EPREUVE DE MATHEMATIQUES PARTIE A : Évaluation des ressources

P a g e 1 | 2 DIOCESE DE BAFOUSSAM ANNEE SCOLAIRE 2020/2021

SECRETARIAT A L’EDUCATION CLASSE : T^le C EVALUATION N^o4 GROUPE DE JUMELAGE BARTHELEMY TCHUEM DUREE : 4 H COEF : 7

EPREUVE DE MATHEMATIQUES PARTIE A : Évaluation des ressources

EXERCICE 01: (05 points) A- 1) Soit (E) l’équation

13 x 7 y 16

.

a) Vérifier que le couple 5; 7 est une solution de (E). 0,25 pt b) Déterminer les couples d’entiers relatifs x z; vérifiant l’équation (E). 0,5 pt 2- a) Démontrer que pour tout entier naturel n,

4

²ⁿ

1 5

. 0,5 pt b) Déterminer le reste de la division de 2014²⁰¹⁵ par 5. 0,75 pt B- E est un espace vectoriel sur IR³ dont une base

B

i j k; ; . Soit l’endomorphisme

f

de E qui à tout vecteur

u xi y j zk

associe le vecteur

2 2 2 3

u

x y

z y

y z j x

y z

k

f i

.

1- Déterminer la matrice de

f

dans la base B. 0,5 pt 2- a) Déterminer Ker

f

de

f

(on donnera une base de Ker

f

) et en déduire la dimension

de Im

f

. 1 pt

b)

f

est-elle bijective ? Justifier votre réponse. 0,5 pt 3- On considère les vecteurs

e

₁

2 j k ; e

₂

3 i j k et e

₃

i k

^.

a) Démontrer que la famille

B ' e e e

₁

;

₂

;

₃ est une base de l’espace vectoriel E. 0,5 pt b) Déterminer la matrice de

f

dans la base B’. 0,5 pt

EXERCICE 02: (02,5 points) A- N est un entier naturel (n > 0). On considère l’équation différentielle

(E ): y (x) + y(x) = _!e

1) g et h sont telles que : ( ) ( )e

a) Montrer que

g

est solution de (E ) ssi pour tout réel x, h (x) = _! 0.5pt b) En déduire la fonction

g

associée à h telle que

g

(0) = 0 0.75pt 2) On considère l’équation différentielle (E) : y + y = 0

a) Montrer que la fonction

t

est solution de (E) si et seulement si

t

+

g

est solution de

(E ) 0.5pt

b) Déterminer la solution

f

de (E ) qui s’annule en 0 0.75pt EXERCICE 03: (08 points)

Les parties A, B et C sont liées. Considérons la fonction

f

définie sur IR par

2

4 3

^x

x x x x e

f

de courbe représentative C_f dans un repère orthonormé

0; , i j

. Partie A : Etude de la fonction

g

. 02,75 points

Soit la fonction

g

définie par

g x x

²

2 x 1 e

^x

1

.

1- Calculer les limites de

g

aux bornes de son domaine de définition. 0,5 pt

P a g e 2 | 2

2- Calculer la dérivée

g '

x de la fonction

g

x puis dresser le tableau de variation de

g

.1 pt

3- Démontrer que l’équation

g

x 0admet deux solutions dont une est nulle et l’autre dont-on donnera une valeur approchée à 10^-1 près. 1 pt 4- En déduire le signe de

g

x sur IR suivant les valeurs de

x

. 0,25 pt Partie B : Etude de la fonction

f

. 3,75 points

1- Calculer les limites de

f

aux bornes de son domaine de définition. 0,5 pt

2- Calculer la dérivée

f '

x de la fonction

f

x puis dresser le tableau de variation de

f

.1pt 3- Démontrer que la droite (D) d’équation

y x

est asymptote à la courbe C_f . 0,25 pt

4- Déterminer les points de rencontre de C_f et(D) ; puis déduire les positions relatives de

Cf et(D). 1 pt

5- Construire la droite (D) et la courbe C_f . 1 pt Partie C : Calcul d’aire. 01,5 point

1- Soit H la fonction définie sur IR par

H x ax

²

bx c e

^x. Déterminer les réels a, b et c pour que la fonction H soit une primitive sur IR de la fonction

2

4 3

^x

x x x e

h

. 0,75 pt 2- Soit m un réel strictement supérieur à -1.

a) Déterminer l’aire (Am), en unité d’aire, du domaine plan fermé délimité par la courbe Cf ,la droite (D), les droites d’équation

x 1 et x m

. 0,5 pt b) Déterminer la limite de (Am) lorsque m tend vers . 0,25 pt

PARTIE B : EVALUATION DES COMPETENCES: (04,5 point)

Paliers de compétences : Résoudre une situation problème, déployer un raisonnement mathématique et communiquer à l’aide du langage mathématique en faisant appel aux notions de PPCM et de PGCD, des variations d’une fonction numérique.

SITUATION : Les communes A et B ont ensembles 6192 habitants. Elles vont recevoir des ordinateurs qu’elles partageront équitablement à leurs habitants, sachant que A a au moins 3 000 habitants et B a au moins 2 500 habitants. On doit prévoir au moins 18 060 ordinateurs pour ce partage qui aura lieu dans la salle de fête d’une société qui fabrique un produit

pharmaceutique.

La capacité de production annuelle de cette entreprise ne peut dépasser une tonne. ET le coût de fabrication de

x

tonne de ce produit est

c x

1

x xe

^{1 x2}. Si k est le prix de vente en milliers de francs alors son bénéfice est

kx c x

.

Le portail de la barrière de cette société pharmaceutique a trois phares A, B et C. Ils lancent un signal lumineux respectivement toutes les 25 secondes, 30 secondes et les 35 secondes. Un signal simultané se produit à 22 heures.

Tâche 1 : A quelle heure se produira le premier signal simultané après minuit ? 1,5 pt Tâche 2 : Déterminer la production pour laquelle le profit de cette société pharmaceutique est

maximal en supposant k=1. 1,5 pt

Tâche 3 : Déterminer le nombre d’habitants de chacune de ces deux municipalités. 1,5 pt