Champs magnetiques

1 Introduction

L’utilisation d’un électroaimant permet de générer des champs magnétiques appré- ciables. Cela provient de l’ajout de pièces polaires qui augmente grandement le champ généré par les bobines qui les entourent. Vous allez donc commencer cette expérience en étudiant la topographie du champ produit par un électroaimant dans différentes configura- tions.

Vous passerez ensuite à la mesure de la susceptibilité magnétique de différentes sub- stances. La susceptibilité magnétique est la faculté d’un matériau à s’aimanter sous l’action d’un champ magnétique. Les matériaux ne réagissant pas tous de la même façon à un champ externe, trois catégories de substances ont été crées : les ferromagnétiques, les paramagné- tiques et les diamagnétiques.

2 Théorie

2.1 Champ d’un électroaimant

L1

L1

L2

x

+ z

parcours: Γ= y

I I

L2

Figure 1: Électroaimant typique.

La loi d’Ampère dit que pour un parcours fermé de circulation d’un flux magnétique généré par N boucles de courant I, entourant le noyau magnétique, l’expression suivante

est vérifiée :

L

B·dl=µ0N I (1)

où B est l’induction magnétique. Cette relation n’est toutefois valable qu’en l’absence de matériau magnétique sur le parcours d’intégration. Une expression plus générale s’écrit :

L

H·dl=N I (2)

le champ magnétique étant défini de telle manière que :

B=µ0H+M (3)

M est l’aimantation du milieu, définie comme étant le moment dipolaire magnétique par unité de volumeM= _V^µ. L’aimantation donne la contribution des courants liés à l’induction magnétique B, alors que Hn’est associé qu’aux courants libres.

Dans le cas d’un entrefer tel qu’illustré dans la figure précédente, nous allons supposer que le champ magnétique est d’amplitude constante dans l’entrefer ( = H_vide) et dans le noyau métallique (=H_mat). On a alors :

2nI =

L1

H_vide·dL+

L2

H_mat·dL=H_videL₁+H_matL₂ (4) où on a posé N = 2n, n étant le nombre de tours dans chacun des deux enroulements.

On peut par ailleurs montrer qu’au passage d’une interface d’un matériau à un autre, la composante deB normale à l’interface est conservée, de sorte que :

B =µ₀H_vide=µ_matH_mat (5) µmat étant la perméabilité du noyau métallique. On obtient ainsi :

2nI = B µ₀

L₁+ L₂ µ_rel

o`u µ_rel= µ_mat µ₀

B = 2µ0nI L₁+_µ^L2

rel

(6) 2.2 Force exercée sur un moment magnétique

Supposons une substance paramagnétique plongée dans un champ magnétique non- uniforme (cf. figure suivante). Le moment magnétique induit de la substance est µ et l’énergie magnétique du système est donnée par E = −µ·B. La force exercée sur ce dipôle magnétique est donnée par :

F=∇(µ·B) (7)

x y

z µ

Figure2: Dipôle magnétique dans un gradient de champ.

On peut donc écrire :

F_x = µ_x∂Bx

∂x +µ_y∂By

∂x +µ_z∂Bz

∂x Fy = µx

∂Bx

∂y +µy

∂By

∂y +µz

∂Bz

∂y (8)

F_z = µ_x∂B_x

∂z +µ_y∂B_y

∂z +µ_z∂B_z

∂z

Dans cette configuration particulière (x = y = 0 et z = z0), le dipôle magnétique de l’échantillon s’oriente dans la même direction que le champ, i.e. selon e_x. On a donc que µy = µz = 0 (car By = Bz = 0) et aussi que ^∂B_∂x^x = ^∂B_∂y^x = 0. Ceci permet de réécrire l’expression de la force :

Fz =µx

∂Bx

∂z (9)

2.3 Susceptibilité magnétique

La susceptibilité magnétiqueχest, par définition, reliée à l’aimantationMcomme suit : M= ¯χH_ech.´ où H_´ech.= B

µ₀ −M (10)

Dans le cas général, la susceptibilité est un tenseur (noté ¯χ). Dans le cas où le matériau considéré est isotrope, la relation (10) peut s’écrire en utilisant la quantité scalaire χ :

M=χH (11)

On obtient ainsi :

M=χB µ0

1 1 +χ

= µ

V (12)

À l’aide de cette relation, et en utilisant V = m/ρ, où m et ρ sont respectivement la masse et la densité de l’échantillon, l’équation (9) peut s’écrire :

Fz= m ρµ₀χ

1 1 +χ

Bx

∂Bx

∂z (13)

Selon la grandeur et le signe deχ, on mesurera différentes forces selon le type de la substance utilisée :

1- substances diamagnétiques (χ <0)

Force faible dans la direction du gradient de champ négatif.

Cause : précession des orbites électroniques dans le champ. Il s’agit en fait de la loi de Lenz à l’échelle atomique : un courant d’électrons s’installe autour du noyau pour créer un champ magnétique qui s’oppose au champ appliqué.

2- substances paramagnétiques (χ >0)

Force faible dans la direction du gradient de champ positif.

Cause : alignement parallèle au champ appliqué du moment électronique or- bital net non nul ou alignement des spins des électrons libres.

3- substances ferromagnétiques (χ0)

Grande force dans la direction du gradient de champ positif.

Cause : alignement spontané parallèle au champ appliqué des moments ma- gnétiques atomiques.

Si on suppose un échantillon paramagnétique oùχ1 , l’équation (13) donne : F_z = m

ρµ0

χB_x∂B_x

∂z (14)

Note : Pour passer des unités MKS aux unités CGS, on ne doit pas convertir que les unités, les équations sont aussi changées et pour cela on utilise les conversions suivantes :

CGS à MKS

aimantation M ^qµ_4π⁰M

induction magnétique B ^q4π_µ

0B

champ magnétique H √

4πµ0H

Pour la susceptibilité, on passe d’un système d’unités à l’autre en faisant : χ_CGS =

M H

CGS

= 1 4π

M H

M KSA

= 1

4πχ_{M KSA}

Il y a donc un facteur de 4π entre les valeurs de susceptibilité en CGS et en MKSA.

Noter également que la susceptibilité χ est un nombre sans unités. On utilise parfois la susceptibilité molaire χM et la susceptibilité spécifiqueχSque l’on définit comme :

χ_M = M χ

ρ et χ_S = χ

ρ (15)

où M est la masse molaire et ρ la densité de la substance étudiée.

3 Partie expérimentale

3.1 Partie I : Champ dans un entrefer

Attention ! - Prendre soin de manipuler délicatement le gaussmètre ainsi que la sonde de mesure car il s’agit d’instruments très fra- giles.

- Ne pas oublier de faire circuler l’eau pour assurer le refroi- dissement de l’aimant.

En utilisant les pièces polaires planes :

1- MesurerB_x(z= 0) en fonction de I pour 6 largeurs d’entrefer (L₁= 0.8 cm, 1.0 cm, 1..4 cm, 2.0 cm, 3.0 cm et 5.0 cm). Faire varierI de 0 à 10 ampères en prenant au moins une lecture à chaque 1A, puis de 10 à 20 A en prenant une lecture à tous les 2A. . Noter que L₁ doit être mesuré avec un pied à coulisse.

note : Pour L=0.8 cm, faites les mesures en augmentant puis en diminuant le champ. Tracer le graphique et discuter de l’effet d’hystérésis obtenu.

2- a) Tracer le graphique deBx(z= 0) en fonction deI pour les 6 écartements i) pour toute la gamme de champ couverte, et ii) pour la gammeBx <

0.5T. Discuter.

b) Évaluer les six pentes (m_i) dans le graphique pour lequelB_x<0.5T.

c) Faire un graphique de 1/mi en fonction deL1 et évaluerµrelainsi quen (avec leur incertitude respective). N.B. Utiliser le fait queL₂ =L−L₁, L étant la longueur totale du parcours d’intégration.

3- Ajuster l’entrefer à 0.8 cm. Augmenter le courant jusqu’à environ 27A pour obtenir un champ au centre de l’entrefer de 1.7 tesla. MesurerBxen fonction dez à partir du centre de l’entrefer. Recommencer la procédure mais cette fois en utilisant un champ au centre de l’entrefer de 0.5 tesla.

4- Porter les deux courbes B_x(z) sur un graphique. Discuter du résultat en relation avec les mesures faites au point (1). Discuter également des effets de bord.

note : Faire le calcul comme si les pièces polaires et le support des bobines étaient faits du même matériau. Vous obtiendrez ainsi une borne infé- rieure pour la valeur de µ_rel des pièces polaires.

3.2 2 Partie II : Susceptibilité magnétique Attention : - Travailler délicatement avec la balance.

- Manipuler les échantillons avec soin (les échantillons sont des produits nocifs pour la peau et les yeux, scellés dans l’époxy.

- N’oublier pas de faire circuler l’eau pour assurer le refroidis- sement de l’aimant.

- Il faut bien aligner les parties planes des pièces polaires.

Note : L’électroaimant est un Alpha Magnetics modèle 4600. Il comporte 440 tours/bobine. La valeur de sa perméabilité est inconnue.

En utilisant le deuxième montage muni de pièces polaires coniques, utiliser une largeur d’entrefer de 2.5 cm pour effectuer les mesures suivantes :

1. Mesurer B_x en fonction de z pour I = 27 A (NE JAMAIS DÉPASSER 30A SUR LA BOBINE).

2. Mesurer la force sur la capsule de laiton ne contenant pas d’échantillon (I = 27 A) et noter la position où elle se trouve.

3. Mesurer la force sur les capsules contenant les différents échantillons Er₂O₃, Tb et Nd₂O₃.

4. En utilisant les valeurs obtenues pour I = 27A, calculer la susceptibilité molaire (en MKSA) de l’échantillon. Vous devez utiliser les masses inscrites sur les capsules renfermant les échantillons pour vos calculs.

5. Comparer les valeurs obtenues à celles des tables et faites une analyse critique de la technique expérimentale permettant d’expliquer les erreurs obtenues.

Dans votre rapport, remplir le tableau suivant :

Substance M (g/mol) ρ(g/cm³) χ_M(10⁶cm³/mol) CGS χ(10^-6) CGS χ(MKSA) Tb

Er₂O₃ Nd₂O₃

Substance masse (g)

Tb 0.78

Er₂O₃ 0.99 Nd₂O₃ 0.53

Références

[1] Purcell A. M. Gutmann C. and Lallemand P. Électricité et magnétisme (Berkeley : cours de physique, volume 2). Librairie Armand Colin, 1973.

[2] Jackson J. D. Classical Electrodynamics. John Wiley & Sons, 1962.