D20017. Equation succincte
Sauriez-vous ´ecrire en moins de 19 lettres, chiffres et signes math´ematiques une ´equation repr´esentant toutes les coniques du plan ?
Solution
En coordonn´ees x ety, l’´equation la plus g´en´erale d’une conique est (en 21 lettres, chiffres et signes)
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F = 0 (19 sous la forme Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey=F).
L’´equation diff´erentielle ´etablie par Georges Halphen donne le moyen de faire plus court, en recourant `a la convention usuelle o`u la d´erivation par rapport
`
a x est symbolis´ee par l’apostrophe. Cela donne, en 16 lettres, chiffres et signes,
(y00)−2/3000 = 0
Vous v´erifierez sans difficult´e l’´equivalence des deux formulations si la co- nique ne contient pas de parall`ele `a l’axe des y (r´esoudre l’´equation comme
´equation eny, puis d´eriver).
Sous la forme(y00)−2/300=λ, il suffit mˆeme de 15 lettres, chiffres et signes, Pour s’affranchir de la position de la conique dans le plan, on peut aussi utiliser l’´equation intrins`eque (liant abscisse curviligne et rayon de courbure R, l’apostrophe d´esignant alors la d´erivation par rapport `a l’abscisse curvi- ligne), et ´ecrire (en 18 lettres, chiffres et signes) :
RR1/300−2R−2/3=λ
1
