DEVOIR DE SYNTHESE N°3

Lycée Rue A.Amara Hichem Khazri Le Kef 14/05/2013- 3h 4

T4

DEVOIR DE SYNTHESE N°3

Le sujet comporte deux pages

EXERCICE N°1(4pts)

On a relevé la recette en milliers de dinars d’un supermarché le lundi et le samedi. Un échantillon de 10 semaines à donné le tableau suivant :

Semaine n° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Recette du lundi :X

46 63 56 60 56 52 50 48 49 57

Recette de samedi :Y

75 92 85 86 84 74 70 68 69 81

1) Représenter le nuage des points dans un repère orthonormé.

On prendra pour point d’intersection des axes le point de coordonnées (40 ;60) et 1 cm pour représenter 2000D

2) Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage et placer G sur le graphique 3) On appelle G1 et G2 les points moyens des sous-nuages constitués respectivement par

les semaines 1 à 5 et celles de 6 à 10

a) Calculer les coordonnées des points G1 et G2. Tracer cette droite sur le graphique

b) Déterminer une équation de la droite (G1G2)

c) Donner une estimation de la recette du samedi dans le cas où la recette du lundi de la même semaine est 66 milles dinars.

4) a) Déterminer une équation de la droite de régression de Y en X par la méthode du moindre carré

b) Déterminer une nouvelle estimation de la recette du samedi dans le cas où la recette du lundi de la même semaine est 66 milles dinars.

EXERCICE N°2(4pts)

Lors d’un séminaire on a constaté que 70% des participants parlent l’anglais ,63% par le français et 42% parlent a la fois l’anglais et le français.

Un journaliste veut interviewer au hasard l’un des participants à ce séminaire.

On désigne par A et F les événements suivants :

A : « le participant choisi parle Anglais » et F : « le participant choisi parle le Français » 1) Justifier que p (F/A)=0,6. En déduire la

valeur de (p F A/ )

2) Justifier que (p F∩A)=0, 21

3) Recopier et compléter l’arbre pondéré suivants :

4) Quelle est la probabilité que le participant choisi ne parle ni anglais ni français

EXERCICE N°3(4pts)

Une urne contient 9 jetons numérotés de 1 à 9 indiscernables au toucher Une épreuve consiste à tirer au hasard et simultanément 3 jetons de l’urne

1) On considère les événements suivants :

A : « obtenir 3 jetons de numéros de même parité »

B : « Au moins un des 3 jetons tirés porte un numéro paire » a) Calculer p(A)

b) Montrer que 37 ( ) 42 p B =

2) On désigne par X l’alea numérique qui prenant pour valeur le nombre des jetons tirés portant des numéros paire

a) Déterminer la loi de probabilité de X b) Calculer l’espérance mathématique de X

3) On répète l’épreuve suivante 5 fois de suite en remettant à chaque fois les trois jetons tirés dans l’urne .

Calculer la probabilité de l’événement suivante C : « B est réalisé au moins une fois »

EXERCICE N°4(5pts)

L’espace est muni d’un repère orthonormé ( , , , )O i j k r r r

On considère les points (1, 0, 1)A − ;B(1,3,5) ; C(-7,2,2) et H(-1,4,3) 1) a) Déterminer les composantes du vecteurHBuuur∧uuurHC

b) En déduire qu’une équation cartésienne du plan (HBC) est :x−2y−2z+ =15 0 c) Montrer que le point H est le projeté orthogonal de A sur le plan (HBC) 2) On considère l’ensemble S des points des points M(x, y, z) de l’espace tels que : ²x + + −y² z² 4y−2z+ =1 0

a) Montrer que S est une sphère dont on déterminera le centre I et le rayon R b) Vérifier que In est le milieu du segment [AH]

c) Déterminer la position de la sphère S et le plan (HBC) 3) Soit le point J(0,0,1)

a) Vérifier que J appartient à S

b) Calculer la distance du point I à la droite (AJ) c) En déduire que la droite (AJ) est tangente à S.

d) Donner une représentation paramétrique de la droite (AJ) et déterminer les coordonnées du point d’intersection de (AJ) et le plan (HBC)

EXERCICE N°5(3pts)

Soit g la fonction définie sur IR par ( )g x = −1 e^x −xe^x 1) Calculer limg

+∞ et limg

−∞

2) a) Vérifier que g x'( )=e^x( 2− −x)

a) Etudier les variations de g et dresser le tableau de variation b) Calculer g(0) en déduire le signe de g

c) Calculer ¹

0g x dx( )

∫