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Contrôle de Mathématiques
Géométrie dans l’espace EXERCICE 1 4pts
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n’est demandée. Pour chacune des questions, une seule des quatre propositions est correcte. Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n’enlève pas de point. On notera sur la copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la proposition choisie.
1) Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère les points 𝐴(2 ; 5 ; −1), 𝐵(3 ; 2 ; 1) et 𝐶(1 ; 3 ; −2). Le triangle 𝐴𝐵𝐶 est :
a) rectangle et non isocèle ; b) isocèle et non rectangle ; c) rectangle et isocèle ; d) équilatéral.
2) Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère le plan 𝑃 d’équation 2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 − 1 = 0 et le point 𝐴(2 ; 5 ; −1). Une représentation paramétrique de la droite 𝑑, perpendiculaire au plan 𝑃 et passant par 𝐴 est :
a) {
𝑥 = 2 + 2𝑡 𝑦 = 5 + 𝑡 𝑧 = −1 + 3𝑡
b) {
𝑥 = 2 + 2𝑡 𝑦 = −1 + 5𝑡 𝑧 = 3 − 𝑡
c) {
𝑥 = 6 − 2𝑡 𝑦 = 3 + 𝑡 𝑧 = 5 − 3𝑡
d) {
𝑥 = 1 + 2𝑡 𝑦 = 4 − 𝑡 𝑧 = −2 + 3𝑡 3) Soit 𝐴 et 𝐵 deux points distincts du plan.
L’ensemble des points 𝑀 du plan tels que 𝑀𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝑀𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 est : a) l’ensemble vide ;
b) la médiatrice du segment [𝐴𝐵] ; c) le cercle de diamètre [𝐴𝐵] ; d) la droite (𝐴𝐵).
4) La figure ci-dessous représente un cube 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻. Les points 𝐼 et 𝐽 sont les milieux respectifs des arêtes [𝐺𝐻] et [𝐹𝐺]. Les points 𝑀 et 𝑁 sont les centres respectifs des faces 𝐴𝐵𝐹𝐸 et 𝐵𝐶𝐺𝐹.
Les droites (𝐼𝐽) et (𝑀𝑁) sont : a) perpendiculaires ;
b) sécantes, non perpendiculaires ; c) orthogonales ;
d) parallèles.
30/11/2017
2 EXERCICE 2 16pts
On note ℝ l’ensemble des nombres réels. L’espace est muni d’un repère orthonormé (𝑂 ; 𝑖 , 𝑗 , 𝑘⃗ ).
On considère les points 𝐴(−1 ; 2 ; 0), 𝐵(1 ; 2 ; 4) et 𝐶(−1 ; 1 ; 1).
1)
a) Démontrer que les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 ne sont pas alignés.
b) Calculer le produit scalaire 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
c) Déterminer la mesure de l’angle 𝐵𝐴𝐶̂, arrondie au degré.
2) Soit 𝑛⃗ le vecteur de coordonnées
(
−12−1
)
.a) Démontrer que 𝑛⃗ est un vecteur normal au plan (𝐴𝐵𝐶).
b) Déterminer une équation cartésienne du plan (𝐴𝐵𝐶).
3) Soient 𝑃1 le plan d’équation 3𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 + 3 = 0 et 𝑃2 le plan passant par 𝑂 et parallèle au plan d’équation 𝑥 − 2𝑧 + 6 = 0.
a) Démontrer que le plan 𝑃2 a pour équation 𝑥 = 2𝑧.
b) Démontrer que les plans 𝑃1 et 𝑃2 sont sécants.
c) Soit la droite 𝐷 dont une représentation paramétrique est
{
𝑥 = 2𝑡 𝑦 = −4𝑡 − 3 𝑧 = 𝑡
, 𝑡 ∈ ℝ.
Démontrer que 𝐷 est la droite d’intersection des plans 𝑃1 et 𝑃2.
4) Démontrer que la droite (𝐷) coupe le plan (𝐴𝐵𝐶) en un point 𝐼 dont on déterminera les coordonnées.
Quel est le comble pour un Cosinus ? Attraper une sinusite !!!
Ne vous enrhumez pas et réussissez…..
