(1)Calcul scientique 12 décembre 2013 TP 9: Méthode d'Euler implicite Exercice 1

Calcul scientique 12 décembre 2013 TP 9: Méthode d'Euler implicite

Exercice 1. Soit ∆_N la matrice du Laplacien discret avec conditions de Dirichlet :

∆_N =



















−2 1 0 . . . 0

1 −2 1 ... ...

0 ... ... ... 0 ... ... 1 −2 1

0 . . . 0 1 −2

















 .

On s'intéresse à l'équation de la chaleur discrète : étant donné un point f0∈R^N, on cherche une fonction f :R×R^N vériant l'équation diérentielle ordinaire

(f(0) =f₀ f⁰(t) = ∆_Nf(t)

On note λ1 ≤. . .≤λN les valeurs propres de ∆N etv1, . . . , vN des vecteurs propres correspon- dants. On xe τ > 0 et on note t_n = nτ une discrétisation du temps. Étant donnée f₀ ∈ E_`, on considère les trois schémas suivants pour résoudre l'EDO (ex signie exact, ee signie Euler explicite et ee Euler implicite) :

f_k^ex = exp(t_k∆_N)f₀ f_k+1^ee −f_k^ee

τ = ∆_Nf_k^ee, avec f₀^ee= 0 f_k+1^ei −f_k^ei

τ = ∆_Nf_k+1^ei , avec f₀^ee = 0

Pour les applications numériques, on xera N = 30.

1. Programmer une fonction qui calcule exactementf_k^ex, en utilisant la diagonalisation deΛ_N (on utilisera la fonction spec pour calculer les valeurs et vecteurs propres).

2. Tracer l'évolution de f_k^ex au cours du temps, en partant de conditions initiales variées (données aléatoire, Dirac, fonction indicatrice, etc.).

3. Programmer une fonction qui calcule itérativementf_k^ee etf_k^ei, et tracer l'erreur par rapport à la solution exacte calculée précédemment pourf₀ ∈E_`.

4. Donner une condition nécessaire et susante pour que la suite des itérées de la méthode d'Euler explicite (f_k^ee)k≥0 reste bornée quelque soit f₀.

5. Même question pour la méthode d'Euler implicite.

Exercice 2. Soit Φ : Rⁿ → R une fonction de classe C². On s'intéresse à la discrétisation de l'équation diérentielle y⁰=−∇Φ(y) par la méthode d'Euler implicite.

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1. On suppose que D²Φ≥ −κId_n oùκ ≥0. Montrer que pour tout y0 dansRⁿ etτ κ <1, le minimum suivant

y∈minRⁿ

1

2τ ky₀−yk²+ Φ(y) (1)

est atteint en unique point.

2. En déduire que la méthode d'Euler implicite pour cette équation diérentielle est bien dénie si τ κ < 1. Plus précisément, montrer que pour tout y₀ ∈ Rⁿ les solutions y de l'équation

y−y0

τ =−∇Φ(y) sont des minimiseurs de (1). En déduire queΦ(y)≤Φ(y0).

3. On suppose queΦest propre (lim+∞Φ = +∞) etτ κ <1, et l'on dénit une suite (yn)n≥0

par la récurrencey₀ ∈Rⁿ et

y_n+1−y_n

τ =−∇Φ(y_n).

Montrer que la suite est bornée des itérées pour la méthode d'Euler implicite reste bornée.

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