DS n° 4

ECO 1 LMA Mathématiques Le 03 mai 2021

DS n

4

Durée : 4h

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements interviendront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

Execice 1

Dans cet exercice on pourra utiliser l’encadrement suivant : 2< e <3.

On considère l’applicationϕ:R−→R, x7−→ϕ(x) =x²e^x−1.

1. Dresser le tableau de variations de ϕ, en précisant la limite deϕ en−∞, sa valeur en 0 et sa limite en +∞.

2. Etablir que l’équation e^x= 1

x², d’inconnuex∈]0; +∞[, admet une solution et une seule, notée α, et que αappartient à l’intervalle

1 2; 1

.

On considère l’application f :R−→R, x7−→f(x) =x³e^x,

et la suite réelle (u_n)_n∈Ndéfinie par :u₀= 1 et∀n∈N,u_n+1=f(u_n).

3. Montrer : ∀n∈N,un>1.

4. Etablir que la suite (un)_n∈N est croissante.

5. Quelle est la limite deun lorsque l’entierntend vers l’infini ? 6. Montrer que la série X

n>1

1

f(n) converge. On note S=

+∞

X

n=1

1 f(n). 7. Montrer : ∀n∈N^∗,

S−

n

X

k=1

1 f(k)

6 1

(e−1)eⁿ.

8. En déduire une fonction en Scilab qui calcule une valeur approchée deS à 10⁻⁴ près.

Exercice 2

On considère, pour tout n∈ N^∗, la fonction polynomiale P_n : [0,+∞[−→R définie pour toutx∈ [0,+∞[, par :

Pn(x) =

2n

X

k=1

(−1)^kx^k

k =−x+x²

2 +. . .+−x²ⁿ⁻¹ 2n−1 +x²ⁿ

2n I. Étude des fonctions polynomiales Pn

1. Montrer, pour toutn∈N^∗ et toutx∈[0,+∞[ : P_n⁰(x) = x²ⁿ−1

x+ 1 oùP_n⁰ désigne la dérivée dePn

2. Établir, pour n∈N^∗, les variations dePn sur [0,+∞[ et dresser le tableau de variations dePn. 3. Montrer, pour toutn∈N^∗ :Pn(1)<0.

4. (a) Vérifier, pour toutn∈N^∗ et toutx∈[0,+∞[ : Pn+1(x) =Pn(x) +x²ⁿ⁺¹

− 1

2n+ 1+ x 2n+ 2

(b) En déduire, pour toutn∈N^∗ :Pn(2)>0.

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5. Montrer que, pour toutn∈N^∗, l’équationPn(x) = 0, d’inconnuex∈[1,+∞[, admet une solution et une seule notée x_n, et que :

1< x_n 62

6. Écrire un programme en Scilab qui calcule une valeur approchée décimale dex2à 10⁻³ près.

II. Limite de la suite (xn)_n∈N^∗

1. Établir, pour toutn∈N^∗ et toutx∈[0,+∞[ : P_n(x) =

Z x

0

t²ⁿ−1 t+ 1 dt 2. En déduire, pour toutn∈N^∗ :

Z xn

1

t²ⁿ−1 t+ 1 dt=

Z 1

0

1−t²ⁿ t+ 1 dt 3. Démontrer, pour toutn∈N^∗ et toutt∈[1,+∞[ :

t²ⁿ−1>n(t²−1) 4. En déduire, pour toutn∈N^∗ :

Z xn

1

t²ⁿ−1

t+ 1 dt>n

2(xn−1)² , puis :

0< xn−16

√ 2 ln 2

√n

5. Conclure quant à la convergence et à la limite de la suite (xn)_n∈N^∗.

Problème

Une société possède un serveur vocal qui reçoit des appels consécutifs soit pour le produitA, soit pour le produit B. Les sujets des appels (produit Aou produitB) sont supposés indépendants les uns des autres.

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes et seules les deux premières concernent le serveur vocal

PARTIE I : Etude de 100 appels

On suppose dans cette partie que le serveur vocal reçoit 100 appels. On suppose que 5 % des appels reçus par le serveur concernent le produitAet 95 % des appels concernent le produit B. On noteX la variable aléatoire égale au nombre d’appels concernant le produitAau cours des 100 appels reçus.

1. (a) Donner la loi deX. On précisera X(Ω) ainsi queP(X=k) pour k∈X(Ω).

Une réponse argumentée est attendue.

(b) Donner l’espérance et la variance de la variable aléatoireX.

2. On suppose que chaque appel concernant le produitApermet à la société d’engranger un bénéfice net de 95 euros et chaque appel concernant le produit B permet à la société d’engranger un bénéfice net de 5 euros. On note Y le bénéfice total de la société pour 100 appels.

Justifier que Y = 90X+ 500.En déduire l’espérance et la variance deY.

3. On suppose que l’on peut approcher la loi de la variable X par la loi d’une variable aléatoireZ suivant une loi de Poisson de même espérance queX.

Déterminer la valeur du paramètre de cette loi de Poisson.

À l’aide de la table de valeurs ci-dessous, ExprimerP(X >10) en fonction deλ

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PARTIE II : Etude de la première série d’appels

On suppose dans cette partie que le serveur vocal reçoit une infinité d’appels consécutifs. On suppose également que 20 % des appels concernent le produitAet 80 % des appels concernent le produit B.On dit que le serveur possède unepremière série d’appels de longueurnsi lesnpremiers appels concernent le même produit et le (n+ 1)-ième appel concerne l’autre produit. On note :

? XAla variable aléatoire égale au nombre d’appels nécessaires pour obtenir le premier appel concernant le produitA;

? X_B la variable aléatoire égale au nombre d’appels nécessaires pour obtenir le premier appel concernant le produitB;

? L la variable aléatoire égale à la longueur de la première série d’appels.

Par exemple, si les 3 premiers appels concernent le produit A, les 2 appels suivants le produitB, les 4 appels suivants le produitA,. . . on symbolisera ces appels sous la formeAAABBAAAA . . .. Dans ce cas, on aX_A= 1, X_B = 4 etL= 3.

1. (a) Donner la loi deXA. On préciseraXA(Ω) ainsi queP(XA=k) pourk∈XA(Ω).

Une réponse argumentée est attendue.

Donner l’espéranceE(XA) et la varianceV(XA) deXA. En déduire l’espérance deX_A², notéeE(X_A²).

(b) De même, donner la loi de X_B, ainsi que son espéranceE(X_B) et sa varianceV(X_B). En déduire l’espérance deX_B², notéeE(X_B²).

2. Soitnun entier naturel supérieur ou égal à 1.

(a) Décrire l’événement (L=n)∩(XB=n+ 1) à l’aide d’une succession de lettresAet B.

Décrire l’événement (L=n)∩(X_A=n+ 1) à l’aide d’une succession de lettresA etB.

(b) En déduire l’expression deP(L=n) en fonction de net vérifier que :

∀n>1, P(L=n) = 0,8×P(XA=n) + 0,2×P(XB =n).

3. A l’aide de la question précédente, montrer que les espérances deLet deL²sont données par : E(L) = 0,8×E(X_A) + 0,2×E(X_B),

E L²

= 0,8×E X_A²

+ 0,2×E X_B² .

En déduire la valeur de l’espéranceE(L) et de la variance V(L) de la variable aléatoireL.

Partie III

On admettra les deux résultat suivants :

∀x∈[0; 1[,

+∞

X

k=1

x^k

k =−ln(1−x)

+∞

X

k=n

k−1 n−1

(1−x)^k−n = 1 xⁿ

Dans cette partie, on désigne parpun réel de ]0,1[ et on poseq= 1−p. On considère la suite (uk)_k∈N^∗, définie paruk=− q^k

kln(p). 1. (a) Vérifier que la suite (uk)_k∈N^∗ est à termes positifs.

(b) Montrer, que

+∞

X

k=1

uk = 1.

On considère dorénavant une variable aléatoireXdont la loi de probabilité est donnée parP(X =k) =u_k. 2. (a) Montrer queX possède une espérance et la déterminer .

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(b) Montrer également queX possède une variance et vérifier que :V(X) =−q(q+ ln(p)) (pln(p))² .

3. Soitkun entier naturel non nul . On considère une variable aléatoireY dont la loi, conditionnellement à l’évènement (X =k), est la loi binomiale de paramètresketp.

(a) Montrer que Y(Ω) =Npuis utiliser la formule des probabilités totales, ainsi qu’un des résultats afin de montrer que :

P(Y = 0) = 1 +ln(1 +q) ln(p) (b) Après avoir montré que , pour tout couple (k, n) deN^∗×N^∗, on a :

k n

k =

k−1 n−1

n , établir que, pour tout entier naturelnnon nul, on a :

P(Y =n) =− pⁿqⁿ nln(p)

+∞

X

k=n

k−1 n−1

(q²)^k−n.

En déduire , grâce à un des résultats admis, l’égalité : P(Y =n) =− qⁿ

n(1 +q)ⁿln(p)

(c) Vérifier que l’on a

+∞

X

k=0

P(Y =k) = 1.

(d) Montrer queY possède une espérance et donner son expression en fonction de ln(p) etq . (e) Montrer aussi queY possède une variance et que l’on a :V(Y) =−q(q+ (1 +q) ln(p))

(ln(p))² .

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