Exercice 1 : Hyperboles de conjugaison

Les sacs seront laissés devant le tableau. Conservez seulement de quoi écrire et une calculatrice : pas de téléphone !

Si vous ne comprenez pas une notation, une question, ou si vous pensez avoir découvert une erreur d’énoncé, signalez-le immédiatement.

On rappelle les formules de conjugaison de Descartes et de Newton.

Soit une lentille minceLde centreO, de foyers objet et imageFetF⁰dont on notef⁰la distance focale. SiA⁰etAsont deux points de l’axe optique conjugués parL, on a :

1 OA⁰ − 1

OA= 1 OF⁰ = 1

f⁰ etF A·F⁰A⁰=−f⁰².

On rappelle également les formules du grandissement transversalγt. SiBetB⁰sont deux points conjugués, hors de l’axe optique, dans les plans conjugués contenantAetA⁰, on a :

γt=−F⁰A⁰ f⁰ = f⁰

F A=OA⁰ OA.

Exercice 1 : Hyperboles de conjugaison

On considère une lentille mince convergente, notéeLcde centre optiqueOet de distance focale image notée f_c⁰. La figure 1 (à rendre avec la copie) représente la positionOA⁰de l’image que la lentilleL_cdonne d’un objet de positionOAsitué sur l’axe optique.

− 20 − 10 0 10 20

− 20

− 10 0 10

20 M

M

M

OA(cm) O A

(cm)

Fig. 1 : Position de l’image en fonction de celle de l’objet pour une lentille convergente.

1. (a) Déterminer à l’aide de la figure 1 la valeur de la distance focalef_c⁰.

(b) Pour chacun des pointsM1,M2etM3, déterminer la nature réelle ou virtuelle de l’objet et de l’image correspondant.

2. (a) Proposer une détermination du grandissement transversal utilisant la figure 1.

(b) En déduire le grandissement correspondant aux pointsM1etM2.

3. On cherche avec cette lentille à former une image réelle deux fois plus grande d’un objet réel.

(a) Quel sera le signe du grandissement ?

(b) Déterminer à l’aide de la figure 1 la distance entre la lentille et l’objet ainsi que la distance entre l’objet et son image.

4. On considère une lentille mince divergente, de vergenceV =−10δ.

(a) Tracer l’allure de la courbeOA⁰en fonction deOAen précisant soigneusement les points remar- quables. On pourra se contenter de modifier quelques paramètres de la figure 1 et l’utiliser pour les questions suivantes.

(b) Cette lentille modélise le verre correcteur d’un œil myope. Où se forme l’image formée par ce verre d’un objet réel placé à 20 cm ?

(c) Avec ce verre, l’œil corrigé voit net sans accommoder un objet à l’infini. En déduire le « punctum remotum » de l’œil non corrigé.

(d) Le « punctum proximum » de l’œil non corrigé est 5 cm, quel est le « punctum proximum » de l’œil corrigé ?

Exercice 2 : Rétroprojecteur

On souhaite former, sur un écran mural noté E, l’image agrandie d’un transparent à l’aide d’une len- tille mince convergenteL. On désigne parIl’intersec- tion du transparent avec l’axe optique, parOetf⁰le centre optique et la distance focale image de la lentille.

On désigne pardla distanceIO.

I h

O L

E x

d

D

1. (a) Déterminer le signe deγ.

(b) On souhaite que la taille de l’image sur l’écran soit|γ|h, avec|γ|> 1. Déterminer l’expression de la distancedpuis de la distance focalef⁰en fonction deDetγ. Calculerd, etf⁰pourh = 24 mm,H =|γ|h= 1,2 m etD = D0 =3,0 m. On noted0la valeur dedet etO0la position correspondante.

(c) On peut régler l’objectif en translatantOpar rapport àI. Déterminer les distancesDminetDmax

quand on déplaceOde 1 mm de part et d’autre de la positionO0et commenter.

2. Pour cette question,Dest de nouveau fixé àD = D0 et la lentille enO0. On souhaite multiplier la taille de l’image sur l’écran par2sans déplacer ni celui-ci ni le transparent, ni la lentille. On envi- sage d’intercaler, entre le transparent et la lentille L, une lentille mince convergenteL1de distance fo- cale imagef₁⁰et une lentille mince divergenteL₂de distance focale imagef₂⁰, avec

f₂⁰ = 2f₁⁰.

I O

L O1

L₁ O2

L₂

(a) Justifier qu’on n’aurait pas pu réaliser cette dilatation par2en n’ajoutant qu’une seule lentille.

(b) On place la lentilleL₁de telle sorte que son foyer objet coïncide avecI. Où doit-on placerL₂? On justifiera le fonctionnement de ce dispositif en s’aidant d’une construction.

3. On supprime dans cette partie les lentillesL1etL2pour étudier maintenant la source lumineuse éclai- rant le transparent. On la considère ponctuelle, située enSà une distancedSen amont du transparent.

La distanceDest à nouveau fixée àD0.

On intercale, enOSune lentille mince convergente LS(de distance focalef_S⁰) entreSet le transparent de telle sorte que le faisceau lumineux issu deSen- globe tout le transparent et se focalise enO0, centre optique de la lentilleL.

I

O L OS

LS

S

(a) Le schéma ci-dessus représente l’enveloppe « utile » du faisceau lumineux issu deSatteignant la lentilleL. Compléter ce schéma pour représenter cette enveloppe entre la lentilleLet l’écranE.

(b) Déterminer l’expression de la distanceSOSen fonction def_S⁰ , dSetd0. CalculerSOSpourf_S⁰ = 1,8 cm etd_S=5 cm.

(c) Quelle est l’utilité de la lentilleL_S?

Problème 1 : Interférences de condensats de Bose-Einstein

On étudie deux expériences d’interférences d’ondes de matière. Elles utilisent des nuages d’atomes ultra froids dans l’état quantique dégénéré nommé « condensat de Bose-Einstein » dont tous les constituants (atomes ou molécules) sont dans le même état quantique. Aucune connaissance sur ces états n’est néces- saire, on les traitera comme s’il s’agissait d’un seul atome ou molécule.

Données :masse d’un nucléonm=1,67·10⁻²⁷kg, constante de Planckh=6,63·10⁻³⁴J·s, accélération de la pesanteurg=9,81 m·s⁻². Les autres données sont à rechercher dans les figures expérimentales ou dans l’énoncé des questions.

I Généralités

I.1. On considère l’onde de matière d’une particule libre de massemet de quantité de mouvement#»p =pe#»y, avecp>0.

(a) Donner l’expression de son énergie cinétique en fonction depetm, notéeEp

(b) Rappeler l’expression de sa longueur de de Broglie, notéeλ_dBen fonction entre autres dep.

(c) La particule est maintenant confinée dans un piège unidimensionnel de longueur`selone#»y. Dé- terminer les valeurs deppossibles pour des états stationnaires (on identifiera chaque état station- naire par un entiern >0). En déduire les valeurs de l’énergie cinétique de la particule correspon- dantes, notéesEnet tracer l’allure de la densité de probabilité de présence en fonction dey, notée

|Ψn(y)|².

I.2. On admet que la fonction d’onde d’une particule de quantité de mouvement#»p =pe#»y, notéeψp(y , t) peut se mettre sous la forme :

ψp(y, t) =Ape^{i(py−Ept)/}},avecApindépendante deyett. (1) (a) Tracer la fonction|ψp(y , t) +ψ−p(y , t)|²en fonction dey. On pourra choisir de prendreA−p=

−A_p.

(b) En déduire que les états stationnaires duI.1cpeuvent être modélisés comme des superpositions de deux états de quantités de mouvement opposées.

II Interférences entre deux condensats en mouvement

Dans cette expérience, deux condensats identiques sont mis en mouvement l’un vers l’autre avec des vec- teurs vitesse opposés, de même normev0. Ils sont formés de molécules diatomiques de⁶Li, dont on note m_Li2la masse.

II.1. Rappeler l’expression de la longueur d’onde de de BroglieλdBd’une particule de massem_Li

2et de vitessev0.

II.2. Les courbes ci-contre représentent l’évolution des positions horizontales (selon #»ey) des deux condensats en fonction du temps quand ils sont lancés l’un vers l’autre. L’échelle des abscisses est de 1 ms par division : les courbes s’intersectent en particulier pourt=14 ms.

Fig. 2

Lesquelles des courbes correspondent-elles à des mouvements rectilignes uniformes ? Déterminer par lecture graphique la norme des vecteurs vitesse correspondants.

II.3. On s’intéresse dans la suite aux mouvements correspondant aux courbes en traits pleins.

(a) Lire les normes des vitesses à l’instant où les deux condensats se rencontrent et calculer la longueur d’onde de de Broglie correspondante.

(b) La figure 3 est une photographie des deux condensats à l’instant où ils se rencontrent (obtenue en mesurant leur absorbance), accompagnée du profil de densité correspondant. Mesurer la valeur de l’interfrange correspondant et commenter. L’intensité du signal observé est proportionnelle au carré de l’amplitude de probabilité.

Fig. 3 : La figure (a) est la photographie à l’instant où les deux condensats se rencontrent. La figure (b) représente le profil de la partie centrale. La figure (c) (pas nécessaire ici) représente la décomposition en série de Fourier de la courbe de la figure (b),kyayant la dimension d’un vecteur d’onde. Le signal représenté est proportionnel à la densité de probabilité de présence.

(c) Déduire de ces mesures la masse des particules dont on observe les ondes des matière et commen- ter.

(d) Si les vitesses étaient celles données par les courbes en traits pointillés de la figure 2, aurait-on pu observer ces franges d’interférences ?

III Interférences dans un réseau de condensats

Dans cette nouvelle expérience, un condensat d’atomes de⁸⁷Rb de massem_Rbest découpé en plusieurs condensats situés chacun aux nœuds d’une onde stationnaire formée par deux faisceaux lasers.

On désigne pardla distance entre deux neuds consécutifs. On coupe ensuite les dispositifs as- surant le confinement des condensats et ceux-ci chutent librement sous l’effet du poids pendant une duréeT =22 ms avant qu’on n’en prenne une photographie. On réalise ainsi l’analogue de la diffraction de la lumière par un réseau.

Fig. 4

d #» g

III.1. On établit dans cette question la diffraction d’une onde optique par un réseau de pasd.

L’onde incidente est monochromatique de longueur d’ondeλ et on étudie la figure d’interférences sur un écran situé à la distanceDdu plan du réseau (voir la Figure 5b). On pourra admettre le résultat donné pour poursuivre.

(a) Déterminer les directionsθdans lesquelles les inter- férences seront constructives (voir la Figure 5a).

(b) En déduire que siλ/d1, on pourra observer au centre de l’écran une figure d’interférences dont l’in- terfrange estλD/d.

Fig. 5 θ

d

a réseau

#»g écran

b

III.2. (a) En considérant que la chute des condensats, initialement immobiles, peut être décrite classique- ment, montrer brièvement que la distanceDparcourue avant la prise d’image et la vitesse verticale vdes condensats à cet instant ont pour expression :

D=gT²/2 v=gT.

(b) En déduire l’expression de la longueur de de Broglie à la fin de la chute en fonction deh , g , m_Rb etT. Calculer sa valeur.

(c) La figure ci-contre représente la distribution des atomes après une chute de duréeT. Proposer une détermination de l’inter- frange, en fonction des paramètres de la question précédente et d=2,7 µm, en admettant qu’on peut utiliser les résultats de la questionIII.1b. Justifier que l’interfrange observé est supérieur à celui déterminé en utilisant la valeur de la questionIII.2b (d) Proposer un calcul plus précis de l’interfrange. On n’effectuera

pas le calcul.

III.3. La longueur d’onde des deux lasers utilisés pour former l’onde stationnaire découpant le condensat initial estλb =532 nm. Quelle serait la distance entre deux nœuds consécutifs de l’onde stationnaire qu’ils réaliseraient s’ils étaient rigoureusement contrapropageant ? En déduire l’angle entre les deux faisceaux choisi dans l’expérience pour découper le condensat. On fera un schéma pour illustrer les notations.

Références :

“Observation of interference between two molecular Bose–Einstein condensates”, C. Kohstall et al., New Journal of Physics 13 (2011) 065027 (Section II), “Interference of an Array of Independant Bose-Einstein Condensates”, Z. Hadzibabic et al., Physical Review Letters 93 (2004) 180403–3 (Section III).

Exercice 3 : Couleur de colorants moléculaires

On s’intéresse aux streptocyanines, des colorants organiques répandus.

Dans ces molécules, le motif CHCH est répé- tépfois, avecp ∈ N^?. Leur couleur varie du rouge (pourp= 2) au cyan (pourp= 5). On interprète ces résultats en étudiant l’état quan- tique des électrons. Une molécule possède en ef- fet2(p+ 1)électrons délocalisés entre les deux atomes d’azote N. On modélise cette zone par un puits quantique infini unidimensionnel.

N H₃ C

H3

C

CH CH CH N⁺

CH3

CH3

p

Données : masse d’un électron me = 9,11·10⁻³¹kg, célérité de la lumière dans le vide c = 299 792 458 m·s⁻¹, constante de Planckh=6,63·10⁻³⁴J·s.

1. (a) En admettant que toutes les liaisons C C et C N ont même longueura=1,39·10⁻¹⁰m, déter- miner la longueur`psur laquelle les électrons sont susceptibles de se déplacer.

(b) Établir l’énergieEndu niveau d’énergien(pourn∈N^?) dans un puits de longueur`p. (c) On peut placer au plus deux électrons dans un même niveau d’énergie. Quelle est la répartition

des électrons délocalisés pour laquelle leur énergie totale est minimale ?

2. Lorsque la molécule absorbe un photon, un des électrons délocalisés change de niveau d’énergie pour un niveau d’énergie précédemment non occupé, la différence entre ces deux niveaux étant égale à l’éner- gie du photon.

(a) Montrer que la plus grande longueur d’onde que la molécule peut absorber a pour expression : λmax(p) =8ma²c

h F(p), avecF(p)une fraction rationnelle enp.

(b) Calculerλmax(p)pourp= 2etp= 5et commenter.

Données :masse de l’électronme=9,1·10⁻³¹kg, vitesse de la lumière dans le videc=3,0·10⁸m·s⁻¹, constante de Planckh=6,6·10⁻³⁴J·s.

Correction de l’exercice 1

1. (a) On observe que la distanceOA⁰diverge pourOA0=−5,0 cm. Le pointA0est donc conjugué de l’infini, c’est donc par définition le foyer objet. On en déduit quef⁰=5,0 cm. On vérifie d’ailleurs que pourOA=∞,OA⁰=5,0 cm : le foyer image est bien symétrique du foyer objet.

(b) L’objet est réel (resp. virtuel) pourOA <0(resp. pourOA >0). C’est l’inverse pour l’image. On en déduit que :

• enM1l’objet et l’image sont tous deux réels ; on est en zone de projection

• enM2l’objet est réel et l’image est virtuelle ; on est en zone de loupe

• enM3l’objet est virtuel et l’image est réelle.

2. (a) En notanty=OA⁰etx=OA, le grandissement transversal a pour expressionγ=y/x, c’est donc la pente de la droite joi- gnant l’originex = 0, y = 0 au pointM, représentée sur la figure 6.

(b) On lit :

• enM1:γ=−0,4,

• enM2:γ=4,0.

− 20 − 10 0 10 20

− 20

− 10 0 10

20 M

M

M

M

OA(cm) O A

(cm)

Fig. 6 3. (a) On doit être en zone de projection, oùγ <0puisqueOA <0etOA >0.

(b) On trace la droite de penteγ=−2issue de l’origine. Les coordonnées de son intersection avec la courbe de la figure 6 (pointM4) donnent :

• OA=−7,5 cm,

• OA⁰=15 cm.

La distance entre la lentille et l’objet est donc|OA| =7,5 cm et celle entre l’objet et l’image est AA⁰ = OA⁰−OA = 22,5 cm. Remarquons queD = AA⁰peut également s’interpréter gra- phiquement comme la distance, pourx = −7,5 cm, entre la courbe de la figure 6 et la courbe d’équationy=x.

4.

(a) La distance focale de la lentille est f⁰ = 1/V = −10 cm. Il suffit donc de décaler la courbe 1 pour queOA⁰ diverge enOA = −f⁰ et que ses asymptotes pourOA→ ±∞soient OA⁰ =f⁰. On obtient la courbe de la figure 7.

(b) Le pointM1 sur la courbe, a pour abscisseOA = −20 cm. On lit son

ordonnéeOA⁰=−6,7 cm.

− 20 − 10 0 10 20

− 20

− 10 0 10 20

M

M

OA(cm) O A

(cm)

Fig. 7

(c) L’image d’un point à l’infini par cette lentille est son foyer image situé à l’asymptoteOA⁰=f⁰=

−10 cm. Comme l’œil voit cet objet sans accommoder, cette distance est son « punctum remotum » de l’œil non corrigé. On a ici négligé la distance entre l’œil et le verre.

(d) Quand il accommode au maximum, l’œil voit net un objet placé à son « punctum proximum » non corrigé, soit enOA⁰ =−5 cm (pointM2sur la figure 7). Avec le verre, ce point est l’image du pointOA=−10 cm ; c’est donc le nouveau « punctum proximum » pour l’œil corrigé.

Correction de l’exercice 2

1. (a) L’objet et l’image doivent être réels, soitOA⁰ >0etOA <0. La formule du grandissement de Newton assure que le grandissement sera négatif.

(b) Utilisonsα = H/het travaillons avec les distances (positives)OEetOI = d. La formule du grandissement de Descartes assure queα=OE/OI=OE/d. Comme par ailleursD=OE+d, on peut écrireα=^D−d_d , soitd= _α+1^D . La relation de conjugaison de Descartes donne_OE¹ +¹_d=

1

f⁰, soit _D−d^d + 1 = _f^d0 soit, après substitution de l’expression dedobtenue et manipulations f⁰= ^Dα

(α+1)². On calculed0 =5,88 cm etf⁰ =5,77 cm : le transparent n’est qu’à 1 mm du foyer objet de la lentille, ce qui n’est pas surprenant puisqu’on veut un grandissement deα= 50.

(c) On exprime cette fois-ci la distanceDen fonction dedetf⁰. La relation de conjugaison_D−d¹ +¹_d=

1

f⁰ donneD = _d−f^d20. On calculeD = 1,3 m pourd = d_min = 5,98 cm etD = 33,4 m pour d=dmin=5,78 cm. On constate qu’on pourra réaliser la mise au point sur des distancesDtrès différentes en modifiant très légèrement la configuration.

2. (a) Le plan de l’écran est conjugué parLde celui du transparent. Si on forme une image du transparent par une autre lentille, celle-ci ne sera plus en I et la lentilleLne pourra pas en former une image sur l’écran.

(b) La lentilleL1envoie à l’infini l’image deIdont l’image parL2sera au foyer image de cette der- nière, qui doit donc coïncider avecIpour que son image parLsoit sur l’écran. On doit donc avoir I=F1=F⁰2. Comme

f₂⁰

= 2f₁⁰, la lentilleL₂doit être placée à|f₂⁰|= 2f₁⁰en aval deI. Notons que cette distance doit être inférieure àdpour qu’on puisse insérer les deux lentillesL1etL2en amont de la lentille de projection.

Il faut également vérifier que cette configuration réalise bien le grandissement attendu. L’image à l’infini formée parL1est vue sous l’angleβ ' tanβ = h/f₁⁰, son image parL2 sera le foyer image secondaire associé à cette incidence, sa taille sera donc tanβ× |f₂⁰|=h^|f

0 2| f₂⁰ = 2h.

O1 O2

I F_2,β⁰

β

3. (a) et b. L’enveloppe est représentée ci-contre. La sourceOet le centreOde la lentille de projec- tion doivent être conjugués par la lentilleLS. On a donc, en notantxla distanceSO0:

1

x+ 1

d0+dS−x = 1 f_S⁰

f_s⁰(d0+dS) =x(d0+dS−x) x²−(d0+dS)x+ (d0+dS)f_S⁰ = 0.

OS

S I O0 E

On en déduit

x=

d0+dS−q

(d0+dS) d0+dS−4f_S⁰

2 =2,28 cm,

puisque l’autre solution correspondrait à mettreL_Sen aval deI.

(c) Cette lentille permet de récupérer une grande partie de la lumière deSen lui permettant de passer le diaphgrame que constitue la lentilleLpour l’envoyer surE.

Correction du problème 1

I Généralités

1. (a) On aEp=p²/(2m).

(b) On aλ_dB=h/p.

(c) Les états stationnaires sont ceux pour lesquels il existen ∈ N^?tel que2` = nλ_dB. On a alors Ep=n²h²/(8ml²). On a alors :

|Ψn(y)|²∝sin²(2πy/λ_dB) =sin²(nπy/`). (2) 2. (a) On aA−p=−A−petEp=p²/(2m) =E−p, on exprime donc :

ψp(y, t) +ψ−p(y, t) =Ape^−Ept/}

e^ipy/}−e^−ipy/}

= 2iApe^−Ept/}sin(py/})

→ |ψ_p(y, t) +ψ−p(y, t)|²∝sin²(py/}) = (1−cos(2py/})) /2 (3)

(b) Avecp=n}/λ_dB, on retrouve l’expression (2). Comme pour tout phénomène ondulatoire, une onde stationnaire peut être décrite comme la superposition de deux ondes synchrones et contra- propageantes.

II Interférences entre deux condensats en mouvement

1. On a :λ_dB=h/(mv0).

2. Sur les courbes en pointillés, on ay˙=cste et on litv=±1,8 mm·s⁻¹.

3. (a) On mesure graphiquement la pente de la tangente aux courbes ent = 14 ms, elle vaut :v = 0,86 mm·s⁻¹. On en déduitλ_dB=h/(mv) =38 µm.

(b) En notantδl’interfrange, on lit10δ=200 µm, soitδ=20 µm, environ la moitié de la longueur d’ondeλ_dB.

(c) Dans cette expérience, on observe une onde stationnaire, somme de deux ondes contrapropa- geantes. L’expression (3) relie alors la quantité de mouvementpde chacune des ondes contra- propageantes à l’interfrangei: on ap = }π/i. On calcule donc m = p/v = }π/(iv) = 1,93·10⁻²⁶kg'11,5m. Les particules interférant ont bien une masse proche au double de celle d’un atome de⁶Li : ce sont bien des molécules diatomiques Li₂.

(d) Avec une vitesse deux fois plus grande, l’interfrange aurait été deux fois plus petit. La résolution de la figure 3 était déjà à peine suffisante pour y distinguer l’interfrange, une vitesse deux fois plus grande n’aurait pas permis de distinguer de modulation.

III Interférences dans un réseau de condensats

1. (a)

La différence de marche entre les ondes de deux condensats consécutifs estdsin(θ)comme on le voit sur la figure ci-contre. Les interférences se- ront donc constructives pour les anglesθptels quedsin(θp) =pλ. On nomme « ordrep» la di- rection définie par l’angleθp.

dsin (θ)

dsin (θ) θ

d θ

(b) Pourλd, les ordres de faible valeur depcorrespondent à sin(θ)1soit sin(θ)'θ'tan(θ).

La figure ci-contre assure alors que l’ordre d’in- terférences pdonnera une tache lumineuse au pointxptel quexp=Dtan(θp)'Dsin(θp) = Dpλ/d. La distance entre deux ordres consécu- tifs sera doncDλ/d.

réseau

écran x

x θ

2. (a) Pour une chute libre verticale selon−e#»z, on az=z0−gT²/2etz˙= 0−gT. (b) On en déduitλ_dB=h/m|z|˙ =h/(mgT) =2,1·10⁻⁸m.

(c) On calcule l’interfrangei=λD/d=hD(mgT d), avecD=gT²/2. On obtient :i=hT/(2md) = 19 µm. La figure donne plutôt un interfrange de 40 µm environ deux fois plus grand. En effet la longueur d’ondeλ_dBvarie au cours de la chute, à mesure que la vitesse augmente. La longueur d’onde « moyenne » sur l’ensemble de la chute est donc plus grande que la valeur au moment de l’impact et l’interfrange est donc plus grand.

(d) Il faudrait en fait calculer la phase accumulée sur les trajectoires classiques, paraboliques, condui- sant en un pointxpdonné.

En un point de cette trajectoire, la phaseϕs’ac- croît d’une quantité élémentaire dΦsur une dis- tance élémentaire dlselon :

dΦ =k(l)dl= 2πdl

λ = 2πmv(l)dl

h =mvdl } , avecv(l)la norme de la vitesse classique au point

M(l)quand la distance classique parcourue estl. xp x dl Ml

3. Deux lasers contrapropageants de longueur d’ondeλet de pulsation ωproduisent une onde dont l’intensité lumineuseIest proportionnelle à :

I∝

cos(ωt−2πx

λ ) +cos(ωt+2πx λ )

2

=cos(ωt)²cos(2πx λ )

2

=cos(ωt)²

2 (1 +cos(4x λ)).

La période spatiale est doncλ/2 =270 nm, dix fois plus faible que la valeur deddans l’expérience.

On peut obtenir une onde stationnaire de période spa- tiale plus grande en utilisant des faisceaux formant un angle2θplus faible queπcomme proposé sur le schéma ci-contre.

2θ

e #»

e #»

Les vecteurs d’onde sont alors (pour une propagation de bas en haut) respectivement : k# »1=2π(cos(θ)e#»z+sin(θ)e# »x)

λ

k# »2= 2π(cos(θ)e#»z−sin(θ)e# »x)

λ .

En choisissant les phases nulles enx= 0, z= 0, t= 0, l’intensité lumineuseIest alors proportionnelle à :

I∝

cos

ωt−2π

λ(zcos(θ) +xsin(θ))

+cos

ωt−2π

λ (zcos(θ)−xsin(θ)) 2

=cos

ωt−2πzcos(θ) λ

2

cos

2πxsin(θ) λ

2

= cosh

ωt−^2πzcos(θ)

λ

i2

2

1 +cos

4πxsin(θ) λ

.

On a donc une structure d’onde progressive selone#»z, de longueur d’ondeλ/cos(θ)et une structure d’onde stationnaire selone# »x, avec une période spatialeλ/(2sin(θ)). Pour retrouver la valeur dedpro- posée, il suffit de choisirθtel que :

λ

2sin(θ) =d=2,7 µm soit:θ=0,2 rad=11°27⁰.

Correction de l’exercice 3

1. (a) Les électrons sont délocalisés sur2pliaisons C C, et2liaisons C N, soit une longueur`p = 2(p+ 1)a.

(b) L’état stationnaire de rangndans un puits de longueur`pest tel que la longueur de de Broglieλ<sub>dB</sub> vérifienλ<sub>dB</sub>= 2`p. Comme l’électron est libre dans la cavité, son énergie est uniquement cinétique et on a :

En= p²

2m =h²/λ²_dB 2m = n²h²

8m`²_p = n²h²

8m2(p+ 1)²a² = n²h² 32m(p+ 1)²a²

(c) On place2électrons dans le niveaun= 1, puis2dans le niveaun= 2, jusqu’au niveaun=p+ 1.

2. (a) On doit promouvoir un électron d’un niveaun6p+ 1jusqu’à un niveaun⁰> p+ 1. La fréquence νn→n⁰du photon absorbé sera alors :

νn→n⁰ =En⁰−En

h = h²

32ma²(p+ 1)²(n⁰²−n²). (4) La longueur d’onde maximale correspondra à la fréquenceνminimale, soit àn=p+ 1etn⁰= p+ 2. On aura donc

λmax= c

ν =32ma²c h

(p+ 1)²

(p+ 2)²−(p+ 1)² =32ma²c h

(p+ 1)²

2p+ 3 (5)

(b) On calcule alors :

λ2=332 nm λ5=716 nm.

Pourp= 2, la molécule absorbe dans le bleu et apparaîtra donc rouge, pourp= 5, elle absorbe dans le rouge et apparaîtra bleue.