polynomiale - 23 -

Base de Bernstein multivari´ee Certificats de positivit´e Minimisation polynomiale

Algorithme

Principe :

On subdivise : ∆ =V¹∪ · · · ∪V^s.

On ´elimine les simplexes sur lesquels f est trop grand On boucle jusqu’`a ce que sur chaque simplexe Vⁱ, on ait :

t_Vⁱ −s_Vⁱ < ε,

o`u ε est la pr´ecision recherch´ee.

Outil : triangulations standard de degr´e 2 successives.

Si dk³(k+ 1)²(k+ 2)(k+ 3) 2^2N

k∆²b(f,d,∆)k∞

576 < ε,

alors au plusN ´etapes de subdivision sont n´ecessaires.

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Algorithme

Principe :

On subdivise : ∆ =V¹∪ · · · ∪V^s.

On ´elimine les simplexes sur lesquels f est trop grand On boucle jusqu’`a ce que sur chaque simplexe Vⁱ, on ait :

t_Vⁱ −s_Vⁱ < ε,

o`u ε est la pr´ecision recherch´ee.

Outil : triangulations standard de degr´e 2 successives.

Si dk³(k+ 1)²(k+ 2)(k+ 3) 2^2N

k∆²b(f,d,∆)k∞

576 < ε,

alors au plusN ´etapes de subdivision sont n´ecessaires.

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Base de Bernstein multivari´ee Certificats de positivit´e Minimisation polynomiale

Conclusion

Algorithmes certifi´es

complexit´e connue implant´es

Travail futur

meilleure complexit´e (comme en une variable)

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Conclusion

Algorithmes

certifi´es

complexit´e connue implant´es

Travail futur

meilleure complexit´e (comme en une variable)

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Conclusion

Algorithmes certifi´es

complexit´e connue implant´es

Travail futur

meilleure complexit´e (comme en une variable)

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Conclusion

Algorithmes certifi´es

complexit´e connue

implant´es Travail futur

meilleure complexit´e (comme en une variable)

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Base de Bernstein multivari´ee Certificats de positivit´e Minimisation polynomiale

Conclusion

Algorithmes certifi´es

complexit´e connue implant´es

Travail futur

meilleure complexit´e (comme en une variable)

Base de Bernstein multivari´ee Certificats de positivit´e Minimisation polynomiale

Conclusion

Algorithmes certifi´es

complexit´e connue implant´es

Travail futur

meilleure complexit´e (comme en une variable)

R. Leroy — Certificats de positivit´e et ´e`e`a`u minimisation polynomiale - 24 -

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Conclusion

Algorithmes certifi´es

complexit´e connue implant´es

Travail futur

meilleure complexit´e (comme en une variable)

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Conclusion

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complexit´e connue implant´es

Travail futur

meilleure complexit´e (comme en une variable) Sage ?

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complexit´e connue implant´es

Travail futur

meilleure complexit´e (comme en une variable) Mathemagix ?