Les nombres relatifs
Niveau:1AC
Mme. HANAFI NAWAL
Introduction
Amine entre dans l’ascen
se
ur de l’immeuble et voit les boutons suivants :-Quel bouton correspond au 6ème étage ?
-Quel bouton correspond au rez de chaussée ?
-Quel bouton correspond au 1er sous-sol ? Quel bouton correspond au 3ème sous-sol ?
6 0 -1
-3
Les nombres relatifs regroupent les nombres positifs et les nombres négatifs.
Ils sont composés de deux éléments :
• Un signe;
• Une partie numérique (la distance à zéro).
I. Définitions et vocabulaire:
1. Définition:
Exemples
Nombres relatifs positifs: +6, +9 ,+11 ,+25 Nombres relatifs négatifs: -2, -5 ,-8,-10
Activité 1 page 36
Zéro est un nombre relatif; c’est le seul nombre relatif à la fois positif et négatif.
Remarque :
2. La droite
graduée
:-Une droite graduée est une droite comportant une origine O et sur laquelle on reporte une unité.
-On peut repérer chaque point de la droite par un nombre relatif qui est sa distance à l'origine, ce nombre s'appelle l'abscisse du point
L'abscisse du point A est -3, A est à une distance de 3 unité de l’origine.
A
+
L'abscisse du point B est +5, B est à une distance de 5 unité de l’origine.
Activité 2 page 36
3. Les nombres opposés:
On appelle nombres opposés, deux nombres relatifs tels que :
• leurs signes sont différents;
• leurs parties numériques sont égales.
Exemple:
4. La distance de deux points sur une droite graduée La distance entre deux points A et D situés sur une droite graduée est égale à :
AD= (plus grande abscisse)- (plus petite abscisse)
AD=4-2=2
Exemple:
II. Comparaison des nombres relatifs: Activité 4 page 37
Considérons deux nombres relatifs.
• Si les deux nombres relatifs sont de signes
différents alors le plus grand est celui qui est positif.
• Si les deux nombres relatifs sont positifs alors le plus grand est celui qui a la plus grande partie numérique.
• Si deux nombres relatifs sont négatifs alors le plus grand est celui qui a la plus petite partie numérique.
+3˂ +5 ; -7 ˂ 3 ; -12 ˃ -36 Exemples:
Amine a participé à une compétition pendant 5 jours, les gains sont exprimés par des nombres positifs et les pertes par des nombres négatifs
III. L’addition et la soustraction des nombres relatifs:
jours Roulette Machines à sous
1 +80 +50
2 -45 -75
3 +100 -100
4 -39 +64
5 +13 -81
Calcule les gains ou les pertes pour chaque jour.
Roulette Machines à sous
1 +80 +50 2 -45 -75 3 +100 -100 4 -39 +64 5 +13 -81
Le premier jour
Amine a gagné: (+80)+(+50)=+130 Le deuxième jour
Amine a perdu: (-45)+(-75)=-120 Le troisième jour:
Amine n'a ni gagné, ni perdu (+100)+(-100)=0 Le quatrième jour:
Amine a gagné: (-39)+(+64)=+25 Le cinquième jour:
Amine a perdu: (+13)+(-81)=-68
1. l’addition des nombres relatifs
Pour additionner deux nombres de même signe :
• on écrit le signe commun aux deux nombres ;
• on écrit la somme des distances à zéro.
Exemples :
(+3,6) + (+6,4) = +10
(-3,6) + (-6,4) = -10
a. L’addition des nombres relatifs de même signe:
Pour additionner deux nombres de signes contraires :
• on écrit le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro ;
• on écrit la différence des distances à zéro.
b. L’addition des nombres relatifs de signes contraires:
Exemples :
(+2,6) + (-3,9) = -1,3 (+7,7) + (-6,6) = +1,1 (+3,9) + (-2,6) = +1,3 (-5,5) + (+1,1) = -4,4
C. Addition de deux nombres opposés :
La somme de deux nombres relatifs opposés est 0.
a + (-a) = 0 et -a + a = 0 Exemples :
(+5)+(-5)=0 (-4)+(+4)=0
d. Addition de plusieurs nombres relatifs : La méthode1:
On peut calculer les nombres par deux en partant de la gauche comme ci-dessous :
A= (+3) + (-5) + (-4) + (+9) A= (-2) + (-4) + (+9)
A= (-6) + (+9) A= (+3)
La méthode2:
On peut regrouper tous les nombres positifs d’abord puis tous les nombres négatifs :
A= (+3) + (-5) + (-4) + (+9) A = (+3) + (+9) + (-5) + (-4) A = (+12) + (-9)
A = (+3)
2. La soustraction des nombres relatifs:
Calculer les distances AB et EB.
Activité
AB = (+2)-(-3) AB = 5
EB = (-3)-(-4) EB = 1
Pour soustraire un nombre relatif, on ajoute son opposé Propriété:
Exemples :
(+3) - (+9) = (+3) + (-9) = -6 (+5) - (-9) = (+5) + (+9) = 14 (+6) - (+7) = (+6) + (-7) = -1 (-9) - (-12) = (-9) + (+12) = +3
• Quand deux + se touchent, on remplace par + : 3 + (+5) = 3 + 5.
• Quand deux - se touchent, on remplace par + : 5 - (-7) = 5 + 7.
• Quand deux signes contraires se touchent, on remplace par - :
3 + (-5) = 3 – 5 ; 7 - (+4) = 7 - 4.
3.Suppression des parenthèses :
3. Addition et soustraction de plusieurs nombres relatifs : On prend l’exemple suivant:
E = (+2) + (+6) + (-5) - (-6) - (+7) + (-8)
E = 2 + 6 - 5 + 6 - 7 - 8 on supprime les parenthèses
Première méthode : on calcule de gauche à droite.
E = 2+ 6 - 5 + 6 - 7 - 8 E= 8− 5+6-7-8
E= 3+ 6-7-8 E= 9− 7-8 E= 2− 8 E=-6
Deuxième méthode :
• On regroupe les positifs d’abord puis les négatifs ;
• On calcule la somme de tous les positifs et celle de tous les négatifs ;
• On ajoute ces deux sommes.
E = 2 + 6 - 5 + 6 - 7 - 8
= 2+6+6-5-7-8 E=8+6-5-7-8
E=14-5-7-8 E=9-7-8
E=2-8 E=-6
Si les deux nombres relatifs à multiplier sont de même signe, alors le résultat sera positif (+).
Si les deux nombres relatifs à multiplier sont de signes contraires, alors le résultat sera négatif (-).
III. Multiplication et division des nombres relatifs:
1. Multiplication des nombres relatifs:
( + 4 ) x ( - 3,5 ) = - 14 Exemple:
( - 10 ) x ( - 5 ) = + 50
2-Produit de plusieurs facteurs
Le signe d’un produit de nombres relatifs dépend du nombre de facteurs négatifs :
• si le nombre de facteurs négatifs est pair, alors le produit est positif ;
• si le nombre de facteurs négatifs est impair, alors le produit est négatif.
Règle des signes
Exemple :
(+3)×(-2)×(+5) ×(+6)=-180 (+3)×(-2)×(+5) ×(-6)=+180
Pour diviser deux nombres relatifs, nous devons diviser les valeurs absolues (les parties numériques), puis
appliquer la même règle des signes que pour la multiplication.
1. Division des nombres relatifs:
( - 5,4 ) ÷ ( - 4 ) = + 1,35 (14) ÷ (-5) = -2,8
Exemple :
(+14) ÷ (+5) = 2,8
