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B A N Q U E C O M M U N E D ' E , P R E U V E S

C o n c e p t e u r : H . E . C . C O D E E P R E U V E

280 H E C M 1 5

O P T I O N : S C I E N T I F I Q U E

MATHEN,IATIQUES I

l v { e r c r e d i 3 M a i 2 0 0 6 . d e 8 h . à l l h

L o p r é s e n t o t i o n , l o l i s i b i l i t é , l ' o r t h o g r o p h e , l o g u o l i l é d e l o r é d o c f i o n , l o c l o r l é e t l o p r é c i s i o n d e s r o i s o n n e m e n t s e n t r e r o n l p o u r u n e p o r t i m p o r t o n t e d o n s l' o p p r é c i o t i o n d e s c o p i e s .

L e s c o n d i d o t s s o n T r n v r t é s à e n c o d r e r d o n s l o m e s u r e d u p o s s i b l e l e s r é s u l l o t s d e l e u r s c o l c u l s .

f l s n e d o i v e n t f a i r e u s o g e d ' o u c u n d o c u m e n t : l ' u t r l i s o t i o n d e t o u T e c o l c u l o t r i c e e T d e T o u t m o T é r i e l é l e c l r o n i q u e e s t i n t e r d i t e .

Seule l'utilisotion d'une rèqle aroduée est outorisée.

Pour tout couple (p,q) d'entiers strictement positifs, on rote Mo,n(R) I'ensemble des matrices à p lignes et q colonnes à coeffÊcients réels. Si .,{ est un élément quelconque de ,ÀZo,n(R), on note A" la transposée dc ,4.

Dans tout le problème, pour n dans N*, on identifie IR'et I'ensemble,AZ,,1(R) des matrices colonnes à n lignes et à coefficients réels. L'espace vectoriel lRt est muni de sa structure euciidienne canonique, le produit scalaire d e d e u x v e c t e u r s X e t Y é t a n t n o t é ( X , Y ) o u Y T X .

I t t

t ' l

( ' ?

\ , ' - , \ , / z

P o u r t o u t v e c t e u r X :

I : I a u n " , s a n o r m e e s t d o n n é e p a r ] l X l l : r / y ' r y : t t t ? )

\ r n . , / \ o ' 1 - o /

Le module et le conjugué d'un nombre complexe z sont notés respectivement lzl et Z. On rappelle quc Le nombre complexe de module 1 et d'argument nf 2 est noté i.

L'objet du problème est Hilbert) de ,Â2,,,(lR.), de

l'étude de quelques propriétés de la matrice Hn - (h[1])r<*,r<" (appelée matrice de terme générique à["] :

*=,lcs entiers k et j clécrivant [1,n|.

Pour tout entier n supérieur ou égal à 1, la matrice 11, s'écrit donc

l ;

r r - l t

, , , -

| : [ , \ -

1 1

z r r

1 1

; . ' . -

J n + L

. . :

1 1

n r l ) n - 1

Préliminaire

On rappelle que la restriction de la fonction tangente à l'intervalle

)-;,;f admet une fonction réciproque notée arctan. On note (arctan)' sa dérivée.

1. a) Pour tout réel r, rappeler l'expression dc (arctan)'(r) en fonction de r.

b) h'lontrer, pour tout r de R.+*, l'égalité : arctanr f arctan ! : ! r 2 ' c ) ' É t a b l i r ,

p o u r t o u t r d e I R . + , I ' e n c a d r e m e n t : 0 ( a r c t a n r -( r.

2. a) i\,{ontrer que la fonction r/ définie sur IR par ,/,(r): -t= est une densité de probabilité sur IR.

r ( t + x . J

b) Soit U une variable aléatoire réelle de densité ry'. On note F sa fonction de répartition. Déterminer la loi de la variable aléatoire F([/).

c) On rappelle que la fonction Pascal random rend un nombre aléatoire dc I'intervalle [0, 1] suivant une loi uniforme sur cet intervallc. Écrire, dans Ie langage Pascal, une fonction Cauchy simulant Ia variable aléatoire [/.

Partie I. Dimension du sous-espace propre associé à la plus grande valeur propre de Hn

1 7

1 . C a l c u l e r , p o u r tout couple ( À , j ) de [1,rn', I'intégrale I t x + t - 2 d t .

J O / " 0 \

l - r r l - r l

E r r d é d u i r e . p o u r r o u r v e c r e u r x :

I , ' l a " l R ' . I ' é g a l i t é : x T H n x : | ( r o + r r f + . . . * x n - 1 " - I 1 2 d t . [ ,

J t o

\ a t n _ t /

2. a) Justifier I'existence d'une matrice diagonale D à coefficients diagonaux strictement positifs, et d'une matrice ort hogonalc P telles quc : IIn : PDPT.

b) On désigne par cln (resp. É,) Ia plus petite (resp. la plus grande) valeur propre de Hn.

h\Iontrer. pour tout vectcur X de IR', l'encadrement suivant :

u , 1 x l l z < x r H n x < p " l l x l l '

3. On note ) le sous-espacc propre de Hn associé à la valeur propre B,.

a ) S o i t Y u n v e c t e u r d e V . M o n t r e r q u e Y T H , , Y : g . l l Y l l 2 .

b) Réciproquement, soit Y un vecteur non nul de IR'vérifia\tYTHnY : l3,llYll2. Montrer que Y appartient

à v .

4 s o * " ' :

( " : : , ) u n v e c r e u r n o n n u r d e v

l z o I l r t I : V n - 7 1 sont les valeurs absolues des composantes de X6.

a) Étabhr I'inégalité | lxolr H.lxol > Xl H,X1.

b) En déduire que lXel est un élément de }/.

c) N'lontrer que ies composantes du vecteur H"lXol sont toutes strictement positives. En déduire que le vecteur Xs n'a aucunc composante nulle.

d) En utilisant Ie fait que X{H^Xo: lxglTI/"lXsl, montrer que les composantes de Xs sont toutes de même signe.

5. a) Montrer qu'il n'existe pas deux vecteurs non nuls de V orthogonaux.

b) En déduire la dimension du sous-espace propre V.

\ J

le vecteur dont les composantes O n n o t e lxrl :

(

Partie If. Croissance et convergence de la suite (B,),21

on rappelle 9De 0, désigne la plus grande valeur propre de la matrice rir.

/ "'o \

| *;' I

1. Soit *' :

| ,' I a IRn un vecteur propre d.e Hn associé à B,. Soit Z le vectetr de IR'+1 déflni par

\ - , ' 1

/ rh \

' t ; \

I ' i I

Z :

I i l. Montrer que ZTHn*12 : X'THnX'. En déduire que la suite (B,),21 est croissânte.

t , l

I r " - r I

\ 0 /

2. Soit gt et gz deux fonctions définies et continues sur le segment [a, b] de R. On définit le nombre complexe

7 b

J" @'@) -t ie2(o))d,o par :

[ o @ , ( r ) + i e 2 ( 0 ) ) d n : [ o r r ( 0 ) d 0 + t I e r l e p o

J a J a J o

et on rappelle que pour tout réel :r, on a .. ei' : cosr * isinr.

a ) C a l c u l e r , p o u r t o u t k d . e Z , l e s d e u x n o m b r e s c o m p l e x e s t [" ",*tde û [ ",k0d0.

7L

t -;^ Jo

b ) M o n t r e r , p o u r t o u t e n t i e r p d e N , l ' é g a l i r 1 ,

J _ r r p d r : - i

J o

e i ( e + r ) g d e .

c) En déduire, pour tout polynôme P à coefficients complexes, l'égalité , [' ,çr1hr: -i

[" P@i|)ei\d0.

J - r J o

d) Dans le cas où P est un polynôme à coefficients réels, établir I'inégalité suivante : I r l I r r

l l P 1 r ) d r l ( / l p ( e i e ) l d o

l J - r I J o

l r o \

Dans lesquestrons 3 et 4, on désigne n^, X :

| '..t

| ,n u""t"u, quelconquede IR'.

\ " - - , /

3 . a ) É t a b l i r l' e n c a d r e m e n t : 0 ( X ' r H . X = , [ r ( " , * r f t a . . . I r n - f i n - t ) r d , t .

b ) E n d é d u i r e q u e l ' o n a : 0 < XT H.Xa / " l " o * r p i l + . . . + x n - r e i ( n - t ) 0 y 2 d , 0 .

0

l n - l 1 2

4 . a ) S o i t g l a f o n c t i o n d é f i n i e s u r I R p a r : p@):lDr*"i*tl

l / r = 0 |

M o n t r e r q u e c p e s t 2 z r - p é r i o d i q u e e t p a i r e ; e n d é d u i r e i ' é g a l i t é , [ ,1eSae:: [*" p(0)d,0.

J o t J - n

b ) É t a U l i r l ' i n é g a i i t é : X r H n X ( zrllXllr.

c) En déduire que la suite (0.),>r est majorée, puis qu'elle est convergente.

P a r t i e I I I . L i m i t e d e l a s u i t e ( A " ) " > t

Dans cette partie, le vecteur W de IR" est défini par W : { 1 /

\ 1 /

1 \

, O l : l

vG/

r \ / n * 1 - r \ 2

: Jo (,f zl dt

1. Nlontrcr les égalités suivantes :

n ' r " H - r r ' : + +

? _ f i , / T , n U , + j _ r )

2. En déduire, pour n )- 2,I'inégalité suivante :

n r p _ ] l

r l r r " n ' > ) - - + f - ^'

ftn - | k=/-_r,/t 1, _-p

(on pourra utiliser le développement du produit de deux polynômes) Dans Jes questions suivantes, p est un entier supérieur ou égal à2.

S. a) Étudier les variations de la fonction 9 définie sur ]0,p[ par : S@): -:---

vx:\p - r)

b) En déduire, quelle que soit la parité de p, l'inégalité suivante :

p - L t r p - t ) ^

.---4- , ----::-_

r : " : , / n ( p - k ) ' l t , / r ( p - r )

î D - I

4. Justifier la validité du changement de variable ":

fiV dans I'intégr"*

Jr' relation :

['-t -L : tr - arctan f -]-)

It Jr(p - ,) \,/P - t /

1 / 1 \

5. On pose i up: ---:- ârnrân I ^

I Montrer que la série de terme général uo est convergente.

p - 1 - " " - ^ ' \ 6 = 1 7 '

6. a) I\{ontrer que llWll2 est équivalent à lnn, lorsque n tend vers *oo.

b) Bn déduire la limite de la suite ([3").>t.