RESISTANCE DES MATERIAUX (4)
Référence:
Ferdinand P. Beer
E. Russell Johnston, Jr.
John T. DeWolf
Notes de cours:
J. Walt Oler
Texas Tech University
Contraintes principales sous chargement
particulier
Contraintes principales dans une poutre
• Soit une poutre prismatique soumise à un chargement transversal
It VQ It
VQ I
Mc I
My
m xy
m x
=
−
=
=
−
=
τ τ
σ σ
• Les contraintes principales sont déterminées les méthodes exposées au chapitre 7
• Est-ce que la contrainte maximum dans la section droite peut être supérieure à :
I
m = Mc σ
Contraintes principales
• Les équations précédente sont combinées pour mener aux équations paramétriques d’un cercle,
• Les contraintes principales apparaissent sur les plans principaux de contraintes avec une des contraintes de cisaillement nulles.
( )
2 2 22 2
où
2 2
x moy x y
x y x y
moy xy
R
R
σ σ τ
σ σ σ σ
σ τ
′ − + ′ ′ =
+ ⎛ − ⎞
= = ⎜ ⎟ +
⎝ ⎠
o 2 2 min
max,
90 by separated angles
two defines
: Note
2 2 tan
2 2
y x
p xy
y xy x
y x
σ σ
θ τ
σ τ σ
σ σ σ
= −
⎟⎟ +
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ −
+ ±
=
définit deux angles séparés par 90°
σmoy
Contraintes principales dans une poutre
tension
compression
Contraintes principales dans une poutre
• La forme de la section droite implique des valeurs importantes de τxy près de la surface, où σx est aussi important.
• σmax peut être plus grande que σm
Problème 8.1
Une force de 160-kN est appliquée en bout d’une poutre en acier de type W200x52.
En négligeant les effets d’épaulement et les concentrations de contrainte, déterminer si les contraintes normales satisfont la spécification de conception
SOLUTION:
• Déterminer le cisaillement et le moment de flexion dans la section A-A’
• Calculer la contrainte normale à la surface du dessus et à la jonction âme-bride.
• Évaluer la contrainte cisaillante à la jonction âme-bride.
• Calculer la contrainte principale à la jonction âme-bride
Problème 8.1
SOLUTION:
• Déterminer le cisaillement et le moment de flexion dans la section A-A’
( )( )
kN 160
m - kN 60 m
375 . 0 kN 160
=
=
=
A A
V M
• Calculer la contrainte normale à la surface du dessus et à la jonction âme-bride.
( )
MPa 9
. 102
mm 103
mm 4 . MPa 90 2
. 117 MPa 2
. 117
m 10 512
m kN 60
3 6
=
=
=
=
×
= ⋅
= −
c σ y
S M
a b b
a A
σ σ
-(160kN)(0.375m) = - 60 kN.m
Problème 8.1
• Évaluer la contrainte cisaillante à la jonction âme-bride.
( )
( ) ( )
( ) ( )
MPa 5
. 95
m 0079 .
0 m 10 7 . 52
m 10 6 . 248 kN
160 m 10 6 . 248
mm 10
6 . 248 7
. 96 6 . 12 204
4 6
3 6 3
6
3 3
=
×
= ×
=
×
=
×
=
×
=
−
−
−
It Q V Q
b A
τ
• Calculer la contrainte principale à la jonction âme-bride
( )
( )
(
150MPa)
MPa 9
. 169
5 . 2 95
9 . 102 2
9 .
102 2 2
2 2 2
1 2
max 1
>
=
⎟ +
⎠
⎜ ⎞
⎝ + ⎛
=
+ +
= σb σb τb σ
Problème 8.2
Une poutre sur appuis est soumise à une charge répartie et une charge
concentrée. Sachant que pour le métal, les valeurs limites sont σadm = 165 MPa et τadm = 100 MPa, sélectionner la poutre en I qui devrait être utilisée.
SOLUTION:
• Déterminer les réactions en A et D.
• Trouver la contrainte cisaillante maximum.
• Trouver la contrainte normale maximum.
• Calculer le module de section requis et sélectionner la section de poutre
appropriée.
• Déterminer le cisaillement et le
moment de flexion maxi à partir des diagrammes des efforts internes.
2,75 m
89 kN
46 kN/m
6 m
1,5 m
+
2,75 m
89 kN
46 kN/m
3,25 m
1,5 m 177,6 kN 256 kN
-177,6 kN
-51,1 kN 37,9 kN
-69 kN
-187 kN
314,6 kN.m -51.75 kN.m
Problème 8.2
• Calculer le module de section requis et
sélectionner la section de poutre appropriée.
SOLUTION:
• Déterminer les réactions en A et D.
0 256 kN
0 177, 6 kN
A D
D A
M R
M R
= ⇒ =
= ⇒ =
∑ ∑
max 314, 6 kN 3
0, 0019
M m
w = = ⋅ = m
• Déterminer le cisaillement et le moment de flexion maxi à partir des diagrammes des efforts internes.
max max
314, 6 51.1 kN
187 kN
M kN m avec V
V
= ⋅ = −
=
Type W (cm3)
2523 2081 2392
Problème 8.2
• Trouver la contrainte normale maximum.
La contrainte cisaillante est supposée uniforme dans l’âme,
max
max 2
187 kN
35 MPa 100 MPa 0,00533 m
ame
V
τ = A = = <
• Trouver la contrainte cisaillante maximum.
( )
max
3
b 2
314 kN m
151 MPa 2081cm
0, 251
151 MPa 142 MPa
0, 267 51,1 kN
9,59 MPa 0,00533 m
a
b a b
web
M w σ y
c V A σ
σ τ
= − = − ⋅ = −
= = − = −
= = − = −
( )
2
2 max
142 MPa 142
9,59 MPa
2 2
142, 64 MPa 165 MPa
σ = + ⎛⎜⎝ MPa⎞⎟⎠ + −
= <
(Là où le moment est maximum)
9,59 MPa 142 MPa
-τb= 9,59 MPa
142 MPa
=142,64 MPa w = 2081 cm3 Aame= 0,00533 m2 d = 0,5334 m
t = 0,01 m
ta= 0,0156 m 0,267 m
0,251 m
151 MPa 142 MPa
