4) 3) 2) 1)

page 1/1 MVA101 - Analyse et Calcul Matriciel CNAM – Paris

19/12/2019

Feuille 11

Exercice 1.

Déterminer le rayon de convergence 𝑅 de la série entière suivante et étudier le cas |𝑥| = 𝑅 :

∑ 𝑛 2

𝑥

𝑛≥1

Exercice 2.

1) En utilisant le théorème de comparaison des séries entières, donner la relation entre les rayons de convergence des séries entières

∑

𝑠𝑖𝑛(𝑛) 𝑥

et ∑

𝑥

. 2) Etudier le cas 𝑥 = 1.

3) En déduire le rayon de convergence de la série entière ∑

𝑠𝑖𝑛(𝑛) 𝑥

.

Exercice 3.

En utilisant le théorème de comparaison des séries entières, calculer le rayon de convergence de la série entière suivante :

∑ 𝑐𝑜𝑠(𝑛) 3

𝑥

𝑛≥0

Exercice 4.

1) Factoriser le polynôme 𝑥

− 5𝑥 + 4 en un produit de deux polynômes du premier degré.

2) On considère la fonction 𝑓définie par : 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥

— 5𝑥 + 4).

Utiliser le résultat précédent pour calculer la dérivée 𝑓′(𝑥) de la fonction 𝑓.

3) En déduire le développement en série entière de la fonction 𝑓′(𝑥) au voisinage de 0. Quel est son rayon de convergence ?

4) En déduire le développement en série entière de la fonction 𝑓(𝑥) au

voisinage de 0. Quel son rayon de convergence ?