Présentation du manuel
L’ouverture de chapitre
Elle présente les objectifs du cycle et les contenus du chapitre.
Elle reprend le plan du cours et permet le repérage du niveau et des tests s’y reportant.
Activités de découverte
Le manuel propose des situations ouvertes permettant aux élèves d’aborder les nouvelles notions
en s’interrogeant et en cherchant.
Cours et méthodes
Cette partie regroupe les notions essentielles abordées durant les trois années du cycle 4.
Un lexique est proposé sur le manuel numérique.
Progression dans le cycle 4
Le manuel propose trois niveaux : Niveau 1 Niveau 2 Niveau 3 Les niveaux sont fonction de la complexité des exercices, des problèmes
ou des prérequis nécessaires à l’acquisition de la notion.
3 3 3
•
•
•
Niveau 1
Niveau 1
Niveau 1
Niveau 1 Niveau 2 Niveau 2 Niveau 2
Niveau 3 Niveau 1 Niveau 2
Objectifs de cycle
Définir de nouveaux nombres
Utiliser la définition de quotient tests n° 1 et 2
Simplifier une écriture fractionnaire
Déterminer deux fractions égales tests n° 3 et 11
Simplifier une fraction test n°4
Comparer deux écriture fractionnaire
Avec des nombres positifs tests n° 5 et 6
Avec des nombres relatifs test n° 10
Additionner, soustraire
Avec des nombres positifs, des dénominateurs multiples test n° 8
Avec des nombres relatifs test n° 12
Multiplier
Avec des nombres positifs et des dénominateurs multiples test n° 9
Avec des nombres relatifs test n° 13
Diviser tests n° 14 et 15
•Les nombres rationnels sont introduits comme des nombres pouvant s'écrire sous forme fractionnaire après avoir défini la notion de quotient. Le lien est fait avec la fraction partage.
•La comparaison et les quatre opérations sont vues successivement à différents niveaux de complexité.
Nombres A3
rationnels
2
2
2
Activité De nouveaux nombres
1. Trouve mentalement le nombre manquant dans chacune des « multiplications à trou » suivantes.
a. 4 × ... = 8 b. 6 × ... = 54 c. ... × 25 = 50
d. 1 × ... = 89 e. ... × 21 = 0 f. 10 × ... = 10
g. 4 × ... = 2 h. ... × 4 = 6 i. 5 × ... = 22
j. 4 × ... = 3 k. 8 × ... = 5 l. 3 × ... = 4 2. De la fraction partage au quotient
Dans toute la suite de l'activité, on considère que le rectangle rouge représente le rectangle unité.
a. Quelle fraction du rectangle unité le rectangle bleu représente-t-il ? b. Dans un quadrillage, trace plusieurs carrés bleus côte à côte pour obtenir
un rectangle représentant les4
3du rectangle unité. Que peux-tu dire de4 3? c. Trace trois rectangles verts côte à côte représentant chacun4
3du rectangle unité.
Que peux-tu dire de4 3?
d. Dans un quadrillage, reproduis le rectangle violet ci-dessous.
Partage-le en 3 rectangles de même aire.
e. Que dire des rectangles obtenus ?
Activité Trop sucré ?
Après un été bien ensoleillé, Émilie fait de la confiture. En regardant sur Internet, elle trouve trois recettes.
Confiture de fraises « 450 g de sucre pour 750 g de fraises. » Confiture d'abricots « 500 g de sucre pour 1 kg de confiture. » Confiture de cerises « 800 g de sucre pour 2 400 g de cerises. » Quelle recette doit-elle choisir pour obtenir une confiture avec le moins de sucre ajouté pour une même quantité de confiture ?
NOMBRESRATIONNELS • A3
Activités de découverte
2 1
36
5 5 5
1 1 1 1
2 2
Entraîne-toi à
Entraîne-toi à
Définir de nouveaux nombres Définition
Soit a et b deux nombres, b non nul.
Le quotient a
best le nombre qui, multiplié par b, donne a.
Déterminer un quotient
Énoncé
•Quel est le nombre qui, multiplié par 7, donne 9 ?
•Quel est le nombre qui, multiplié par 3, donne 36 ?
Correction : 7×9
7=9.
Le nombre qui multiplié par 7 donne 9 est 9 7 36
3=12. Le nombre qui multiplié par 3 donne 36 est 12
Définitions
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous forme d'un quotient.
Une fraction est un quotient de deux nombres entiers (donc un nombre rationnel).
Une écriture fractionnaire est une écriture d'un quotient avec un trait de fraction, mais le numérateur ou le dénominateur ne sont pas entiers.
Un pourcentage est une écriture fractionnaire de dénominateur 100.
» Exemples :
•2 =2
1; 0,5 =1 2; 10 :3 =10
3sont rationnels. π ne l'est pas. 2 10est une fraction, 8
0,5une écriture fractionnaire. 5 % =5 100ou 2,5 % =2,5
100sont des pourcentages.
» Remarque
Une fraction peut être utilisée pour représenter un partage à parts égales. Alors,
•son dénominateur « dénomine » : il donne le nom de la part ou « sa taille »
•son numérateur « numère » : il donne le nombre de parts.
» Exemple
un tiers1
3 cinq huitièmes5
8 La partie coloriée ne représente pas la moitié du disque car le partage n'est pas équitable Simplifier une écriture fractionnaire
Propriété
Deux fractions sont égales quand leurs numérateurs et dénominateurs sont proportionnels..
Pour tous nombres a, b et k où b et k sont non nuls : a×k
b×k=a beta÷k
b÷k=a b.
NOMBRESRATIONNELS • A3
Cours et méthodes
a b×b= a
39
Entraîne-toi
Des exercices corrigés pour acquérir des techniques.
Indication Niveau 1
La liste complète par niveau
des Entraîne-toi est donnée
dans le sommaire.
Je me teste
Il s’agit d’exercices types classés par niveau permettant de vérifi er
la compréhension et l’acquisition des compétences du chapitre.
Je m’entraîne
Cette partie regroupe les exercices
techniques organisés
en parties clairement identifi ée.
Je résous des problèmes
Cette partie regroupe des situations à résoudre en utilisant des méthodes vues dans la partie
Je m’entraîne.
3 33
5
3
Niveau1Niveau2Niveau3
1 Complète par une fraction.
a. 6 × ... = 7 b. 12 × ... = 5 c. 18 × ... = 67 d. 7 × ... = 98 2 Donne une écriture décimale de chaque quotient ou une valeur approchée au millième.
a. 14
11 b. 5
6 c. 27
10 d. 2
9 e. 9
8 f. 3
25 3 Parmi les quotients suivants, quels sont ceux égaux à5
3? a. 45
27 b. 54
33 c. 90
54 d. 40
25 e. 0,05
0,03 4 Simplifie chaque fraction au maximum.
a. 40
90 b. 18
72 c. 16
24 d. 125
75
5 Range dans l'ordre croissant les nombres :21 18;5
4;43 36. 6 Range dans l'ordre décroissant les nombres :6
13;9 7;2
13;11 13;17
7. 7 Calcule chacune des expressions : B =3
57 20et C =67
11− 5.
8 Calcule et donne le résultat sous la forme d'une fraction simplifiée.
G =8 37×37
3×5
8 H =3,5
0,3×1,08
7 I =22
18×6 11 9 Raphaël a lu les2
5du quart d'un livre et Benoit a lu le quart des2 5du même livre.
a. Quelle fraction du livre chacun a-t-il lue ? b. Que remarques-tu ?
10 Compare les nombres suivants.
a. 5
−12et−1
3 b. 4
3et−5
−4 c. 9
10et11
12 d. 19
20et31 32 11 Les nombres suivants sont-ils égaux ?
a. −7 6et−−6
−5 b. 14,5 25et−11,6
−20
12 Calcule et donne le résultat sous la forme d'une fraction la plus simple possible.
a. 1−−7
3 b. −2
3+7 8−5
6 c. −2
10+7
25 d. 3
7−7 10 13 Calcule et donne le résultat sous la forme d'une fraction la plus simple possible.
a. −12 33×44
−15 b. −7
15×
(
−215)
c. −−5126×39−34 d. 3×7
−3
14 Donne les inverses des nombres suivants : − 6 ; 3,5 ;−15 4;1
4. 15 Calcule et donne le résultat sous
la forme d'une fraction la plus simple
possible. B=−7
3÷−21
6 C=−4
7 3
D=
−4 7 3
−5
NOMBRESRATIONNELS • A3
Je me teste
è Voir Corrigés p. 368
43
8 8
8 25 Soient a =816
577et b =577 408. a. Donne les valeurs arrondies de a et de b au millième. Peux-tu en déduire la comparaison de a et de b ? b. Donne des valeurs approchées de a et b qui permettent de les comparer. Compare a et b.
26 Dans chaque cas, réécris les nombres avec le même dénominateur positif, puis compare-les.
a. −5 8 et −3,8
6 b. 14
5 et 20 7
27 Avec le même numérateur Compare les nombres suivants en commençant par comparer leurs opposés.
a. 1
−5 et 1
−7 b. −3
8 et −3 8,2 c. −5,23
14,5 et −5,23 14,6
d. −7,5 0,23 et 75
−2,4 e. 3
−50 et −4 75 f. 54,5
0,27 et −2,62
−0,13 28 Dans chaque cas, réécris les nombres avec le même dénominateur positif puis compare-les.
a. −5 4 et −9
8 b. 2,7
−9 et −1 3 c. 3 et −20,9
−7 d. –2
11 et −5 33 e. 7
2,5 et 20,5 7,5 f. 13
−27 et −79 162
29 Range les nombres suivants dans l'ordre croissant sans utiliser de valeurs approchées.
7
−15;7 3;490
420;−5 12;−24
−18; 2,5.
30 Compare en justifiant.
a. −12 18 et 399
−300 b. 2
57 et 1 28,4 c. −75
11 et 31
−15 d. −5
6 et −15 14 e. 6
13 et 29 65 f. 3
−22 et 4,5 33
Additionner et Soustraire 31 Somme de fractions a. L'égalité 1
37 12=11
12 est illustrée par la figure ci-contre.
Explique pourquoi.
b. En t'inspirant de la question a., écris une égalité illustrant chacune des figures suivantes.
Figure 1 Figure 2 Figure 3
32 Effectue les calculs suivants et donne le résultat sous forme simplifiée.
a. 7 95
9 b. 19
8−15 8 c. 5
1213 12
d. 9 117
11 e. 7
1811 18 f. 27
13−1 13
33 Ajoute ou soustrais.
a. 7,3 72,7
7 b. 12
4,16 4,1 c. 8,1
3,05 1 3,05
d. 8,1 22−2,1
22 e. 19
0,8−12 0,8 f. 7,3
5,5−0,3 5,5
34 Jimmy a mangé1 4 d'un gâteau.
Élise a mangé3 8du même gâteau.
a. Quelle part du gâteau ont-ils mangée à eux deux ?
b. Quelle part du gâteau reste-t-il ? 35 Effectue les calculs suivants et simplifie si possible.
a. 1 21
4 b. 5
65 12
c. 13 145
7 d. 3
45 24
NOMBRESRATIONNELS • A3
Je m'entraîne
46
Je résous des exercices et des problèmes
2
Je résous des exercices et des problèmes
2
Je résous des exercices et des problèmes
2
Sciences, technologie et société 5 Énergie électrique
Relations électriques
E = Pt
•E : Énergie électrique (en Wh)
•t : temps de fonctionnement (en h)
•P : Puissance consommée (en watts)
P = UI•U : Tension (en volts)
•I : Intensité (en ampères) U = RI•R : Résistance (en ohms) Calcule la résistance d'un appareil fonctionnant sous une tension de 220 volts pendant 45 min et consommant une énergie de 1 125 Wh.
6 Un fournisseur d'électricité A propose un abonnement de six mois à 80 €, où le prix du kWh est de 0,15 €.
Un concurrent B propose un autre abonnement de même durée, à 130 €, où le kWh coûte 0,14 € en heures pleines et 0,07 € en heures creuses, valables de 23h30 à 7h30.
a. Calcule le montant annuel pour une famille cliente chez A et consommant 3 600 kWh/an.
b. Calcule le montant annuel qu'elle paierait chez B, sachant qu'elle a 40 % de sa consommation en heures creuses.
c. À partir de quelle consommation annuelle le tarif B est-il plus avantageux pour cette famille que le tarif A ?
7 Après découpage Dans une plaque rectangulaire de 15 cm de long et 12 cm de large, on découpe deux pièces carrées identiques qu'on recolle suivant le plan ci-dessous.
Quelle doit être la mesure du côté de ces carrés pour que le périmètre de la nouvelle plaque soit égal à 70 cm ? Justifie.
8 En technologie On dispose d'une plaque métallique rectangulaire de dimensions 20 cm et 15 cm.
On veut y découper quatre carrés identiques.
a. Si on découpe des carrés de 2 cm de côté, quelle est l'aire de la partie restante ? b. Si on découpe des carrés de 8 cm de côté, que se passe-t-il ?
c. On veut que l'aire de la partie restante soit exactement égale à 251 cm2. Quelle longueur de côté doit-on alors choisir ? d. Est-il possible, en choisissant bien, qu'il ne reste rien après le découpage ?
9 Dans son jardin Madame Anabelle Pelouse possède un terrain rectangulaire dont la longueur est le double de sa largeur.
Ce terrain est constitué d'un très beau gazon entouré d'une allée.
a. Sachant que l'aire de l'allée est 368 m2, calcule la mesure exacte de la largeur du terrain.
b. Déduis-en, en m2, l'aire du terrain puis celle de la partie recouverte de gazon.
10 Le champ ABGF est un carré de côté b.ACDE est un carré de côté a. Un agriculteur possède le terrain BCDEFG et sait que l’aire de son terrain vaut 7 200 m2.
Il décide un jour d’aller du point C au point E en passant par B, A et F. Arrivé en F, il a déjà parcouru 120 m.
Quelle distance lui reste-t-il à parcourir pour arriver en E ?
ÉQUATION, INÉQUATION • A8 126
Je résous des problèmes
2 m 2 m
2 m 2 m
A BC
G b
F a
E D
3 3 3 Résoudre un problème en géométrie 11 Soit x un nombre positif. On considère
un triangle dont la mesure des angles est x, 2x et 3x. Est-il rectangle ?
12 Deux tours, hautes de 30 m et de 40 m, sont distantes l'une de l'autre de 50 m.
Un puits est situé entre les deux tours, Deux oiseaux s'envolent en même temps du sommet de chaque tour et volent à la même vitesse.
Déterminer la position du puits sachant que les oiseaux se posent dessus au même instant.
13 Différence d'aires Sur la figure ci-contre, ABCD est un rectangle et AEFD est un carré. x est un nombre supérieur à 2.
Pour quelle(s) valeur(s) de x (x 2), la différence entre l’aire du rectangle et l’aire du carré est-elle égale à 12 cm2 ?
14 Le haut du pavé Un triangle a un côté de longueur comprise entre 20 et 21 cm ; la hauteur relative à ce côté est comprise entre 10 et 11 cm.
Donne un encadrement de son aire.
Un pavé droit a une longueur comprise entre 25 et 26 cm, une largeur comprise entre 12 et 13 cm et une hauteur de 8 cm.
Donne un encadrement de son volume.
En utilisant le numérique 15 Logiciel Xcas en ligne !
a. On considère l'équation : x² − 6x 8 = 0.
Est-ce que 0 est solution de cette équation ? b. À l'aide du logiciel Xcas en ligne, résous cette équation.
c. Vérifie par le calcul que les solutions données par ce logiciel sont bien exactes.
16 Résolution graphique On recherche la(les) valeur(s) approchée(s) du(des) nombre(s) dont le carré vaut 0,5.
a. Recopie et complète le tableau suivant : x –1 –0,9 –0,8 –0,7 ... 0,7 0,8 0,91 x²
b. Place dans un repère les points précédents en mettant x en abscisse et x² en ordonnée (tu prendras 10 cm pour une unité sur chaque axe).
c. Détermine graphiquement la(les) valeur(s) approchée(s) de x pour laquelle x² = 0,5.
Que remarques-tu ? d. Utilise un tableur-grapheur pour chercher la ou les valeurs approchées du ou des nombres dont le carré vaut 2.
17 Soit le programme de calcul suivant.
•Choisis un nombre.
•Prends son triple.
•Soustrais 2.
•Prends le carré de cette différence.
•Soustrais 16 de ce produit.
•Écris le résultat.
En utilisant un tableur, trouve le ou les nombre(s) de départ pour avoir un résultat nul.
18 Des signes contraires Quelle est la plus petite solution entière positive de l'inéquation (− 3x 9)(x 4) 0 ?
ÉQUATION, INÉQUATION • A8 127
A E B
F 4x –7
2x − 3
D C
Indication Niveau 2
Corrigés détaillés en fi n d’ouvrage.
Une version animée pas à pas sur le manuel numérique.
Des problèmes en lien avec d’autres disciplines parfois regroupés selon les thèmes des EPI.
Ils peuvent faire l’objet d’un Enseignement Pratique
Interdisciplinaire.
Des problèmes numériques ou géométriques.
Des problèmes avec
un tableur, un logiciel
de géométrie
dynamique ou
de programmation.
Présentation du manuel
Des thèmes de synthèse permettent d’aller plus loin ou de réinvestir l’ensemble des connaissances vues sur le cycle.
A5 Nombres entiers Étude des engrenages
Aller plus loin avec les nombres B1 Proportionnalité
Étude des engrenages (le tour) SVT : la biométrie
Géographie : l’évolution de la population Technologie : construire une maquette
D2 – Transformation et parallélogramme Pavage du plan
D4 – Triangles et proportionnalité Construction à la règle et au compas Mesurer des longueurs inaccessibles
Déterminer les rayons du Soleil et de la Terre Déterminer la distance Terre-Lune
3 3 3
•
•
•
Activité 0 Activité 1 Activité 2 Activité 3 Activité 4 Activité 2 Activité 7Activité 8
Activité 5Activité 6
Objectifs de cycle
Introduction à la programmation
Les variables
Les tests
Les boucles « POUR »
Les boucles « TANT QUE »
Événements et scripts simultanés
Les tableaux, les listes
Les fonctions et procédures
•Ce chapitre permet aux élèves de découvrir les algorithmes et la programmation.
Il ne peut pas se résumer à un cours, mais il aide l'élève à progresser à travers diverses notions.
•Algorithmes : on étudiera les entrées-sorties, la notation, sans aller plus loin.
•Programmation : les élèves peuvent programmer avec les logiciels « Scratch » ou « Python », en utilisant progressivement tests, boucles et tableaux.
•Une partie spécifique au logiciel « Scratch » permet de se familiariser avec les événements et scripts simultanés.
•Les exercices débutant par « * » ne sont pas réalisables avec le logiciel
« Scratch » au niveau où ils sont donnés.
Algorithmique E
et programmation
2
2
2
Activité Le robot et moi, comment réaliser une action simple 1. Comment fais-tu pour traverser la route ? Peut-on programmer un robot pour
qu'il en fasse autant ?
2. Comment fais-tu pour sortir de la salle de classe ? Peut-on programmer un robot pour qu'il en fasse autant ?
Activité Recettes et algorithmes (variables) Un robot d'aide à la personne sait faire des recettes de cuisine s'il est bien programmé. La recette des crêpes a beaucoup de succès :
Recette pour 15 crêpes Ingrédients - 300 g de farine - 3 œufs entiers - 3 cuillères à soupe de sucre - 2 cuillères à soupe d'huile - 50 g de beurre fondu
- lait (environ 30 cl), à doser jusqu'à jusqu'à obtenir la consistance souhaitée
Préparation de la recette
Mettre la farine dans une terrine et former un puits. Mettre les œufs entiers, le sucre, l'huile et le beurre.
Mélanger délicatement avec un fouet en ajoutant au fur et à mesure le lait. La pâte ainsi obtenue doit avoir la consistance d'un liquide légèrement épais.
Faire chauffer une poêle anti-adhésive et y déposer quelques gouttes d'huile. Faire cuire les crêpes à feu vif.
Partie I. « Recette fixe » pour 15 crêpes
1. La préparation est-elle assez simple pour un robot ? Faut-il préciser certains points ? Comment ?
2. En supposant que le robot sache maintenant bien exécuter la recette, peut-on faire exactement :
5 crêpes ? 10 crêpes ? 4 crêpes ? Quel est le nombre minimum de crêpes possible ? 3. Écris l'algorithme de réalisation de cette recette.
Tu dois afficher des messages du type « Je mets …de farine » « Je mélange »
« Je fais cuire … de liquide ».
Partie II. « 5 crêpes par personne » (variable) En fait, les personnes qui utilisent ce robot sont parfois seules, parfois accompagnées. Elles peuvent demander de réaliser la recette pour un nombre quelconque de personnes.
Programme un algorithme qui demande le nombre de personnes et qui calcule les quantités d'ingrédients nécessaires et les affiche.
ALGORITHMIQUEETPROGRAMMATION • E
Activités de découverte
1 0
340
4 4 4
Entraîne-toi à
Entraîne-toi à Niveau 2
Les boucles « POUR » ou itération Définition
Une itération sert à répéter une même action.
Remarque : On connaît le nombre de fois où l'action devra être répétée.
Une fois la répétition finie, le programme continue.
On doit décrire ce que l'on appelle un « compteur de boucle » :
•début : premier nombre
•fin : dernier nombre
•« pas » utilisé : de combien on augmente à chaque fois ( ou 1 par défaut) .
» Exemple 1 : afficher 5 lignes de « coucou » (Avec Scratch on affiche 5 fois la ligne)
Langage algorithmique Scratch Python3
Répéter 5 fois : écrire « coucou » fin de répéter
» Exemple 2 : Afficher tous les entiers de 1 à N (donné) Avec Scratch, le lutin « compte ».
Langage algorithmique Scratch Python3
lire N entier Répéter pour i de 1 à N : écrire i fin de répéter
» Exemple 3: L'algorithme « Pour N allant de 1 à 10 pas 3 afficher N » donnera 1 puis 4 puis 7 puis 10.
Utiliser une boucle « pour » Écris un programme qui demande un nombre entier N et affiche tous les nombres de N+1 à N+10.
Correction Avec Scratch, le lutin « compte ».
Langage algorithmique Scratch Python3
lire N Pour i allant de 1 à 10 (pas de 1) écrire N+i fin de pour
ALGORITHMIQUEETPROGRAMMATION • E
Cours et méthodes
350
4 4
Avec Scratch on affiche 5 fois la ligne) Python3
compte ».
Python3
» donnera 1 puis 4 puis
Écris un programme qui demande un nombre entier N et affiche tous les nombres 8
8 8
34 Corrige le programme suivant pour qu'il affiche N lignes de la forme:
nb 1 Avec Scratch on affiche N fois la ligne.
nb 2 nb N
Langage algorithmique Scratch Python3
Répéter N fois : Écrire« nb :»&N N ←N+1 fin de répéter
Les Boucles « TANT QUE » 35 Écris un programme qui affiche
une même phrase jusqu'à ce que l'on appuie sur une touche du clavier.
36 Que fait le programme suivant ? Lire le nombre Pos-mur x←0 se positionner en x afficher un point Tant que ((x+5)<Pos-mur) avancer le point de 5 x←x+5 fin Tant que
37 Écris un programme qui lit deux nombres entiers A et B et divise A par B par des soustractions successives. Il devra afficher le quotient et le reste.
38 Écris un programme qui affiche une balle qui rebondit entre deux murs verticaux fixes.
39 Écris un programme qui lit un nombre décimal strictement inférieur à 100 et affiche sa partie entière, sans utiliser la fonction ENT.
40 Écris un programme qui lit un nombre décimal et affiche ce nombre en écriture scientifique.
41 * Écris un programme qui affiche une balle qui rebondit sur les bords d'un rectangle.
42 Corrige le programme suivant pour qu'il affiche des lignes de la forme:
nb N Avec Scratch on affiche N fois la ligne.
nb N+1
….
nb N+m Le programme s'arrête quand N+m est divisible par 7
Langage algorithmique Scratch Python3
X N ← Tant que X modulo7>0 : écrire« nb :»&N N N+1 ← X N← fin de tant que
ALGORITHMIQUEETPROGRAMMATION• E
Je m'entraîne
360
