A325. Un triplet amical
Solution proposée par Philippe Bertran
En notant s(a) la somme des diviseurs de a, les hypothèses s’expriment par les équations : s(p) = s(q) = s(r) = p + q + r (1)
p = km q = kn
s(m) = s(n) = m + n (2)
d’où l’on tire : s(km) = s(kn) = s(r) = k(m + n) + r (3)
Nous allons essayer de trouver une solution dans laquelle k est premier avec m et avec n car cela permet d’exprimer facilement s(km) et s(kn). En effet, on a dans ce cas s(km) = s(k).s(m) et s(kn) = s(k).s(n).
Alors les équations (3) s’écrivent : s(k).s(m) = s(k).s(n) = s(r) = k(m + n) + r d’où, compte tenu de (2) : s(k).(m + n) = s(r) = k(m + n) + r
ce qui donne : r = [s(k) – k].(m + n) (4) et s(r) = s(k).(m + n) (5) Le principe de la recherche va être de partir d’un couple de nombre amicaux (m, n) et
d’essayer successivement les nombres k premiers avec m et avec n dans l’équation (4) puis de regarder à chaque fois si la valeur de r ainsi trouvée satisfait l’équation (5).
Nous allons logiquement commencer avec le couple de nombres amicaux les plus petits, à savoir (220, 284). (Merci à Wikipédia de nous rappeler qu’il avait déjà été identifié par Pythagore.)
Alors s(m) = s(n) = m + n = 504.
k doit être premier avec 220 ( = 22 × 5 × 11) et avec 284 ( = 22 ×71). Les premières valeurs possibles pour k sont donc : 3, 7, 9, 13 …
Avec 3 et 7, l’équation (4) donne des valeurs de r qui ne satisfont pas l’équation (5). En revanche, la valeur k = 9 (d’où s(k) = 13) donne, par (4), r = 2 016 d’où s(r) = 6 552.
L’équation (5) est bien vérifiée puisque 6 552 = 13 × 504.
Les éléments du triplet amical ainsi trouvé sont donc : p = 9 × 220 = 1 980
q = 9 × 284 = 2 556 r = 2 016
et on a s(p) = s(q) = s(r) = 6 552.
