Les signaux déterministes à temps continu

(1)

Cours Traitement de Signal AII21

Chapitre 2 : La transformée de Laplace

I . Introduction

Le lien entre la représentation temporelle d'un signal et sa représentation fréquentielle est la décomposition en Série de Fourier (DSF), pour les signaux périodique ou la Transformée de Fourier (TF) pour les signaux non périodiques.

II. Propriétés temporelles

II.1. Énergie et Puissance des signaux

Toute transmission d'information est liée à un transfert d'énergie. Comment mesure t’on l'énergie d'un signal?

Soit un signal x(t) défini sur , et T_o un intervalle de temps.

Énergie de x(t) :

Puissance moyenne de x(t):

Puissance moyenne des signaux périodiques de période T :

∫

−

∞

= → ²

2

) 2

( lim

To

To To x t dt

E

∫

−

∞

= → ²

2

) 2

1 ( lim

To

To Tox t dt

P To

[

−∞,+∞

]

Les signaux déterministes à temps continu

∫

−

= ²

2

) 2

1 (

T

dt t T x

P

(2)

II.2 Fonction d’auto corrélation et d’inter corrélation

Pour comparer deux signaux entre eux, ou faire ressortir une caractéristique d’un signal noyé dans le bruit, on compare le signal x(t) pris à un instant « t », à un signal y(t) pris à un instant « t’= t -τ ».

II.2.1 L'inter corrélation

L'inter corrélation compare deux signaux réels x(t) et y(t) retardée, elle traduit la ressemblance de de forme entre eux : =⁺∫^∞ ⋅ −

∞

−

dt t y t x C

y

x ( ) ( ) ( )

, τ τ

Pour les signaux complexes : =⁺∫^∞ ⋅ −

∞

−

dt t y t x C

y

x ( ) ( ) *( )

, τ τ (avec (*)≡ conjugué)

Exemple : Si y( t ) est une version retardée de t₀de x( t ), donc C x,y(t) sera maximale pour t = -t₀ ; en examinant son temps de pic, on peut estimer le décalage entre x et y (Application en radar)

II.2.2 L’auto corrélation

L’auto corrélation réalise une comparaison entre un signal x(t) et ses copies retardées Pour les signaux réels : =⁺∫^∞ ⋅ −

∞

−

dt t x t x C

x

x ( ) ( ) ( )

, τ τ

II.2.3 Propriétés de corrélation

C x,x (t) est maximale pour t = 0.

C _x,y(t) = C _x,y(-t) : c'est une fonction paire.

C x,y (t) = x( t ) * y( -t ) et C x,x (t) = x( t ) * x( -t ).

III. Produit de Convolution III.1. Définition

Soit le système ci-dessous, ayant pour entrée une impulsion de Dirac δ(t) et de sortie la réponse impulsionelle h(t) .

Un système linéaire est modélisé par sa réponse impulsionelle.

La réponse y(t) d’un système à une entrée x(t) est une superposition de réponses impulsionelle amplifié par des valeurs instantanées de x(t) ; cette opération appelé : convolution de x par h ; noté (*).

Figure (2.1):La réponse impulsionelle du système.

δ(t) h(t)

Sortie : la réponse impulsionelle

Système

Entrée : impulsion deDirac

(3)

Figure (2.2): La réponse du système.

Equation générale de convolution :

III.2. Propriétés du produit de convolution Soit les trois signaux continus : f₁[t], f₂[t] et f₃[t] .

a- La commutativité :

f1[t] * f2[t] = f2[t] * f1[t]

b- La distributivité

( f1[t] + f2[t] )* f3[t] = (f1[t] * f3[t]) + (f2[t] * f3[t]) c- L’associativité

f₁[t] * f₂[t] * f₃[t] = f₁[t] * (f₂[t] * f₃[t] ) = (f₁[t] * f₂[t]) * f₃[t]

d- L’élément neutre f[t] * δ[t] = ^+∞

∫

∞

−

−τ τ δ

τ t d

f( ). ( ). = f[t]

e-

Soit le signal d’entré f(t), s(t) est la réponse du système tell que : f(t) * δ(t-t₀) = s(t) = f( t - t₀ )

Figure ( 2.3 ) : La réponse du système à t₀.

Le signal de sortie d’un système linéaire causal invariant dans le temps est donné par le produit de convolution du signal d’entrée et d’une fonction h(t) appelée réponse impulsionelle.

La valeur du signal de sortie à l’instant t est ainsi obtenue par la sommation des valeurs passées du signal d’excitation, pondérées par la réponse du système.

Système h(t)

x(t) y(t)= x(t)*h(t)

Y(t) = x(t) * h(t) =

∫

^+∞

∫

∞

− +∞

∞

−

=

−τ hτ dτ xτ h t τ dτ t

x( ). ( ). ( ). ( ).

t δ(t-t0)

f(t)

t

t₀

t f(t-t0)

t₀

(4)

III.2. Application Exemple 1 :

Soit les signaux continus h(t) et x(t):

h (t) = 2 pour 0 ≤ t ≤ 2 sinon h (t) = 0 & x (t) = 2.e-^t pour t ≥ 0 a- Représenter les deux signaux.

b- Déterminer le produit de convolution y (t) = x (t) * h (t).

Correction : a-

Figure (2.4 ) : La représentation temporelle des signaux x(t) et h(t).

b- le produit de convolution y (t) = x (t) * h (t) = ^+∞

∫

∞

−

−τ hτ dτ t

x( ). ( ).

1^er cas : pour t < 0

Figure(2. 5 ) : La représentation des signaux pour t < 0 .

Pas d’intersection entre les deux signaux d’ où y(t) = 0 . 2^er cas : pour 0 < t < 2

Figure (2. 6) : La représentation des signaux pour 0 < t < 2.

y (t) = x (t) * h (t) = ^+∞

∫

∞

−

−τ hτ dτ t

x( ). ( ). = 2.2. ⁽ ⁾ =4 . .

= 4 . . = 4. e^{- t}[e^t – 1]

y(t) = 4. e^{-2 t} - 4.e^-t pour 0 < t< 2

2 h(t)

t 2

x(t)

t 2

2 h(τ)

τ 2

x(t-τ) 2

t

0 2

h(τ)

τ x(t-τ) 2

t

(5)

3^eme cas : pour t >2 y (t) = x (t) * h (t) =

∫

^+∞

∞

−

−τ hτ dτ t

x( ). ( ). = 4. ⁽ ⁾ =4 . .

= 4 . . = 4. e^{- t}[e² – 1] d’où y(t) = 4. e^{2- t} - 4.e^-t pour t > 2 Exemple 2 :

Soit un système « S », caractérisé par sa réponse impulsionelle h(t).

Si on excite ce système par un signal x (t), on aura une réponse y (t).

Soient les deux signaux continus x (t) et h (t) telle que :

x (t) = 1 pour 0 ≤ t ≤ 4 sinon x (t) = 0 & h (t) =1pour -2 ≤ t ≤ 2 sinon h (t) = 0 a - Déterminer le produit de convolution y (t) = x (t) * h (t).

b - Représenter le produit de convolution y (t).

Réponse : a -

Figure (2. 7): La représentation temporelle des signaux x(t) et h(t).

Le produit de convolution y (t) = x (t) * h (t) = ^+∞

∫

∞

−

−τ ^hτ ^dτ t

x( ). ( ).

1^er cas : pour t < 0

Pas d’intersection entre les deux signaux d’ où y(t) = 0 .

Figure (2. 8) : La représentation de x(τ) et h(t- τ) pour t < 0.

2^èmecas : pour 0 < t < 4

Figure (2. 9) : La représentation de x(τ) et h(t- τ) pour le 2^èmecas .

h(t)

t

-2 2

1

x(t)

t

0 4

1

t

h(t - τ) x(τ)

t

0 4

1

t - 4

t

h(t - τ)

t - 4

x(τ)

t

0 4

1

(6)

y (t) = x (t) * h (t) =

∫

^+∞

∞

−

−τ ^hτ ^dτ t

x( ). ( ). = 1 = t y(t) = t pour 0 < t< 4

3^ème cas : pour t >4 et t-4<4 d’où 4 < t <8

y (t) = ^+∞

∫

∞

−

−τ ^hτ ^dτ t

x( ). ( ). = 1 = 4 – t+ 4= -t + 8 y(t) = -t + 8 pour 4< t <8

4^ème cas : pour t-4>4 d’où t >8

Pas d’intersection entre les deux signaux d’ où y(t) = 0.

b-

Figure (2. 12) : La représentation temporelle du produit de convolution.

t

h(t - τ)

x(τ)

t

0 4

1

t - 4 x(τ⁾

t

4 t

h(t - τ)

t - 4

y(t)

t 4

0 4 8

(7)

IV . Propriétés fréquentielles

IV.1. Transformation de Fourier des fonctions périodiques : Série de Fourier

L’introduction de la transformée et de la Série de Fourier permet de donner une autre représentation des signaux très intéressante pour la théorie de l’information et du signal .Cette décomposition exponentielle ou trigonométrique permet d’exprimer le signal en fonction de ses harmoniques.

IV.1.1. Décomposition sous une forme trigonométrique

Un signal périodique s(t) de période T, continu par morceaux et vérifiant les condition de Dirichlet , peut être décomposé en Série de Fourier selon la Décomposition trigonométrique suivante :

Pour tout signal s(t) réel où s(t) = s ( t + T0), on peut écrire :

[ ]

∑

^∞

= +

+

=

1

) 2 sin(

) 2 cos(

)

( ₀ ₀ ₀

n

n n Ft B n Ft

A A

t

s π π (1)

Avec

∫

= ⁰

0

) 1 (

0 0

T

dt t T s A

1 )

2 cos(

).

2 ⁰ (

0

0 0

≥

=_T

∫

^s ^t ⁿ ^F^t ^dt ^pourⁿ

A

T

n π

1 )

2 sin(

).

2 ⁰ (

0

0 0

≥

=_T

∫

^s ^t ⁿ ^F^t ^dt ^pour ⁿ

B

T

n π

A0 est la valeur moyenne de s(t).

Remarque :

Si s(t) est paire => Bn = 0 pour n ϵ N*

Si s(t) est impaire => An = 0 pour n ϵ N (A0 = 0).

L’expression (1) peut s’écrire :

∑ +

+

=

^∞

=1

n 0 n

0

C .cos(2 π nt )

a

s(t)

F

n

ϕ

⁽²⁾

avec :

= +

et (

)

n n

n a

Artgan − b ϕ =

(8)

IV.1.1.1 Spectre du signal périodique

Le spectre en fréquence d’un signal périodique est constituer de la composante continue avec à la fréquence nulle d’amplitude A0 , du fondamental à la fréquence F0 d’amplitude C1 et des différents harmoniques situés aux fréquences f = nF0 d’amplitude respectives Cn.

Le spectre d’une fonction périodique, de période T0 avec T₀ = 1/F₀ , est discontinue et composé de raies dont l’écart minimum est, sur l’axe des fréquences, F₀.

Représentation spectrale unilatéral

A partir de l’expression (2), on peut construire la représentation spectrale du signal dans un plan amplitude –fréquence.

C’est la succession de pics ou raies d’amplitude C_n et positionnés aux fréquences nF₀.

Figure (2.13) : Représentation spectrale du signal s(t).

IV.1.2. Décomposition sous une forme exponentielle

Un signal périodique s(t) de période T0, continu par morceaux, peut être décomposé en Série de Fourier selon la Décomposition exponentielle suivante :

L’expression (1) peut se mettre sous la forme complexe suivante :

∑

^+∞

∞

−

= Sn nF e ^jn ^F ^t t

s( ) ( ₀) ²^π ⁰

Avec ⁼ ⁻ ⁼

∫

⁰ ⁻ ^≥

0 0

0 1 ( ) 1

) 2(

) 1

( ² ⁰

T n

n s t e dt pourn

jb T a nF

S ^jn ^π^F ^t

et S(0) = a0

Les valeurs négatives de n sont introduites dans un but de simplification, s(t) étant réel d’où nous avons :

a -n = an et b -n = - bn

S(nF0) représente les composantes du spectre en fréquence de s(t),grandeur en général complexe, qui a pour :

•

module : |S(nf0)| =

+ =

• phase :

ᵩ

⁽ ^nF0) = Arctan(- b_n / a_n )

A₀

C1

C2 C3

f 0 F₀ 2F₀ 3F0 nF₀

C_n

(9)

L’expression du spectre S(f) est :

Figure (2.14) : Représentation bilatérale du spectre d’un signal périodique.

IV.1.3. Propriétés

Si s(t) est paire => Bn = 0 et Sn = S-n

Si s(t) est impaire => An = 0 et Sn = -S-n

IV.1.4. Application

Décomposer en série de Fourier le signal représentée sur la figure suivante:

Figure (2. 15) : Représentation temporelle du signal périodique f(t).

Correction :

La période est : T = 2 s ; La pulsation est : ω = π =π T

2 ; f est une fonction paire : Bn = 0.

La valeur moyenne est :

∫

₋ ⁼ ₋ ⁺

= ¹

0 0

1 1

0 1 ( )

2 ) 1 2 ( ) 1 1 (

dt t v dt t v dt

t T v A

[ ]

3 3 ) ( )

(

0 , 1

+

= + ⇒

=

−

∈

∀

t t v b at t v

t

et

[ ]

3 3 ) ( 3

) (

1 , 0

+

−

= + ⇒

−

=

∈

∀

t t

v c t t

v t

D’où :

4 3 3

2 3 2 ) 1 3 3 2 (

1 ⁰

1 0 2

1  =

 +

= +

− −

∫

^t ^dt ^t ^t

f(t)

1 t 3

S(f) = ∑ ^&'(_{& (} (!" ). #($ % !" ) avec S(nF0) = |S(nF0)|. e^j^ᵩ⁽^nF0)

S(0)

S(F₀)

S(2F₀) S(3F0)

f - nF₀ -3F₀ -2F₀ -F₀ 0 F₀ 2F₀ 3F0 nF₀

S(nF₀) S(-F0)

S(-2F0) S(-3F0)

S(-nF₀)

S(f)

(10)

4 3 3

2 3 2 ) 1 3 3 2 (

1 ¹

0 1 2

0  =



+

−

= +

∫

− ^t ^dt ^t ^t

A0 = 3/4+3/4=3/2 A0 = 3/2

∫

₋ ⁺ ⁺

∫

⁻ ⁺

= ⁰

1

0

) cos(

) 3 3 ( ) cos(

) 3 3

( t n t dt t n t dt

A_n π π

En intégrant par partie, on trouve n

[

ⁿ

] [

ⁿ

]

n

A n 1 ( 1)

) ( ) 3 1 ( ) 1 (

3

2

2 − − + − −

= π π

D’où

[

ⁿ

]

A_n n 1 ( 1) )

( 6

2 − −

=

π

IV.2. Transformation de Fourier des fonctions

La transformée de Fourier permet d’obtenir une représentation en fréquence (représentation spectrale) des signaux déterministe, continus et non périodique. Elle exprime la répartition fréquentielle de l’amplitude, de la phase et de l’énergie (ou de la puissance) des signaux considérés.

IV.2.1 Définition

Soit x(t) un signal déterministe non périodique, sa transformée de Fourier est :

X(f) =T F{x(t)}

X(f) indique quelle "quantité" de fréquence f est présente dans le signal x(t) sur l'intervalle X(f) est une fonction de f, généralement complexe :

X(f) = R{X(f)} + j.I{X(f)} = │X(f)│ .e^jφ(f) = │X(f)│ cos(φ(f)) + j │X(f)│ .sin(φ(f))

[ , ]−∞+∞

T.F

x(t) X(f)

=

^+∞

∫

∞

−

dt e

t x f

X ( ) ( ).

^j²^π^ft

∫

^⇒ ⁼ ₋

= ¹

0 1 0

) cos(

) 2 ( )

2 cos(

).

2 ⁰ (

0

dt t n t T f A dt

t F n t

T s

A_n _n

T

π π

(11)

-le module est l’amplitude du spectre :

│X(f)│= ^R^[

X ( f )]

²

+ I [ X ( f )]

²

-L’argument φ(f) = arg (x(f)) = Arctg(

)]

( [

)]

( [

f X R

f X

I )

La transformation inverse est donnée par :

x(t)= TF^-1{ X(f) }

IV.2.2 Application:

1. Calculer la transformée de Fourier de x(t) = rectT(t) ; 2. Représenter le spectre de x(t).

Figure (2. 16) : Représentation temporelle d’un signal rectangulaire.

Correction :

1. X(f) =T F{x(t)} =

e t d

t

rect

^j ^f

T

( ).

²

.

+∞

∫

∞

−

− π

=

e

j f

t d

t

T

. .

1

²

2

π

∫

−

− = -

f

j²¹π ^[e^-jπfT^{- e}^jπfT^] or sin α =

j

21 [ e^αj – e^-jα] et sinc α =^sin(παπα ⁾ D’où X(f) =

π^{1 .sin(}f ^{πfT) = T.}π^fT^{1 .sin(}πfT) = T.sinc(fT)

D’où X(f) = T.sinc(fT) T.F^-1

X(f) x(t)

T/2 -T/2

x(t)

t 1

) (t

x = ^+∞

∫

^X(f) ^.

e

^j² ^ft^.dt

∞

−

π

(12)

2. représentation de X(f) :

Figure (2.17) : Représentation spectrale d’un signal rectangulaire.

IV.2.3. Propriétés de la TF

Soit les deux signaux analogiques s(t) et r(t)

T

-1/T 1/T -2/T

X(f)

f

2/T

(13)

IV.2.4. Cas particulier : Transformée de Fourier de Dirac

Le signal : s(t) Transformée de Fourier Du signal : )

( f S

δ(t) 1

δ(t – τ) e⁻^j²^πf^τ

t f

e⁻j^2π⁰ δ(f + f₀)

IV.2.5. Application :

Calculer et représenter la transformée de Fourier d’un signal sinusoïdale s(t) d’amplitude S et de fréquence f0 telle que : s(t) = S.cos(2 πf0t)

Correction :

∫

^+∞

∞

−

− +∞

∞

−

− =

= s t e dt S f t e dt f

S ^j ^π^ft π 0 ^j²^π^ft

2 . cos(2 )

) ( ) ( or

) 2 2 cos(

0

0 2

2 0

t f j t f

j e

t e f

π

π = π ⁺ ⁻



 



 +

 =







 +

=

∫ ∫

^+∞

∫

∞

−

− +∞ −

∞

− +∞ −

∞

−

− −

dt e e dt e S e

dt e e

S e f

S ^j ^ft ^j ^f^t ^j ^ft ^j ^f^t ^j ^ft

t f j t f

j π π π π π π π

2 2 2

2 2

. 2 .

. 2 )

( ⁰ ⁰

0 0

= 









∫

+^+∞

∫

∞

−

+ +∞ −

∞

−

− dt e dt

S ej2 (f₀ f)t j2 (f₀ f)t

2

π

π = 









∫

+^+∞

∫

∞

−

+ +∞ −

∞

−

− dt e dt

S e j2 (f f₀)t j2 (f f₀)t

2

π π

= ) ( f

S

[

( 0) ( 0

]

2 f f f f

S δ − +δ +

Figure (2.18) : représentation temporelle et fréquentielle du signal cosinus.

[

0

] [

( 0) ( 0

]

) 2 2 cos(

. S f f f f

t f S

TF π = δ − +δ +

(14)

Remarque :

La transformée de Fourier d’une fonction cosinus de fréquence f0 et d’amplitude S, est la somme de deux impulsions de Dirac centrée sur les fréquences –f0 et +f0 ; et d’amplitude la moitié de celle du signal :S /2.

La transformée de Fourier d’une fonction sinus de fréquence f₀ et d’amplitude S, est la somme de deux impulsions de Dirac centrée sur les fréquences –f₀ avec une amplitude S/2 et sur +f₀

avec une amplitude -S /2.

IV.3. Transformée de Fourier du produit de convolution

Remarque :

[

^h⁽^t⁾^* ⁽^t⁾

]

^TF

[ ] [ ]

^h⁽^t⁾^.^TF ⁽^t⁾ ^TF

[ ]

^h⁽^t⁾ ^H⁽^f⁾

TF δ = δ = =

[

^a⁽^t⁾^*^b⁽^t⁾

]

^A⁽^f^).^B⁽^f ⁾

TF =