Conjecture de Goldbach d’un point de vue analytique
Denise Vella-Chemla 31/10/2011
La conjecture de Goldbach stipule que tout nombre pair sup´erieur `a 2 est la somme de deux nombres premiers.
On rappelle quepest un d´ecomposant de Goldbach densipest un nombre premier incongru∗ `anselon tout module premier inf´erieur `a √
n.
∀n≥6, n = p+q, p et q premiers impairs ⇐⇒ ∀q≤√
n, p6≡n(mod q)† On noteπ(x;q, a) l’ensemble des nombres premiersp≤xtels quep≡a(mod q).
Th´eor`eme de Brun-Titchmarsh : Soit q ≥1 un entier et a un entier premier `a q. Pour M et N deux entiers≥1, le nombreZ de nombres premiers congrus `aamoduloqet dans l’intervalle [M + 1, M+N]
est au plus ϕ(q)ln(N/q)2N .
π(x;q, a)≤ 2x
ϕ(q)ln(x/q)pour tout x > q.
.
Si on noteN bGoldbach(n) le nombre de d´ecompositions de Goldbach den, on a vu qu’il suffit d’enlever de l’ensemble des nombres premiers inf´erieurs `an/2 dont le nombre estπ(n/2) (qui tend vers ln(n/2)n/2 selon le th´eor`eme d’Hadamard-De La Vall´ee Poussin) le nombre de nombres premiers `a n/2 et congrus `a n/2 modulo chacun des nombres premierspi inf´erieur `a√
n.
On obtient finalement le r´esultat :
N bGoldbach(n) = n2 2ln(n/2)Q
piϕ(pi)ln(n/2pi) pi d´esignant tout nombre premier impair inf´erieur `a√
n.
∗On utilise le terme propos´e par Gauss dans les Recherches Arithm´etiques.
†Par exemple, 98 a pour plus petit d´ecomposant de Goldbach 19 parce que 3, 5, 7, 11, 13 et 17 sont tous congrus `a 98 selon ”quelqu’un”.
98 = 2.72. 98≡3 (mod5).
98≡5 (mod3).
98≡7 (mod7).
98≡11 (mod3).
98≡13 (mod5).
98≡17 (mod3).
1
